Lezione n.1 Definizione di circuito, delle grandezze circuitali e classificazione dei bipoli 1. Definizione di circuito elettrico 2. Bipolo e relazione caratteristica di un bipolo 3. Corrente elettrica 4. Tensione elettrica e potenziale elettrico 5. Potenza elettrica 6. Classificazione dei bipoli 6.1 Bipoli controllati in tensione e controllati in corrente 6.2 Bipoli statici e bipoli dinamici 6.3 Bipoli passivi e bipoli attivi 6.4 Bipoli lineari Tag: circuito elettrico, bipolo, intensità di corrente (corrente), tensione, potenziale elettrico, differenza di potenziale elettrico, relazione caratteristica, leggi di Kirchhoff, terminali, morsetti, circuito elettrico, potenza elettrica assorbita e generata, energia elettrica, Watt, Joule, bipoli passivi e attivi, bipoli statici e dinamici, bipoli lineari e non lineari, bipoli controllati in tensione ed in corrente, bipoli tempo invarianti e tempo varianti, convenzione del generatore e dell utilizzatore, curva caratteristica di un bipolo, principio di sovrapposizione degli effetti Corso di Elettrotecnica Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 2012/13 1/10
1. Definizione di circuito elettrico Il circuito elettrico è un modello di un sistema fisico elettromagnetico. In generale un sistema elettromagnetico è descritto dalle equazioni di Maxwell e dalle relazioni costitutive dei mezzi presenti nel sistema. In particolari casi, sotto opportune condizioni, il sistema si può descrivere in maniera semplificata utilizzando un insieme di equazioni algebrico-differenziali che si derivano dalle equazioni di Maxwell utilizzando opportune ipotesi. Tale approccio da luogo ad un modello del sistema che chiamiamo circuito elettrico. Le equazioni che descrivono il sistema sono quella della teoria dei circuiti. Da un punto di vista fisico un circuito si presenta come una connessione di sistemi detti componenti elettrici (o elettronici). Tali sistemi possono essere realizzati in diversi modi, forme, dimensioni e composizione. Ogni sistema è collegato agli altri attraverso almeno due conduttori supposti filiformi che chiamiamo terminali. Ogni terminale sarà quindi collegato dal una parte al sistema e dall altra avrà un morsetto che viene utilizzato per collegarlo agli altri elementi. Nella parte introduttiva del corso esamineremo sistemi con solo due terminali, ma poi vedremo che si possono considerare anche sistemi a più terminali come il trasformatore o i doppi bipoli. Le principali grandezze elettriche di interesse in un circuito sono le intensità delle correnti elettriche nei terminali dei componenti e le tensioni elettriche che si stabiliscono tra gli stessi. Tali grandezze sono variabili nel tempo. In sintesi la possibilità di avere un approccio circuitale ad un sistema elettrico dipende dalla possibilità di definire ai morsetti di ogni suo sistema costituente una tensione elettrica e di assicurarsi che la somma delle correnti entranti (o uscenti) da ogni sistema sia nulla. Il funzionamento di un circuito dipende da due aspetti: la natura di ogni sistema costituente il circuito e il modo in cui sono connessi tra loro tutti i sistemi. Il primo aspetto ci serve a scrivere le relazioni caratteristiche dei sistemi, mentre il secondo aspetto ci serve a scrivere le leggi di Kirchhoff. L insieme di tutte queste equazioni rappresenta il modello matematico che descrive il funzionamento di ogni circuito. 2. Bipolo e relazione caratteristica di un bipolo Il bipolo è un sistema elettrico dotato di due terminali terminati da due morsetti attraversati da due correnti uguali (verso e valore), tra cui è possibile definire una tensione. Il simbolo del bipolo è quello di Fig.1a. Siccome sia la corrente i ( che la tensione ( v devono avere necessariamente un verso, ogni bipolo avrà un verso per la corrente ed uno per la tensione. Quando i versi applicati sono opposti (Fig. 1b), si dice che si è fatta la convenzione dell utilizzatore; viceversa, quando i segni sono concordi (Fig.1c), si dice che si è fatta la convenzione del generatore. Corso di Elettrotecnica Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 2012/13 2/10
Fig.1a Simbolo del bipolo. i( i( v( v( Fig.1b Convenzione dell utilizzatore. Fig.1c Convenzione del generatore. Ogni bipolo è caratterizzato da un legame funzionale tra corrente e tensione. Caratterizzare un bipolo significa assegnare la relazione funzionale tra i ( e v (. Tale relazione funzionale prende il nome di relazione caratteristica e la indichiamo nel modo seguente: ( = r( i( oppure i ( g( v(, v, =, t D. (1) dove D rappresenta un intervallo temporale di definizione delle relazioni funzionali introdotte. Nel futuro sottintenderemo l appartenenza della variabile temporale a questo intervallo di definizione. La variabile temporale compare nella funzione r (). o g (). in modo esplicito perché in generale la relazione caratteristica può variare nel tempo. In questo caso parleremo di bipoli tempo-varianti. Nel caso contrario, il caso che noi utilizzeremo in tutto il corso, i bipoli si dicono tempo-invarianti e le (1) diventano: v ( = r( i( t ) oppure ( g( v( t ) i =. (2) Le relazioni caratteristiche (2) (ma anche le (1)), e quindi le funzioni r(.) ed g(.) hanno un segno che dipende dalla convenzione (generatore o utilizzatore) fatta sul bipolo a cui si riferiscono. Vedremo infatti che quando introdurremo le caratteristiche di ogni singolo tipo di bipolo (Lezione. 2) ciò che cambia nella relazione caratteristica nel passare da una convenzione ad un'altra è un segno davanti alla funzione. Corso di Elettrotecnica Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 2012/13 3/10
