Corso di Macroeconomia (progredito) - Prof. Graziella Bertocchi Esempi di esercizi 1. Consideriamo un economia descritta dalla funzione di produzione Y = F(K, L) = K 1/3 L 2/3 dove Y e il prodotto aggregato, K e il capitale aggregato e L e la forza lavoro. La popolazione e costante e non c e progresso tecnologico. Il tasso di deprezzamento del capitale e pari al 5% annuo. Il saggio di risparmio e pari al 30% del prodotto aggregato annuo. (a) Qual e la funzione di produzione per lavoratore y = f(k)? Derivate l equazione di accumulazione di capitale per lavoratore. Fornite anche un illustrazione grafica. (b) Qual e lo stock di capitale per lavoratore di stato stazionario? Quantificate la vostra risposta e fornitene una rappresentazione grafica. Calcolate anche il livello di reddito per lavoratore e l investimento per lavoratore nello stato stazionario. (c) Discutete brevemente le proprieta del modello di Solow. 2. Considerate il seguente modello con agente rappresentativo a orizzonte infinito. La funzione di 0. 5 per lavoratore al tempo t. La funzione di utilita a ogni t e data da u(c t ) = log c t. Il tasso di ammortamento δ e pari a 0.20, il tasso di sconto β e pari a 0.6, il tasso di crescita della popolazione n e nullo. lavoro. Descrivete il problema del consumatore per ogni t indicando i vincoli di bilancio. (b) Descrivete il problema del pianificatore centrale per ogni t, indicando il vincolo delle risorse. Confrontate il problema del pianificatore e quello del consumatore. (c) Considerate ora un governo che finanzia un programma di trasferimenti pubblici θ t con una tassa τ t a ogni t. Studiate l effetto dell attivita governativa sull economia adattando le vostre risposte ai punti (a) e (b). 3. Considerate il seguente modello con generazioni successive. La funzione di produzione e data t, e 0<<1. La funzione di utilita a ogni t e data da u(c 1 t ) + u(c 2 1 di ammortamento e pari a δ, con 0<δ<1, e il tasso di crescita della popolazione e nullo, ovvero n=0. (b) Derivate l equazione di equilibrio sul mercato dei capitali e l equazione alle differenze finite in 4. Considerate il seguente esempio numerico del modello di crescita di Solow. La funzione di 0. 3 per lavoratore al tempo t. Il tasso di risparmio s e pari allo 0.3, il tasso di ammortamento δ e pari a 0.20, il tasso di crescita della popolazione n e pari a 0.10. Non c e progresso tecnologico.
(a) Derivate l equazione alle differenze finite che descrive l accumulazione di capitale. Disegnate il corrispondente diagramma di fase. Calcolate il valore del capitale per lavoratore nello stato stazionario positivo. (b) Per lo stato stazionario positivo, calcolate la condizione di stabilita. Illustrate graficamente il vostro risultato. (c) Calcolate il valore del capitale per lavoratore che corrisponde alla Regola Aurea. Confrontando il risultato con il risultato del punto (a), indicate se questa economia soffre di accumulazione eccessiva di capitale. Anche in questo caso fornite una rappresentazione grafica del risultato. 5. Considerate il seguente modello con generazioni successive. La funzione di produzione e data t, e 0<<1. La funzione di utilita a ogni t e data da u(c 1 t ) + u(c 2 1 di ammortamento e pari a δ, con 0<δ<1, e il tasso di crescita della popolazione e pari a n, con n>0. (b) Derivate l equazione di equilibrio sul mercato dei capitali e l equazione alle differenze finite in 6. Considerate il seguente modello con agente rappresentativo a orizzonte infinito. La funzione di 0. 5 per lavoratore al tempo t. La funzione di utilita a ogni t e data da u(c t ) = log c t. Il tasso di ammortamento δ e pari a 0.20, il tasso di sconto β e pari a 0.6, il tasso di crescita della popolazione n e nullo. lavoro. Descrivete il problema del consumatore per ogni t indicando i vincoli di bilancio. (b) Descrivete il problema del pianificatore centrale per ogni t, indicando il vincolo delle risorse. Confrontate il problema del pianificatore e quello del consumatore. (c) Considerate ora un governo che finanzia un programma di spesa pubblica g t con una tassa τ t a ogni t. studiate l effetto dell attivita governativa sull economia adattando le vostre risposte ai punti (a) e (b). 7. Considerate il seguente modello con generazioni successive. La funzione di produzione e data t, e 0<<1. La funzione di utilita a ogni t e data da u(c 1 t ) + u(c 2 1 di ammortamento δ e pari a 0.20 e il tasso di crescita della popolazione n e pari a 0.10.
