Esercizio 1 Nel piano Oxy di una terna inerziale Oxyz un disco circolare omogeneo e pesante D, di centro C, raggio a e massa m, rotola senza strisciare e- sternamente a una guida circolare fissa γ di centro O e raggio 4a. In C è incernierata un asta omogenea BC, di lunghezza 5a e massa m, il cui secondo estremo B scorre senza attrito lungo l asse verticale Oy. Una molla ideale di costante elastica k collega B con O. Reazioni vincolari concentrate agiscono in A, C e B. Usare l angolo ϕ R in figura per determinare del sistema: Prova scritta di meccanica razionale del 31.08.01 (a le equazioni cardinali statiche necessarie e sufficienti per l equilibrio; (b gli equilibri, tramite le equazioni precedenti; (c le forze reattive in A, C e B per tutti gli stati di quiete. Esercizio Nel piano (x, y R è dato il sistema di equazioni differenziali ordinarie: e se ne vogliono determinare: (a i punti fissi; ẋ = 3y + 6x ẏ = y + 3x + (b le caratteristiche di stabilità dei punti fissi; (c se la funzione V (x, y = y3 6 3xy + 3x y, (x, y R, convenientemente adattata se necessario, può essere usata come funzione di Liapunov per provare la stabilità di qualche punto fisso. 1
Esercizio 3 Un disco circolare non omogeneo D, di centro Q, raggio a e massa m, ha il centro fissato rispetto ad un telaio rigido quadrato ABCD, di massa trascurabile, il cui lato AD può scorrere liberamente lungo l asse verticale Oy di una terna inerziale Oxyz. Telaio e disco si mantengono nel piano Oxy, soggetti al peso e a una molla ideale di costante elastica k che collega il vertice B con l origine. La distanza fra il baricentro G e il centro Q del disco vale αa, con α (0, 1, mentre il momento d inerzia di D rispetto all asse Gz si scrive γma, con γ (0, 1. I vincoli si assumono ideali. Introdotti i parametri lagrangiani s, φ R in figura, determinare del sistema: (a l espressione dell energia cinetica; (b gli equilibri e le proprietà di stabilità degli stessi; (c le equazioni pure del moto; (d le frequenze e i modi normali delle piccole oscillazioni attorno ad un equilibrio stabile, individuando le corrispondenti coordinate normali; (e le equazioni del moto nell ipotesi che il disco sia vincolato a ruotare secondo la legge φ = ωt, con ω > 0 costante, e il telaio sia sottoposto a una resistenza viscosa in A, con costante di frizione β; (f la soluzione stazionaria delle equazioni considerate in (e e la corrispondente pulsazione ω di risonanza (che rende massima l ampiezza del moto di regime. Discutere inoltre il caso limite di α = 0 (equilibratura dinamica del disco rispetto al telaio.
