UNIVERSITA DI FIRENZE DIPARTIMENTO DI ENERGETICA S. STECCO SEZIONE DI MECCANICA APPLICATA DISPENSE DI MECCANICA APPLICATA: TEORIA DELLA LUBRIFICAZIONE

UNIVERSITA DI FIRENZE DIPARTIMENTO DI ENERGETICA S. STECCO SEZIONE DI MECCANICA APPLICATA DISPENSE DI MECCANICA APPLICATA: TEORIA DELLA LUBRIFICAZIONE Prof. Ing. P. Toni, Ing. R. Giusti, Ing. E. Meli, Ing. S. Papini, Ing. L. Pugi, Ing. A. Rindi 1

Indice INDICE... 2 1 INTRODUZIONE... 4 2 CONSIDERAZIONI GENERALI... 8 3 EQUAZIONE DI REYNOLDS GENERALIZZATA... 12 4 SLITTA PIANA... 15 4.1 SLITTA PIANA: EQUAZIONE DI REYNOLDS... 15 4.2 SLITTA PIANA: SUPERFICI PIANE PARALLELE... 17 4.3 SLITTA PIANA INFINITAMENTE LARGA... 18 4.3.1 Slitta piana infinitamente larga: superfici piane... 20 4.4 SLITTA PIANA DI LARGHEZZA FINITA: SUPERFICI PIANE... 24 4.5 SLITTA PIANA DI LARGHEZZA INFINITAMENTE PICCOLA... 27 5 COPPIA ROTOIDALE... 28 5.1 COPPIA ROTOIDALE CON PERNO OSCILLANTE... 28 5.2 COPPIA ROTOIDALE CON PERNO NON OSCILLANTE... 33 5.3 COPPIA ROTOIDALE INFINITAMENTE LARGA CON PERNO NON OSCILLANTE... 36 5.4 COPPIA ROTOIDALE DI LARGHEZZA FINITA CON PERNO NON OSCILLANTE... 40 5.5 COPPIA ROTOIDALE DI LARGHEZZA INFINITAMENTE PICCOLA CON PERNO NON OSCILLANTE... 44 6 LUBRIFICAZIONE PER ACCOSTAMENTO... 46 6.1 LUBRIFICAZIONE PER ACCOSTAMENTO: CASO PIANO INFINITAMENTE LARGO CON SUPERFICI PIANE PARALLELE... 47 2

6.2 LUBRIFICAZIONE PER ACCOSTAMENTO: CASO PIANO INFINITAMENTE LARGO CON SUPERFICIE PIANA E CILINDRO... 48 6.3 LUBRIFICAZIONE PER ACCOSTAMENTO: DISCO CIRCOLARE E SUPERFICIE PIANA50 7 LUBRIFICAZIONE FLUIDOSTATICA...54 7.1 LUBRIFICAZIONE FLUIDOSTATICA: CUSCINETTO REGGISPINTA... 54 7.2 LUBRIFICAZIONE FLUIDOSTATICA: CUSCINETTO PORTANTE... 58 8 SCELTA DEL CUSCINETTO...66 9 BIBLIOGRAFIA...68 3

1 Introduzione Se tra gli elementi di una coppia cinematica caratterizzata da contatto di strisciamento viene introdotto un fluido, in modo tale che al contatto diretto fra le due superfici asciutte venga sostituito un contatto mediato solido fluido solido, si possono ottenere forti riduzioni del coefficiente di attrito. Per tale motivo in molte applicazioni tecniche si ricorre frequentemente a contatti mediati. Il fluido contenuto nell intercapedine, chiamata anche meato o meandro, è comunemente un liquido, talvolta un gas; ad esso si dà il nome di lubrificante. Il lubrificante deve essere in grado di reagire alle forze normali che i due membri a contatto si trasmettono in corrispondenza della coppia e, nello stesso tempo, di dare origine ad azioni tangenziali relativamente piccole. Tali risultati possono essere conseguiti con un opportuna progettazione della geometria della coppia e con un opportuna scelta delle caratteristiche fisiche del lubrificante (in particolare della viscosità). Da un punto di vista applicativo si distinguono le seguenti tipologie di lubrificazione: 1) contatto asciutto con superfici caratterizzate da basso attrito; in questo caso non è presente alcuna lubrificazione e di conseguenza il coefficiente di attrito dipende dai materiali impiegati che inoltre tendono inevitabilmente ad usurarsi; le principali applicazioni pratiche di questo tipo di contatto riguardano le bronzine (soprattutto a base polimerica o di materiali sinterizzati); si veda la Fig. 1.1 4

Figura 1.1 Bronzine metalliche e polimeriche/sinterizzate 2) lubrificazione limite; il contatto metallo - metallo sussiste ancora ma l attrito è ridotto per mezzo di lubrificanti costituiti da sostanze grasse (in genere sintetiche) caratterizzati da catene molecolari molto lunghe; le principali applicazioni pratiche di questo tipo di contatto riguardano sempre le bronzine (sia metalliche che a base polimerica/sinterizzata); si vedano le Fig. 1.1 e 1.2 Figura 1.2 Lubrificazione limite 3) lubrificazione mista; questo tipo di lubrificazione è una via di mezzo tra la precedente lubrificazione limite e le successive lubrificazioni dinamiche; il coefficiente di attrito viene ulteriormente ridotto; in alcune zone dell interfaccia il lubrificante (in genere sostanze grasse sintetiche) evita il contatto metallo metallo anche se permangono aree di contatto diretto e 5

strisciamento tra le creste delle due superfici; le principali applicazioni pratiche riguardano anche in questo caso le bronzine (sia metalliche che a base polimerica/sinterizzata); si vedano le Fig. 1.1 e 1.3 Figura 1.3 Lubrificazione mista 4) lubrificazione fluidodinamica; questa tipologia di lubrificazione elimina totalmente il contatto diretto metallo - metallo ma funziona solamente in determinate condizioni di funzionamento della coppia cinematica; il coefficiente di attrito tra i membri della coppia viene drasticamente ridotto; come lubrificante è frequente l impiego di oli sintetici; le principali applicazioni pratiche riguardano soprattutto cuscinetti portanti e cuscinetti reggispinta (entrambi a strisciamento lubrificato ad olio); si veda la Fig. 1.4 Figura 1.4 Lubrificazione idrodinamica di una slitta piana e di una coppia rotoidale 5) lubrificazione fluidostatica; anche questo tipo di lubrificazione elimina totalmente il contatto diretto metallo - metallo ma, al contrario della precedente, funziona in qualunque condizioni di funzionamento della coppia cinematica; in questo caso tuttavia è necessario l impiego di un sistema per il 6

