Outstanding capitals e leggi finanziarie interne: un'analisi critica.

Outstanding capitals e leggi finanziarie interne: un'analisi critica. Marco Lonzi Samuele Riccarelli Sunto Alcuni concetti relativi alla valutazione di un'operazione d'investimento, uali il tasso interno di rendimento e la scomposizione dell'operazione in singole operazioni uniperiodali, vengono riviste alla luce dei concetti di outstanding capitals e legge finanziaria interna e viene provato come attraverso uesti ultimi si raggiungono risultati già noti in letteratura. Parole chiave: tasso interno di rendimento; outstanding capitals; legge finanziaria interna; operazioni finanziarie pure. JEL classificazione: C00; G31. 1 INTRODUZIONE La condizione di purezza del Tasso Interno di Rendimento ÐT.I.R. Ñ di un dato progetto riveste un ruolo notevole nella significatività economica e finanziaria per il criterio di scelta che dal T.I.R. scaturisce. Essa assicura infatti non solo l'unicità del T.I.R., ma pure la massimizzazione del Valore Attuale del progetto, nonché l'esistenza di un'unica scomposizione del progetto globale in progetti monoperiodali, tutti della stessa natura economica (di investimento o di finanziamento). Sono stati recentemente introdotti nuovi concetti di natura matematico-finanziaria, al fine di migliorare la significatività e l'applicabilità dei criteri per la scelta degli investimenti; tra 1

uesti, saranno oggetto della presente nota gli "outstanding capitals" e le "leggi finanziarie interne". Si studiano in uesta nota relazioni intercorrenti tra i nuovi concetti proposti e taluni elementi, uali i saldi periodali, già utilizzati in precedenti teorie. 2 DEFINIZIONI PRELIMINARI Diamo di seguito le definizioni e richiamiamo uei risultati, già noti in letteratura, che saranno usati in uesta nota. Definizione1: Diremo progetto (d'investimento) una seuenza di flussi di cassa netti a, disponibili alle epoche : 0 Ÿ Ÿ, con 1, ovvero un vettore:! œða!,a",...,a Ñ ", con gli a tali che: Ú a! 0, Û a Á 0,. Ü a a 0, per almeno una coppia i,j 3 4 Considerazioni analoghe possono essere fatte per i progetti cosiddetti di finanziamento, per i uali invece a! 0. Quando non sia soddisfatta la Definizione 1, parleremo semplicemente di vettore (di flussi di cassa). 1 2 1 Diremo monoperiodale un progetto del tipo! :! œ Ða!,a" Ñ, a! a" 0, o, nel 1 2 1 caso più generale, : œ Ða,a Ñ, a a 0. 1 1 Supporremo che sia possibile arrestare la vita economica di un progetto alla fine di un ualunue periodo, ad esempio il -esimo, 0, e chiameremo troncamento! del " progetto il vettore : œ Ða,a,...,a,a Ñ.!!!! " " Definizione 2: Diremo sottoprogetto! del progetto! ogni suo troncamento!, 0 Ÿ, che soddisfi alla Definizione 1. Il Valore Attuale di un progetto! al tasso 3 sarà dato da 4 Ð3Ñ œ a 4 Ð1 3Ñ, 4œ! mentre il suo Montante Ðo Saldo Ñ sarà espresso da 4 Ð3Ñ œ a 4 Ð1 3Ñ. 4œ!! Indicheremo il Valore Attuale del sottoprogetto! con Ð3Ñ ed il suo Saldo Ðo Montante Ñ con Ð3Ñ. 2