Soluzione dell esercizio 1 (a Equazioni cardinali della statica necessarie e sufficienti per l equilibrio Il sistema consta di due parti rigide: il disco D e l asta BC. La condizione necessaria e sufficiente per l equilibrio, nell assunto usuale che le due parti rigide siano perfette, è quindi data dalle equazioni cardinali statiche per il disco e per l asta. Poichè il sistema giace nel piano Oxy, che contiene anche le sollecitazioni attive, si può ritenere che tutte le reazioni vincolari abbiano componenti nulle lungo Oz. Su D agiscono: una reazione vincolare Φ A = Φ Ax ê 1 +Φ Ay ê in A, associata all interazione con la guida γ. Le componenti della reazione possono essere qualsiasi a causa della condizione di puro rotolamento; una reazione vincolare Φ C = Φ Cx ê 1 + Φ Cy ê, anche questa di componenti arbitrarie, applicata nel centro C e dovuta al contatto con l asta BC; il sistema delle forze peso, che equivale al peso totale mgê applicato nel centro di simmetria (e baricentro C. L asta BC è invece soggetta: a una forza reattiva Φ C in C, reazione della forza Φ C che BC esercita su D nello stesso punto; a una reazione vincolare Φ B ê 1 in B, imputabile al contatto liscio con l asse Oy; al sistema delle forze peso, equivalente al peso complessivo mgê applicato nel punto medio M dell asta omogenea; alla forza elastica k(b O agente in B. Una volta individuate le sollecitazioni attive e reattive applicate alle due parti rigide, è immediato scrivere le equazioni cardinali statiche corrispondenti. Prima equazione cardinale statica per il disco D In condizioni statiche la somma delle forze esterne, attive e reattive, che agiscono sul disco deve annullarsi: Φ A + Φ C mgê = 0 per cui sussistono le equazioni scalari: Φ Ax + Φ Cx = 0 Φ Ay + Φ Cy mg = 0. (1 Prima equazione cardinale statica per l asta BC La prima equazione cardinale statica per l asta impone che la somma delle forze esterne agenti sull asta BC sia uguale a zero in condizioni statiche: Φ C + Φ B ê 1 mgê k(b O = 0. Poichè C O = B C = 5a, il triangolo OBC è chiaramente isoscele con vertice C e consente di scrivere il vettore posizione di B come: B O = 5a cos ϕ ê = 10a cos ϕ ê 3
per cui la forza elastica agente in B assume la forma: e l equazione cardinale diventa: k(b O = 10ka cos ϕ ê Φ Cx ê 1 Φ Cy ê + Φ B ê 1 mgê + 10ka cos ϕ ê = 0. Basta proiettare lungo gli assi coordinati per ottenere il sistema di equazioni scalari: Φ Cx + Φ B = 0 Φ Cy mg + 10ka cos ϕ = 0. ( Seconda equazione cardinale statica per il disco D, con polo in C Il momento rispetto al polo C delle forze esterne applicate al disco deve risultare nullo: (A C Φ A + (C C ( mgê + Φ C = 0 vale a dire, notando che i punti O, A, C si mantengono sempre allineati: a( sin ϕ ê 1 + cos ϕ ê (Φ Ax ê 1 + Φ Ay ê = 0 ed infine: a( sin ϕ Φ Ay cos ϕ Φ Ax ê 3 = 0. Ne segue l unica equazione scalare: sin ϕ Φ Ay + cos ϕ Φ Ax = 0. (3 Seconda equazione cardinale statica per l asta BC, con polo in C Si richiede che il momento delle forze esterne agenti su BC sia nullo rispetto al polo C: (C C ( Φ C + (B C [Φ B ê 1 k(b O] + (M C ( mgê = 0. Avendosi poi: B C = 5a( sin ϕ ê 1 cos ϕ ê l equazione diventa: M C = B C = 5a ( sin ϕ ê 1 cos ϕ ê, 5a( sin ϕ ê 1 cos ϕ ê [Φ B ê 1 + 10ka cos ϕ ê ]+ + 5a ( sin ϕ ê 1 cos ϕ ê ( mgê = 0 4
