Prova scritta di meccanica razionale del 0.0.01 Esercizio 1 Nel piano Oxy di una terna solidale Oxyz = Oê 1 ê ê 3 giace una piastra rigida omogenea P, di massa m, ottenuta rimuovendo da un disco circolare di raggio R e centro O una porzione circolare di raggio R tangente al bordo, come illustrato in figura. Rispetto ad un riferimento assoluto P si muove con velocità angolare costante ω = ωê 1 e con il punto O dotato di velocità Ȯ = Rωê 1, pure costante. Determinare del sistema: a la posizione del baricentro rispetto a Oxyz; b la matrice d inerzia relativa a Oxyz; c una terna centrale d inerzia ed i relativi momenti centrali; d l asse di Mozzi e la tipologia del moto rigido rispetto alla terna assoluta; e l energia cinetica relativa alla terna assoluta. 1
Esercizio Un disco circolare omogeneo D 1, di massa m, raggio a e centro O, ruota liberamente attorno all asse orizzontale Oz di una terna inerziale Oxyz. Al bordo di D 1 è saldato un punto materiale P di massa m. Un secondo disco omogeneo D, pure di massa m e raggio a, ha il centro C libero di scorrere lungo l asse verticale Oy e può ruotare attorno a tale centro. Un filo inestendibile e imponderabile è teso attorno al bordo dei due dischi, senza poter strisciare su di essi. I due estremi A e B del filo non toccano mai i bordi dei dischi e sono collegati da una molla ideale di costante elastica k vedi figura. La lunghezza L del filo è tale per cui D 1 e D non giungono mai a contatto fra loro. Resistenze viscose di uguale costante β agiscono in P e C. Assunti i vincoli ideali, usare le coordinate φ R e s > 0 in figura per determinare del sistema: a gli equilibri; b le proprietà di stabilità degli equilibri tenere conto di tutte le sollecitazioni!; c l espressione dell energia cinetica, verificandone la natura definita positiva; d le equazioni pure del moto; e i modi normali delle piccole oscillazioni attorno ad un equilibrio stabile per β = 0 e mg = ka.
Soluzione dell esercizio 1 a Baricentro La piastra P è ottenuta considerando un disco circolare omogeneo completo D, di raggio R e centro O, e rimuovendone una porzione circolare C, di raggio R e centro C. La densità areale della piastra si scrive: σ = m πr πr = m 3πR e deve essere identificata anche con quella di D e C, le cui masse risultano perciò: m D = σπr = m 3πR πr = 3 m m C = σπr = m 3πR πr = m 3, mentre i relativi baricentri coincidono per simmetria con i rispettivi centri geometrici: G D O = 0 G C O = Rê 1. Poichè è evidentemente D = P C e l intersezione dei due domini costituisce un insieme di misura nulla, il teorema distributivo consente di scrivere l equazione: m D G D O = m P G P O + m C G C O che risolta rispetto al vettore posizione del baricentro G P di P porge: G P O = m D m P G D O m C m P G C O e sostituendo i valori espliciti conduce al risultato richiesto: G P O = 3 0 1 3 Rê 1 = R 3 ê1. b Matrice d inerzia relativa a Oxyz La matrice d inerzia relativa a Oxyz della piastra P può essere espressa come differenza delle matrici d inerzia di D e C, relative alla stessa terna di riferimento: Le due matrici vengono ricavate nel seguito. [L P O] = [L D O] [L C O]. 1 Matrice d inerzia in Oxyz del disco D Come ben noto, la matrice d inerzia di un disco circolare omogeneo di densità areale σ, raggio a e centro O assume la forma: πσa / 0 0 0 πσa / 0 0 0 πσa / 3
