PROVE SCRITTE DI ANALISI MATEMATICA I, ANNO 11/1 Prova scritta del 18/1/1 Si studi, per x, il comportamento della serie n=1 ( n 4 + A n ) x, n + x ove A denota il numero di lettere del cognome. Si esamini, nel suo insieme di definizione, la funzione definita dalla legge g(x) = arcsin x 1 + x, al fine di riconoscere suoi eventuali legami con funzioni note. funzione f definita da f(x) = Bxg(x), Si studi quindi la ove B denota il numero di lettere del nome, determinando eventuali asintoti, minimi, massimi e flessi. Si calcoli l integrale definito 1 1 f(x)dx. Soluzioni compito 18/1/1 Osserviamo preliminarmente che la serie e a termini positivi, e quindi essa puo essere soltanto convergente o divergente. Inoltre, per x =, il termine generale e costantemente uguale a 1, e dunque la serie diverge. Controlliamo ora il comportamento del termine generale, per x >. A tale scopo, osserviamo che si ha n4 + A n n + x = A (n + x)(n + n 4 + A), da cui si vede facilmente che, per x >, il termine generale della serie tende a con ordine x. Applicando il criterio del confronto asintotico, vediamo allora che la serie assegnata si comporta come la serie armonica 1 n x, e quindi risulta convergente se e solo se x > 1. 1
Si vede facilmente che risulta sempre 1 < x 1+x < 1, per cui la funzione g e definita e continua in tutto IR. Essa e anche derivabile, e risulta g (x) = 1 1 + x = D arctan x per ogni x. Poiche g() = arctan() =, si puo concludere che g(x) = arctan x per ogni x. Di conseguenza, f(x) = Bx arctan x. Chiaramente, anche f e definita, continua e derivabile su tutto IR, e quindi non ha asintoti verticali. Inoltre, f e una funzione pari e si ha f(x) > per ogni x, mentre f() =. Dunque e punto di minimo assoluto. Essendo poi lim f(x) = +, lim x + f(x) x + x = B π, lim (f(x) B π x) = B x + si deduce che y = B πx B e y = B π x B sono i due asintoti obliqui, a + e rispettivamente. Il calcolo della derivata prima fornisce f (x) = B arctan x + Bx 1 + x : e evidente che f (x) é positiva per x >, negativa per x < e nulla per x =, per cui f risulta crescente per x > e decrescente per x <, e non vi sono altri punti estremanti oltre. Si ha infine f (x) = B (1 + x ), percio f e sempre convessa, e non ha punti di flesso. Dato che f e pari, basta calcolare l integrale tra e 1, e poi moltiplicare il risultato per. Si ha f(x)dx = Bx arctan xdx = B x arctan x B x 1 + x dx = = B x arctan x B (x arctan x) + C = B (x arctan x + arctan x x) + C. Allora 1 1 f(x)dx = xf(x)dx = B( π 1 1). Prova scritta del 8//1
Si studi il comportamento della serie n=1 ( A sinh n A ), n ove A denota il numero di lettere del cognome. Considerata la legge h(x) = (x 1) x x +, si studino sia h sia la sua derivata h, ciascuna nel proprio insieme di definizione, determinando in particolare asintoti, minimi e massimi, e tracciandone i grafici. Si calcoli l integrale definito della funzione f(x) = B x x + 1, nel suo intervallo di definizione, ove B denota il numero di lettere del nome. Soluzioni compito 8//1 Considerato che la funzione x sinh x x e crescente e nulla in, si vede subito che la serie e a termini positivi. Inoltre, la stessa funzione e infinitesima in, di ordine, come si riconosce grazie alla regola di L Hospital. Dunque la serie data, in virtu del confronto asintotico, ha lo stesso comportamento della serie armonica 1 n, e pertanto converge. E facile controllare che il denominatore e sempre positivo, dunque la funzione e definita e derivabile dappertutto. Non vi sono pertanto asintoti verticali. Non vi sono neanche asintoti orizzontali, ma c e un asintoto obliquo bilatero: y = x. Il calcolo della derivata fornisce: h (x) = (x 1) (x x + ) (x )(x 1) (x x + ) = (x 1) (x 4x + 6) (x x + ). Da qui si vede subito che h e non-decrescente (anzi, strettamente crescente) in IR, con un punto critico, x = 1, che non puo essere estremante. La funzione h, anch essa definita e derivabile dappertutto, e sempre non-negativa, nulla solo per x = 1, e presenta l asintoto orizzontale bilatero y = 1.
