Franco Favilli (in collaborazione con L. Maffei e C. Romanelli) Nucleo: Spazio e figure Problema: Come realizzare un dato pattern Costruzione degli strumenti teorici per affrontare il problema Le traslazioni (Attività 1) Le simmetrie (Attività 2) Risoluzione di problemi Analisi di un pattern assegnato (Attività 3) Costruzione di un pattern con proprietà assegnate (Attività 4) Modellizzazione e risoluzione del problema iniziale (Attività 5)
Introduzione Tematica: Isometrie del piano: simmetria assiale, simmetria centrale, traslazione e rotazione. Finalità e obiettivi di apprendimento: Introdurre isometrie a partire da movimenti sul piano realizzati con l uso di materiale concreto. Riconoscere isometrie in contesti reali. Metodologia: Si farà ricorso a specifiche schede per la realizzazione e l esplorazione di particolari disegni (creati a partire da una copia su carta lucida di un modello proposto dall insegnante) in modo da favorire la riflessione su quanto fatto. Sarà favorita la formulazione di semplici congetture, l argomentazione e la riflessione tra pari e con l insegnante. L insegnante avrà prevalentemente un ruolo di mediatore. Solo al termine della proposta didattica l insegnante potrà proporre agli alunni la riorganizzazione di quanto appreso secondo le trattazioni più usuali; sarà utile il coinvolgimento dell insegnante di Tecnologia per l effettiva realizzazione delle varie trasformazioni facendo uso di riga e compasso.
Descrizione dell attività Condizione, problema o stimolo da cui nasce l'attività Il percorso didattico è presentato agli alunni in modalità di problem-solving. Si inizia dicendo loro di voler riprodurre un disegno in cui si possono intravedere delle regolarità. Tutte le attività sono centrate a costruire i prerequisiti che metteranno in condizione gli alunni di affrontare il problema stabilito inizialmente. Attraverso la soluzione di sottoproblemi sono introdotti i concetti di traslazione, simmetria assiale, simmetria centrale. Prerequisiti richiesti ai ragazzi per svolgere l attività Concetto di perpendicolarità, parallelismo, verso, direzione; saper tracciare una retta perpendicolare ad una retta data, saper tracciare un segmento di data distanza, saper effettuare misure. Strumenti forniti agli allievi Schede per il lavoro in classe, fogli di carta di lucida (almeno 2 per ciascun alunno) per creare modelli, forbicine per tagliare la carta lucida (almeno 1 per coppia). Organizzazione della classe e metodologia Gli alunni lavoreranno a coppie (1 scheda di lavoro per coppia) così da favorire una prima discussione fra pari su quanto proposto nelle varie attività. Queste sono in gran parte di tipo euristico e sono, di solito, organizzate secondo il seguente schema: 1. analisi/riproduzione di un disegno; 2. riflessione strutturata sulla consegna assegnata; 3. discussione, con l insegnante, sulle soluzioni proposte; 4. definizione, da parte dell insegnante, dei concetti introdotti. I momenti di discussione sono solitamente posti a fine di ogni attività; talvolta sono anticipati così da venire incontro alle esigenze di alunni che incontrassero maggiori difficoltà nel lavorare in modo autonomo. In un attività di questo tipo il ruolo dell insegnante è cruciale, in quanto dovrà cercare di gestire in modo efficace le riflessioni e i commenti da parte degli alunni, per arrivare a condividere con loro una definizione del concetto che si vuole introdurre.
Fasi e tempi (indicativi) La proposta didattica consiste di cinque attività della durata complessiva di 9 ore, di una verifica di due ore e di un attività dedicata al recupero o al potenziamento di un ora da somministrare alla luce dei risultati ottenuti nella verifica. Attività Scheda Tempo 1 Scheda per lo studente Attività 1 2 h 2 Scheda per lo studente Attività 2 2 h 3 Scheda per lo studente Attività 3 2 h 4 Scheda per lo studente Attività 4 1 h 5 Scheda per lo studente Attività 5 2 h 6 Scheda per lo studente Verifica 2 h 7 Scheda per lo studente Recupero 1 h 8 Scheda per lo studente Eccellenze 1 h Allegati (scheda per la valutazione dei prerequisiti, schede per il lavoro in classe e relative indicazioni per il docente, schede per la verifica degli apprendimenti, schede per attività di recupero e attività di approfondimento) o 5 schede attività o 5 schede di indicazioni per il docente o 1 scheda per la verifica o 1 scheda per il recupero o 1 scheda per l approfondimento
Scheda per lo studente Cognome Nome Data Attività 1 Di pesce in pesce Al termine della proposta didattica, di cui questa è la prima attività, vogliamo arrivare a riprodurre il disegno dell Allegato 1, formato da tanti pesci di uguale forma. Per metterci nelle condizioni di poter fare questo, svolgeremo alcune attività tramite le quali impareremo a disegnare un numero sempre maggiore di pesci, messi in posizioni diverse. Consegna 1. Riproducete su carta lucida e ritagliate il pesce in Figura 1: lo chiameremo pesce-lucido. Figura 1 Consegna 2. Sovrapponete il vostro pesce-lucido su uno dei due pesci della Figura 2, ripassatene il contorno con una matita colorata e, facendolo scivolare sul foglio, sovrapponetelo al secondo pesce, evidenziandone il contorno con una matita di colore diverso. Figura 2 Quali movimenti avete effettuato per ottenere il disegno in Figura 2? Provate a descriverli.