pompaggio del lubrificante (solitamente oli sintetici) all interno della coppia cinematica; il coefficiente di attrito tra i membri della coppia viene drasticamente ridotto; le principali applicazioni pratiche riguardano nuovamente i cuscinetti portanti ed i cuscinetti reggispinta (entrambi a strisciamento lubrificato ad olio); si veda la Fig. 1.5 Figura 1.4 Lubrificazione fluidostatica di una slitta piana e di una coppia rotoidale Nel seguito della trattazione saranno considerate solamente la lubrificazione fluidodinamica e la lubrificazione fluidostatica. Più in particolare verranno dapprima presentati gli aspetti fondamentali della teoria della lubrificazione fluidodinamica e saranno descritte le principali coppie cinematiche lubrificate (la slitta piana e la coppia rotoidale); successivamente verranno analizzate la lubrificazione per accostamento e la lubrificazione fluidostatica con relative applicazioni (cuscinetti portanti e cuscinetti reggispinta) ; infine saranno forniti alcuni cenni sui criteri di scelta delle bronzine e dei cuscinetti in relazione ai loro campi di impiego. 7

2 Considerazioni generali Prima di presentare la teoria della lubrificazione, è necessario descrivere il sistema fisico di riferimento attorno al quale si svilupperà la trattazione in questione. In particolare dovranno essere analizzate la geometria del sistema considerato e le ipotesi fisiche di lavoro alla base della teoria della lubrificazione; infine verrà posto l accento anche sugli output del modello (ovvero sulle grandezze che tale modello permette di valutare). La geometria del problema è descritta schematicamente in Fig. 2.1 nella quale è rappresentata una porzione sufficientemente piccola del meato. Il sistema di riferimento locale prescelto è posizionato all interno di quest ultimo. y O x z Figura 2.1 Geometria del problema 8

In figura sono stati poi riportati i due elementi della coppia cinematica mentre il meato che li divide è occupato da un film di lubrificante. La geometria delle pareti del meato ed (individuate localmente dalle funzioni e ) è supposta nota mentre con, sono state indicate le zone della frontiera in cui il fluido entra ed esce dal meato (in questo caso è invece la frontiera complessiva del meato stesso, fatta eccezione per e ). Si suppone inoltre che lo spessore del meato in direzione (solitamente dell ordine dei decimi o addirittura dei centesimi di ) sia trascurabile rispetto alle sue dimensioni in direzione e ; di conseguenza l influenza sul moto del fluido delle curvature delle superfici che delimitano il meato stesso è trascurabile. Tale ipotesi geometrica è di fondamentale importanza affinché alcune delle ipotesi fisiche che seguiranno risultino ammissibili. Le superfici che delimitano il meato infine sono in moto rispetto al sistema di riferimento fisso. Anche tali velocità (rispettivamente [ ] per i punti della superficie e [ ] per quelli della superficie ) sono supposte note. Con ed sono state infine indicate le forze esterne necessarie per mantenere in moto le pareti ed del meato. Per affrontare lo studio che ci siamo proposti è a questo punto necessario introdurre alcune ipotesi fisiche di lavoro che permettano una decisiva semplificazione del problema dal punto di vista matematico ma che, allo stesso tempo, consentano al modello di rimanere quanto più possibile aderente alla realtà fisica. Le suddette ipotesi fisiche di lavoro possono essere riassunte come segue: - si suppone che il fluido lubrificante sia omogeneo ed incomprimibile ovvero che la densità sia costante (ipotesi legittima nel caso di lubrificanti liquidi) - si suppone che il fluido lubrificante possa essere modellato come un fluido Newtoniano caratterizzato da viscosità costante (l assunzione sulla viscosità è tanto meglio giustificata quanto più uniforme è la temperatura del lubrificante); sotto queste prime due ipotesi gli sforzi all interno del fluido possono essere espressi come segue ( ) (2.1) dove è il tensore degli sforzi (,,,,, ), la pressione all interno del fluido, il delta di 9

Kronecker, la generica componente del vettore velocità e la generica variabile spaziale; inoltre l equazione di Navier Stokes e l equazione di continuità assumono la seguente forma semplificata (2.2) (2.3) nelle quali rappresenta il vettore accelerazione ed le eventuali forze volumetriche - le forze di inerzia agenti sul fluido sono trascurabili rispetto alle azioni di tipo viscoso; questa ipotesi è giustificata sia dalla sottigliezza dello spessore del meato sia dall elevato valore della viscosità cinematica (rapporto tra la viscosità e la densità ) dei comuni lubrificanti; si noti inoltre che l accelerazione ha la seguente espressione (2.4) dove [ ] ; di conseguenza supporre che le azioni di inerzia siano trascurabili equivale ad imporre sia la laminarità del moto (dal momento che non viene considerato il termine convettivo/turbolento ) che la sua stazionarietà (poiché non si tiene conto del contributo di ) - le forze di massa agenti sul fluido sono trascurabili rispetto alle azioni di tipo viscoso. Alla luce delle ipotesi fisiche appena illustrate il modello fluidodinamico del lubrificante (equazioni (2.2) (2.3)) si riduce alla seguente forma: (2.5) (2.6) alle quali vanno poi associate le condizioni al contorno (2.7) (2.8) (2.9) dove è la frontiera del meato e è solitamente la pressione ambiente. Per comodità si riportano le equazioni (2.5) - (2.9) anche in forma estesa ( ) (2.10) 10

( ) (2.11) ( ) (2.12) (2.13) (2.14) (2.15). (2.16) dove [ ]. La descrizione del modello, nella sua forma più generale è per adesso completa. Tale formulazione permetterà di ricavare, nel seguito della trattazione, le seguenti grandezze fisiche associate alle varie coppie cinematiche considerate: - la distribuzione della velocità del fluido all interno del meato - la distribuzione degli sforzi all interno del meato - le forze esterne necessarie per mantenere in moto le pareti ed del meato (e di conseguenza l entità di ed ) - la portata volumetrica di lubrificante necessaria per una corretta lubrificazione. 11

3 Equazione di Reynolds generalizzata La formulazione della teoria della lubrificazione precedentemente descritta (equazioni (2.5) (2.8)) può essere ancora semplificata per mezzo di alcune ulteriori ipotesi sul moto del fluido all interno del meato. Tali assunzioni, pur essendo di natura essenzialmente euristica, sono sostanzialmente verificate in tutte le principali applicazioni di interesse pratico. Le ipotesi possono essere riassunte come segue: - si assume che la componente della velocità e tutte le sue derivate spaziali siano trascurabili su tutto il meato ad eccezione delle zone vicine ai bordi ed (ovvero, e con ); da un punto di vista fisico ciò equivale a trascurare il moto del fluido in direzione verticale - si assume che le derivate spaziali delle componenti e della velocità lungo e (,,, e,,, ) siano trascurabili rispetto alle analoghe derivate in direzione (, e, ) e rispetto alla pressione (ne consegue che e ); questa seconda ipotesi equivale invece, in termini fisici, a considerare trascurabili gli sforzi tangenziali generati da variazioni di velocità in direzione e rispetto a quelli generati da variazioni di velocità in direzione e rispetto alla pressione. Alla luce di quanto detto le equazioni di moto (2.10) (2.12) assumono ora la forma seguente 12