Passiamo ora al calcolo della derivata seconda. Per semplicita di notazione scriveremo come segue: (x x + ) h (x) = = [ (x 1)(x 4x + 6) + (x 1) (x ) ] (x x+) (x 1) (x 4x+6)(x ) = = (x 1) { (x x + )(x 7x + 8) (x 4x + 6)(x 5x + ) } = = (x 1)[(x 4 1x +5x 45x+4) (x 4 1x +5x 4x+18)] = 6(x 1)( x). Da cio si deduce facilmente che x = 1 e punto di minimo per h e x = ne e punto di massimo, per cui entrambi sono punti di flesso per h, e non ve ne sono altri. Osserviamo intanto che f e definita per x [ 1, 1]. Inoltre, si ha Dunque, 1 1 4 1 + x x = ( 4 9 (x 1 ) ). f(x)dx = B 1 4 1 9 (x 1 ) dx. Ora, ponendo y = (x 1 9 ), si vede facilmente che y + (x 1 ) = 4, equazione 9 della circonferenza con centro in ( 1, ) e raggio. Evidentemente, allora, l integrale cercato e il prodotto di B per l area del semicerchio giacente nel semipiano y >. Ovviamente tale area e 9 π, e quindi l integrale cercato vale 9 Bπ 1.9 B. D altra parte, procedendo per sostituzione (ad es. x = u+1 ), si perviene a: f(x)dx = 4 1 9 B u du = 9 B (u 1 u + arcsin u) + C = = B x 1 1 + x x + 6 9 B arcsin x 1 + C. Una semplice applicazione della formula fondamentale porta poi a concludere: 1 1 B x x + 1dx = 9 Bπ, che e lo stesso risultato trovato in precedenza. Prova scritta del 7/4/1 4
Una palla di gomma rimbalza in maniera perfettamente verticale, risalendo ogni volta esattamente per dell altezza da cui cade. Sapendo che l altezza iniziale é di 6 metri, quanto spazio percorre complessivamente la palla (sia cadendo che risalendo)? Si studi, nel suo campo di esistenza, la funzione definita da f(x) = x + 1 x + ln x + 1 x +. serie dove Detto B il numero delle lettere del nome, si studi il comportamento della a n = n= (n+1) 1/B n 1/B a n, x B 1 e xb dx. In caso di convergenza, si calcoli la somma della serie. Soluzioni compito 7/4/1 Inizialmente, la palla percorre 6 metri in discesa, poi risale di 4 metri, quindi cade ancora per 4 metri, e poi risale di 4 metri, ecc. Di conseguenza, la percorrenza totale S in metri e data da: S = 6 + 6 + ( ) 6 +... = 6 + 1 n=1 ( )n. Dato che la serie geometrica ha ragione positiva e minore di 1, essa converge, e per note formule si ha S = 6 + 1 1 1 / = metri. Intanto, bisogna escludere x = dal campo di esistenza. Occorre poi >, a causa del logaritmo. Pertanto, il campo di esistenza e l insieme imporre x+1 x+ ], [ ] 1, + [. Tuttavia, a causa del limite notevole lim x + x ln x =, la funzione puo essere estesa per continuita anche in 1, ponendo f( 1) =. Si vede facilmente che f presenta un solo asintoto verticale, x =, essendo ivi lim x / f(x) = +. Si ha poi asintoto orizzontale bilatero, y = 1 ln. Il calcolo della derivata fornisce f (x) = ( ln x + 1 ) (x + ) x + + 1 5
in tutto il campo di esistenza escluso 1. Se ne deduce facilmente che f e crescente in tutto ], e [, decrescente tra 1 e e ancora crescente asintoticamente. a n = Con la sostituzione x B = u, si ha facilmente n+1 1 1 n B u B e u u 1/B 1 du = 1 B n+1 n.9, dove si ha minimo, e quindi u e u du = 1 B [e u (u + u + )] n n+1, (ove al solito la scrittura [g(u)] b a significa g(b) g(a)). Da cio si vede facilmente che la serie data e telescopica, e S n = a + a 1 +... + a n = 1 B n u e u du = 1 B [ (n + n + )e n ]. Da cio si vede subito che la serie converge, e la somma e data da lim n S n = B. Prova scritta del 6/6/1 Un treno viaggia a regime alla velocita costante di 1 km/h. Quando si trova a un km dalla stazione dove deve fermare, entra in funzione un meccanismo di frenata, che