Valutazione in tempo continuo (formula di Black e Scholes) Federico Marchetti (Politecnico di Milano) Dipartimento di Economia e Produzione 5/6/000 1 Calcolo stocastico Ci limitiamo al caso unidimensionale, ma le formule si trasportano tutte al caso n dimensionale con poche variazioni. Le dimostrazioni rigorose (che non diamo) sarebbero in generale più complesse, ma, salvo alcune questioni molto delicate (p.e., alcuni comportamenti alla frontiera, ovvero il caso di coefficienti molto poco regolari), si fanno senza problemi. Dovremo considerare più di una probabilità P sullo stesso spazio campione (Ω, F). Equivalentemente P è chiamata una misura ( sottinteso: di probabilità) Consideriamo l equazione di un processo di Markov discreto S(t k ) S(t k 1 ) = b (S(t k 1 )) (t k t k 1 ) + c (S(t k 1 )) ξ (n) k dove abbiamo introdotto un fattore (t k t k 1 ) per controllare il limite t k t k 1 = T n 0. 1.1 Il processo di Wiener La successione i.i.d. ξ (n) k avrà (CLT) media zero (perché c k ξ (n) k sia una martingala), e varianza che va a zero per n = T t. In effetti, per far funzionare ( ) ( 1 t ). il CLT la varianza dovrà essere dell ordine di n Allora si vede che M ( ) j n T = tende (in distribuzione) ad un processo a tempo e stati continui W (t) tale che 1. W (t) è una funzione continua di t. EW (t) = 0 j i=1 ξ (n) i 3. W (t) W (s) è indipendente da W (u) W (v) se t s u v 1
4. W (t) W (s) è distribuito secondo una normale di media nulla e varianza t s Per 1 e 3, W risulta una martingala continua ed un processo di Markov. Un tale processo è detto un processo di Wiener o un moto browniano. 1. L integrale di Itô L analogo dell integrale stocastico a tempo discreto sarà quindi un processo ottenuto come limite di somme integrali del tipo n c(t k 1 ) [W (t k ) W (t k 1 )] i=1 dove c(t) è un processo ricostruibile con le informazioni al tempo t (si dice che il processo è adattato). Che l espressione precedente abbia un limite non è del tutto ovvio (e il limite esiste in un senso particolare: in media quadratica e in probabilità). La teoria rigorosa è dovuta a K.Itô (anni 40 e 50). Il limite è denotato con t 0 c(s)dw s Ma un altro aspetto particolare è che, poiché E [W (t k ) W (t k 1 )] = t k t k 1, gli incrementi di questo integrale non sono dell ordine di t, come per gli integrali usuali, ma dell ordine di t. 1.3 Equazioni differenziali stocastiche L equazione alle differenze precedente, mandando t 0 diventa, almeno formalmente, una equazione differenziale stocastica: ds(t) = b (S(t)) dt + c(s(t))dw t con un opportuna condizione iniziale. Per essere precisi, l equazione andrebbe scritta in forma integrale: S(t) = S(0) + t 0 b (S(s)) ds + t 0 c (S(s)) dw s Si può controllare che se i coefficienti b, c soddisfano qualche condizione (p.e. sono funzioni regolari e limitate o con crescita la più lineare), l equazione ammette una soluzione unica.
1.4 La formula di Itô Se ora consideriamo una funzione di S e proviamo a vedere come si evolve nel tempo avremo, formalmente, df(s(t)) = df(s(t)) ds + 1 d f(s(t)) ds ds (ds) + o (ds) dove ds = bdt + cdw. Sviluppando (ds) = b (dt) + bcdtdw + c (dw ) In un simile sviluppo, dobbiamo tenere i termini fino all ordine dt. abbiamo visto che dw dt per cui, alla fine, restiamo con Ma ( df (S(t)) df(s(t)) = b (S(t)) ds + 1 d f (S(t)) ds c (S(t)) df (S(t)) + c (S(t)) dw t ds ) dt + (formula di Itô). La tabella delle moltiplicazioni seguente permette i calcoli formali in qualunque dimensione: dt dwt 1 dwt dt 0 0 0 dwt 1 0 dt ρdt dwt 0 ρdt dt dove ρdt = E [ ] dwt 1 dwt è la correlazione tra i due Browniani. Nel caso di Browniani indipendenti ρ = 0.Nel caso in cui Wt = awt 1 + bv t con V t indipendente da W 1 ρdt = adt, ecc. Un caso particolare importante è dx = bdt + σdw 1 dy = adt + cdw d (XY ) = XdY + Y dx + dxdy = XdX + Y dx + cσρdt (integrazione per parti). Nel caso f dipenda esplicitamente da t, occorre aggiungere un termine pari a f t dt In altre parole, la chain rule (derivazione di funzioni composte) contiene un termine inaspettato ( correzione di Itô ). 3
1.5 La formula di Feynman-Kac Sfruttando la formula di Itô, una funzione che soddisfi l equazione alle derivate parziali soddisfa u(x, t) L t u = + b(x) u t x + c (x) u x = 0 u(x, T ) = u 0 (x) T E [u (S(T ), T ) S(t) = x] = u (x, t) + E L s u (S(s), s) ds t E [u 0 (S(T )) S(t) = x] = u(x, t) che dà una forma esplicita in termini del processo S: per u, soluzione della EDP. ds (s) = b (S (s)) ds + σ (S (s)) dw s S (t) = x s t Il valore u(x, t) è la media del valore finale al tempo T mediato su tutte le traiettorie di S che passano per il punto x al tempo t Si può generalizzare un poco: applicando ancora la formula di Itô, v(x, t) = E [e R ] T t V (S(s))ds u 0 (S(T )) S(t) = x soddisfa L t v V (x)v = 0 v(t, x) = u 0 (x) (formula di Feynman-Kac). Infatti d [v (s, S (s)) e R s t V (S(u))du] = e R s t V (S(u))du [L s v (s, S (s)) V (S (s)) v (s, S (s)) ds] + dm s Integrando tra t e T v(t, x) = E [e R ] T t V (S(s))ds u 0 (S(T )) S(t) = x 4
