La regressone lneare: relazon funzonal Molte legg d nteresse fsco e ngegnerstco sono descrtte da relazon funzonal tra grandezze (varabl), delle qual la pù semplce è quella lneare (y=a+bx). Trovare una relazone funzonale tra grandezze, permette n alcun cas d superare o ndvduare ncertezze d accuratezza, tecnca che applcata agl strument d msura permette la calbrazone degl stess. Indvduare la legge, che descrve la relazone tra grandezze, permette d utlzzare tale legge, o rsultat ottenut, per predzon su altre grandezze dervate. C sono termn con sgnfcat dvers. Se parlamo d rappresentazone grafca o descrzone analtca d una funzone s dce che la varable sulle ascsse (x) è la varable ndpendente, la varable sulle ordnate (y) è la varable dpendente. C sono legg fornte n un certo modo: per l perodo del pendolo T=T(l), per la legge del calore Q=Q(t f ) ecc. Tale scelta nello studo della regressone è legata alle ncertezze relatve corrspondent, e qund le legg potrebbero venre nvertte ovvero l=l(t) o t f =t f (Q). Per evtare l equvoco s parlerà d varable sulle ordnate (y) e varable sulle ascsse (x). Questo argomento è trattato nel Cap. 9 d G. Cullo Introduzone al laboratoro d fsca 1
Trovare la legge lneare: relazon funzonal Y y Approcco ntutvo: trovare la retta Y=A+Bx, tale che la dfferenze del valore ottenuto per ogn x, ovvero Y =A+B x, sano pù vcne alle y, qund trovare parametr A e B, tal che n valore assoluto la dfferenza y Y sa mnma possble, l parametro d confronto sono le ncertezze, qund che y Y < δy.per ogn coppa d dat con da 1 a.
Il Metodo de Mnm Quadrat. Rspetto a valor assolut, è pù pratco, consderare l rapporto tra la dscrepanza (tra valor msurat e valor attes) rspetto alle rspettve ncertezze al quadrato: mn ( ) y Y δy Ognuna d queste quanttà va rdotta al mnmo, qund mnmzzamo la loro somma: =1 ( y Y ) δy (9.1) n G. Cullo Questo è un approcco fguratvo e pragmatco, che nquadra grafcamente l problema e rende esplcto l sgnfcato d quello che studeremo. Per comprendere a peno le conseguenze e le possbltà prevsonal della statstca meglo affrontare tale problema con argoment approprat. Da qu l nome Metodo de Mnm Quadrat (MMQ). Il confronto s attua rspetto al rapporto tra dscrepanze e ncertezze, s organzzano qund le varabl, n modo tale che come varable sulle ordnate, qund le y nelle formule sopra, sa utlzzata quella con le ncertezze relatve maggor. 3
Approcco statstco-probablstco Alla varable (grandezza) X posso assocare una varable (grandezza) Y=A+BX Assumo che ogn msura y segua una dstrbuzone d Gauss e tenda alla Y = A+B x. Devo trovare la mglore stma della Y, che vada bene per tutt dat osservat y, che sgnfca trovare la mglore stma de parametr A e B. La probabltà che una sngola msura segua una gaussana d centraltà Y e dev. st. σ. P Y, σ ) 1 σ e Y ) σ. P A,B, σ ) 1 σ e A Bx ) σ. P A,B (y 1, y...y ) 1 e A Bx ) σ.= σ =1 =1 1 σ e 1 A Bx ) σ 4
La Varable χ Abbamo gà ntrodotto la varable causale χ (ch) In generale rsulta l rapporto tra la dfferenza tra un valore msurato, o osservato (p.e. y ), e un valore aspettato (p.e. Y ) l ncertezza sulla msura δy (rportata come radce quadrata della varanza σ ). Rcordamo ancora che per tenere a mente la connessone con le varabl casual s consderano sempre le varanze, ma rpetamo che bsogna consderare l ncertezza totale espressa secondo le regole delle varanze. e chamamo χ (ch-quadro) χ = Y ) δy, χ = χ n questo caso χ = y Y. (9.4) n G. Cullo δy 5