rispetto alla terna centrale d inerzia Oxyz che ha Oxy come piano di giacitura del disco stesso. Per σ = m/3πr e a = R si ottiene, nella fattispecie: e quindi: πσa = π m 3πR R = 16 3 mr [L D O] = mr /3 0 0 0 /3 0. 0 0 /3 Matrice d inerzia in Oxyz del disco C La stessa relazione consente di determinare la matrice d inerzia di C relativa alla terna baricentrale Cxyz, ponendo σ = m/3πr e a = R: [L C C] = mr 1/1 0 0 0 1/1 0. 0 0 1/6 Per riportarsi alla terna Oxyz basta ricordare che G C O = Rê 1 = d 1 ê 1 + d ê + d 3 ê 3 ed applicare il teorema di Huygens-Steiner generalizzato: [L C O] = [L C C] + m C d + d 3 d 1 d d 1 d 3 d 1 d d 1 + d 3 d d 3 = d 1 d 3 d d 3 d 1 + d = mr 1/1 0 0 0 1/1 0 + m 3 0 0 1/6 essendo m C = m/3 la massa del disco. 0 0 0 0 R 0 0 0 R = mr 1/1 0 0 0 5/1 0, 0 0 1/ Matrice d inerzia in Oxyz della piastra P Si dispone ora di tutti i dati utili a calcolare, tramite la 1, la matrice d inerzia in Oxyz della piastra: [L P O] = [L D O] [L C O] = mr /3 0 0 0 /3 0 0 0 /3 = mr 5/ 0 0 0 11/1 0 0 0 13/6 mr 1/1 0 0 0 5/1 0 0 0 1/ c Terna centrale e momenti centrali d inerzia L asse Ox = Cx = G P x è un evidente asse di simmetria del sistema e dunque rappresenta, come da ben noto teorema, un asse centrale d inerzia della piastra. Analogamente, è facile riconoscere che G P z costituisce anch esso un asse centrale d inerzia, in quanto ortogonale al. =
piano di giacitura e simmetria Oxy e passante banalmente per G P. Il riferimento G P xyz definisce pertanto una terna centrale d inerzia del sistema. La matrice d inerzia relativa alla terna centrale si ricava facilmente dal teorema di Huygens-Steiner generalizzato, ponendo G P O = R/3ê 1 = δ 1 ê 1 + δ ê + δ 3 ê 3 e ricordando che m P = m: [L P G P ] = [L P O] m P δ + δ3 δ 1 δ δ 1 δ 3 δ 1 δ δ1 + δ3 δ δ 3 = δ 1 δ 3 δ δ 3 δ1 + δ = mr 5/ 0 0 0 11/1 0 m 0 0 0 0 R /9 0 = 0 0 13/6 0 0 R /9 = mr 5/ 0 0 0 9/36 0. 0 0 37/1 Gli elementi diagonali forniscono i momenti centrali d inerzia richiesti: A 1 = 5 mr A = 9 36 mr A 3 = 37 1 mr. d Asse di Mozzi e natura del moto rigido rispetto alla terna assoluta Asse di Mozzi o istantaneo di moto Poichè O è chiaramente un punto del sistema, e dunque anche dello spazio a questo solidale, l asse istantaneo di moto nel riferimento assoluto è individuato dalla parametrizzazione: P Ω = O Ω + ω Ȯ ω + α ω, α R ossia: ed infine: P Ω = O Ω + ωê 1 Rωê 1 ωê 1 + αωê 1, α R P Ω = O Ω + αωê 1, α R, nella quale Ω indica l origine della terna assoluta. La velocità angolare costante ω = ωê 1 e la velocità istantanea Ȯ = Rωê 1, anch essa costante e parallela a ω, implicano che l asse istantaneo di moto sia la retta Oê 1. Natura del moto rigido della piastra Il moto della piastra rispetto alla terna assoluta è la composizione di un moto traslatorio rettilineo uniforme, di velocità istantanea v = Rωê 1, e di un moto rotatorio uniforme con velocità angolare ω = ωê 1. Essendo v ω, tale definisce costituisce un moto elicoidale uniforme. 5
e Energia cinetica relativa alla terna assoluta L energia cinetica della piastra rispetto al riferimento assoluto si esprime per mezzo del teorema di König. Basta osservare che il baricentro G P si muove lungo l asse di Mozzi Oê 1 con velocità istantanea ĠP = Ȯ + ω G P O = Ȯ = Rωê 1, e che rispetto ad una qualsiasi terna baricentrale il moto della piastra avviene con asse fisso Oê 1 e velocità angolare ωê 1 : T = m P Ġ P + 1 ω LP G P ω = m R ω + 1 ω ê 1 L P G P ê 1 = = mr ω + 1 5 ω mr = 1 mr ω + 5 mr ω = 9 mr ω. Soluzione dell esercizio a Equilibri Il sistema è scleronomo, a vincoli bilaterali ideali. È soggetto ad alcune sollecitazioni posizionali conservative, costituite dal peso e dall interazione