(b) Derivate l equazione di equilibrio sul mercato dei capitali e l equazione alle differenze finite in 8. Un economia descritta dal modello di crescita di Solow ha la funzione di produzione data da y = k 1/2, dove y e il prodotto per lavoratore e k e il capitale per lavoratore. Nell economia c e un tasso positivo n di crescita della popolazione e un tasso positivo di progresso tecnologico g. Il tasso di ammortamento δ e il tasso di risparmio s sono compresi tra 0 e 1. (a) Indicate l equazione dell accumulazione di capitale. Calcolate il valore di stato stazionario di k e di y in funzione di s, n, g e δ. Fornite una rappresentazione grafica dei vostri risultati. (b) Descrivete l effetto sul valore di stato stazionario di k di un aumento del tasso di crescita della popolazione n. Anche in questo caso fornite una rappresentazione grafica dei vostri risultati. (c) Descrivete l effetto sul valore di stato stazionario di k di un aumento del tasso di risparmio s. Anche in questo caso fornite una rappresentazione grafica dei vostri risultati. 9. Considerate il seguente esempio numerico del modello di crescita di Solow. La funzione di 0. 3 per lavoratore al tempo t. Il tasso di risparmio s e pari allo 0.20, il tasso di ammortamento δ e pari a 0.10, il tasso di crescita della popolazione n e pari a 0.05. Non c e progresso tecnologico. (a) Derivate l equazione alle differenze finite che descrive l accumulazione di capitale. Disegnate il corrispondente diagramma di fase. Calcolate il valore del capitale per lavoratore nello stato stazionario positivo. (b) Per lo stato stazionario positivo, calcolate la condizione di stabilita. Illustrate graficamente il vostro risultato. (c) Calcolate il valore del capitale per lavoratore che corrisponde alla Regola Aurea. Confrontando il risultato con il risultato del punto (a), indicate se questa economia soffre di accumulazione eccessiva di capitale. Anche in questo caso fornite una rappresentazione grafica del risultato. 10. Si consideri il seguente modello con produzione alla Diamond (1965). La funzione di produzione e' data da y t = A k t 0,5. Le preferenze sono date da log c t 1 + b log c t+1 2. Tutte le variabili sono espresse in forma intensiva. y e' il prodotto, k e' lo stock di capitale, c 1 e c 2 sono il consumo nel primo e nel secondo periodo. A e' un parametro tecnologico di scala. La popolazione e' costante. Il saggio di deprezzamento del capitale e' pari a 1. (a) Ponendo A=1, calcolate saggio di interesse e salario, derivate la funzione del risparmio e la condizione di equilibrio nel mercato del capitale. Tracciate il corrispondente diagramma di fase e calcolate i valori stazionari del capitale per lavoratore. (b) Sia ora A una funzione a gradini alla Azariadis-Drazen (1990) tale che 0.5 per k < 0.0625 A = 2.0 per k > 0.0625 Si ripeta l'analisi richiesta al punto (a) e si interpretino i risultati ottenuti.
11. Considerate il seguente modello con generazioni sovrapposte. La funzione di produzione e data da y t = k t, dove 0< <1, y t e il prodotto per lavoratore al tempo t e k t e il capitale per lavoratore al tempo t. La funzione di utilita a ogni t e data da u(c 1 t ) + u(c 2 1 t+1 ) = log c t + β log c 2 t+1. Il tasso di ammortamento δ e il fattore di sconto β sono tra 0 e 1 e il tasso di crescita della popolazione n e nullo. Il governo emette a ogni tempo t debito pubblico d t onde ripagare il debito pubblico d t-1 emesso al tempo t-1. (a) Ricavate il vincolo di bilancio del governo e l equazione di equilibrio sul mercato dei capitali, tenendo conto delle soluzioni ottimali di consumatore e impresa. Descrivete il sistema di due equazioni alle differenze finite che determina la dinamica del modello. (b) Calcolate gli stati stazionari (k,d) quando il debito e pari a 0. (c) Calcolate lo stato stazionario (k,d) quando il debito e positivo. 12. Considerate il seguente modello con generazioni successive. La funzione di produzione e data da y t = A t k t, dove dove 0< <1, y t e il prodotto per lavoratore al tempo t, k t e il capitale per lavoratore al tempo t e A t e un fattore di scala. La funzione di utilita a ogni t e data da u(c 1 t ) + β u(c 2 1 t+1 ) = log c t + β log c 2 t+1, dove 0< β< 1. Il tasso di ammortamento δ e pari a 1 e il tasso di crescita della popolazione n e nullo. (a) Sia A t = 1. Descrivete il problema dell impresa per ogni t e ricavate i saggi di rendimento di capitale e lavoro. Descrivete il problema del consumatore per ogni t indicando i vincoli di bilancio e ricavate (b) Derivate l equazione di equilibrio sul mercato dei capitali, disegnate il corrispondente diagramma di fase e calcolate i valori stazionari di k t. (c) Supponete ora che A t = k t 2-. Descrivete il problema dell impresa, assumendo che l impresa non internalizzi l esternalita. Derivate l equazione di equilibrio sul mercato dei capitali, disegnate il corrispondente diagramma di fase e commentate i vostri risultati. 13. Considerate il seguente modello con generazioni successive ed eredita. Ogni individuo vive per un solo periodo. La funzione di utilita per ogni individuo nato al tempo t e data da u(c t, b t+1 ) = log c t + log b t+1, dove c t e il consumo dell individuo e b t+1 e l eredita lasciata al figlio. La funzione di produzione e data da y t = b t 0.5, dove y t e il prodotto per individuo al tempo t e b t e il capitale-eredita per individuo al tempo t. Il tasso di ammortamento e tra 0 e 1 e il tasso di crescita della popolazione e nullo. (a) Descrivete il problema dell impresa per ogni t e ricavate i saggi di rendimento di capitale e lavoro. Descrivete il problema del consumatore per ogni t indicando il vincolo di bilancio e ricavate la funzione di risparmio-eredita ottimale. (b) Derivate l equazione di equilibrio sul mercato dei capitali, fornite una definizione dell equilibrio competitivo dinamico dell economia di mercato e calcolate i valori stazionari del capitale-eredita per individuo. (c) Discutete come questo modello puo essere modificato onde studiare la disuguaglianza e gli effetti redistributivi della politica fiscale.