(3.1) (3.2) (3.3) dove la (3.2) mostra come non dipenda da ovvero. Integrando le (3.1) e (3.3) si ha poi (3.4) (3.5) nelle quali le funzioni ( ) possono essere determinate dalle condizioni al contorno (2.14)-(2.15). Imponendo le suddette condizioni, ricavando le e sostituendo nelle (3.4)-(3.5) si ottiene (3.6). (3.7) Le equazioni (3.6)-(3.7) legano le velocità e alla pressione. Per determinare le tre incognite fondamentali del problema (, e ) è necessario considerare l equazione di continuità (2.13). Integrando tale equazione rispetto ad (da a ) si ha infatti (3.8) D altra parte, ricordando la formula di integrazione di Leibniz (3.9) dove in questo caso, e sono funzioni generiche, si ha (3.10). (3.11) Sostituendo le (3.10) (3.11) nell equazione (3.8), ricordando le espressioni per le velocità (3.6) (3.7) e ponendo (dove con si è indicato lo spessore del meato, supposto noto) si arriva alle seguente equazione alle derivate parziali nell unica incognita : 13

( ) ( ) [ ] [ ]. (3.12) L equazione (3.12) è comunemente chiamata equazione di Reynolds generalizzata e costituisce, insieme alla condizione al contorno (2.16), il punto di partenza per lo studio della maggioranza dei problemi di lubrificazione. Il membro di sinistra rappresenta essenzialmente l azione della pressione sul moto del fluido; il primo termine del membro di destra è il cosiddetto termine di schiacciamento (così chiamato perché associato allo schiacciamento del meato) mentre gli altri due termini di tale membro sono termini puramente idrodinamici (dovuti cioè all effetto di trascinamento che le pareti del meato hanno sul fluido stesso). L equazione (3.12), unitamente alla (2.16), permette dunque di trovare, essendo noti,, e, la distribuzione di pressione nel meato; a questo punto le componenti e della velocità potranno essere calcolate mediante le relazioni (3.6) (3.7). Per quanto concerne le azioni ed necessarie per mantenere in moto le pareti del meato (al netto dell azione della pressione ambiente ) si ha invece (3.13) (3.14) dove ed sono i versori normali uscenti delle superfici ed (rivolti all esterno del meato) mentre, alla luce delle precedenti ipotesi, il tensore degli sforzi equazione (2.1)) ha ora la forma (vedi [ ] ( ). (3.15) [ ] Per quanto riguarda infine la portata volumetrica di lubrificante, essa può essere determinata per integrazione (3.16) dove è il versore normale uscente alla frontiera del meato (diretto sempre verso l esterno del meato). 14

4 Slitta piana Una geometria estremamente interessante da un punto di vista applicativo è la cosiddetta slitta piana. In questo capitolo il comportamento di tale sistema verrà studiato mediante l equazione di Reynolds generalizzata precedentemente dedotta e saranno analizzate nel dettaglio alcuni casi particolarmente significativi. 4.1 Slitta piana: equazione di Reynolds Nel caso di slitta piana una delle due superfici che delimitano il meato (ad esempio ) coincide col piano mentre l altra (in questa circostanza ) è una generica superficie cilindrica avente generatrice parallela a e simmetrica rispetto al piano ; la larghezza della slitta lungo, eventualmente anche infinita, è pari a (Fig. 4.1). y O x Figura 4.1 Slitta piana 15

La superficie piana inoltre è fissa mentre la superficie cilindrica trasla in direzione con velocità costante. Riassumendo si ha (4.1) (4.2) (4.3). (4.4) Sotto queste ipotesi l equazione di Reynolds generalizzata diventa ( ) ( ). (4.5) Per quanto concerne invece le componenti e della velocità del fluido (equazioni (3.6)-(3.7)) assumono la forma (4.6). (4.7) Indicando per semplicità con, e con, le componenti verticali e longitudinali di ed (si veda la Fig. 4.1; le componenti laterali sono nulle per simmetria) e ricordando le equazioni (3.13)-(3.15) si ha (4.8) (4.9) (4.10) (4.11) dove nel caso in esame [ ] e [ ]. Considerando poi l equilibrio alla traslazione (verticale e longitudinale) del fluido all interno del meato si ottiene (4.12), (4.13) 16

dove, sono le aree di, (si è supposto costante su ). Se ne deduce quindi che, essendo l azione dell ambiente sul fluido in generale non nulla e diretta longitudinalmente, i carichi verticali e si bilanciano tra loro al contrario delle azioni longitudinali che invece tra loro differiscono. Nel seguito per semplicità ci soffermeremo prevalentemente sulle azioni e agenti sulla parete del meato. Per quanto riguarda infine la portata volumetrica di lubrificante, essa assume l espressione. (4.14) 4.2 Slitta piana: superfici piane parallele Nel caso elementare di superfici piane parallele le pareti del meato ed sono due piani paralleli tra loro (il primo coincidente con ed il secondo parallelo al primo; Fig. 4.2). y O x Figura 4.2 Slitta piana: superfici piane parallele Essendo, l equazione di Reynolds (4.5) si riduce alla (4.15) 17

ovvero all equazione di Laplace bidimensionale (associata alla condizione al contorno (2.9) su ). Per le note proprietà delle soluzioni dell equazione di Laplace (e quindi delle funzioni armoniche), se è costante su tutta la frontiera, si avrà che anche dentro tutto il meato. Ricordando la (4.8) e le (4.10), (4.12) se ne deduce immediatamente che (4.16) e cioè tale slitta non può sopportare alcun carico verticale. Per tale motivo tale soluzione non è di alcun interesse pratico. Puramente a scopo didattico ricordiamo che, nota la, le (4.6)-(4.7) permettono banalmente di determinare le componenti e della velocità; a partire da esse le equazioni (4.9) e (4.11), (4.13) consentono quindi di calcolare le reazioni tangenziali, mentre la (4.14) fornisce il valore della portata volumetrica. 4.3 Slitta piana infinitamente larga Decisamente più interessante è il caso di slitta piana infinitamente larga (dove cioè si è supposto che larghezza della slitta tenda all infinito in direzione ovvero ). Per comodità si faccia sempre riferimento alla Fig. 4.1. L ipotesi di infinita larghezza comporta, da un punto divista modellistico, le seguenti semplificazioni (4.17). (4.18) Da un punto di vista fisico ciò equivale invece ad ammettere che il meato sia molto allungato in direzione e a trascurare le cadute di pressione che inevitabilmente si avranno nella realtà in prossimità dei bordi laterali. Le soluzioni che troveremo potranno essere adattate allo studio dei casi pratici mediante l introduzione di coefficienti correttivi di provenienza teorica o sperimentale. Alla luce di quanto detto l equazione di Reynolds diventa un equazione differenziale ordinaria avente la forma ( ) (4.19) mentre la condizione al contorno (2.9) diventa semplicemente Integrando la (4.19) un prima volta si ha. (4.20) (4.21) 18