mnmzzazone del χ : regr. lneare Per l prncpo d massma verosmglanza, parametr A e B, che meglo descrveranno la legge, che pù s avvcna a dat spermental, saranno quell che rendono massma la probabltà d ottenere tutt gl event y y. { } max max P A,B (y 1, y...y ) 1 =1 σ e 1 A Bx ) σ Vsto che le ncertezze d ogn y non dpendono da parametr A e B s ha: max{ P A,B (y 1, y...y )} 1 =1 σ { } = mn χ mn χ max e 1 A Bx ) Trovare l massmo della funzone esponenzale negatva, sgnfca trovare l mnmo dell argomento, sempre rspetto a parametr delle legge potzzata, per una lneare A e B χ = y Y σ (9.3) n G. Cullo { } σ (9.4) n G. Cullo S osserv l modo dverso d presentare l ch-quadro, come smbol (vd varanze e ncertezze) 6
Dove δy (ncertezza totale espressa dalla varanza) δy = σ y + ε y 3 + η y 3 Useremo per semplctà σ per la δy, e rporto d seguto come dstnguo var contrbut alla varanza totale, ovvero le sngole varanze σ y varanza d una dstrbuzone gaussana ε y / 3 varanza d una dstrbuzone costante (p.e. lettura) η y / 3 varanza d una dstrbuzone costante (p.e. accuratezza) 7
Trovare parametr A e B caso n cu δy=δy Trovare parametr della legge Y=A+Bx che rendono massma la probabltà d ottenere tutt gl y, equvale a studare per qual parametr s trov l mnmo del χ. (y A Bx ) (y A Bx ) mn rsp. A A ' = 0 (δ y ) A (δ y ) Rsolvamo alla per l caso ddattco δy = δy per ogn, e ottenamo y = A + Bx, abbamo due ncognte, ma una sola equazone. (y A Bx ) (y A Bx ) mn rsp. B B ' = 0 (δ y ) B (δ y ) Rsolvamo e ottenamo: x y = A x + B x adesso abbamo la seconda equazone nelle due ncognte A e B. Lascamo come eserczo per gl student questa seconda dervazone. 8
Dalle due equazon A= y = A + Bx x y = A x + B x x y x x y x ( x ) ottenamo le due ncognte (9.7) e B = x y x y x Vsto che l denomnatore è lo stesso s etchetta Δ: ( x ) (9.8) Δ = x ( x ) s not che dpende dalle sole x ed ha le dmenson d x. 9
Incertezze su parametr A e B Per stmare le ncertezze partamo dalla relazone d A rspetto a dat spermental A = x y x x y x ( x ) (9.7) su G. Cullo A è qund data sa dalle x che dalle y. In questo caso abbamo consderato sgnfcatve le ncertezze sulle y, e trascurabl le ncertezze sulle x. ella propagazone delle ncertezze c lmtamo qund alle sole ncertezze rspetto alle y e consderare anche l denomnatore (Δ) constante. σ = A A y 1 σ 1 + A y σ +!+ A y σ S osserv come nvece dell ncertezza totale, espressa come varanza, ho utlzzato l smbolo tpco della statstca per le varanze, come rchamo al teorema del lmte centrale. 10
A e B sono varabl gaussane Oltre a σ = A A y 1 σ 1 + A y σ +!+ A y σ (9.9) su G. Cullo La (9.9) s ottene dalla propagazone delle ncertezze δy (σ ) su A espressa come n (9.7). Inoltre s può dmostrare sempre dalla (9.7) che: A = A y 1 y 1 + A y y +!+ A y y Per l teorema del lmte centrale qund A tende ad una gaussana con centraltà A, data dalla (9.7), e varanza σ Α data dalla (9.9) Dalla (9.9) se consderamo l caso semplfcato n dscussone n cu le δy = δy ovvero le σ sono σ, s ha σ A = σ Σx Δ rcordando che δ A = δ y Σx Δ σ =δ y 11
A e B varabl che seguono Gauss Allo stesso modo σ B = B y 1 σ 1 + B y σ +!+ B y σ Ottenuta dalle regole d propagazone delle ncertezze δy su B. Inoltre vale anche: B = B y 1 y 1 + B y y +!+ B y y Qund anche B tende ad una gaussana con centraltà B, data dalla (9.8) e varanza σ Β rportata sopra. Se consderamo l caso semplfcato n dscussone n cu le δy = δy ovvero le σ sono σ, s ha rcordando che σ B = σ δb = δ y Δ σ =δ y Δ 1