1.6 Il modello di Black-Scholes Per il modello CRR l equazione continua corrispondente è ds(t) = S(t)µdt + S(t)σdW t µ è il rendimento medio (sotto la misura fisica ) del titolo rischioso e σ misura l intensità del rumore ( volatilità ). Il modello di Black-Scholes si risolve esplicitamente. Riscriviamolo come Per la formula di Itô, ds(t) S(t) = µdt + σdw t d log S(t) = ds(t) S(t) 1 (ds(t)) S = (t) = µdt + σdw t 1 σ dt log S(t) log S(0) = (µ σ S(t) = S(0)e e il prezzo ha distribuzione log-normale. Si verifica subito che ES(t) = S(0)e µt µ σ ) t + σw (t) t+σw (t) (la media soddisfa un equazione del tipo m = µm). Ma si vede anche che se µ < σ S(t) 0 poiché si può dimostrare che per t W t t log log t << t La densità della(( distribuzione ) di) S(t) è facilmente calcolata, visto che S(t) = exp Z t con Z t N µ σ t, σ t. Per esempio, E [f (S(t))] = f(e x )φ t (x)dx ( ) 1 x µ + σ φ t (x) = πσ t exp 1 t σ 5
Valutazione di opzioni nel modello di Black- Scholes Illustriamo la valutazione per non arbitraggio di titoli derivati sull esempio più semplice e classico. Data una opzione europea con scadenza T e payoff C(T ) (per una call con strike K, C(T ) = (S (T ) K) +, per una put C(T ) = (K S (T )) +, ecc.), volendo valutarla, consideriamo un portafoglio composto, ad ogni t, dall opzione C(t) e una quota di sottostante α t S(t). La variazione di valore tra t e t + dt sarà dπ t = α t ds(t) + dc(t) (l assenza del termine dα t è la condizione di autofinanziamento ed è meglio intuita pensando il termine come limite del caso discreto α tk 1 (S (t k ) S (t k 1 ))). Cerchiamo di rendere il rendimento del portafoglio pari a quello del titolo senza rischio. Supponiamo che C(t) C(t, S(t)): Esplicitando dπ t ( C = αds(t) + t + C S µs(t) + 1 ) C S σ S (t) dt + + C S σs(t)dw t = (αs(t) + C(t)) rdt ( α + C S + = 0 Di conseguenza e ) ( µs(t)dt + α + C ) σs(t)dw t + S ) ( C t + 1 C S σ S (t) αrs(t) rc(t) α = C S C t + C S rs(t) + 1 C S σ S (t) rc = 0 L equazione per C ha soluzione [ ] E e r(t t) C(T ) S(t) rispetto ad un processo che soddisfa però ds = rsdt + σsdw t dt 6
Se consideriamo il processo del titolo senza rischio ne consegue che il processo db(t) = rb(t) B(0) = 1 B(t) = e rt Ŝ(t) = S(t) B(t) soddisfa dŝ(t) = σŝ(t)dt ed è quindi una martingala. Un risultato identico si ottiene se si cerca di duplicare C(T ) con un portafoglio costruito con il titolo senza rischio e il sottostante (hedging portfolio). Le due dimostrazioni equivalgono a considerare il punto di vista dell acquirente o del venditore dell opzione. Il fatto che i due risultati coincidono è dovuto alla completezza di un mercato con un solo titolo rischioso ed un solo moto Browniano. A sua volta questo fatto è essenzialmente dovuto al teorema di rappresentazione delle martingale: Ogni martingala adattata alla filtrazione generata da W t si può rappresentare come un integrale stocastico rispetto a W t Quindi la valutazione della opzione va fatta prendendo il valore atteso del valore finale non rispetto al processo fisico, ma rispetto ad un processo (fittizio) che fa evolvere il prezzo (attualizzato) del sottostante come una martingala. Un teorema fondamentale afferma che (con qualche limitazione tecnica) le distribuzioni del processo fisico e di quello fittizio sono collegate. In particolare, se le chiamiamo rispettivamente P e Q E Q [X] = E P [ΛX] dove { Λ = exp σ 1 S 1 (r b (S(s))) dw s 1 } σ S (r b (S(s))) ds (teorema di Girsanov). La misura Q è detta misura di martingala equivalente (EMM) e il cosiddetto fundamental theorem of pricing afferma essenzialmente che ogni valutazione per non arbitraggio va fatta prendendo valori attesi rispetto ad una misura di martingala equivalente. La non esistenza di una tale misura equivale alla presenza di arbitraggi. La misura Q è detta equivalente perché (dal teorema di Girsanov), P [A] = 0 Q [A] = 0 7
cioè sotto entrambi i modelli gli eventi impossibili sono gli stessi. Se ciò non fosse, è chiaro che si avrebbero difficoltà nell interpretazione dei modelli, visto che eventi scomparirebbero o comparirebbero a seconda della rappresentazione del processo sottostante. 8