elastica fra i punti A e B, e alle resistenze viscose agenti in P e C, che invece hanno natura dissipativa. Per quanto queste ultime siano certamente nulle in qualsiasi stato di quiete e non concorrano perciò alla determinazione delle configurazioni di equilibrio, conviene senz altro ricavarne fin da subito le componenti generalizzate, che torneranno utili nella successiva discussione di stabilità. Potenziale elastico Il potenziale associato alla molla ideale di costante elastica k è dato dall espressione: U el = k A B = k asê = ka s. Potenziale gravitazionale Il potenziale gravitazionale è la somma di due contributi: uno relativo al punto materiale P e uno relativo al disco D. Il disco D 1 non concorre al potenziale, dal momento che il suo baricentro coincide con il punto fisso O. Per il punto P si ha: mentre per il disco D vale l espressione: U D g U P g = mgê P O = mga sin φ, = mgê C O = mga s + costante in quanto l ordinata negativa del baricentro C si ricava per mezzo dell ovvia formula: L + as πa πa = a s + costante, dove L indica la lunghezza complessiva, costante, della fune. La somma dei potenziali Ug P e U D g porge il potenziale gravitazionale U g del sistema. 6
Potenziale del sistema Il potenziale del sistema è la somma dei potenziali elastico e gravitazionale: Us, φ = ka s mga sin φ + mga s, s, φ R+ R. 3 Componenti generalizzate delle resistenze viscose I punti di applicazione delle resistenze viscose sono individuati dai seguenti vettori posizione: P O = acos φ ê 1 + sin φ ê cui corrispondono le velocità istantanee: C O = as ê + costante P = a sin φ ê 1 + cos φ ê φ Ċ = aṡ ê e le derivate parziali: P s = 0 C s = a ê P φ = a sin φ ê 1 + cos φ ê C φ = 0. Le componenti generalizzate relative si scrivono perciò: D s = βp P s D φ = βp P φ C βċ s = β aṡ ê a ê = βa ṡ βċ C φ = βa sin φ ê 1 + cos φ ê φ a sin φ ê 1 + cos φ ê = βa φ e, come atteso, si annullano entrambe per velocità generalizzate uguali a zero. Equilibri Gli equilibri del sistema vanno identificati con tutti e soli i punti critici del potenziale 3 e si ricavano dunque annullando simultaneamente le derivate parziali prime: U s s, φ = ka s + mga U s, φ = mga cos φ, φ ossia risolvendo il sistema di equazioni: ka s + mga = 0 mga cos φ = 0 7
che porge due soluzioni definite incondizionatamente: s, φ = mg ka, π s, φ = mg ka, π. b Stabilità degli equilibri Per l analisi di stabilità degli equilibri è cruciale appurare la natura precisa delle sollecitazioni dissipative. La potenza di tali sollecitazioni non soltanto risulta sempre non positiva: π = D s ṡ + D φ φ = βa ṡ βa φ 0, ma si annulla anche unicamente per ṡ, φ = 0, 0. Si tratta dunque di sollecitazione completamente dissipativa. Questa circostanza, insieme al fatto che gli equilibri determinati alla sezione precedente sono senza dubbio tutti isolati perchè in numero finito, autorizza ad applicare la forma forte del teorema di Lagrange-Dirichlet, che individua come asintoticamente stabili i massimi relativi propri del potenziale, ed instabili tutti gli altri punti critici. È fondamentale calcolare le derivate parziali seconde del potenziale: U s, φ = ka s U s, φ = 0 s φ U s, φ = 0 φ s U s, φ = mga sin φ φ e caratterizzare lo spettro della relativa matrice hessiana: H U s, φ = in ciascuna configurazione di equilibrio. ka 0 0 mga sin φ Configurazione s, φ = mg/ka, π/ In questo caso la matrice hessiana del potenziale diventa: H U mg/ka, π/ = ka 0 0 mga ed ha evidentemente autovalori di segno opposto. Questa circostanza esclude che l equilibrio possa rappresentare un massimo relativo proprio del potenziale: di qui l instabilità della configurazione per il teorema forte di Lagrange-Dirichlet. Configurazione s, φ = mg/ka, π/ Nella fattispecie la matrice hessiana del potenziale risulta definita negativa: H U mg/ka, π/ = ka 0 0 mga