ovvero: 5a( 10ka sin ϕ cos ϕ + Φ B cos ϕ ê 3 + 5a mg sin ϕ ê 3 = 0 ed è quindi riducibile alla sola equazione scalare: 5a ( 10ka sin ϕ cos ϕ + Φ B cos ϕ + 1 mg sin ϕ = 0. (4 Equazioni di equilibrio Le equazioni di equilibrio sono le equazioni scalari (1, (, (3 e (4: Φ Ax + Φ Cx = 0 Φ Cx + Φ B = 0 Φ Ay + Φ Cy mg = 0 Φ Cy mg + 10ka cos ϕ = 0 sin ϕ Φ Ay + cos ϕ Φ Ax = 0 10ka sin ϕ cos ϕ + Φ B cos ϕ + 1 mg sin ϕ = 0. (5 (b Equilibri Per determinare gli equilibri occorre ricavare una equazione pura di equilibrio eliminando le reazioni vincolari dalle equazioni cardinali statiche (5. Ricavando Φ Cx dalla seconda equazione e sostituendo l espressione nella quarta si perviene al sistema equivalente: Φ Cx = Φ Ax Φ Cy = mg Φ Ay Φ Cx = Φ B mg + Φ Ay mg + 10ka cos ϕ = 0 (6 sin ϕ Φ Ay + cos ϕ Φ Ax = 0 10ka sin ϕ cos ϕ + Φ B cos ϕ + 1 mg sin ϕ = 0. in modo che la quarta equazione porge l espressione esplicita di Φ Ay : mentre la prima e la terza implicano che sia: Φ Ay = mg 10ka cos ϕ (7 Φ B = Φ Ax. (8 5
Basta allora sostituire le relazioni (7 e (8 nella quinta e nella sesta delle equazioni (6 per ottenere le equazioni equivalenti: mg sin ϕ 10ka sin ϕ cos ϕ + cos ϕ Φ Ax = 0 10ka sin ϕ cos ϕ Φ Ax cos ϕ + 1 mg sin ϕ = 0 (9 e, sommando membro a membro, l equazione pura di equilibrio richiesta: 5 mg sin ϕ 0ka sin ϕ cos ϕ = 0. L equazione si riscrive come: ( mg 0ka sin ϕ 8ka cos ϕ = 0 ed ammette due radici definite incondizionatamente: e altre due definite e distinte dalle precedenti: ( mg ϕ = arccos 8ka a condizione che si abbia mg/8ka < 1. ϕ = 0 ϕ = π (10 = ϕ ϕ = ϕ (11 (c Reazioni vincolari per gli stati di quiete Poichè in nessuna configurazione di equilibrio risulta cos ϕ = 0, dalla seconda delle (9 si deduce: Φ Ax = 1 sin ϕ mg 10ka sin ϕ cos ϕ e di conseguenza ogni singola componente delle reazioni vincolari: Φ Ax = ( 1 mg 1 cos ϕ 10ka sin ϕ Φ Ay = mg 10ka cos ϕ ( 1 Φ Cx = mg 1 cos ϕ 10ka sin ϕ Φ Cy = mg mg + 10ka cos ϕ = mg + 10ka cos ϕ ( 1 Φ B = mg 1 cos ϕ 10ka sin ϕ. Siamo così in condizione di calcolare le reazioni vincolari concentrate per lo stato di quiete del sistema in ciascuna configurazione di equilibrio. 6 (1
Configurazione ϕ = 0 In questa configurazione le equazioni (1 forniscono le reazioni vincolari esterne: Φ A = (mg 10kaê ΦC = ( mg + 10kaê ΦB = 0. Configurazione ϕ = π Nella fattispecie si ha: Φ A = (mg + 10kaê ΦC = (mg + 10kaê ΦB = 0. Configurazione ϕ = ϕ, con cos ϕ = mg/8ka < 1 In questo caso si hanno le relazioni: Φ Ax = ( 1 mg 1 cos ϕ 10ka sin ϕ = 6ka sin ϕ Φ Ay = mg 10ka cos ϕ = mg 5 4 mg = 3 4 mg Φ Cx = 6ka sin ϕ Φ Cy = mg + 10ka cos ϕ = mg + 5 4 mg = 1 4 mg Φ B = 6ka sin ϕ per cui le reazioni vincolari richieste risultano: Φ A = 6ka sin ϕ ê 1 + 3 4 mg ê Φ C = 6ka sin ϕ ê 1 + 1 4 mg ê Φ B = 6ka sin ϕ ê 1. Configurazione ϕ = ϕ, con cos ϕ = mg/8ka < 1 Le reazioni vincolari sono uguali a quelle calcolate nella configurazione precedente, salvo che per la sostituzione ϕ ϕ : Φ A = 6ka sin ϕ ê 1 + 3 4 mg ê Φ C = 6ka sin ϕ ê 1 + 1 4 mg ê Φ B = 6ka sin ϕ ê 1. Soluzione dell esercizio (a Punti fissi I punti fissi sono le soluzioni costanti del sistema di equazioni differenziali, e si ottengono perciò risolvendo il sistema di equazioni algebriche: 0 = 3y + 6x 0 = y + 3x + 7