3. Intensità di corrente elettrica La carica elettrica è una grandezza fondamentale in fisica. Si misura in Coulomb (C). Le cariche elettriche in movimento costituiscono la intensità di corrente elettrica i t, espressa dalla relazione ( ) ( dq i ( =, (3) dt dove q ( rappresenta la quantità di carica netta che nel tempo t attraversa una superficie aperta S come quella di Fig. 2. La intensità di corrente verrà chiamata nel seguito semplicemente la corrente! Nella definizione della corrente (3) è necessario indicare quale verso di attraversamento della superficie S abbiamo considerato. Da questa scelta dipende il verso che attribuiamo alla corrente che stiamo considerando. La corrente ha un verso. Non basta far riferimento ad una corrente se non si specifica il suo verso di attraversamento del conduttore. Non c è nessun motivo per preferire un verso ad un altro: la scelta è del tutto arbitraria, basta specificarla sempre. Fissare un verso alla corrente corrisponde a stabilire il segno del valore della corrente i( in ogni istante che si determinerà con quella scelta di verso fatta. S Fig.2 Superficie attraversata da cariche elettriche. Dalla (3), si definisce l unità di misura della corrente, chiamata Ampère (A), corrispondente a Coulomb su secondi. La corrente è soggetta ad un principio di continuità: attraverso ogni superficie chiusa, la somma delle correnti entranti (o uscenti) è nulla (nella somma si devono considerare anche le correnti di spostamento di cui parleremo più avanti). Se, una volta stabilita la superficie chiusa ed il suo verso di attraversamento (correnti entranti o uscenti), avrò che alcune correnti potrebbero avere il loro verso discorde con quello scelto per l attraversamento della superficie dovrò considerare nella somma quella corrente con il segno negativo. Nei sistemi reali la corrente fluisce in conduttori che hanno sezione finita. Nella teoria dei circuiti, dove non si tiene conto della dimensione fisica del sistema, si suppone che i conduttori siano filiformi; si trascura cioè la sezione finita del conduttore e si assume che la corrente di valore finito attraversi conduttori privi di dimensione. Per indicare il verso della corrente che fluisce nei conduttori del nostro Corso di Elettrotecnica Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 2012/13 4/10
circuito, usiamo una freccia come in Fig.3: se risulta che, per il verso scelto della freccia il valore della corrente é positivo, allora vorrà dire che ho indicazione di cariche positive che si muovono nel verso scelto. Comunque tale deduzione è superflua ai fini della teoria dei circuiti, nella quale non siamo interessati a conoscere il moto reale delle cariche. i( Fig.3 Corrente in un conduttore filiforme. 4. Tensione elettrica e potenziale elettrico La tensione ( v è una grandezza elettrica supposta esistente tra due punti dello spazio. Nel nostro studio, questi due punti sono i due morsetti di un bipolo (definiti nel prossimo paragrafo). Se il campo elettrico è irrotazionale in un dominio dello spazio (questo accade ad esempio quando non c è variazione di campo magnetico in quel regione di spazio) possiamo dire che la tensione rappresenta il lavoro necessario per spostare una carica unitaria da un punto all altro di tale dominio. Indichiamo tali punti con A e B, come in Fig.4. In altre parole quando il campo elettrico è irrotazionale il lavoro compiuto per spostare una carica unitaria da un punto A ad un punto B è indipendente dal percorso scelto tra i due punti. In questo caso possiamo introdurre una funzione scalare φ detta potenziale elettrico definita in ogni punto del dominio in cui si trovano A e B e possiamo definire la tensione tra A e B come una differenza di potenziale (d.d.p.) secondo la relazione v AB ( φ ( φ ( =, (4) A B dove φ è il potenziale elettrico nel punto indicato con il pedice corrispondente. La tensione, e quindi il potenziale elettrico, si misura in Volt (V). Graficamente la tensione esistente tra due punti nello spazio si indica con una freccia come in Fig. 4. Poiché la tensione è definita utilizzando il lavoro di uno spostamento di carica da un punto ad un altro, è necessario introdurre per essa un verso. Questo corrisponderà al verso della freccia. La tensione v con il verso come rappresentato in Fig.4, è AB quella relativa allo spostamento di una carica unitaria dal punto A al punto B. Il potenziale in A è maggiore di quello in B se v > 0. Corso di Elettrotecnica Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 2012/13 5/10 AB