Consegna 3. Lavorando come nella Consegna 2, provate a riprodurre la Figura 3, sovrapponendo il vostro pesce-lucido su ciascuno dei pesci, facendolo sempre scivolare sul foglio e ripassando ogni volta il contorno dei tre pesci con una matita di colore diverso. Figura 3 Quali movimenti avete effettuato per ottenere il disegno in Figura 2? Provate a descriverli. Consegna 4. Discutiamo insieme quanto avete fatto e detto. Consegna 5. Con il vostro pesce-lucido, lavorando per spostamenti e riproduzioni come nelle consegne precedenti, cercate adesso di riprodurre il disegno in Figura 4.
Figura 4 a. Quali movimenti avete effettuato per ottenere il disegno in Figura 2? Provate a descriverli. b. Pensate che ci siano modi differenti di ottenere la Figura 4? Se sì, descriveteli. Consegna 6. Discutiamo insieme quanto avete fatto e detto. Allegato 1
Indicazioni per il docente Attività 1 - Di pesce in pesce Tipologia: Attività di esplorazione Obiettivo didattico: traslazioni. Tempo: 2 ore Consegna 1 La consegna chiede di riprodurre su carta lucida un pesce, chiamato pesce-lucido, a partire da un modello (pattern) proposto. Consegna 2 Viene chiesto di riprodurre la Figura 2, costituita da due pesci. Analisi della Consegna 2 L obiettivo della consegna è l introduzione di una traslazione di un vettore particolare. Osserviamo innanzitutto che la Figura è ottenibile, nel modo più semplice, come traccia di una traslazione sia che partiamo dal pesce a sinistra sia da quello a destra. Il poter riprodurre il disegno a partire da due posizioni diverse evidenzia inoltre come, per tornare nella posizione iniziale, basta muoversi di uno stesso tragitto, parallelamente alla base del foglio, ma nel verso opposto: basta cioè effettuare la traslazione inversa di quella già effettuata (uguale lunghezza, uguale direzione, ma verso opposto). Questa osservazione permette di riflettere sul fatto che, nella descrizione del movimento effettuato, occorre indicarne anche il verso. La modalità di introduzione della traslazione utilizzata in questa consegna mette in evidenza come le traslazioni non modificano la forma dell oggetto. Inoltre questa modalità mette in luce la differenza fra ciò che si disegna, ossia la traccia della traslazione, dalla traslazione stessa: una trasformazione sul piano che fa in modo che l oggetto, che all inizio è in una certa posizione, dopo la trasformazione sia in un altra. Quanto ora osservato per questa Consegna continuerà a valere per altre consegne di questa Attività, ma anche per consegne di altre Attività di questa proposta, con riferimento ad altre trasformazioni isometriche. Consegna 3 Viene chiesto di riprodurre la Figura 3, costituita da tre pesci. Analisi della Consegna 3 I movimenti richiesti sono, una volta fissato sul foglio il pescelucido, due traslazioni successive di uguale direzione e verso ma di lunghezza diversa. Gli alunni dovrebbero riconoscere come i due movimenti utilizzato sono analoghi a quello della Consegna 2. Il fatto però di dover percorrere distanze diverse dovrebbe suggerire loro che, per definire un tale movimento, è necessario indicare una lunghezza. Consegna 4 La discussione si apre chiedendo agli alunni di presentare quanto fatto per eseguire le consegne 2 e 3. Analisi della Consegna 4 La discussione ha l obiettivo di riflettere sulle diverse proposte degli alunni, per arrivare a mettere in evidenza alcune proprietà di questo movimento ottenuto attraverso spostamenti particolari (le traslazioni) e riproduzioni del pesce-lucido. Alcune proprietà che potranno emergere:
- La composizione di due movimenti di questo tipo è un movimento dello stesso tipo; - Per definire questo tipo di movimento occorre indicare una direzione, un verso (lungo la direzione assegnata) e una lunghezza (di quanto sposto l oggetto). Probabilmente la direzione non emergerà visto che si sono trattate per il momento solo traslazioni di direzione parallela alla base del foglio. Consegna 5 e 6 Viene chiesto di riprodurre il disegno in Figura 4 costituito da due pesci che si possono ottenere ancora per traslazione, ma di un vettore con direzione diversa da quella finora utilizzata. Segue la discussione. Analisi delle Consegne 5 e 6 Una volta appoggiato il pesce-lucido su uno dei due pesci della Figura, il movimento richiesto è una generica traslazione. L insegnante durante la discussione può non solo mostrare come lo spostamento del pescelucido sulla figura da una posizione iniziale a una finale sia il risultato di una sola traslazione (individuata da una direzione, da una lunghezza, da un verso, cioè da un vettore), ma anche come tale movimento possa essere visto e ottenuto come composizione di altre traslazioni, se pensiamo che il disegno dato costituisca la traccia.