la prima delle quali consente di ricavare la y in funzione di x: y = x e sostituita nella seconda porge l equazione della sola x: x + 3x + = 0. Ne derivano le radici reali: x = 3 ± 9 4 ( ( = 3 ± 5 4 = 1/ dalle quali seguono i punti fissi richiesti: (x, y = (, 4 (x, y = ( 1/, 1. (b Stabilità dei punti fissi Per studiare le proprietà di stabilità dei punti fissi conviene ricorrere al teorema di analisi lineare, scrivendo il sistema nella forma normale: ẋ = 3y 6x e introducendo la notazione: ẏ = y + 3x + f(x, y = 3y 6x g(x, y = y + 3x +. Le derivate parziali prime delle funzioni a secondo membro valgono: f f (x, y = 6 x g g (x, y = 3 x (x, y = 3 y (x, y = y y e forniscono la matrice jacobiana: J(x, y = che va calcolata in ciascun punto fisso. ( 6 3 3 y 8
Punto fisso (x, y = (, 4 In questo caso la matrice jacobiana dei secondi membri diventa: ( 6 3 J(, 4 = 3 4 e i suoi autovalori si ricavano risolvendo l equazione caratteristica: 0 = det [ J(, 4 λi ] ( 6 λ 3 = det = (λ + 6(λ + 4 9 = λ + 10λ + 15 3 4 λ che porge: λ 1, = 10 ± 100 4 15 = 10 ± 40 = 5 ± 10. Poichè entrambi gli autovalori hanno parte reale negativa, il teorema di analisi lineare assicura la stabilità asintotica del punto fisso. Punto fisso (x, y = ( 1/, 1 Nella fattispecie si ha la matrice jacobiana: con equazione caratteristica: 0 = det [ J( 1/, 1 λi ] = det e autovalori: J( 1/, 1 = λ 1, = 5 ± 5 4 ( 15 dei quali uno positivo e uno negativo: λ 1 = 5 + 85 ( 6 3 3 1 ( 6 λ 3 = (λ + 6(λ 1 9 = λ + 5λ 15 3 1 λ = 5 ± 85 > 0 λ = 5 85, < 0. La presenza di un autovalore con parte reale positiva implica l instabilità del punto fisso. (c Funzione di Liapunov La funzione V presenta in (x, y = (, 4 un minimo relativo proprio. Risulta infatti: V V (x, y = 3y + 6x = f(x, y x y (x, y = y 3x = g(x, y per cui i punti critici di V coincidono esattamente con i punti fissi del sistema di equazioni differenziali. La matrice hessiana di V vale inoltre: V V (x, y (x, y ( x y x 6 3 H V (x, y = V = J(x, y = V 3 y (x, y (x, y x y y 9
e in (x, y = (, 4 si riduce alla forma già calcolata: J(, 4 = ( 6 3 3 4 i cui autovalori risultano ovviamente opposti a quelli determinati per J(, 4: λ 1 = 5 + 10 λ 1 = 5 10 e sono quindi entrambi positivi. La funzione: ( V (x, y V (, 4 = V (x, y 8 3 = y3 6 3xy + 3x y + 8 3 è pertanto definita positiva in un intorno del punto fisso (x, y = (, 4. La derivata di Lie vale invece: V = V x ẋ + V y ẏ = f(x, yẋ g(x, yẏ = f(x, y g(x, y 0 (x, y R e si annulla unicamente nei punti fissi: V (x, y = 0 (x, y = (, 4, ( 1/, 1 e risulta certamente definita negativa in un intorno convenientemente piccolo di (x, y = (, 4. Il punto fisso è quindi asintoticamente stabile per il teorema di Liapunov di stabilità asintotica. Soluzione dell esercizio 3 (a Energia cinetica Poichè la massa del telaio è trascurabile, l energia cinetica del sistema si riduce a quella del solo disco D. Data l assenza di punti fissi, si deve ricorrere al teorema di König. Il vettore posizione del baricentro G si scrive: G O = A O + Q A + G Q = asê + Q A + αa sin φ ê 1 αa cos φ ê dove il vettore Q A si mantiene costante a causa del moto traslatorio del telaio. Derivando in t si ottiene così la velocità istantanea: Ġ = aṡê + αa cos φ φ ê 1 + αa sin φ φ ê = αa cos φ φ ê 1 + a(α sin φ φ ṡê di modulo quadrato: Ġ = a [ α cos φ φ + (α sin φ φ ṡ ] = a (α cos φ φ + α sin φ φ + ṡ α sin φ φṡ = = a (α φ + ṡ α sin φ φṡ. 10