e consente di riconoscere nell equilibrio un massimo relativo proprio del potenziale, la cui stabilità asintotica segue dalla forma forte del teorema di Lagrange-Dirichlet. c Energia cinetica L energia cinetica del sistema è definita in modo additivo, come somma delle energie cinetiche del punto P, del disco D 1 e del disco D. Energia cinetica del punto P Dal vettore posizione P O = acos φ ê 1 + sin φ ê segue la velocità istantanea di P : e quindi l espressione dell energia cinetica: P = a sin φ ê 1 + cos φ ê φ T P = m P = ma φ. Energia cinetica del disco D 1 Il disco D 1 ruota attorno all asse fisso Oz secondo l angolo di rotazione φ, cui corrisponde la velocità angolare istantanea ω 1 = φê 3. L energia cinetica è quindi data da: T D1 = 1 ID 1 Oz φê3 1 ma = φ = ma φ. Energia cinetica del disco D Il disco si muove nel piano Oxy, ma non presenta alcun punto fisso. Si deve quindi ricorrere alla formula di König: T D = m Ċ + 1 ID ω nella quale risulta: Cz Ċ = aṡ ê I D Cz = ma, mentre la velocità angolare istantanea ω viene ottenuta notando che, per via della mancanza di scorrimento fra filo e dischi, D subisce una rotazione assoluta di un angolo: φ sa 1 a = φ s 5 la rotazione antioraria di un angolo φ è quella del disco D 1, trasmessa inalterata dal filo non scorrevole quando la distanza as fra i capi A e B si mantenga nulla. Un as > 0 comporta un allungamento verso il basso di ambo i tratti verticali del filo, di una lunghezza pari a as/; a tale allungamento corrisponde una rotazione oraria di as/a = s/ radianti, che costituisce il secondo contributo in 5. Si ha pertanto: ω = ṡ φ ê 3 9
e l energia cinetica del disco diventa: T D = m a ṡ + 1 ma ṡ ma φ = ṡ + ma ṡ φ. Energia cinetica del sistema La somma delle energie cinetiche parziali definisce l energia cinetica del sistema: T = T P + T D1 + T D = ma = ma φ + ma 3 φ + ṡ + φ + ṡ 1 φṡ φ + ma ṡ + ma ṡ φ = = ma 3 ṡ + φ 1 ṡ φ. Si verifica il carattere definito positivo dell espressione ottenuta, nelle velocità generalizzate ṡ, φ, notando che T può essere espressa come: T = 1 ṡ φ As, φ ṡ φ con matrice di rappresentazione: As, φ = ma 3/ 1/ 1/ reale, simmetrica e definita positiva per via del segno positivo di traccia e determinante: tras, φ = ma 3 + = 19 ma > 0 detas, φ = ma 3 1 = 11 16 16 m a > 0. d Equazioni pure del moto Grazie all ipotesi dei vincoli ideali, le equazioni pure del moto del sistema scleronomo si identificano con quelle di Lagrange: d L dt ṡ L s = D s d L dt φ L φ = D φ nelle quali figura la lagrangiana: L = T + U = ma 3 ṡ + φ 1 φ ka ṡ s mga sin φ + mga s. Il calcolo dei termini parziali a primo membro è immediato: L ṡ = ma 3 ṡ 1 φ L ma = φ φ 1 ṡ d L = ma 3 dt ṡ s 1 φ d L dt φ = ma φ 1 s L s = ka s + mga 10 L φ = mga cos φ
