MODULO O VALORE ASSOLUTO

Modulo o valore assoluto F. Bonaldi C. Enrico 1 MODULO O VALORE ASSOLUTO Questo concetto risulta spesso di difficile comprensione. Per capirlo, occorre applicare rigorosamente la definizione di modulo. a) MODULO DI UN NUMERO Se a è un numero reale qualsiasi allora : a (che si legge valore assoluto o modulo di a), si intende che rappresenti il numero stesso se questo è positivo oppure nullo, invece il numero opposto se esso è negativo. Quindi la definizione è: a = a se è a > 0 a = -a se è a < 0 1 1 **Esempi: 3 =3 ; -4 =-(-4)=4 ; = ; = ; 3 3 7 7 4-3 =1; 3-4 = -1 =1 ; --5 = -7 = 7; b) MODULO DI UNA ESPRESSIONE O FUNZIONE Adesso generalizziamo il discorso ad una espressione o funzione, e passiamo dal numero a alla funzione : f(x). La definizione è sempre la stessa: f(x) = f(x) se f(x) 0 f(x) = - f(x) se f(x) < 0 In sintesi, e in modo informale, il modulo è un meccanismo, un algoritmo che rende sempre positivo quello che sta racchiuso tra il simbolo. Nel caso di una funzione f(x), che assumerà valori positivi in certi intervalli e negativi in altri, il modulo avrà l'effetto che f(x) resti positiva dove già lo è, e diventi positiva dove invece è negativa. **Esempio: prendiamo x ; per definizione si ha : x = x se x>0 x = -x se x<0

Modulo o valore assoluto F. Bonaldi C. Enrico Quindi se x=5, x = 5; se x=-5, x =5. Se si traccia il grafico della funzione y = x si ottiene nel primo quadrante ( per x>0 ) : y=x, cioè la bisettrice del primo e del terzo quadrante; invece nel secondo quadrante ( per x< 0 ) si avrà y = -x ( essendo x negativo, allora y sarà positivo ) e sarà la bisettrice del secondo e quarto quadrante. Quindi il grafico è una specie di V col vertice in O(0,0). **Se analogamente consideriamo y= x- il grafico avrà sempre una forma a V, ma con vertice in (,0):

Modulo o valore assoluto F. Bonaldi C. Enrico 3 **Altro esempio: sia f(x) = x -8x+1, e se ne voglia disegnare il grafico: È sempre valida la definizione: x -8x+1 = x -8x+1 per x -8x+1 0 x -8x+1 = -x +8x-1 per x -8x +1 < 0 Risolvendo la disequazione: x -8x+1 0 si trova che è soddisfatta per x 6 e x, mentre è: x -8x+1 < 0 per <x<6. Allora si ha: x -8x+1 = x -8x+1 per x 6 e per x x -8x+1 = -x +8x-1 per <x<6. Si ottengono dei rami di parabola e nei punti da x= a x=6, la funzione si ribalta rispetto all asse x, risultando così sempre positiva o nulla.

Modulo o valore assoluto F. Bonaldi C. Enrico 4 **Ancora un esempio: f(x) = x-1 + x-. Disegnarne il grafico: Si ha per definizione: x-1 = x-1 per x 1 x-1 = 1-x per x < 1 x- = x- per x x- = -x per x < Si devono allora considerare 3 intervalli per studiare e rappresentare la funzione in quanto si avranno tre espressioni analitiche diverse a seconda dell'intervallo che si considera. Quindi: a) x 1 ; f(x) = 1-x+-x = 3-x b) 1 x ; f(x) = x-1+-x= 1 c) x > ; f(x) = x-1+x- = x-3

Modulo o valore assoluto F. Bonaldi C. Enrico 5 Un ultimo esempio: y = sin x : il grafico apparirà come archi continui che si congiungono in punti aventi ordinata nulla: EQUAZIONI CON MODULO **Iniziamo con un esercizio: trovare le soluzioni dell' equazione : x + x-3 = x Per definizione è: x = x se x > 0 x = -x se x< 0 x-3 = x-3 se x 3 x-3 = 3-x se x < 3 Dividiamo in 3 intervalli : a) x 0 ; -x-x+3 = x da cui: 3=3x e quindi: x=1 ; soluzione non accettabile perché esterna all'intervallo considerato. b) 0 x 3 ; x+3-x=x da cui x=3 ; soluzione accettabile c) x >3 ; x+x-3 = x da cui: x=3 che è la stessa soluzione indicata sopra.