Ricordiamo che un progetto è detto semplice uando i suoi flussi di cassa non nulli hanno tutti segno diverso da a!, mentre è detto di investimento in senso stretto se i flussi di cassa negativi precedono temporalmente tutti uelli positivi. 3 I PROGETTI PURI E LE LORO PROPRIETA Seguendo uanto fatto in Ò11 Ó, Ò12 Ó, Ò13 Ó e Ò2 Ó, e visto uanto dimostrato in Ò1 Ó, Ò4 Ó e Ò3 Ó, ricordiamo anzitutto le: Definizione 3: Un progetto d'investimento! si dice puro al dato tasso 3 se i suoi sot- toprogetti!, 0 ŸŸ 1, presentano Saldi, a uel tasso 3, non positivi: 4 Ð3Ñ œ a 4 Ð1 3Ñ Ÿ0, a: 0 ŸŸ 1. 4œ! Definizione 4: Chiamasi T.I.R. del progetto un tasso 3 per il uale Ð3 Ñ œ 0.! 0 Scriveremo! c( 3) per indicare che il progetto! è puro al tasso 3, scriveremo! X( 3! ) per indicare che il progetto! ammette 3! uale suo T.I.R., scriveremo! Xc( 3! ) per indicare che il progetto! è puro nel suo T.I.R. 3!. Vale, vedi Ò11 Ó, Ò2 Ó e Ò3 Ó, la seguente: Proposizione 1:! Xc( 3! ) Ê3! è T.I.R. unico. Come detto in Ò1 Ó, Ò2 Ó e Ò4 Ó, se! Xc( 3! ), allora! può essere decomposto in un'unico modo come una successione di progetti uniperiodali : œ e Ð3 Ñ, Ð 1 3 Ñ Ð3 Ñ f, a : 1 ŸŸ. 1 "!! "! Tale scomposizione può essere riassunta nel seguente schema, nel uale per brevità si è posto œ J 1 œ " Ð3! Ñ ed il simbolo Ê significa prodotto per il fattore J œ Ð1 3Ñ! " Ð3Ñ! Ð1 3 Ñ:! " " J! Ê J" œ # # J" ÊJ# œ $ $ J# ÊJ$ œ J % $ Ê... œ...... ÊJ # # 3

" " J # ÊJ " œ J " ÊJ œ œ a! a " a # a $... a # a " a Essendo " Ð3! Ñ Ÿ 0, ognuno dei progetti uniperiodali ha la natura di progetto d'investimento, e uindi non sorgono ambiguità circa l'utilizzo del T.I.R. uale strumento di valutazione dei progetti. Essendo, a: 0 Ÿ, lim Ð3Ñœ, a causa del segno di a, valgono, come 3Ä+! detto in Ò3 Ó e Ò4 Ó, le seguenti: Proposizione 2: Dato! œða,a,...,a,a Ñ, esiste un valore 3 tale che:! " " 3 3 Ê Ð3ÑŸ0, a: 0 Ÿ. Proposizione 3: 3 œ 1 Í a a 0, a: 0 Ÿ. 0 Proposizione 4:! Xc( 3! ) Ê a! a 0. Come detto in Ò7 Ó, tutti i progetti semplici e tutti i progetti in senso stretto risultano puri nel loro T.I.R.. Definite poi, per ogni progetto!, le uantità: È a 4 4œ! 1 4, 0 1,! c! È! Ð3Ñœ Ð 3Ñ ŸŸ si ha che, vedi Ò4 Ó, X ( 3) Í Ð3Ñ 0, a: 0 ŸŸ 1, in uanto vale la seguente: Proposizione : Sia! Xc( 3! ), allora: Ð3! Ñ Ÿ 0 Í È Ð3! Ñ 0, a : 0 Ÿ Ÿ 1. Essendo poi lim, con il segno di a, : 0 1, come detto in 3Ä 1 Ò4 Ó e Ò3 Ó, vale la: Proposizione 6: Dato! œða!,a",...,a ",a Ñ, con a 0, esiste 3 tale che: 3 Ó 1; 3 ÒÊÈ Ð3Ñ 0, a: 0 ŸŸ 1. I valori 3 e 3 vengono denotati rispettivamente anche con 373 e 37+B. Valgono infine, vedi Ò4 Ó e Ò3 Ó, le seguenti: Proposizione 7: Xc ( 3) Í Ð3 Ñ 0.!!! Proposizione : Xc( 3) Í È Ð3 ÑŸ0.!! 4