e tenuto conto delle componenti dissipative conduce alle equazioni del moto richieste: ma 3 s 1 φ + ka s mga = βa ṡ ma φ 1 s + mga cos φ = βa φ. e Modi normali delle piccole oscillazioni Per β = 0 le sollecitazioni dissipative vengono rimosse dal sistema e il solo equilibrio stabile non asintoticamente è costituito da s, φ = mg/ka, π/ = 1/, π/, come segue direttamente dal teorema di Lagrange-Dirichlet. I modi normali delle piccole oscillazioni vengono studiati intorno a quest unico equilibrio. A tale scopo si scrivono le matrici dell energia cinetica e hessiana del potenziale nella configurazione considerata: A1/, π/ = ma 3/ 1/ 1/ H U 1/, π/ = ka 0 0 mga definita positiva la prima e negativa la seconda. Le pulsazioni normali delle piccole oscillazioni sono determinate dalle soluzioni ω > 0 dell equazione caratteristica: det [ ω A1/, π/ + H U 1/, π/ ] = 0 6 che scritta esplicitamente diventa: [ det ma ω 3/ 1/ + 1/ ka 0 ] 0 mga e con la sostituzione aω /g = µ si riduce alla forma adimensionale: [ ] 3/ 1/ 1 0 det µ + = 0 1/ 0 1 = 0 vale a dire: 3 det µ 1 µ µ = 0. µ 1 Eseguiti i prodotti e raccolti i termini simili si ottiene l equazione trinomia: che ammette due radici reali positive: 1 µ 19 µ + 1 = 0 µ 1, = 19 ± 19 1 1 = 19 ± 11 361 1 6 = 19 ± 33
ossia: µ 1 = 19 33 cui corrispondono le pulsazioni normali: ω 1 = µ 1 g a = ω = µ g a = µ = 19 + 33 19 33 g a 19 + 33 g a. Poichè ω 1 < ω, a ω 1 è associato il primo modo normale modo basso, mentre ω corrisponde alla pulsazione del secondo modo normale modo alto. Per determinare esplicitamente tali modi normali occorre ricavare i vettori delle ampiezze, risolvendo il sistema di equazioni lineari omogenee: 3 µ i 1 µ i µ a i = 0 i µ i 1 b i 0 in a i b i 0 0 e per i = 1,. Ciò equivale a risolvere il sistema: 3 µ i 1 a i µ i b i = 0 µ i a i + µ i 1b i = 0 le cui equazioni risultano linearmente dipendenti in forza dell equazione caratteristica 6. È quindi sufficiente considerare una sola delle due equazioni, per esempio la prima: 3 µ i 1 a i µ i b i = 0 e scriverne una qualsiasi soluzione non banale, come ad esempio: a i = 6 µi 3 = 16µ i b i = 6 µ i 1, = µ i 6 dove il fattore 6 è stato introdotto per eliminare il denominatore nell espressione di µ i. I modi normali di oscillazione vengono così espressi nella forma: s 1/ 16µi = + A φ π/ i cos ω µ i 6 i t + ϕ i con A i > 0 e ϕ i R costanti assegnate a piacere. 1 t R,
Modo basso di pulsazione ω 1 In questo caso le ampiezze del modo normale di oscillazione sono date da: a 1 = 16µ 1 = 16 19 33 = 3 33 > 0 b 1 = µ 1 6 = 19 33 6 = 7 3 33 < 0 ed il modo normale si scrive esplicitamente come: s 1/ 3 33 = + A φ π/ 1 7 3 19 33 g cos 33 a t + ϕ 1 t R, in termini delle costanti arbitrarie A 1 > 0 e ϕ 1 R. Si osservi che, per via del segno opposto delle due ampiezze, nel modo basso i parametri lagrangiani oscillano in opposizione di fase attorno ai rispettivi valori di equilibrio: quando s presenta la massima elongazione, φ assume quella minima, e viceversa. L oscillazione del disco superiore D 1 tende in un certo senso ad accompagnare quella della molla ideale AB: allorchè la molla raggiunge il massimo allungamento l angolo di rotazione φ di D 1 assume il valore minimo, e viceversa. Il fatto che questo sia il modo normale di minima pulsazione appare dunque piuttosto ragionevole. Modo alto di pulsazione ω Nella fattispecie le ampiezze hanno lo stesso segno: a = 16µ = 16 19 + 33 = 3 + 33 > 0 b = µ 6 = 19 + 33 6 = 7 + 33 > 0 e consentono di esprimere il modo normale di oscillazione nella forma: s 1/ 3 + 33 = + A φ π/ 7 + 3 19 + 33 g cos 33 a t + ϕ t R, con A > 0 e ϕ R costanti arbitrarie. Le coordinate lagrangiane oscillano in fase attorno ai relativi valori di equilibrio, raggiungendo simultaneamente l elongazione massima o minima. L oscillazione del disco superiore D 1 tende qui a contrastare quella della molla AB, e non sorprende che a questo modo normale corrisponda la pulsazione massima. 13