Scheda per lo studente Cognome Nome Data Attività 2 Ancora.di pesce in pesce Consegna 1. Provate a riprodurre la Figura 1, sovrapponendo il vostro pesce-lucido prima su un pesce e poi sull altro ed evidenziandone il contorno con matite di colore diverso. Figura 1 Quali movimenti avete fatto per ottenere il disegno in Figura 1? Provate a descriverli. Consegna 2. Discutiamo insieme quanto avete fatto e detto.
Consegna 3. Con il vostro pesce-lucido, ripassando il contorno dei pesci con matite di colore diverso, cercate adesso di riprodurre il disegno in Figura 2. Figura 2 Quali movimenti avete effettuato per ottenere il disegno in Figura 2? Provate a descriverli. Consegna 4. Ritenete di poter ottenere lo stesso disegno in un modo diverso? Se sì, descrivete, come avete fatto nella consegna precedente, i movimenti utilizzati. Consegna 5. Discutiamo insieme ai compagni le varie proposte.
Tipologia: Attività di esplorazione Indicazioni per il docente Attività 2 Ancora.di pesce in pesce Obiettivo didattico: Introduzione alla simmetria assiale e alla simmetria centrale. Tempo: 2 ore Consegna 1 Dopo aver riprodotto la Figura 1, si chiede di spiegare quali movimenti del pesce-lucido sono stati utilizzati per ottenere il disegno. Analisi della Consegna 1 Gli alunni non possono eseguire la consegna facendo scivolare il pesce sul piano del foglio (come invece possibile nell attività 1) ma devono necessariamente sollevarlo, ricorrendo così a un movimento nello spazio. Consegna 2 Si apre la discussione in cui si chiede agli alunni di presentare quanto fatto per eseguire la consegna 1. Analisi della Consegna 2 Si può pensare che gli alunni si riferiscano al movimento utilizzato indicandolo come un ribaltamento del pesce-lucido. L insegnante di nuovo puntualizzerà il fatto che il disegno non è altro che la traccia, mentre il processo è il ribaltamento del pesce e tale trasformazione si chiama simmetria assiale. In questo momento, o in seguito, può essere introdotto l asse di simmetria. Consegna 3 Viene chiesto di riprodurre il disegno in Figura 2 costituito da due pesci che si possono ottenere l uno dall altro tramite una simmetria centrale che corrisponde a una rotazione di 180. Analisi della Consegna 3 I movimenti utilizzabili possono essere dunque ribaltamentoriproduzione del pesce-lucido, prima rispetto a un asse parallelo alla base del foglio, di cui però non c è traccia, e poi rispetto a un asse perpendicolare alla base del foglio. Consegna 4. Viene chiesto agli alunni se ritengano di poter ottenere lo stesso disegno in un modo diverso. Analisi della Consegna 4 Sono richiesti movimenti diversi in modo da ottenere quelli descritti nell analisi della Consegna 3. Consegna 5. Si apre la discussione in cui si chiede agli alunni di presentare quanto fatto per eseguire le consegne 3 e 4. Analisi della Consegna 5 La discussione ha l obiettivo di condividere le proposte corrette offerte dagli alunni e di definire simmetria centrale come composizione di due simmetrie assiali con assi perpendicolari. Il punto di incontro di tali assi è il centro di simmetria. Quindi si evidenzierà che, per definire una simmetria, occorre dare un asse (nel caso di simmetria assiale) o un centro (nel caso di simmetria centrale). In questo momento si possono anche utilizzare le soluzioni indicate nella Consegna 1 dell Attività 1, in cui il movimento era una traslazione, per confrontare come operano i due nuovi tipi di movimento: si metterà così in evidenza come il primo non inverta il verso di nuoto del pesce, mentre il secondo lo inverta. Si potrà allora chiamare il primo come un movimento diretto (o non invertente) e il secondo come un movimento invertente.