! Proposizione 9: Xc( 3) Í 3 Ÿ3 ed inoltre: 3 Ÿ3 Ÿ3.!! Proposizione 10:! X c ( 3! ) Í Ð3Ñ Ð3Ñ, a 3 Ó 1; 3 Ò, 0 Ÿ. Proposizione 11: 3 œ + Í a! a Ÿ 0, a 0. 4 OUTSTANDING CAPITALS Sono stati recentemente introdotti in Ò Ó e Ò9 Ó nuovi strumenti per la valutazione dei progetti, presentati come modalità nuove di esame dell'evoluzione temporale dei flussi di cassa di un progetto. Dato un progetto d'investimento! œða!,a",...,a Ñ, la uantità A0 œ a! può essere vista come credito iniziale esigibile da parte del finanziatore; analogamente, scelto il tasso 3 di valutazione, la uantità A1 œ A 0 1 3 a 1 rappresenta il credito del finanziatore maturato dopo un anno, che sarà aumentato per effetto degli interessi e sarà aumentato/diminuito per la spesa/incasso di a ". Generalizzando, al termine del periodo -esimo avremo la uantità: A œ A 1 1 3 a. Le uantità A prendono il nome di "outstanding capitals" del progetto, e descrivono l'evoluzione temporale del capitale investito nell'operazione. Se! X( 3! ), segue subito che A œ0. E' altrettanto immediato verificare che A œ Ð3Ñ. Gli outstanding possono essere utilizzati per scomporre il Montante e/o il Valore attuale di un progetto, calcolato ad un dato tasso 3, mediante uote di competenza per ciascuno dei periodi di vita del progetto stesso. Seguendo uanto detto in Ò9 Ó e Ò Ó, considerato il Valore attuale: 1 0 1 Ð3Ñ œa a Ð1 3Ñ... a Ð1 3Ñ, volendo trovare le uote di competenza relative ai vari periodi? 1,? 2,...,?, dovremo determinare dei fattori @, @,..., @, @ per i uali sia @ œ a e @ œ 0, ed inoltre:? œ @ a @ Ð1 3Ñ 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 2? 2 œ @ 1 Ð1 3Ñ a2 @ 2 Ð1 3Ñ e uindi, in generale: 1 1? œ @ Ð1 3Ñ a @ Ð1 3Ñ. Da ueste risulta ovviamente: Ð3Ñ œ?. œ1

Se come fattori @ 0, @ 1,..., @ 1, @ prendiamo gli outstanding A0, A1,..., A 1, A, calcolati per il T.I.R., risulterà allora Ð30Ñ œ œ1 3 0? œ 0. Essendo 30 il T.I.R. del progetto mediante il uale sono stati calcolati gli outstanding A0, A,..., A, A, dalla 1 1 A œ A 1 1 30 a otteniamo: a œa 1 1 30 A che, sostituita nella 1? œ A 1 Ð1 3Ñ a A Ð1 3Ñ, porta alla: 1? œ A 1 Ð1 3Ñ A 1 1 30 A A Ð1 3Ñ dalla uale si ha: 1? œ A 1 Ð1 3Ñ A 1 1 30 1 3 e uindi 3 30? œ A 1 1 3 3 30 œ 1Ð30Ñ. 1 3 Essendo Ð30Ñ Ÿ 0, si ritrova in uesto modo un risultato già noto, ovvero che per un progetto a T.I.R. puro le uote di competenza relative ai vari periodi risultano non negative per 3Ÿ3 e non positive per 3 3. 0 0 LEGGI FINANZIARIE INTERNE Seguendo uanto fatto in Ò9 Ó, supponiamo ora, per rendere la valutazione del progetto più aderente alla realtà finanziaria, che il tasso di valutazione 3 non rimanga costante nel tempo, ma vari, periodo per periodo. A tal fine viene introdotto un vettore di tassi N1, œ 31, 32,..., 3,..., 3 œ F, dove 3 rappresenta il tasso impiegato tra il tempo 1 ed il tempo, con 3 Ó "à Ò. Un tale vettore di tassi viene detto "legge finanziaria". Siano poi N œ 3, 3,..., 3, 3 e F œ $ 1 3. 4, 4 4 1 1 4, < <œ4 6

Con ueste notazioni il Saldo del progetto viene espresso come: 1, a 0 $ 1 < a 1 $ 1 <... a 1 $ 1 < a <œ 1 <œ2 <œ N œ 3 3 3 œ N œ a F a F... a F œ a F, 1, 0 1, 1 2, 1, 4 4 1, 4œ0 avendo posto, per definizione: F 1, œ 1. Il Saldo F del progetto! calcolato mediante la legge finanziaria F può essere espresso anche come prodotto scalare àh, con H œ ÐF àf àáàf Ñ.! 7 1, 2, 1, Possiamo dare allora le seguenti Definizione : Un progetto d'investimento! si dice, alla data legge finanziaria N 1,, puro se tutti i suoi sottoprogetti!, 0 ŸŸ 1, presentano Saldi, calcolati a uella data legge N 1,, non positivi: 1, 4 4 1, 4œ0 ÐN Ñ œ a F Ÿ0, a: 0 ŸŸ 1. Indicheremo allora uesto scrivendo: TPJ N.! Definizione 6: La legge finanziaria N 1, è detta interna al progetto d'investimento! se 1, 4 4 1, 4œ0 ÐN Ñ œ a F œ 0. Indicheremo uesto scrivendo: MPJ N.! A differenza di uanto accade per il T.I.R., è sempre garantita l'esistenza di leggi finanziarie interne per un progetto che soddisfi alla Definizione 1, anzi, ad eccezione di particolari casi, esistono sempre per un progetto infinite leggi finanziarie interne. Come detto in Ò14 Ó e Ò10 Ó, valgono infatti le seguenti: Proposizione 12: Un progetto ammette almeno una legge finanziaria interna se e solo se i suoi flussi di cassa presentano almeno una variazione di segno. Si può poi vedere, Ò10 Ó, come dall'esistenza di almeno una legge finanziaria interna ne discenda l'esistenza di infinite, salvo il caso particolare, espresso dalla seguente: Proposizione 13: Un progetto ammette un numero finito di leggi finanziarie interne se e solo se il progetto è uniperiodale. Ovviamente in uesto caso tale legge risulta unica. Analogamente a uanto visto nel caso del tasso costante nel tempo, le infinite soluzioni dell'euazione ÐFÑ œ! permettono di scomporre un progetto in una seuenza di operazioni uniperiodali, dipendenti ovviamente dalla scelta della legge finanziaria interna, del tipo: 1, 1,