Il teorema di König porge allora: T = m Ġ + 1 ID Gz ω D = ma (α φ + ṡ α sin φ φṡ + 1 γma φ = = ma [ (α + γ φ + ṡ α sin φ φṡ ], (13 essendo I D Gz = βma e ω D = φ ê 3. (b Equilibri e loro stabilità Le sollecitazioni attive agenti sul sistema sono costituite dal peso e dall interazione elastica fra il punto B e l origine. Entrambe hanno natura posizionale conservativa e sono descritte per mezzo dell appropriato potenziale. Potenziale gravitazionale Il potenziale gravitazionale è imputabile al solo disco D e si esprime per mezzo della relazione: U g = mgê (G O = mga(s+α cos φ mg(q A ê = mga(s+α cos φ+costante. Potenziale elastico Il potenziale elastico associato alla molla ideale tesa fra O e B è dato da: U el = k B O = k [ A O + B A ] = k [ a s + B A ] = ka s +costante. Potenziale del sistema Omesse le costanti additive, il potenziale del sistema è la somma dei potenziali gravitazionale ed elastico precedentemente calcolati: U(φ, s = U g + U el = mga(s + α cos φ ka s (φ, s R. (14 Equilibri Gli equilibri del sistema, scleronomo a vincoli bilaterali ideali e posizionale conservativo, si identificano con i punti critici del potenziale U e si ricavano dunque annullando simultaneamente le derivate parziali prime del potenziale: U U (φ, s = mgaα sin φ φ s (φ, s = mga ka s (15 che porgono il sistema di equazioni: mgaα sin φ = 0 mga ka s = 0 11
e le soluzioni: Gli equilibri, tutti ordinari, sono pertanto: φ = 0, π s = mg ka. (φ, s = (0, mg/ka (φ, s = (π, mg/ka e risultano incondizionatamente definiti. Stabilità degli equilibri L analisi di stabilità può essere sviluppata con successo applicando i teoremi di Lagrange- Dirichlet e di inversione parziale, applicabili causa la natura posizionale conservativa del sistema scleronomo. Le derivate parziali seconde del potenziale sono: U (φ, s = mgaα cos φ φ U (φ, s = 0 s φ U (φ, s = 0 φ s U (φ, s = ka s e consentono di scrivere la matrice hessiana di U nella forma diagonale: H U (φ, s = ( mgaα cos φ 0 0 ka. Per (φ, s = (0, mg/ka la matrice risulta definita negativa: H U (0, mg/ka = ( mgaα 0 0 ka e caratterizza l equilibrio come un massimo relativo proprio del potenziale, la cui stabilità è assicurata del teorema di Lagrange-Dirichlet. In (φ, s = (π, mg/ka is ha invece la matrice indefinita: H U (π, mg/ka = ( mgaα 0 0 ka il cui autovalore positivo mgaα implica l instabilità della configurazione per il teorema di inversione parziale di Lagrange-Dirichlet. (c Equazioni pure del moto L ipotesi dei vincoli ideali autorizza a scrivere le equazioni pure del moto nella forma di Lagrange: d ( T dt φ T φ = U φ 1 d ( T T dt ṡ s = U s.