istantaneamente riduce la velocita del treno a di quella di regime; percorsi cosi 5 metri, il meccanismo entra di nuovo in funzione, riducendo la 4 velocita ancora a di quella precedente; poi, quando mancano 5 metri, il meccanismo di 4 nuovo riduce la velocita a di quella precedente; e cosi via: il meccanismo entra in 4 funzione allo stesso modo non appena il treno copre meta della distanza che lo separava dalla stazione al momento del rallentamento precedente. Quanto tempo impiega complessivamente il treno per percorrere l ultimo km? Si studi, nel suo campo di esistenza, la funzione definita da f(x) = x x 1. x + 1 Si studi il comportamento della serie n=1 a n, dove n+1 1 a n = n x 1 + x dx. In caso di convergenza, si calcoli la somma della serie. 6
Soluzioni compito 6/6/1 Detta S la distanza percorsa a una certa velocita v, il tempo impiegato a percorrerla e dato da t = S. Pertanto, detta v la velocita iniziale, cioe 1 km/h, v e indicata con S la distanza di 1 km, il primo tratto rallentato, lungo 5 m, verra percorso nel tempo t 1 = v = S v, 4 espresso in ore. Analogamente, il secondo tratto verra percorso nel tempo t = S S 4 v = ( ) S v sempre espresso in ore. In definitiva, il tempo che il treno impiega complessivamente per fermarsi e dato dalla somma T = n=1 ( S )n v = 1 1 S v = S v. Poiche il rapporto S, espresso in ore, e 1 (cioe secondi), il tempo che il treno v 1 impiega per fermarsi e esattamente un minuto. L unica condizione perche l espressione di f(x) abbia senso e che risulti x 1. Dunque il campo di esistenza e IR \ { 1}. Facilmente si vede che f(x) ha segno positivo se x > e negativo se x <, e si annulla solo se x = o se x = 1. Da cio si deduce subito che 1 e punto di minimo relativo. Nel punto x = 1 si ha un asintoto verticale, con limite sia da destra che da sinistra. Non vi sono asintoti orizzontali, ma la retta y = x e asintoto obliquo bilatero, essendo (per x > 1): x x 1 x + 1 x = x( x 1 x + 1 x + 1 avendosi il segno + per x < 1 e il segno per x > 1. ) = ±x x + 1, Per quanto riguarda lo studio della derivata prima, conviene esprimere la legge di f(x) in questo modo: Pertanto, si ha f(x) = { x x x+1 x > 1 x x x+1 1 < x 1 f (x) = x + x 1 (x + 1), 7
per x > 1 e f (x) = x + x 1 (x + 1), per x < 1. Da cio si vede subito che il punto 1 é angoloso. Inoltre, si deduce facilmente che vi sono due punti di massimo relativo: x = 1 ±, oltre al punto di minimo relativo x = 1, gia menzionato. Mediante la sostituzione 1 + x = y, con dx = ydy, si ottiene 1 x 1 + x dx = y 1 x + 1 1 dy = ln (y 1) 1 + y + C = ln 1 + x + 1 + C. pertanto, si ha a n = ln n + 1 n + 1 1 1 + n + ln 1 + n + 1, e la serie risulta telescopica. Le somme parziali assumono la seguente espressione: n + 1 1 S n = ln 1 + n + ln 1 +. Si deduce quindi che la serie converge, essendo lim n S n = ln + 1 1 1.76. di ricorrenza: Prova scritta del 7/6/1 Si consideri la successione (p n ) n, definita per n > con la seguente relazione p 1 = 1, p n+1 = (1 n (n + 1) )p n n 1. Si studi la successione (q n ) n, ove q n = ln p n, e si controlli se q n ammette limite finito o no. Se ne deduca infine se la successione iniziale (p n ) converge a oppure no. Si studi, nel suo campo di esistenza, la funzione definita da f(x) = cosh x 1 + 4 cosh (x) determinando in particolare asintoti, massimi e minimi, flessi. 8