mentre integrando nuovamente si ottiene. (4.22) Imponendo le condizioni al contorno (4.20) è possibile determinare i valori delle costanti arbitrarie e ovvero dove si è posto La (4.21) in definitiva diventa dunque mentre la (4.22) assume la forma (4.23). (4.24) ( ) (4.25) ( ). (4.26) Dalla (4.25) è possibile dedurre come rappresenti il valore dell altezza del meato corrispondente al punto nel quale la pressione raggiunge un massimo od un minimo. Osservando la (4.19) e la (4.25) si può inoltre notare come nel meato nascano effettivamente delle sovrappressioni (ovvero pressioni positive) solo se esso è convergente ovvero. Infatti la condizione implica, in virtù della (4.19), che decresce. Di conseguenza, essendo e, dovrà necessariamente essere e quindi per ; d altra parte, dovendo comunque decrescere e dovendo essere, si avrà anche per. Analogamente si dimostra che si avranno pressioni negative qualora il meato sia divergente ovvero. La (4.6) permette nuovamente di determinare la componente della velocità ( è nulla per ipotesi) mentre sfruttando le (4.8) e (4.12) si ottiene (4.27) (4.28) dove in questo caso i carichi verticali e sono da intendersi per unità di larghezza della slitta (essendo essa stessa infinitamente larga). In particolare la retta di azione del carico (Fig. 4.1) può essere determinata come segue ( ) (4.29) 19

nella quale è l eccentricità del carico stesso (si veda sempre la Fig. 4.2). Per quanto concerne invece l azione tangenziale si ha poi, ricordando la (4.9) ( ) (4.30) mentre la può essere valutata mediante le espressioni (4.11), (4.13); le, (da intendersi sempre per unità di larghezza) risultano, come era lecito attendersi, differenti tra loro (si vedano in proposito le considerazioni fatte nel paragrafo 4.1). Conoscendo i valori di e è possibile valutare il rapporto e chiamarlo, in analogia con quanto si è fatto per i contatti si strisciamento tra superfici asciutte, coefficiente di attrito della coppia lubrificata. Il valore del coefficiente (4.31) è una valida misura dell efficacia della lubrificazione. Infine, anche per quanto riguarda la portata, si introduce per comodità la portata volumetrica per unità di larghezza ; nel caso in esame la (4.14) diventa (4.32) da cui, ricordando la (4.6) si ottiene. (4.33) 4.3.1 Slitta piana infinitamente larga: superfici piane Lo scenario più semplice dal punto di vista teorico si ha quando entrambe le pareti ed che delimitano il meato sono piane (ovviamente non parallele tra loro per quanto detto nel paragrafo 4.2; si veda la Fig. 4.3). A questo modello si riconducono assai bene alcune soluzioni tecniche sulle quali ci soffermeremo nel seguito della trattazione. Nel caso in esame lo spessore del meato ha l espressione ( ). (4.34) Introducendo la (4.34) nella (4.24) si ha ( ) (4.35) ( ) mentre, sostituendo la (4.34) nell equazione (4.26), si ottiene ( ) (4.36) 20

y O x Figura 4.3 Slitta piana infinitamente larga: superfici piane dove ( ) ( ) ( ). (4.37) A partire dalla (4.36), la (4.6) permette poi ancora una volta di determinare la componente della velocità. Analogamente, combinando la (4.34) con le equazioni (4.27), (4.28), (4.29), (4.30) e (4.31), si ottengono i valori delle principali variabili di progetto della coppia cinematica ovvero,, ed : ( ) (4.38) dove ; (4.39) (4.40) dove [ ] [ ] ; (4.41) (4.42) dove 21

; (4.43) (4.44) o anche, per la (4.41), (4.45) dove. (4.46) Per completezza si ricorda che i valori delle grandezze, e (qui non menzionate per brevità), possono essere calcolati mediante le (4.28), (4.11), (4.13) e (4.33). In Fig. 4.4 è rappresentato l andamento di in funzione di per diversi valori del parametro. Risulta chiaramente dai diagrammi che, a parità di altre circostanze, la capacità portante della coppia è massima per valori di prossimi ad uno. Figura 4.4 Distribuzione delle pressioni (fattore adimensionale k ) In Fig. 4.5 sono tracciate invece le funzioni,, e. Anche da questi diagrammi risulta che il parametro debba essere vicino all unità; infatti per tali valori di è elevata la capacità portante della coppia ed è basso il coefficiente di attrito. 22

Figura 4.5 Andamento del carico, dell eccentricità, della forza tangenziale e del coefficiente di attrito (fattori adimensionali ψ, ε, θ e λ ) Questi risultati si prestano ad alcune osservazioni che divengono particolarmente semplici nel caso in cui, come accade in alcuni tipi di cuscinetti, il membro della coppia sia orientabile attorno ad un asse parallelo all asse. In tal caso la linea di azione della, e quindi l eccentricità, ha un valore fissato per costruzione. Ciò equivale, per le (4.40)-(4.41), a fissare per costruzione un valore ben definito di e di conseguenza anche di, e (si vedano le (4.39), (4.43), (4.46)). In tali circostanze dunque le equazioni (4.36), (4.38), (4.42), (4.44) e (4.45) permettono di dedurre immediatamente il comportamento della coppia lubrificata al variare delle condizioni di impiego. Ad esempio dalla (4.38) si deduce come varia l altezza minima del meato al variare di, ed. Tali informazioni hanno molto interesse perché, al variare delle condizioni di impiego, il valore di deve essere mantenuto al di sopra di un valore minimo in relazione agli errori di planarità delle superfici che delimitano il meato ed alla loro rugosità in modo tale da evitare il contatto diretto tra le asperità delle superfici stesse. Notevole interesse hanno anche le formule (4.44)-(4.45); tuttavia tali relazioni devono essere usate con cautela dal momento che possono essere ritenute valide solamente se sono verificate le ipotesi alla base della teoria appena sviluppata (ovvero purché si abbia una corretta lubrificazione); in particolare esse cessano di essere vere quando è così piccolo da dar luogo a contatti diretti tra le due pareti. 23