A 1 œe " ÐN1, " Ñ, Ð1 3Ñ " ÐN1, " Ñf, a: 1 ŸŸ. tali che: 0 œ a!, ÐN Ñ Ð1 3 Ñ ÐN Ñ œ a, 1, " 1, " j Ð1 3 Ñ ÐN Ñœa. " 1, " L'ultima euazione garantisce che ÐFÑ œ!. La scomposizione così determinata non garantisce però che ogni singola operazione uniperiodale rappresenti un'investimento. I segni della seuenza e " ÐN1, " Ñ, Ð1 3Ñ " ÐN1, " Ñf sono, in generale, di- pendenti dalla scelta della legge finanziaria interna. Come dimostrato in Ò10 Ó, valgono comunue le seguenti: Proposizione 14: Dato un progetto!, i termini " ÐN1, " Ñ sono di segno costante per ogni legge finanziaria interna se e solo se il progetto è di investimento in senso stretto. Proposizione 1: Un progetto! è puro per ualunue legge finanziaria interna se e solo se è un'investimento in senso stretto. Ma non sono solo gli investimenti in senso stretto che ammettono legge finanziaria interna pura. Vale infatti, vedi Ò6 Ó, la seguente: Proposizione 16: Un progetto! ammette almeno una legge finanziaria interna pura se e solo se a!. Concludiamo dimostrando infine che vale la seguente: Proposizione 17: Siano F œ 31, 32,..., 3,..., 3 e G œ 41, 42,..., 4,..., 4 due leggi finanziarie e sia poi G F, ovvero 4 3, a: 1 ŸŸ. Se il progetto d'investimento! è puro alla legge finanziaria F, esso è puro anche alla legge finanziaria G. Ovvero:! TPJ F e G F Ê! TPJ G. Dimostrazione: Essendo il progetto d'investimento, sarà a0 0. Da a0 0 e da 41 31 segue a0 1 41 Ÿ a0 1 31 e uindi anche: a0 1 41 a1 Ÿ a0 1 31 a1 ed essendo a0 1 31 a1 œ 1ÐFÑ Ÿ 0, ne consegue: a0 1 41 a1 œ 1ÐGÑ Ÿ 0. Da a0 1 41 a1 Ÿ a0 1 31 a1 Ÿ 0 e da 42 32 otteniamo: a0 1 41 a1 1 42 Ÿ a0 1 31 a1 1 32 e uindi anche:

a 1 4 a 1 4 a Ÿ a 1 3 a 1 3 a 0 1 1 2 2 0 1 1 2 2 ed essendo a 1 3 a 1 3 a œ ÐFÑ Ÿ 0, ne consegue anche: 0 1 1 2 2 2 a 1 4 a 1 4 a œ ÐGÑ Ÿ 0. 0 1 1 2 2 2 In maniera induttiva, se ÐG Ñ Ÿ ÐFÑ Ÿ 0 e se, per ipotesi, 4 3, segue: ÐG Ñ 1 4 Ÿ ÐFÑ 1 3 1 1 e uindi anche: 1 1 ÐG Ñ 1 4 a Ÿ ÐFÑ 1 3 a Ÿ 0 1 1 da cui: ÐGÑ Ÿ 0, a : 1 Ÿ, ovvero il progetto d'investimento è puro alla legge finanziaria G. è! 9

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