Sia h la funzione definita da Dopo aver calcolato il limite h(x) = xe x 1 + e x x lim h(x), x si verifichi che h e integrabile in ogni intervallo del tipo [, S], con S >, e si calcoli il limite S lim h(x)dx. S Dalla relazione si ricava facilmente Essendo q 1 = ln 1 Soluzioni compito 7/6/1 p n+1 = (1 = ln, si deduce q n+1 = q n + ln (1 n (n + 1) )p n n (n + 1) ). q n+1 = ln + n i ln (1 (i + 1) ). i=1 Dunque la convergenza o meno di (q n ) equivale a quella della serie (a termini negativi): ln (1 i (i + 1) ) : poiche il termine generale e infinitesimo di ordine 1 (grazie al limite notevole lim x ln(x+1) x p n tende a. = 1), la serie diverge, e quindi la successione (q n ) tende a. Dunque Il campo di esistenza e tutto IR, in quanto f e rapporto di funzioni definite ovunque, con denominatore sempre strettamente positivo. Inoltre, f e una funzione pari, e sempre positiva. Si ha poi f() = 5. Non esistono asintoti verticali, in 5 quanto f e sempre continua, ma, essendo lim x ± f(x) = 1, la retta y = 1 e asintoto orizzontale bilatero. Passando allo studio della derivata prima, osserviamo che f (x) = sinh x (1 + 4 cosh x) /, 9
da cui si deduce facilmente che f decresce in ], ] e cresce in [, + [, con minimo in. Il calcolo della derivata seconda fornisce f (x) = cosh x(1 8 cosh x) (1 + 4 cosh, x) 5/ 1 8 che si annulla solo se cosh(x) = (la radice negativa e inaccettabile): si hanno dunque due flessi nei punti x = ±arccosh( 1 8 ). Il primo limite puo essere calcolato usando la regola di L Hospital: xe x lim h(x) = lim x x x = 1. Cio prova che h puo essere prolungata con continuita anche in, e quindi risulta integrabile in ogni intervallo limitato. Il calcolo dell integrale indefinito puo essere effettuato come segue: intanto si puo procedere per parti e ottenere che xe x e x e x x dx = dx = e x x x x dx, e quindi Si ha allora h(x)dx = e x x S h(x)dx = 1 e S S Facilmente ora si conclude che e x x dx + 1 e x x + 1 e x dx = + C. x x S lim S + lim x + 1 e x x h(x)dx = 1. = 1 e S S 1. Prova scritta dell 11/7/1 Si consideri, per x variabile reale, la successione (a n (x)) n, definita come segue: a (x) 1, a n+1 (x) = a n(x) sin(nπ + x). Dopo avere scritto i primi 6 termini di tale successione, si deduca il comportamento, al variare di x, della serie n= a n (x) e della sua serie assoluta, determinando la somma di entrambe in caso di convergenza. 1
Si esamini, nel suo insieme di definizione, la funzione definita dalla legge g(x) = sinh( x 1 x 4 + 1 ), determinando eventuali asintoti, minimi e massimi, e individuando il codominio. Si calcoli l integrale definito, tra e π, della funzione (strettamente positiva) h(x) = sin x. Soluzioni compito 11/7/1 I primi 6 termini della successione sono: 1, sin x, 4 9 sin x, sin x, Chiaramente, la serie assoluta e n= 4 4 sin4 x, ( sin x )n, serie geometrica di ragione sempre minore di 1. Dunque la serie assegnata e assolu- 9+6 sin x =. Il calcolo 9 4 sin x tamente convergente, e la somma della serie assoluta e sin x della somma della serie + 5 5 sin5 x, 6 6 sin6 x. n= a n(x) si puo svolgere raggruppando separatamente i termini di posto pari e quelli di posto dispari, come segue: = k= n= a n (x) = k= ( 1) k ( sin x)k + ( 1) k ( ( sin x)k 1 + ) sin x = k= ( 1) k ( sin x)k+1 = 9 + sin x 9 + 4 sin x = 9 + 6 sin x 9 + 4 sin x. La funzione g e definita su tutto IR, ed e ivi continua e derivabile. Non vi sono pertanto asintoti verticali. La funzione g e pari, e si ha g() = sinh( 1) = 1 e mentre g(x) = se e solo se x = ±1. e, Facilmente si vede che y = e asintoto orizzontale bilatero, e quindi non vi sono asintoti obliqui. Il calcolo della derivata fornisce g (x) = cosh( x 1 x 4 + 1 ) x(x4 1 x ) x 8 + x 4 + 1, da cui si vede facilmente che in si ha un minimo assoluto, e nei punti x 1, = ± 1 + si hanno massimi assoluti. Il codominio pertanto e l intervallo [ 1 e, g( 1 + )] [ 1.175,.86], grazie a ben noti teoremi. e 11
