Corso di Idraulica Ambientale (A.A. 004/005) Seconda verifica 1 dicembre 004 Esercizio 1 Uno scarico costante Ṁ = 100 g/s è posto sul fondo di un canale debolmente meandriforme, in prossimità di una sponda. Stimare (almeno come ordine di grandezza): la lunghezza di mescolamento verticale; la lunghezza di mescolamento trasversale; a che distanza il tracciante tocca la sponda opposta a quella di scarico; la concentrazione raggiunta asintoticamente. Dati: sezione rettangolare, larghezza B = 100 m, profondità media Y = 4 m, coefficiente di scabrezza k s = 30 m 1/3 /s, pendenza i f = 10 4. Esercizio Si considerino due corsi d acqua di sezione rettangolare con la medesima pendenza i f = 1. 10 4, la medesima scabrezza k s = 30 m 1/3 /s e la medesima profondità Y = m. Il primo, di larghezza B 1 = 70 m, trasporta una portata massica Ṁ1 = 100 kg/s di un tracciante passivo; il secondo, di larghezza B = 0 m, una Ṁ = 110 kg/s della stessa sostanza. Ipotizzando che dopo la confluenza il canale abbia larghezza B = B 1 + B e andamento debolmente meandriforme, determinare la concentrazione media e quella minima sulla sezione trasversale alla distanza x = 1 km dalla confluenza. Esercizio 3 Una massa M = 100 kg di tracciante viene rilasciata accidentalmente ed in modo istantaneo in un corso d acqua caratterizzato da: U = 1 m/s, B = 100 m, Y = 4 m, i f = 1 10 4. In una sezione a valle dello scarico vengono misurate la concentrazioni C 1 = 4.05 10 3 mg/l, C = 1.3 10 3 mg/l, C 3 = 19.1 10 3 mg/l, rispettivamente dopo 6, 7, 8 ore dall istante di scarico. Stimare la distanza del punto di misura dal luogo dove è avvenuto il rilascio, utilizzando la relazione di Fischer per il coefficiente di dispersione K = 0.011 U B u f Y. Discutere come cambia la stima se si considera un origine virtuale dei tempi t v = 0.07 B /K y, con K y = 0.6 u f Y. 1
1 0.95 0.9 0.85 0 0.8 0.75 0.7 0.65 0.6 0.55 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.5 0. 0.15 0.1 0.05 ( ) = ( ξ ) π ξ 0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9.1..3.4
1 Soluzioni 1.1 Esercizio 1 Relazione di moto uniforme: = BY k s if R /3 h = 406. m 3 /s, R h = BY B + Y Velocità media e velocità d attrito: U = BY = 1.016 m/s, u f = gi f R h = 0.085 m/s () Coefficienti di diffusione/dispersione turbolenta: D T z = 0.067 u f Y = 0.08 m /s, D T y + K y = 0.3 u f Y = 0.10 m /s Lunghezze di mescolamento: (1) L mv = 0.536 U Y D T z B = 381 m, L mt = 0.536 U = 53. km Dy T + K y Concentrazione asintotica: C m = Ṁ = 0.46 g/m3 Dimensione trasversale della nuvola: L n 3 (Dy T + K y )x/u La nuvola tocca la sponda opposta quando L n B, ovvero per x = 5.5 km. 1. Esercizio Caratteristiche idrauliche dei due affluenti in base alle (1)-(): 1 = 70.38 m 3 /s, = 18.48 m 3 /s, U 1 = 0.503 m/s, U = 0.46 m 3 /s Le concentrazioni nei due rami sono C 1 = Dopo la confluenza Ṁ1 1 = 1.4 kg/m 3, C = Ṁ = 5.95 kg/m 3 = 1 + = 88.86 m 3 /s, B = B 1 + B = 90 m, Ṁ = Ṁ1 + Ṁ = 10 kg/s Dalla relazione di moto uniforme si ottiene Y = 1.97 m e quindi una velocità U = 0.50 m/s. Trovata u f = 0.047 m/s, il coefficiente di dispersione trasversale è stimabile come K y = 0.3 u f Y = 0.078 m /s. Dato che la concentrazione maggiore è nel ramo, si sceglie l origine della coordinata trasversale in prossimità della sponda; alla confluenza la concentrazione vale quindi C per 0 < y < B 1 e C 1 per B 1 < y < B. Per il principio di sovrapposizione degli effetti, quello che conta è la differenza C = C C 1 = 4.53 kg/m 3. La concentrazione puntualmente vale { [ C(x, y) = C 1 + C erf ] [ y + y 0 + jb erf 3 ]} y y 0 + jb