L espressione (13 dell energia cinetica fornisce allora: T φ = ma [(α + γ φ T α sin φ ṡ] φ = ma α cos φ φṡ d ( T dt φ = ma [(α + γ φ α sin φ s α cos φ φṡ] T ṡ = ma [ṡ α sin φ φ] T s = 0 d ( T = ma ( s α sin φ dt ṡ φ α cos φ φ e dalle derivate (15 seguono le equazioni richieste: ma [(α + γ φ α sin φ s] = mgaα sin φ ma ( s α sin φ φ α cos φ φ = mga ka s. (d Frequenze e modi normali delle piccole oscillazioni Il solo equilibrio stabile del sistema si ha per (φ, s = (0, mg/ka, in corrispondenza del quale la matrice hessiana del potenziale è definita negativa: H U (0, mg/ka = ( mgaα 0 0 ka. Nella stessa configurazione occorre determinare la matrice dell energia cinetica. A questo scopo si osserva che T si scrive nella forma: T = ma con la matrice di rappresentazione: che per (φ, s = (0, mg/ka si riduce a: [ (α + γ φ + ṡ α sin φ φṡ ] = 1 ( φ ( φ ṡ A(φ, s ṡ ( A(φ, s = ma α + γ α sin φ α sin φ 1 ( α A(0, mg/ka = ma + γ 0. 0 1 Ne deriva che: ω A(0, mg/ka + H U (0, mg/ka = ( ma (α + γω mgaα 0 0 ma ω ka 13 (16
e l equazione caratteristica delle pulsazioni normali diventa: 0 = det [ ω A(0, mg/ka + H U (0, mg/ka ] = ( ma = det (α + γω mgaα 0 0 ma ω ka ossia: 0 = [ ma (α + γω mgaα ] (ma ω ka, per cui le pulsazioni normali delle piccole oscillazioni risultano: ω 1 = mgaα gα ma (α + γ = a(α + γ ω = k m e corrispondono alle frequenze normali: ν 1 = ω 1 π = 1 gα π a(α + γ ν = ω π = 1 k π m. Dal carattere diagonale della matrice (16 si deduce che le variabili z φ = φ, z s = s mg/ka sono le coordinate normali del sistema attorno alla posizione di equilibrio considerata la trasformazione che conduce dalle coordinate lagrangiane a quelle normali è una banale traslazione. I modi normali delle piccole oscillazioni sono pertanto: ( ( ( φ 1 gα = A 1 cos t R 0 s mg/ka ( ( φ 0 = A s mg/ka 1 cos a(α + γ t + α 1 ( k m t + α t R con A 1, A 0 e α 1, α costanti reali arbitrarie. Da notare che non è possibile distinguere a priori fra modo alto e modo basso, se non assegnando valori numerici alle costanti g, a, α, γ, k e m. (e Equazioni del moto per φ = ωt e resistenza viscosa in A Nel caso il disco sia vincolato a ruotare con moto uniforme φ = ωt attorno all asse Qz rispetto al telaio, il sistema diventa reonomo a un solo grado di libertà ed è descritto dall unico parametro lagrangiano s R. La lagrangiana del sistema è uguale a quella calcolata per il sistema precedente, salvo che per la sostituzione φ = ωt: L = T + U = ma [ (α + γ φ=ωt φ + ṡ α sin φ φṡ ] + mga(s + α cos φ ka s ossia: L = ma [ (α + γω + ṡ α sin(ωt ωṡ ] + mga[s + α cos(ωt] ka s 14 φ=ωt
e l unica equazione del moto risulta: d ( L L dt ṡ s = Qβ s, in cui compare la componente generalizzata della resistenza viscosa in A: Q β s = βȧ A s A = β s ṡ A s = β A s ṡ = βa ṡ essendo A O = asê. Si ottengono immediatamente le espressioni parziali: L ṡ = ma[ ṡ α sin(ωt ω ] d ( L = ma [ s α cos(ωt ω ] dt ṡ L s = mga ka s da cui segue: ma [ s α cos(ωt ω ] mga + ka s = βa ṡ. L equazione del moto diventa pertanto: ossia: ma s + βa ṡ + ka s = mga + αma ω cos(ωt m s + βṡ + ks = mg a + αmω cos(ωt (17 ed è interpretabile come l equazione del moto di un oscillatore armonico smorzato soggetto a due forzanti, di cui una costante e una sinusoidale. (f Soluzione stazionaria delle equazioni del moto nel caso (d e risonanza Soluzione stazionaria La soluzione stazionaria dell equazione (17 è una soluzione particolare della forma: s(t = c 0 + c 1 cos(ωt + c sin(ωt con c 0, c 1, c costanti reali opportune. Le derivate prima e seconda si scrivono: e sostituite nella (17 porgono: ṡ(t = ωc 1 sin(ωt + ωc cos(ωt s(t = ω c 1 cos(ωt ω c sin(ωt mω c 1 cos(ωt mω c sin(ωt βωc 1 sin(ωt + βωc cos(ωt+ + kc 0 + kc 1 cos(ωt + kc sin(ωt = mg a + αmω cos(ωt 15