Andamento al lmte per la Y=Y(x) Presupponamo a pror che tutte le y seguano una gaussana d centraltà Y, Y può essere una relazone funzonale qualsas Y =Y(x ), e che tutte le y abbano la stessa devazone standard σ Y. Y rsulta una varable casuale che qund abba una sua speranza matematca e una sua devazone standard σ Y, ogn y, se appartene a tale popolazone, avrà come valore vero Y = Y(x ) e la devazone σ Y P ) 1 e σ Y { } max max P(y 1, y...y ) 1 Y ) σ Y 1 σ e Y 1 Y ) σ Y Se applchamo l prncpo d massma verosmglanza, per trovare la mglore stma della σ Y : 1 σ Y σ e Y 1 Y ) σ Y = 0 σ Y (deale) = Y ) 13
Le stme d valor med n statstca vanno dvse per grad d lbertà statstc (d), osservando σ Y, partamo qund dalla formula: σ Y (deale) = Y ) ella formula grad d lbertà d sono l numero d dat utlzzat, ovvero l numero d y,, evdent dall estremo superore della sommatora, a qual vanno sottratt parametr necessar per la stma stessa, ottenut utlzzando dat spermental, tale parametr sono dett vncol statstc c. σ Y (mglore stma) = ( y Y ) el caso d una lneare Y = A+Bx servono due parametr, che vengono ottenut, da dat come potete osservare dalle (9.7) e (9.8) qund vncol sono due per la lneare d el caso d = Y =A+Bx el caso d = Y =A+Bx (c) (c) ( y A B x ) (d ) 14
σ y e σ Y charment ell potes che tutte le y fossero gaussane e segussero la stessa gaussana d centraltà Y=Y(x) e dev. st. σ Y, abbamo osservato che σ Y (la devazone standard dalla legge deale ) è data dalla seguente relazone, rbadamo per qualsas funzone Y=Y(x). σ Y = In fgura 9. rportamo l caso partcolare d Y= A+Bx, n cu d= -. Y ) d In questa fgura s osserva come n meda la dstanza della retta da dat spermental è mnore delle ncertezze. Se la verfca che la legge sa approprata dà esto postvo, allora le ncertezze statstche possono espresse dalla σ Y. 15
Verso la verfca Abbamo vsto che graze al prncpo d massma verosmglanza possamo trovare parametr A dalla (9.3) e B dalla (9.4) che mnmzzano l χ. Quanto è buona la mnmzzazone? Se la legge è approprata c aspettamo che ogn χ soddsf le condzon d cascare nell ntervallo d fduca per G Y,δy stmable da χ = y Y 1 fduca del 68% δy In meda c aspettamo qund che σ Y = Y ) d χ y = Y 1= δy Qualsas stma fatta come meda n statstca abbamo vsto che va dvsa per grad d lbertà, qund la meda de χ s ottene Qual valor sono accettabl per l ch-quadro? y Y La varable χ, funzone d varabl casual, è a sua volta!χ = χ d = δy una varable casuale, che segue una partcolare denstà d probabltà e qund avrà la sua speranza matematca d (vedremo par a d) e la sua varanza (d) (vd. Cap 11). 16
Un passo n pù verso la verfca Per ora Calcolamo la varable χ Ο da nostr dat. La varable χ, dedotta da varabl y gaussane che seguono, qund, la denstà d probabltà d Gauss con centraltà Y e dev. st. δy, è una varable casuale che segue la denstà d probabltà del χ, f(χ ), che ha come E[χ ] = d e V[χ ]= d. Per ora c lmtamo all ntervallo d fduca ndvduato dalla dev. st. successvamente applcheremo le regole statstche della verfca d sgnfcatvtà, per rgettare valor troppo grand, qund verfche a destra della denstà d probabltà, o troppo pccol, verfche a snstra. χ = y Y δ y Se samo nella stuazone del rgetto a destra, sgnfca, guardate la formula, che la precsone della msura (δy ) c permette d dre che la legge è napproprata per dat rlevat. Se samo nella stuazone del rgetto a snstra, sgnfca, guardate la formula, che la precsone della msura (δy ) è troppo bassa per poter decdere sulla legge approprata. 17
Metodo de mnm quadrat pesat δy dvers Consderamo ora l caso che è pù frequente n cu le ncertezze sulle y sano dverse: { } max max P A,B (y 1, y...y ) mn =1 1 σ A Bx ) σ e 1 A B A Bx ) σ A e B mn A Bx ) σ rspetto a A Bx ) = 0 σ A Bx ) = 0 σ S osserv che rspetto a prma s ha che all nterno delle sommatore abbamo 1/σ, che etchettamo p =1/σ e chamamo pes. 18