Modulo o valore assoluto F. Bonaldi C. Enrico 6 Quindi l'equazione ha una sola radice : x=3. È interessante risolvere graficamente l'equazione : provare a tracciare il grafico di y= x + x-3 e poi intersecarlo con la retta y=x: l ascissa del punto di intersezione fornisce la soluzione: **Trovare le soluzioni dell'equazione : log x-1 = 0 per definizione si ha : x-1 = x-1 per x> 1 x-1 = 1-x per x<1 Quindi: a) x>1 ; log(x-1)=0= log 1 da cui : x-1=1 e quindi x= che è una soluzione. Infatti : log -1 = log1=0. b) x<1 ; log(1-x)=0 da cui log(1-x)=log 1 e quindi: 1-x=1 da cui x=0 che è una soluzione ; Infatti : log 0-1 = log -1 =log1=0. Quindi l'equazione ha soluzioni : x=0 e x=.

Modulo o valore assoluto F. Bonaldi C. Enrico 7 DISEQUAZIONI CON MODULO Se q(x) è un polinomio in x e a é un numero positivo, allora la disequazione q(x) < a sarà soddisfatta per quei valori di x, se esistono, che fanno assumere a q(x) valori simultaneamente minori del numero a e maggiori del numero -a. Infatti se q(x) > 0 allora q(x) = q(x) < a, mentre se q(x) < 0 allora q(x) =-q(x) < a che vuol dire : q(x)> -a e quindi in conclusione : -a< q(x) < a. Quindi q(x) < a equivale al sistema : q( x) < a q( x) > a Invece nel caso la disequazione sia: q(x) > a allora si ha : se q(x) > 0 allora q(x) = q(x) > a mentre dove q(x) < 0 si ha: q(x) = -q(x) > a cioè q(x) < -a e quindi la disequazione : q(x) >a è equivalente alle disequazioni : q(x) > a e q(x) < -a. **Risolvere la disequazione : x -9x+7 < 7 che equivale al sistema: x x 9x + 7 < 7 9x + 7 > 7 cioè x x 9x < 0 9x + 14 > 0 che risolto dà: 0<x< e 7<x<9. **Risolvere la disequazione : x 5 x + 1 >1 equivale alle due disequazioni : x 5 x + 1 > 1; x 5 x + 1 < -1 ossia alle due disequazioni :

Modulo o valore assoluto F. Bonaldi C. Enrico 8 x 6 x + 1 > 0; 3x 4 x + 1 < 0. La prima è soddisfatta per x<-1 e per x>6; la seconda per : -1 < x < 3 4 e perciò la disequazione data è soddisfatta per : x < -1 ; -1 < x < 3 4 ; x > 6. Risolvere la disequazione : 5x- < x; (soluzione : 3 1 < x < 1 ). **Ancora un ultimo esercizio: risolvere la disequazione: x-3 + 6-x x (x è senz altro positivo) Bisogna considerare 3 casi : a) 0<x<3, la disequazione diventa : 3-x+6-x x cioè : x 3 che è inaccettabile perché in contrasto con l'ipotesi: 0<x<3. b) 3 x 6 ; la disequazione diventa : x-3+6-x x che risolta dà: x 3, che però considerando l'ipotesi fatta (3 x 6) va limitata a x 6 ; quindi la soluzione è: 3 x 6. c) x > 6 ; la disequazione diventa : x-3+x-6 6 che risolta dà: x 9, ma considerando l'ipotesi fatta va ristretta a : 6<x 9. Pertanto nel complesso la soluzione è: 3 x 9.

Modulo o valore assoluto F. Bonaldi C. Enrico 9 L IMPORTANZA DEL VALORE ASSOLUTO NEL CALCOLO DI LIMITI È opportuno ricordare che: x = x ; x R Quindi x = x se x 0; x = x se x 0, questo perché la radice quadrata aritmetica di un numero (positivo) non può che essere positiva (o nulla). Questa precisazione è spesso trascurata e dimenticata con la conseguenza di commettere errori gravi specialmente nel calcolo dei limiti delle funzioni. Un esempio servirà a chiarire meglio. Si consideri la funzione f ( x) = x + 1 e se ne voglia calcolare il limite per x che tende all infinito. Elaboriamo così l espressione sotto radice: 1 1 + 1 = x 1 + = x 1 x + x x Ricordiamo che : x = x se x 0, mentre x = - x se x 0. 1 Applicando questa definizione (e ricordando che lim = 0 ), calcoliamo lim x + 1 x x x + ed otteniamo ovviamente +. Calcoliamo ora lim x + 1 x e ancora otteniamo + come è corretto che sia.

Modulo o valore assoluto F. Bonaldi C. Enrico 10 Il grafico che segue ben rappresenta la situazione descritta: 1 N.B. Se erroneamente si fosse elaborato x + 1 in x 1+ si sarebbe ottenuto (per x che x tende a ) il valore errato di come limite.