Scheda per lo studente Cognome Nome Data Attività 3 Di pesci in pesci Consegna 1. E dato il gruppo di pesci che trovate in Figura 1. Figura 1 a. Se vi fosse dato un nuovo pesce-lucido (ovviamente più piccolo di quello utilizzato fino a questo momento), quali tipi di movimento occorrerebbero per riprodurre il disegno in Figura 1? b. Complessivamente, quanti movimenti fareste?
Consegna 2. E possibile creare il disegno in Figura 1 anche muovendo contemporaneamente due pesci lucidi. a. Come dovrebbero essere posti i due pesci per creare il disegno? Provate a riprodurre su carta lucida una coppia di pesci-lucidi opportuna e verificate che con essa riuscite a riprodurre il disegno. b. Quale / Quali tipi di movimento avete utilizzato? c. Complessivamente, quanti sono i movimenti effettuati? Consegna 3. Per riprodurre il disegno in Figura 1, provate ora a utilizzare un gruppo di almeno 3 pesci. a. Elencate i casi possibili riproducendo su carta lucida ciascun gruppo di pesci. Lavorate per movimenti e riproduzioni con i vostri gruppi di pesci e stabilite, per ciascun gruppo, quale/i e quanti movimenti sono necessari per ottenere il disegno. b. Qual è il più grande gruppo di pesci che si può utilizzare per ottenere il disegno? c. Qual è / Quali sono i movimenti necessari? Consegna 4. Discutiamo insieme ai compagni le varie proposte di risoluzione alle figure.
Indicazioni per il docente Attività 3 Di pesci in pesci Tipologia: Attività di esplorazione e di congettura. Obiettivo didattico: Composizione di traslazioni e simmetrie. Tempo: 2 ore Consegna 1 La consegna richiede di descrivere i movimenti del pesce-lucido per ottenere il disegno in figura. Analisi della Consegna 1 Il ripetere tante volte lo stesso tipo di movimenti (traslazioni e simmetrie) ha l obiettivo di fare intravedere una soluzione più economica in termini di tempo per raggiungere l obiettivo. Consegna 2 La consegna richiede di riprodurre il medesimo disegno muovendo contemporaneamente due pesci. Inoltre chiede di dire quanti e quali sono i movimenti della coppia di pesci-ludici necessari per ottenere tale disegno. Analisi della Consegna 2 Dare agli alunni una possibile modellizzazione per risolvere il problema di riprodurre il disegno suggerisce la possibilità di soluzioni differenti. Osserviamo che si tratta di una modellizzazione volutamente parziale: si indica il numero di pesci ma non la loro disposizione. E compito degli alunni decidere come disporre i pesci, in orizzontale o in verticale. Consegna 3 La consegna richiede di fare ipotesi su possibili configurazioni a partire da almeno 3 pesci. Viene inoltre richiesto qual è il numero massimo di pesci che si possono muovere simultaneamente per riprodurre il disegno in Figura. Analisi della Consegna 3 Agli alunni viene chiesto di pensare a delle modellizzazioni, di verificare che siano corrette e di dire quanti e quali movimenti si devono effettuare per ottenere la figura. Inoltre è richiesto di dire quali siano le modellizzazioni che consentono di riprodurre il disegno con il maggior numero di pesci. Vi sono due possibilità: la modellizzazione costituita dalla prima riga o quella costituita dalle prime 4 colonne. Consegna 4 La discussione si apre a partire dalle soluzioni proposte dagli alunni alla riproduzione della figura data nella consegna 1. Analisi della Consegna 4 Dalle soluzioni alle consegne, l insegnante introdurrà la nozione di elemento-base come la/le configurazioni contenente il maggior numero di pesci possibile per ottenere il disegno dato. La consegna 3 ha due elementi-base possibili.
Scheda per lo studente Cognome Nome Data Attività 4 Create il vostro disegno Consegna 1. Adesso sarete voi a creare un disegno. a. Il disegno dovrà essere composto da 36 oggetti; potete scegliere l elemento-base (nelle precedenti attività era un pesce o un gruppo di pesci) come preferite. Il disegno deve essere riprodotto utilizzando almeno una simmetria centrale, almeno tre traslazioni, almeno due simmetrie assiali. b. Descrivete il procedimento seguito per creare il vostro disegno, specificando attraverso quali movimenti potete ottenere, come traccia sul foglio, il disegno voluto.