La funzione h e simmetrica rispetto all asse x = π, per cui si ha π π h(x)dx = h(x)dx. Mediante la sostituzione t = tan x, si puo scrivere sin x = t 1 + t, dx = 1 1 + t dt, con t che varia tra e +, per cui l integrale da calcolare diviene π M sin dx = lim x M + [ ] M t = lim arctan( ) M + + t dt = π. Prova scritta del 1/9/1 Si studi il comportamento della serie n=1 ( ) x 1, n(n + ) al variare di x in IR. Si puo calcolare la somma quando x = 1? Si cerchino tutti gli asintoti della funzione definita da f(x) = ln(e x + x ), nel suo campo di esistenza. Data la funzione h(t) = t, definita per t, si ponga L(x) = x+1 x 1 + h (t) dt per ogni x >, e si trovi l estremo superiore dei valori L(x). Qual e il significato del risultato trovato? Soluzioni compito 1/9/1 1
La serie data e senz altro a termini positivi. Per x = il termine generale e identicamente 1, e quindi la serie diverge. Per x < il termine generale non e infinitesimo, quindi ancora la serie diverge. Per x > il termine generale e infinitesimo, e l ordine e x, come si deduce facilmente. Allora, per confronto asintotico, la serie converge se e solo se x > 1, ossia se e solo se x > 1. Per x = 1 la serie dunque converge: per calcolare la somma, si puo osservare che si ha 1 n(n + ) = 1 ( 1 n 1 n + ) = 1 ( 1 n 1 n + 1 + 1 n + 1 1 n + ) : si vede subito allora che, per x = 1, la serie risulta somma di due serie telescopiche, 1 ( 1 1 ) e 1 ( 1 1 ). Sommando a partire da 1, la prima converge a 1 e n n+1 n+1 n+ la seconda a 1; quindi la somma della serie data (per x = 1) e. 4 4 La funzione f e definita e continua su tutto IR, dunque non presenta asintoti verticali. Svolgendo i limiti agli estremi, si ottiene lim f(x) = +, lim x + f(x) =, x quindi non esistono asintoti orizzontali. Per quanto riguarda gli eventuali asintoti obliqui, abbiamo f(x) lim x + e x + x ln e x + x = ln, x = lim x + avendo adoperato la regola di L Hospital e il principio di sostituzione degli infiniti. Si ha poi lim (f(x) x ln ) = lim log ex + x =, x + x + x per cui la funzione f ammette asintoto obliquo destro, di equazione y = x ln. Inoltre risulta f(x) lim x e x + x ln e x + x = 1, x = lim x + in base alla Regola di L Hospital e al principio di sostituzione degli infinitesimi. Infine lim (f(x) x) = lim log ex + x =, x x e x ancora in base al principio di sostituzione degli infinitesimi. Dunque f ammette anche asintoto obliquo sinistro, e la sua equazione e y = x. 1 + 1 t Chiaramente, risulta L(x) = x+1 dt: l integranda esiste ed e continua per x >, e quindi l integrale ha certamente senso. Detta H(t) una x qualunque primitiva della funzione integranda (ossia H (t) = L(x) = H(x + 1) H(x), e quindi L (x) = 1 1 + 1 t ), si ha allora 1 + 1 x + 1 1 + 1 x.
Un espressione esplicita per H e H(t) = 1 log( t + 1 + t) 1 log( t + 1 t) + t(t + 1) : tale scelta comporta H() =. Per x positiva, si vede facilmente che L e negativa, e quindi L e decrescente: dunque l estremo superiore di L coincide con il limite per x tendente a, cioe H(1).956. Il significato di tale risultato e che la curva grafico della funzione h (basata su intervalli di ampiezza 1) ha lunghezza massima all inizio, ossia se si parte dal valore minimo della x. 14