4.4 Slitta piana di larghezza finita: superfici piane I risultati del paragrafo 4.3.1 possono essere estesi al caso di meato di larghezza finita purché si introducano opportuni coefficienti correttivi. Da un punto di vista quantitativo, passando dal primo caso al secondo, si osservano le seguenti differenze: - la sovrappressione varia in questo caso anche lungo l asse e si annulla oltre che per e anche per ; come conseguenza, a parità di pressione massima, la risultante delle pressioni è nel secondo caso inferiore alla risultante delle pressioni agenti su una striscia di larghezza nel primo caso - la componente della velocità è in questa circostanza diversa da zero; si ha cioè necessariamente una fuga laterale del lubrificante - nel caso in esame inoltre il coefficiente di attrito è più alto e quindi è più elevata la potenza dissipata. Mentre si rimanda a testi specializzati per un esame approfondito delle coppie di larghezza finita, si riportano in Fig. 4.6 i valori del coefficiente correttivo che permette di estendere la validità della (4.38) alle coppie di larghezza finita ( è il carico verticale che grava effettivamente sulla coppia di larghezza finita mentre è il carico verticale per unità di lunghezza dato dalla (4.38)). Figura 4.6 Coefficiente correttivo ξ in funzione del rapporto b a per m 1 Si noti che il diagramma in Fig. 4.6 è valido a rigore per essere usato anche per valori di sensibilmente diversi dall unità. ma in realtà può 24

È possibile a questo punto esaminare alcune soluzioni tecniche che bene corrispondono allo schema fin qui considerato. La coppia lubrificata costituita da una slitta piana (detta pattino) e da una superficie piana è applicata nei cuscinetti reggispinta a sostentazione fluidodinamica. In Fig. 4.7 sono rappresentate le soluzioni costruttive più comuni. Figura 4.7 a) Cuscinetto reggispinta a pattini fissi; b) Cuscinetto reggispinta a pattini oscillanti; c) Pattino bombato; d) Cuscinetto portante a pattini oscillanti In Fig. 4.7 a) i pattini sono fissi. In Fig. 4.7 b) i pattini sono invece orientabili attorno ad un perno avente asse parallelo all asse ; come anticipato nel paragrafo 4.3.1 ciò individua automaticamente il valore dell eccentricità e di conseguenza quello di (il perno permette anche una rotazione attorno all asse ma questo secondo grado di libertà ha solo lo scopo di semplificare l allineamento dei pattini). Una terza possibile soluzione tecnica prevede infine che i pattini siano montati su apposite molle. La geometria del meato è in tutti e tre i casi aderente a quella considerata nel paragrafo 4.3.1. La circostanza che il membro mobile abbia moto rotatorio invece che traslatorio non porta infatti a differenze degne di rilievo se non a velocità elevate alle quali può non essere trascurabile l effetto della forza centrifuga. Le formule (4.36)-(4.46) si adattano bene allo studio dei tre tipi di cuscinetto; in esse andrà introdotta al posto di la lunghezza della porzione di arco di circonferenza in corrispondenza del raggio medio del pattino, mentre sarà la velocità dell elemento mobile in corrispondenza del raggio medio. 25

Le (4.36)-(4.46) si applicano al caso di Fig. 4.9 b) poiché in tal caso il valore di è fissato per costruzione. Per il caso di Fig. 4.9 a) è costruttivamente fissata l inclinazione del pattino ovvero si ha. Pertanto le funzioni,, e dipendono ora unicamente da ; la dipendenza delle variabili di progetto da è meno semplice che nel caso precedente ma comunque perfettamente determinata. Anche nel caso di pattino a molle è possibile trovare un legame tra, e le grandezze di progetto purché sia nota la posizione delle molle e la loro rigidezza. Dalle (4.36)-(4.46) si possono quindi ottenere delle equazioni nelle quali non compare il parametro ma soltanto quantità di più immediato interesse ai fini dello studio del comportamento del cuscinetto. Fra i tre tipi di cuscinetto sopra citati il primo (a pattini fissi), più semplice ed economico, ha prestazioni scadenti a basse velocità. Assai più soddisfacente è il comportamento fluidodinamico dei cuscinetti del secondo tipo (pattini con perno) i quali presentano anche il vantaggio di un migliore adattamento agli errori di allineamento della coppia. I cuscinetti del terzo tipo (pattini a molle) hanno un comportamento intermedio tra i precedenti e talvolta portano ad un disegno più semplice e ad un ingombro inferiore rispetto a quelli del secondo tipo. Dalla Fig. 4.5 si nota che solamente per valori non nulli del carico (cioè di ) si hanno valori non nulli di (e quindi di ). Ne segue che i pattini oscillanti (con perno) non possono essere incernierati nella mezzeria, altrimenti la loro capacità portante sarebbe nulla; né è possibile, una volta posizionata la cerniera con (carico applicato a sinistra della mezzeria), far funzionare il cuscinetto nei due versi di rotazione, altrimenti si avrebbe, in una delle due direzioni, eccentricità negativa (carico applicato a destra della mezzeria) e quindi non vi sarebbe capacità di carico. La possibilità di funzionamento in entrambi i versi di rotazione si ottiene realizzando pattini oscillanti con la superficie leggermente bombata (si veda la Fig. 4.7 c)) e incernierandoli nella mezzeria; in tal caso gli andamenti delle funzioni in Fig. 4.5 si modificano e si ottiene capacità di carico non nulla anche per eccentricità nulla. Pattini come quelli considerati fino ad ora vengono impiegati anche per realizzare cuscinetti portanti a sostentazione fluidodinamica (si veda la Fig. 4.7 d)); si tratta di organi molto raffinati e costosi usati per sostenere rotori veloci quando di debba evitare il rischio di instabilità per fenomeni fluidodinamici. 26

4.5 Slitta piana di larghezza infinitamente piccola Nel caso in esame si suppone che la larghezza della slitta piana sia trascurabile rispetto alla sua lunghezza ( ). Da un punto di vista grafico si faccia sempre riferimento alla Fig. 4.1. Da un punto di vista modellistico ne consegue invece che le derivate di rispetto ad ( e ) sono trascurabili rispetto alle analoghe derivate rispetto a ( e ); si noti che ciò non implica che dipenda solamente da. Sotto tale ipotesi l equazione di Reynolds (4.5) diventa ( ) (4.47) che, essendo, si riduce a. (4.48) Integrando due volte rispetto si ottiene (4.49) da cui, imponendo le condizioni al contorno ( ) ( ), si ha ( ). (4.50) Si noti infine che, per le drastiche approssimazioni effettuate, se si impongono le condizioni al contorno precedenti, non possono più essere soddisfatte le condizioni. Le altre grandezze di interesse per il sistema, ovvero,,,,, e, possono essere calcolate rispettivamente mediante le (4.6), (4.7), (4.8), (4.12), (4.9), (4.11), (4.13) e (4.14). 27