A B p A Bx ) = p A (y A Bx ) = p A Bx )( 1) = 0 p A Bx ) = p B (y A Bx ) = p A Bx )( x ) = 0 Da cu ottenamo le due equazon normal con relatv pes: p y = A p + B p x p x y = A p x + B p x Per le ncertezze su parametr dalla semplce propagazone per dfferenzazone d ottene σ Apes = p x Δ pes Rsolvendo l sstema d due equazon nelle due ncognte A e B: A pes = B pes = p x p y p x p x y p p p x ( p x ) p x y p x p y p p x ( p x ) σ Bpes = p Δ pes 19
Una volta trovata la legge s deve verfcare che sa approprata, chameremo questo procedmento verfca del ch-quadro, ovvero verfchamo, se la mnmzzazone trovata può essere accettata Se la legge è approprata per ogn y possamo consderare come ncertezza statstca la σ Y e utlzzarla nella stma delle ncertezze: σ Apes = p x σ Bpes = p Δ pes Δ pes dove pes p = 1/ (δy ) con posso essere sosttut da δy = σ y + ε y 3 + η y 3 δy = σ Y + ε y 3 + η y 3 Se le ncertezze ε e η sono le stesse per ogn s osserv che δy rsultano le stesse per ogn. Pertanto samo nel caso semplfcato della parte ntroduttva: σ Apes = δy x σ Bpes = δy Δ Δ 0
Eserczo: regr. ln della legge del pendolo, con MMQ pesat. S analzzno dat rlevat con PC del perodo del pendolo per vare lunghezze. Per solare l ncertezza d accuratezza su l? studamo la legge T = 4 π (l/g)+4 π (l? /g). Procedmento - trovare parametr A e B con l Metodo de Mnm Quadrat pesat. - verfcare che la legge trovata sa approprata, (per accettare la legge, n modo grossolano, σ Y sa mnore della meda de δy ). possamo fare qualche altro passo verso la verfca del χ e accettare la legge se l χ ottenuto, che etchetto χ Ο, compreso nell ntervallo d- (d) < χ Ο < d+ (d) - Fornre le ncertezze δa e e δb sulla base d tale verfca. - Fornre la msura d g e la verfca d sgnfcatvtà per l valore atteso g = 9.807 m s -. - Fornre la msura d l?. Eserczo: regr. ln della legge del pendolo, con MMQ pesat. S facca l eserczo d cu sopra per dat rlevat dagl student d bologa n aula E, dat dovrebbero essere gà stat processat da ogn studente n seguto alle lezone 7. Il metodo approssmatvo nzale del solo MMQ è stato anche fornto nella lezone 8. 1
Dat rlevat n classe con PC
Tabelle funzonal de dat T = π l '+ l? g : l ' = g 4π T l? Eserczo: organzzare dat per l MMQ pesat, qund dovete organzzare le colonne: p p x p y p x y p x Σp Σp x Σp y Σp x y Σp x A pes = B pes = p x p y p x p x y p p p x ( p x ) p x y p x p y p p x ( p x ) 3
Stma su un valore y = y(x) Dalla relazone trovata Y=A+Bx, oltre a fornre le msure d A e B, s possono fornre anche delle prevson su un rsultato y per valor d x dvers da quell osservat e/o scelt x. S possono presentare due cas, uno de qual non ben accetto - 1 Caso: l valore x rsulta compreso nell ntervallo de dat x, la stma del valore y=y(x) s defnsce nterpolazone. - Caso: : l valore x è esterno all ntervallo de dat x, la stma del valore y=y(x) s defnsce estrapolazone. Il secondo caso rsulta un azzardo, n quanto s potrebbero fornre nformazon sbaglate. S pens al caso della costante elastca d un molla, s potrebbero fornre valor oltre l lmte elastco, qund che non seguono la legge trovata, o anche oltre l lmte d rottura. Inoltre se tenamo conto, vedremo, del termne covarante, che sarà fornto nella prossma trasparenza, le ncertezze su tal stme tendono ad aumentare. 4