Per x = 1 km si trovano il massimo (per y = 0) e il minimo (per y = B) valore di concentrazione C max = 3.31 kg/m 3, C min = 1.66 kg/m 3 Un approssimazione alla terza cifra significativa è raggiunta considerando una sola sorgente immagine. La concentrazione media è uguale a quella raggiunta asintoticamente C m = Ṁ =.36 kg/m3 Ipotesi alveo rettangolare largo. Nel caso in cui si trascuri la differenza tra raggio idraulico e profondità media (R h Y ), le (1)-() forniscono: 1 = 73.03 m 3 /s, = 0.87 m 3 /s, U 1 = 0.5 m/s, U = 0.5 m 3 /s Le concentrazioni nei due rami sono C 1 = Dopo la confluenza Ṁ1 1 = 1.37 kg/m 3, C = Ṁ = 5.7 kg/m 3 = 1 + = 93.90 m 3 /s, B = B 1 + B = 90 m, Ṁ = Ṁ1 + Ṁ = 10 kg/s Dalla relazione di moto uniforme si ottiene Y =.00 m e quindi una velocità U = 0.5 m/s. Trovata u f = gi f Y = 0.048 m/s, il coefficiente di dispersione trasversale è stimabile come K y = 0.3 u f Y = 0.091 m /s. Dato che la concentrazione maggiore è nel ramo, si sceglie l origine della coordinata trasversale in prossimità della sponda; alla confluenza la concentrazione vale quindi C per 0 < y < B 1 e C 1 per B 1 < y < B. Per il principio di sovrapposizione degli effetti, quello che conta è la differenza C = C C 1 = 3.90 kg/m 3. La concentrazione puntualmente vale { [ C(x, y) = C 1 + C erf ] [ y + y 0 + jb erf ]} y y 0 + jb Per x = 1 km si trovano il massimo (per y = 0) e il minimo (per y = B) valore di concentrazione C max = 3.01 kg/m 3, C min = 1.57 kg/m 3 Un approssimazione alla terza cifra significativa è raggiunta considerando una sola sorgente immagine. La concentrazione media è uguale a quella raggiunta asintoticamente C m = Ṁ =.4 kg/m3 1.3 Esercizio 3 In generale, la soluzione nel campo lontano è C = M BY 4πK(t t v ) exp [ ] (x Ut) 4K(t t v ) (3) Calcolata la velocità d attrito u f = gi f R h = 0.060 m/s, il coefficiente di dispersione può essere stimato con la formula di Fischer K = 0.011 U B u f Y = 456 m /s 4
La posizione della sorgente può essere ottenuta dalla (3): ( ) x = Ut + M 4K(t tv ) ln CBY 4πK(t t v ) (4) Risulta conveniente misurare le concentrazioni con le unità del sistema internazionale: C 1 = 4.05 10 6 kg/m 3, C = 1.3 10 6 kg/m 3, C 3 = 19.1 10 6 kg/m 3. Senza origine virtuale. Ponendo t v = 0, la (4) fornisce rispettivamente x 1 = 9.8 km, x = 30.1 km, x 3 = 9.8 km. La media di queste stime è x = 9.9 km. Con origine virtuale. si colloca a Calcolando K y = 0.6 u f Y = 0.145 m /s, l origine virtuale t v = 0.07 B K y = 4.8 10 3 s corrispondente a x v = 4.8 km. La distanza necessaria perché il processo diventi diffusivo è L 0.196 UB /K y = 13.5 km. In questo caso la (4) fornisce rispettivamente x 1 = 9.1 km, x = 30.0 km, x 3 = 31.0 km. La media di queste stime è x = 30.0 km. 5