5 Coppia rotoidale Un altra geometria particolarmente interessante da un punto di vista applicativo è la coppia rotoidale lubrificata. In questo capitolo il comportamento di tale coppia verrà studiato mediante gli strumenti teorici introdotti nei capitoli 3 e 4 mentre successivamente saranno analizzati nel dettaglio alcuni casi particolarmente significativi. 5.1 Coppia rotoidale con perno oscillante La geometria della coppia rotoidale con perno oscillante è rappresentata schematicamente in Fig. 5.1. y x Figura 5.1 Coppia rotoidale con perno oscillante 28

Il sistema in questione può essere descritto come segue: - gli elementi della coppia ed che delimitano il meato sono costituiti in questo caso da due cilindri di raggio ed aventi entrambi asse parallelo a ; l asse del primo cilindro (detto cuscinetto) coincide con ed ha come traccia il punto mentre l asse del secondo cilindro (detto perno) è parallelo all asse del primo ed ha come traccia il punto - la coppia cinematica, simmetrica rispetto al piano, ha larghezza pari a (eventualmente anche infinita); come per la slitta piana le porzioni di frontiera del meato sono costituite dalle aperture attraverso le quali il lubrificante entra ed esce dal meato mentre rappresenta sempre la frontiera complessiva del meato stesso (fatta eccezione per e ) - entrambi gli elementi della coppia si muovono di moto piano; il cilindro ruota attorno ad con velocità angolare mentre il cilindro possiede un generico moto di rototraslazione (individuato dalla velocità del punto e dalla velocità angolare del cilindro o, equivalentemente, dall eccentricità e dall orientazione del vettore ) -, e, indicano infine la azioni esterne necessarie per mantenere in moto le pareti ed del meato (rispettivamente le forze ed i momenti assiali). Dal momento che lo spessore del meato è piccolo rispetto ai raggi dei cilindri ed (e di conseguenza rispetto alle curvature delle pareti che lo delimitano; si veda in proposito il capitolo 2), l analisi della coppia rotoidale può essere sostanzialmente ricondotta a quella della slitta piana introducendo opportune coordinate cilindriche. Se si indicano con,, le variabili spaziali impiegate nel capitolo 4 nel caso della slitta piana, si ha (5.1) (5.2) (5.3) dove (5.4) (5.5) 29

; (5.6) in particolare è la coordinata radiale (crescente andando dal punto al punto ; in questo caso e sono le pareti del meato coerentemente con quanto detto nel capitolo 2), la coordinata circonferenziale e la larghezza. Analogamente le derivate cambieranno nel modo seguente: (5.7) (5.8). (5.9) Alla luce di quanto detto il primo membro dell equazione di Reynolds generalizzata (3.12) diventa ( ) ( ) (5.10) nella quale. La velocità del punto, sfruttando i versori e introdotti in (Fig. 5.1), può essere calcolata come segue dove (5.11) (5.12). (5.13) Poiché si ottiene poi da cui, essendo, (5.14). (5.15) Lo spessore del meato può essere quindi ricavato notando che (5.16) nella quale è il gioco radiale della coppia e. L andamento del meato in funzione di è riportato in Fig. 5.2. 30

Figura 5.2 Andamento del meato h in funzione di θ Essendo d altra parte ( ), (5.17) ricordando le (5.2), (5.3), (5.5) e che,, si ottiene [ ] [ ]. (5.18) A questo punto, poiché, le seguenti relazioni, si hanno, per quanto riguarda il cilindro (5.19) (5.20) (5.21) mentre per quanto concerne il cilindro valgono ovviamente le (5.22) (5.23). (5.24) Sostituendo infine le (5.19)-(5.24) nella (3.12) e ricordando la (5.10) e le (5.1)- (5.9) si ha ( ) ( ) ( ) ( ) (5.25) dove per brevità si è posto ulteriormente semplificato come segue. Il secondo membro della (5.25) può essere ( ) ( ) ( ) 31

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (5.26) dalla quale, essendo in generale e, si ottiene ( ) ( ) ( ). (5.27) L equazione (5.27) costituisce, insieme alla condizione al contorno, (5.28) la base per lo studio dinamico della coppia lubrificata perno cuscinetto. Nelle applicazioni dove maggiore è l impiego di questo tipo di coppia cinematica il centro del perno solitamente ruota attorno al centro del cuscinetto. Per chiarire qualitativamente il fenomeno si pensi al caso di una coppia perno cuscinetto poco caricata; se la coppia è poco caricata, le variazioni di pressione sono piccole e di conseguenza le velocità nel meato variano in modo lineare all interno del meato. La portata di fluido entrante (per unità di larghezza) nel semicuscinetto inferiore attraverso la sezione sarà quindi mentre la portata uscente dalla sezione varrà. Poiché non vi può essere accumulo di lubrificante, come accennato in precedenza il centro del perno deve ruotare attorno ad con velocità angolare ; ne consegue una variazione del volume del semicuscinetto inferiore pari a. Si ha quindi (5.29) da cui. (5.30) In effetti esperienze condotte nelle condizioni sopracitate hanno mostrato oscillazioni del pernio a frequenze pari a. Le differenze di pressione che si generano all interno del meato tendono ad attenuare tale fenomeno; le sovrappressioni che si generano nel semicuscinetto inferiore aumentano infatti la portata uscente e riducono quella entrante diminuendo così la necessità di ruotare del centro del perno per ristabilire la continuità. Per quanto riguarda le altre grandezze fisiche necessarie per descrivere il sistema, le componenti e della velocità possono essere calcolate a partire dalle (3.6)-(3.7) tenendo conto delle relazioni (5.1)-(5.9) e (5.19)-(5.24) 32