Per fornre l ncertezza su un valore y(x) dedotto dalla legge trovata possamo consderare la varable causale Y: ma voglamo stmare l suo valore per un dato x, A e B abbamo vsto che sono varabl casual con aspettatva A e B date dalle (9.7) e (9.8) e varanze σ Α e σ Β la x fssata rsulta una costante pertanto la varanza della y ottenuta per una data x, se per ora assumamo A e B ndpendent s ha: σ = σ y(x) A +σ B x Allo stesso rsultato s gunge, se consderamo la propagazone delle ncertezze, tenendo conto che parametr A e B sono affett da ncertezze mentre x è fssato. Se A e B fossero ndpendent: ( δy) = y A Y = A + Bx ( δa) + y B = ( δa) + (x) ( δb) ma A e B essendo combnazon lnear delle stesse varabl casual sono tra loro correlate (vedremo nel pross. par. ) qund non s-ndpendent. ( δb) = 5
Qund dato che A e B non sono s-ndpendent bsogna tenere conto d un termne detto covarante, che nel caso d ncertezze ugual per le y è dato da x x Δ ( δy ) per cu ottenamo vsto che A e B non sono s-ndpendent σ = σ y(x) A +σ B x + termne covarante el caso n cu tutte le ncertezze y sano ugual ovvero δy = δy s ha: [δy(x)] = x Δ ( δy ) + ( Δ δy x ) x x Δ ( δy ) Implementamo tale formula per l caso n cu nvece non sano ugual utlzzando pes: [δy(x)] = px p px + x x Δ pes Δ pes Δ pes 6
Estensone a ncertezze sulle x on sempre possamo trascurare le ncertezze sulle x Se abbamo ncertezze sulle x qund δx non trascurabl rspetto alle y e cerchamo una legge y=y(x) che descrva l andamento delle coppe d dat, osservamo che, data la Legge, le ncertezze s propagano dalla x alle y secondo la propagazone per dfferenzazone: δy = dy dx δx Per dstnguere questa ncertezza, propagata sulle y dalle x, la etchettamo δy -equ dove equ sta per equvalente (ad un ncertezza δy ). δ y equ = dy dx δx Adesso qund c trovamo a dovere sommare all ncertezza δy, la corrspondente δy-equ, calcolata per l valore x. Dato che queste ncertezze sono ndpendent tra d loro s sommeranno n quadratura, che è meglo etchettare l rsultato fnale δy* : δ y * = δ y + (δ y equ ) E applchamo l crtero d massma verosmglanza, che sappamo tradurs nella mnmzzazone del χ. 7
La mnmzzazone del χ rsulta pù complcata, perché parametr della legge, compaono anche al denomnatore nelle ncertezze, dato che le ncertezze sono dedotte dalla dfferenzazone della relazone funzonale della legge cercata: mn χ { } = mn y Y δ y * Prendamo l semplce caso d assumere che la legge approprata sa quella lneare, e qund d voler mnmzzare l χ, per trovare le stme de parametr A e B, n questo caso Y =A+Bx e qund δy -equ = B δx : = mn ( y Y ) ( ) δ y + δ y equ ( y = mn A Bx ) δy + B δx esste software dedcato (Orgn, Root, MatLab) che, mnmzzando l χ, fornscono le mglor stme de parametr e le ncertezze, medante l calcolo numerco. 8
Indcazon operatve:. Un approcco senza utlzzo d software avanzato: 1) Stmare parametr della legge (MMQ), consderando le sole ncertezze y ) Utlzzare la legge per stmare le ncertezze equvalent, se tal ncertezze sono un ordne d grandezza nferor alle δy s possono trascurare. 3) ella tabella funzonale fnale vanno utlzzat δ y * = δ y + (δ y equ ) rcalcolare parametr (MMQ pesat), fare la verfca del ch-quadro e le conseguenze su tale tabella funzonale. Vedremo che la verfca del ch-quadro c darà ndcazon, se la legge è approprata. Se lo è l approcco che abbamo utlzzato rsulta attendble, e le prevson che fornamo sono qund accettabl. 9
Scenar dopo la verfca del ch-quadro: oltre la coda d snstra. Il χ O ottenuto n generale dalle δ y * = δ y + (δ y equ ) : χ O = =1 ( y Y ) ( * δ y ) 1 Scenaro: l ch-quadro osservato è mnore della speranza matematca (d) e la verfca d sgnfcatvtà sulla coda d snstra rsulta altamente sgnfcatva. L potes che tutte le y seguano una gaussana d valore centrale Y è da rgettare. Le ncertezze sono molto elevate, per essere rsolutv rspetto a vare legg da verfcare, bsogna mglorare la msura n modo da rdurre le ncertezze. Se bsogna comunque fornre prevson su grandezze dedotte da A e da B, s può usare la propagazone delle ncertezze δ y *. 30