B A v AB Fig. 4 Verso della tensione in relazione allo spostamento della carica unitaria. 5. Potenza elettrica Cominciamo con l introdurre l energia elettrica assorbita, che chiamiamo w (, da un bipolo nell intervallo di tempo (0;; tale grandezza è misurata in Joule (J). Se w ( nell intervallo di tempo (0; è effettivamente assorbita dal bipolo risulta di segno positivo in caso contrario di segno negativo e potremmo dire che il bipolo ha ceduto energia verso l esterno nell intervallo di tempo (0;. La potenza elettrica assorbita p( corrisponde alla variazione d energia elettrica assorbita nell unità di tempo da un bipolo ed è data dalla relazione p ( dw( = (5) dt ed è misurata in Watt (W) che equivale a Joule su secondi. La potenza assorbita descrive in che modo l energia che il bipolo stà assorbendo varia nel tempo. Se la potenza assorbita è positiva vorrà dire che assistiamo ad un aumento dell energia immagazzinata dal bipolo (energia elettrostatica o magnetica). Se la potenza assorbita è negativa vorrà dire che l energia immagazzinata del componente stà diminuendo perché stà fluendo verso l esterno del sistema mettendola a disposizione degli altri componenti o dell ambiente. Quando la potenza (assorbita o erogata) è nulla vuol dire che non c è variazione di energia e che il bipolo non scambia energia con l esterno ed eventualmente immagazzina una energia costante (elettrostatica o magnetica). Si può dimostrare che in un bipolo si ha: p ( = v( i(. (6) Corso di Elettrotecnica Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 2012/13 6/10
e che, qualora sia stata fatta la convenzione dell utilizzatore sul bipolo, la potenza definita dalla (6) è una potenza assorbita; viceversa, qualora si usi la convenzione del generatore, la potenza che calcolo è quella generata o erogata dal bipolo. 6. Classificazione dei bipoli In questo paragrafo ci occuperemo di fare una classificazione dei bipoli. A tale scopo introdurremo alcune proprietà che caratterizzano ogni bipolo e che lo fanno appartenere ad una classe piuttosto che un'altra. 6.1 Bipoli tempo-varianti e tempo-invarianti Definiamo bipoli tempo-varianti quelli per cui vale la caratteristica: ( = r( i( oppure i ( g( v(, v, =. (7) Nel caso contrario, il caso che noi utilizzeremo in tutto il corso, i bipoli si dicono tempo-invarianti e le (7) diventano: v ( = r( i( t ) oppure ( g( v( t ) i =. (8) In altre parole il bipolo si dice tempo invariante quando le sue caratteristiche elettromagnetiche non variano nel tempo. La tempo invarianza è sempre riferita a l intervallo di tempo in cui studiamo quel particolare sistema. Un resistore, un condensatore e un induttore tempo invarianti sono caratterizzati dall avere, nel range temporale in cui li utilizziamo, rispettivamente la resistenza, la conduttanza e l induttanza costanti rispetto al tempo. 6.2 Bipoli controllati in tensione e bipoli controllati in corrente Definiamo bipoli controllati in tensione i bipoli per i quali possiamo scrivere la relazione caratteristica con la tensione variabile indipendente: ( g( v( t ) i =. (9) Viceversa: definiamo bipoli controllati in corrente i bipoli per i quali possiamo scrivere: ( r( i( t ) v =. (10) Corso di Elettrotecnica Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 2012/13 7/10
Nel primo caso possiamo dire che per ogni valore della tensione esiste un solo valore della corrente. Viceversa, nel secondo caso. Non è detto che le funzioni g (). ed r (.) siano invertibili. Nel caso in cui questo accadesse potremmo scrivere:.1 (.) r (.) g =. (11) Esistono bipoli per i quali la (11) è verificata e che quindi sono controllati sia in tensione che in corrente, ad esempio, come vedremo nella prossima lezione, i resistori lineari. 6.3 Bipoli statici e bipoli dinamici Si definisce bipolo statico un bipolo nel quale la tensione (la corrente) in un istante dipende dalla corrente (dalla tensione) nello stesso istante. In questo caso la r (). (o g (). ) della (2) è una funzione in cui non compaiono derivate. Per i bipoli statici è sempre possibile considerare una curva caratteristica. Questa è la curva nel piano i - v relativa alla funzione r (). (o g (). ). In Fig. 5 abbiamo rappresentato un esempio di resistore non lineare. Sono bipoli statici il resistore i generatori ideali, gli interruttori. v i Fig. 5 Grafico della funzione caratteristica di un resistore (in questo caso non lineare). Si definisce bipolo dinamico un bipolo nel quale la tensione (la corrente) in un istante dipende dalla corrente (dalla tensione) nello stesso istante e negli istanti precedenti (o almeno da parte di questi) ad esso, cioè dipende dalla storia passata. In questo caso la r (). (o g (). ) della (2) è una funzione in cui compaiono derivate. In questo caso non possiamo utilizzare una curva caratteristica. Corso di Elettrotecnica Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 2012/13 8/10