(5.31). (5.32) Le azioni, e, necessarie per mantenere in moto le pareti del meato (al netto dell azione della pressione ambiente ) hanno invece la seguente espressione ( ) (5.33) ( ) (5.34) dove, analogamente alla (3.15), si ha [ ] [ ( ) ]; (5.35) Per quanto concerne infine la portata volumetrica di lubrificante essere determinata come segue, essa può ; (5.36) se poi e sono costituite dalle sole facce laterali dei cilindri ed (le eventuali altre aperture su, sono trascurabili) si ottiene. (5.37) 5.2 Coppia rotoidale con perno non oscillante Il caso di coppia rotoidale con perno non oscillante è rappresentato schematicamente in Fig. 5.3. L ipotesi di perno non oscillante comporta, a livello modellistico, le seguenti semplificazioni: - la velocità del punto è nulla; di conseguenza si ha e (senza perdita di generalità si è poi supposto ) - la velocità angolare del cuscinetto è è nulla; nel seguito indicheremo per semplicità. 33

y x Figura 5.3 Coppia rotoidale con perno non oscillante L equazione di Reynolds generalizzata (5.27) assume dunque la forma ( ) ( ) ; (5.38) si noti come l equazione (5.38) venga spesso derivata da molti autori a partire dalla (4.5) ponendo semplicemente e. In realtà questo modo di procedere non è corretto poiché nel caso della slitta piana il contributo al sostentamento del meato (pari, una volta effettuate le opportune sostituzioni, a ) è dovuto solamente a (essendo ); nel caso della coppia rotoidale invece sia che sono diversi da zero e producono due contributi di segno opposto la cui somma complessiva è pari questa volta a. Le componenti e della velocità possono essere determinate sempre a partire dalle (5.31)-(5.32) (5.39). (5.40) Per quanto riguarda invece le azioni necessarie per mantenere in moto le pareti del meato, si introducono per semplicità le grandezze, e, ovvero le componenti 34

di e rispettivamente ortogonali e parallele alla direzione di accostamento del perno al cuscinetto. Più in particolare si ha [ ] (5.41) [ ] (5.42) [ ] [ ( ) ( )] (5.43) [ ] (5.44) [ ] (5.45) [ ] [ ( ) ( )]. (5.46) Considerando poi l equilibrio alla traslazione (parallelamente ed ortogonalmente a ) ed alla rotazione (attorno a ) del fluido all interno del meato si ottengono le relazioni (5.47) (5.48) (5.49) 35

che, nel caso in cui sia costituita dalle sole facce laterali dei cilindri ed (le eventuali altre aperture su, sono trascurabili), diventano (5.50) (5.51). (5.52) Nel seguito per semplicità ci soffermeremo prevalentemente sulle azioni, e agenti sulla parete del meato. Per quanto riguarda infine la portata volumetrica di lubrificante, valgono sempre le relazioni (5.36) e (5.37). 5.3 Coppia rotoidale infinitamente larga con perno non oscillante Nel caso di coppia rotoidale infinitamente larga si suppone che larghezza della coppia (ovvero del cuscinetto e del perno) tenda all infinito in direzione. Per comodità faremo sempre riferimento alla Fig. 5.3. ovvero L ipotesi di infinita larghezza comporta, da un punto divista modellistico, le seguenti semplificazioni (5.53). (5.54) Da un punto di vista fisico ciò equivale invece ad ammettere che il meato sia molto allungato in direzione e a trascurare le cadute di pressione che inevitabilmente si avranno nella realtà in prossimità dei bordi laterali. Le soluzioni che troveremo potranno essere adattate allo studio dei casi pratici mediante l introduzione di coefficienti correttivi di provenienza teorica o sperimentale. Alla luce di quanto detto l equazione di Reynolds diventa un equazione differenziale ordinaria avente la forma integrando due volte la (5.55) si ha dove la costante ( ) ; (5.55) (5.56) (5.57) può essere determinata imponendo la condizione al contorno e ricordando la (5.16) 36

(5.58) con. (5.59) Le (5.56), (5.57) possono quindi essere espresse come segue ( ) (5.60) ( ). (5.61) A prescindere dal valore della costante di integrazione possiamo subito notare come la funzione sia pari mentre la funzione, a meno di un contributo costante, sia invece dispari; in particolare si ha con e ). Il valore di può essere determinato purché si conosca il valore della pressione in corrispondenza di un valore di (ovvero un altra condizione al contorno); a tale scopo supponiamo che sia ovvero che il meato sia messo in comunicazione con l ambiente esterno nel punto. L andamento di è riportato in Fig. (5.4). Da tale rappresentazione si nota come solamente per la funzione sia sempre positiva (e nulla per ); al contrario per qualunque altro valore di la funzione presenta una zono negativa. Questo risultato è fisicamente inaccettabile da momento che nella realtà in tale zona si ha la rottura del film di lubrificante per cavitazione (dovuta prevalentemente all area sciolta nel lubrificante stesso che si libera). La zona in questione quindi, non producendo carico, non collabora al sostentamento del perno; si avranno di conseguenza sia una riduzione che un disassamento della risultante che non risulterà più ortogonale alla direzione come nel caso ideale (si veda il prosieguo del paragrafo). Anche se nelle applicazioni pratiche non sono realizzabili coppie rotoidali alle quali corrisponda un diagramma di pressioni come quello del caso, tale circostanza può essere comunque considerata come una caso limite ideale. 37

Figura 5.4 Andamento delle pressioni p θ p a La (5.39) permette anche in questo caso di determinare la componente della velocità (la è nulla per ipotesi). Volendo inoltre calcolare le azioni,, (per unità di larghezza) agenti sul cilindro le equazioni (5.41)-(5.43) diventano (le eventuali altre aperture su, sono trascurabili) [ ] (5.62) [ ] (5.63) [ ( ) ( )] (5.64) dove,, e. Sostituendo nelle (5.62)-(5.64) le relazioni (5.39) e (5.61) si ottengono i valori desiderati di,,. Tuttavia, poiché gli sforzi tangenziali risultano trascurabili rispetto alle pressioni, nelle applicazioni pratiche le grandezze,, possono essere valutate come segue (5.65) (5.66) [ ] (5.67) Sostituendo la (5.61) nelle (5.65)-(5.67) e ricordando la proprietà di disparità della funzione si ottiene 38

( ) ( ) (5.68) (5.69) ( ) (5.70) (5.71) (5.72) nelle quali, in analogia con il caso di contatto tra superfici asciutte, è il coefficiente di attrito equivalente della coppia rotoidale lubrificata. Si noti come, essendo la funzione pari (si veda la (5.39)), l equazione (5.69) (ovvero l annullarsi della componente della risultante) poteva anche essere dedotta direttamente dalla (5.63) senza usare la (5.66). Può essere interessante osservare che la funzione (5.73) che compare nell espressione del coefficiente di attrito, si mantiene molto prossima ad uno in tutto l intervallo ovvero l intervallo dei valori di più comunemente adottati nel proporzionamento dei cuscinetto. Pertanto si può concludere che, per valori abituali di, il coefficiente di attrito della coppia rotoidale di larghezza infinita e perfettamente lubrificata valga circa Dalla (5.69) si deduce quindi che la risultante delle azioni agenti sulla coppia è ortogonale alla direzione di accostamento. Per quanto riguarda le grandezze,,, esse possono essere calcolate mediante le (5.44)-(5.46) o le (5.47)-(5.52). La situazione appena descritta può essere anche rappresentata graficamente riportando sul cuscinetto, coerentemente con le equazioni (5.65)-(5.66), il campo di pressioni normali agenti su (dove si è posto dato che la componente costante della pressione non influisce sull equilibrio). Si veda in proposito la Fig. 5.5. 39