Indicazioni per il docente Attività 4 - Create il vostro disegno Tipologia: Attività di riflessione e di congettura Obiettivo didattico: Applicazioni di traslazioni, simmetrie assiali e centrali. Tempo: 1 ora Consegna 1. Viene chiesto agli alunni di creare un disegno con 36 oggetti che soddisfi determinate proprietà. Analisi della Consegna 1: Si possono creare elementi-base diversi. Gli alunni cercano di ottenere quanto richiesto scegliendo opportuni elementi-base e procedendo con delle verifiche.
Scheda per lo studente Cognome Nome Data Attività 5 Tanti pesci Consegna. Sulla base di quanto avete imparato, vogliamo adesso riprodurre il disegno che vi avevamo mostrato all inizio di questo percorso e che trovate alla pagina allegata. Spiegate in modo dettagliato come fareste. Alla fine ne discuteremo insieme. Scarica allegato 1
Indicazioni per il docente Attività 5 - Tanti pesci Tipologia: Attività di riflessione e di congettura Obiettivo didattico: Applicazione di trasformazioni isometriche e di elementi-base per riprodurre un pattern. Tempo: 2 ore La consegna chiede di riconoscere nel pattern presentato nella prima attività quali trasformazioni si possano eseguire per avere come traccia tale pattern.
Scheda per lo studente Cognome Nome Data Verifica Consegna 1. A partire dallo smile qua sotto, prova a riprodurre il disegno in Figura 1. a. Quanti e quali movimenti devi effettuare a partire da un solo smile? b. E se potessi raggrupparli? Quale unità base sceglieresti? Verifica che la scelta è corretta. Figura 1 Consegna 2. Rispondi a ciascuna domanda, motivando la risposta. Verifica con esempi le risposte date. a. Con due traslazioni puoi ottenere una simmetria assiale? b. Con due simmetrie assiali puoi ottenere una traslazione? c. Con una traslazione e una simmetria assiale puoi ottenere una simmetria assiale? E se facciamo prima la simmetria assiale e poi la traslazione? d. Con due simmetrie assiali puoi ottenere una simmetria centrale? e. Con due simmetrie centrali con centri di simmetria diversi puoi ottenere una traslazione?
Consegna 3. a. A partire dal cuore riportato sotto, riproducete un elemento-base costituito da 6 elementi che abbia simmetria centrale. b. Si può creare più di un elemento-base con queste proprietà? Se sì, riproducete almeno uno di questi. c. A partire da uno degli elementi-base riprodotti, create un disegno rettangolare che si possa ottenere solo attraverso due traslazioni e una simmetria centrale. Spiegate il procedimento. d. A partire da uno degli elementi-base riprodotti, create un disegno rettangolare che si possa ottenere solo attraverso due simmetrie assiali ma non con una simmetria centrale. Spiegate il procedimento.
Scheda per lo studente Cognome Nome Data Attività di Recupero Riproduciamo un mosaico Consegna1. La figura mostra un particolare di un mosaico dell Alhambra di Granada. a. Prova a individuarne un elemento-base ed evidenzialo nel mosaico b. Quanti elementi-base ci sono nel mosaico riportato sopra? c. Descrivi come potresti ottenere la parte di mosaico in figura lavorando per movimenti e riproduzioni dell elemento-base scelto.
Consegna 2. Un tuo compagno dice che si può ottenere la parte di mosaico in figura con movimenti ottenuti utilizzando una sola trasformazione (traslazione, simmetria assiale o simmetria centrale). a. Secondo te ha ragione? b. Se pensi di si, quale elemento-base ha scelto per dire questo? Di che trasformazione si tratta?
Scheda per lo studente Cognome Nome Data Attività di Approfondimento Riproduciamo un mosaico Consegna 1. La figura mostra un particolare di un mosaico dell Alhambra di Granada. Prova a individuarne gli elementi-base e a descrivere come, a partire dagli elementi base, sia possibile costruire il disegno attraverso traslazioni e simmetrie.
Consegna 3. A questo punto dovresti poter dire cosa succede se eseguiamo due movimenti dello stesso oggetto, cioè se facciamo la composizione di due movimenti. Aiutandoti con esempi già fatti o creandone di nuovi, prova a riempire la seguente tabella, in cui l operazione di composizione è indicata con il simbolo o, il movimento diretto è indicato con movimento invertente con e il