e dunque il sistema di equazioni algebriche lineari: kc 0 = mg/a (k mω c 1 + βωc = αmω βωc 1 + (k mω c = 0 da cui segue: per cui: c 0 = mg ka αmω βω 0 k mω c 1 = (k mω + β ω = αmω (k mω (k mω + β ω k mω αmω βω 0 c = (k mω + β ω = αmω βω (k mω + β ω s(t = mg ka + αmω (k mω cos(ωt + βω sin(ωt (k mω + β ω t R. (18 Il moto di regime è un moto armonico semplice di valor medio mg/ka e ampiezza: A = αmω (k mω + β ω (19 mentre la fase ϕ è determinata univocamente in [0, π dalle relazioni: cos ϕ = k mω (k mω + β ω sin ϕ = βω (k mω + β ω, sicchè risulta: s(t = mg ka + A cos(ωt + ϕ t R. Per tempi lunghi il telaio tende quindi a vibrare armonicamente con pulsazione ω attorno alla posizione media s = mg/ka. Si noti che rispetto al telaio il disco ruota uniformemente attorno all asse fisso Qz senza che siano realizzate le condizioni di equilibratura statica e dinamica: questa circostanza appare responsabile della vibrazione del telaio. Risonanza Si ha risonanza quando la pulsazione ω è scelta in modo da rendere massima l ampiezza di oscillazione (19 del moto di regime. Tale ampiezza si scrive nella forma equivalente: m A = α ω 4 (mω k + β ω = ω 4 ( ω k β + m 16 m ω
ed è massima per un certo ω > 0 se e solo se la funzione ausiliaria: F(ξ = ξ ( ξ k β + m m ξ presenta un massimo relativo in ξ = ω > 0. Per ricavare il massimo si calcola la derivata prima: [ ( ξ ξ k β ] [ ( + F m m ξ ξ ξ k ] + β (ξ = m m [ ( ξ k β ] + m m ξ e la si eguaglia a zero, ottenendo dopo semplici passaggi algebrici l unico punto critico: ξ = k m 1 1 β mk a condizione che sia β < mk. La positività di F(ξ e le condizioni ai limiti:, lim ξ 0+ F(ξ = 0 lim F(ξ = 1 ξ + consentono di riconoscere immediatamente che il punto critico corrisponde in effetti ad un massimo relativo proprio di F(ξ. Si ha così la pulsazione di risonanza: ω R = k m 1 1 β mk definita per β < mk. Nel caso β mk la funzione F (ξ non ammette alcuno zero ξ > 0 e la F(ξ risulta una funzione monotona crescente nell intervallo ξ [0, +. L ampiezza A è dunque una funzione strettamente crescente della pulsazione ω e non ricorre alcuna condizione di risonanza in senso stretto. Si confronti il risultato ottenuto con l usuale pulsazione di risonanza nel caso la forzante abbia ampiezza indipendente da ω: ω R = k 1 β m mk. Caso limite per α = 0 Nel caso α = 0 il baricentro G coincide con il centro Q del disco e l equazione del moto (17 si riduce a: m s + βṡ + ks = mg a 17
grazie all annullarsi del termine forzante αmω cos(ωt. La soluzione stazionaria corrisponde semplicemente allo stato di quiete nella posizione di equilibrio s = mg/ka: s(t = mg ka. Per α = 0 il moto del disco rispetto al telaio attorno all asse fisso Qz soddisfa la condizione di equilibratura dinamica, che a regime impedisce la vibrazione del telaio rispetto al sistema di riferimento assoluto G Qz e Gz costituisce un asse centrale d inerzia in quanto ortogonale al piano di simmetria Gxy. Questo semplice esempio illustra l importanza di realizzare la condizione di equilibratura dinamica di un rotore, allo scopo di evitare vibrazioni indesiderate dell asse di rotazione sostenuto elasticamente. 18