Scenar dopo la verfca del ch-quadro: nell ntervallo d fduca. Scenaro: l ch-quadro osservato cade nell ntervallo d fduca, se mnore della speranza matematca (d) a snstra, se maggore a destra. L potes che tutte le y seguano una gaussana d valore centrale Y non s può rgettare, e s può qund consderare come parametro σ d tale gaussana σ Y. ella propagazone delle ncertezze su parametr A e B, e qund su grandezze eventualmente dedotte da parametr, o anche su un valore atteso y(x), dedotto dalla legge, possamo consderare altr pes tenendo conto delle consderazon statstche, che etchetto P *, δ A* pes δb * pes = P * x = P * P * = Δ pes Δ pes 1 ( δy *), dove δy * = σ + ε y Y 3 + η y 3 S facca attenzone per la propagazone delle ncertezze su parametr utlzzo Δ * pes = P * P * x ( P * x pes P )., etchettat con la lettera mauscola per dstnguerl da pes usat per trovare parametr e per la verfca. e utlzzo l astersco anche per le formule conseguent. 31
Scenar dopo la verfca del ch-quadro: oltre la coda d destra. σ Y { 3 Scenaro: l ch-quadro osservato è maggore della speranza matematca (d) e la verfca d sgnfcatvtà sulla coda d destra rsulta altamente sgnfcatva. L potes che tutte le y seguano una gaussana d valore centrale Y è da rgettare. σ Y { σ Y { possamo consderarla un'ncertezza epstemologca Qund possamo sommarla alle altre ncertezze σ Y la dstanza meda della retta teorca da dat, P ** = δ A ** pes δb ** pes 1 ( ** δy ), dove δy = P ** x = P ** Δ pes Δ pes ** = σ Y + ( * δ y ) Δ ** pes = P ** P ** x ( P ** x ) Per dstnguere quest pes da precedent ho usato due astersch. 3
Lnearzzazone d alcune funzon Molte funzon possono essere rcondotte a una relazone funzonale lneare Abbamo gà vsto per la legge del perodo del pendolo che s può lnearzzata n due mod T = π l g T = 4π l g ponendo y T e x l o anche T = π l g ponendo y T e x Tra le pù comun possamo presentare: Legg perbolche del tpo y=a+b/z, dove s pone x=1/z: bsogna propagare su x l ncertezza msurata su z. l Legg esponenzal del tpo z = Ce Dx, Dalla funzone logartmo: ln z = ln C + Dx, s pone y =ln z, A=ln C mentre B=D. Bsogna propagare le ncertezze da z a y, e quanto ottenuto con l MMQ da A a C. 33
Polnom e regressone multpla mn A Bx ) ( δy ) A B A Bx ) ( δy ) = 0 A Bx ) ( δy ) = 0 el caso semplfcato n cu s hanno le δy =δy per ogn. 34
Se assumamo una legge n cu s hanno le δy =δy per ogn. mn c 0 c 1 x c x ) ( δy ) c 0 c 1 c c 0 c 1 x c x ) ( δy ) = 0 c 0 c 1 x c x ( δy ) = 0 c 0 c 1 x c x ( δy ) = 0 el caso semplfcato n cu s hanno le δy =δy per ogn. 35
Polnom e regressone multpla In questo corso ntroduttvo c lmtamo a utlzzare un foglo elettronco, che fornsca coeffcent, e verfcare eventualmente quale polnomo sa pù approprato per dat osservat, medante la verfca del χ. Un approcco approssmato, n caso d non dsponbltà d software è utlzzare la propagazone delle ncertezze su ogn coeffcente del polnomo c k (k=0,, n) δ(c k ) c = k ( δy ) y approssmando le dervate parzal alle dfferenze fnte c k y Δc k Δy = c k +δy ) c k ) y +δy y = c k +δy ) c k ) δy dove le costant c k ) sono ottenute dalla regressone utlzzando le y, mentre le c k +δy ) sono ottenuto utlzzando y +δy,, cambando un sngolo valore ogn volta. δ(c k ) = c k +δy ) c k ) δy.. qund bsogna svluppare un propro programma! ( δy ) = c k +δy ) c k ) ( ) 36