y x Figura 5.5 Andamento del campo di pressioni p p a n 1 Più in particolare, a causa della disparità della funzione, le risultanti, del campo di pressioni normali inferiore e superiore, agente rispettivamente sui semicuscinetti (5.74) (5.75) hanno somma diretta ortogonalmente alla direzione di accostamento del pernio (le eventuali altre aperture su, sono supposte trascurabili). Per quanto concerne infine la portata volumetrica di lubrificante (per unità di larghezza), essa può essere calcolata sempre mediante la (5.36). Si noti che in questo caso la (5.37) darebbe essendo ; di conseguenza è necessario comunque suppore l esistenza di altre aperture su, per il passaggio del lubrificante anche se queste ultime possono essere trascurabili da un punto di vista dinamico. 5.4 Coppia rotoidale di larghezza finita con perno non oscillante I risultati del paragrafo 5.3 possono essere estesi, con le dovute cautele, al caso di coppia rotoidale di larghezza finita. Da un punto di vista quantitativo, passando dal primo caso al secondo, si osservano le seguenti differenze: 40

- la sovrappressione varia in questo caso anche lungo l asse e presenta necessariamente, al variare di, una zona in cui si annulla o assume valori negativi (in tale zona il lubrificante non è attivo e non collabora al sostentamento del perno); come conseguenza, a parità di altre condizioni, la risultante delle pressioni risulta nel secondo caso inferiore (e non più ortogonale alla direzione ) rispetto alla risultante agente su una striscia di larghezza nel primo caso - la componente della velocità è in questa circostanza diversa da zero; si ha cioè necessariamente una fuga laterale del lubrificante in direzione - la fuga di lubrificante dal meato in direzione assiale (lungo ) deve essere continuamente bilanciata con l introduzione di altro lubrificante; essa viene solitamente effettuata in zone che non danno contributo alla sostentazione del carico (ad esempio mediante aperture sulla facce laterali dei cilindri o direttamente su ); ciò influisce nuovamente sulla riduzione e sul disassamento dell azione risultante - nel caso in esame inoltre il coefficiente di attrito è più alto e quindi è più elevata la potenza dissipata. L alimentazione del lubrificante può avvenire con l impiego di mezzi elementari oppure facendo ricorsa ad una circolazione forzata; in questo caso un impianto idraulico costituito da un serbatoio, un filtro, una pompa, un refrigerante dell olio caldo, tubazioni di collegamento ed organi ausiliari permette un efficiente ricambio del lubrificante ed un sicuro controllo della usa temperatura. Se la portata di alimentazione del lubrificante supera un certo minimo dipendente dalle condizioni di funzionamento il perno di dispone nella sua sede come illustrato in Fig. 5.6. La zona di meato tratteggiata corrisponde alla zona portante; essa ha inizio nel punto e termina in un punto prossimo a (solitamente dalla parte delle positive); tale valore è individuato dalla condizione di contemporaneo annullamento delle sovrappressioni e della loro derivata. 41

Figura 5.6 Coppia rotoidale di larghezza finita con perno non oscillante In Fig. 5.6 è riportata la forza da applicare al cuscinetto necessaria per bilanciare il carico gravante al perno. Come preannunciato essa non sarà più ortogonale alla direzione di accostamento ma avrà sia una componente normale ad essa che una componente parallela a tale direzione. Spesso, soprattutto quando il cuscinetto non è in bagno d olio e la lubrificazione non è forzata, la portata di lubrificante non è sufficiente ad alimentare un meato dell ampiezza di quello rappresentato in Fig. 5.6. L arco sul quale il lubrificante è attivo può essere sensibilmente più piccolo di quello ivi indicato e di conseguenza la capacità portante del cuscinetto risulta ulteriormente ridotta. In Fig. 5.7 è tracciato l andamento dei parametri adimensionali ( ) (5.76) in funzione di (per ). Per confronto sono stati riportati anche i valori che le prime due grandezze assumono per. 42

Q Q bωrδ f f R δ N N μωr R δ f N FIG. 5.7 Q χ Figura 5.7 Andamento dei parametri adimensionali N 1 f Q in funzione di χ Nella soluzione del problema diretto (note le dimensioni della coppia,,, il carico per unità di lunghezza, la viscosità e la velocità angolare, determinare l eccentricità, la portata ed il coefficiente di attrito ) si fa spesso uso del numero di Sommerfeld ( ). (5.77) In Fig. 5.8 è stata riportata la dipendenza di da per diversi valori del rapporto. La conoscenza di,,,, (e quindi quella di ) permette dunque di ricavare e di conseguenza ; le relazioni descritte in Fig. 5.7 e la (5.76) consentono poi il calcolo di ed. χ So Figura 5.8 Andamento di χ in funzione del numero di Sommerfeld di So 43

Operativamente parlando per il dimensionamento di una coppia rotoidale si parte di solito dalla conoscenza del reale carico gravante sulla coppia e della velocità angolare. Fissato inizialmente il rapporto ( ), si sceglie la pressione media ( per cuscinetti in metallo bianco e per cuscientti in bronzo). Dai valori di e si risale poi ad e e quindi a. Si fissano poi il gioco radiale (con compreso nel range ) e la viscosità del lubrificante. A questo punto è possibile calcolare il numero di Sommerfeld e a partire da esso, mediante la relazione di Fig. 5.8, determinare (di norma si cerca di fare in modo che sia nell intorno di ) e di conseguenza. La conoscenza di permette anche di calcolare mediante la (5.16) le spessore minimo del meato, il quale andrà poi confrontato con la rugosità di perno e cuscinetto per assicurarsi che il contatto sia effettivamente mediato e non diretto. Infine la (5.76) e le relazioni di Fig. (5.7) consentono infine di valutare ed in funzione del valore di. 5.5 Coppia rotoidale di larghezza infinitamente piccola con perno non oscillante Nel caso in esame si suppone che la larghezza della coppia rotoidale sia trascurabile rispetto al raggio ( ). Da un punto di vista grafico si faccia sempre riferimento alla Fig. 4.3. Da un punto di vista modellistico ne consegue invece che le derivate di rispetto a ( e ) sono trascurabili rispetto alle analoghe derivate rispetto a ( e ); si noti che ciò non implica che dipenda solamente da. Sotto tale ipotesi l equazione di Reynolds (5.38) diventa ( ) (5.78) che, essendo, si riduce a. (5.79) Integrando due volte rispetto si ottiene (5.80) da cui, imponendo le condizioni al contorno ( ) ( ), si ha ( ) (5.81) 44