CAPITOLO I TEORIA DELLA PIASTRA

CAPITOLO I TEORIA DELLA PIASTRA

R. BARBONI TEORIA DELLA PIASTRA 3 1. La piastra Si consideri la struttura di figura con riferimento ad un sistema di coordinato con, nel piano medio e z ortogonale ad esso, positivo verso il L basso. Su una superficie della struttura è applicato, in direzione z, un carico per L unità di superficie q(,). q(,) Si assumono le stesse ipotesi alla base della teoria delle travi, salvo ovviamente ce le dimensioni L nel piano sono dello stesso ordine di grandezza. z Dato il piccolo spessore, il campo di spostamenti può essere approssimato con una serie di potenze in z: m uz (,, ) = z um (, ) m= m (1.1) vz (,, ) = z vm (, ) m= N n wz (,, ) = zwn (, ) n= In particolare nella teoria delle piastre di Kircoff-Love si assume ce le sezioni inizialmente piane ed ortogonali al piano medio rimangano piane. Questo implica =N=1, quindi: u(,,z) = u (, ) + zθ (, ) (1.) v(,,z) = v (, ) + zθ (, ) w(,,z) = w (, ) + zw1(, ) le sezioni inizialmente piane ed ortogonali al piano medio rimangano ortogonali alla linea media. Questo implica γ z =γ z =. Quindi: (1.3) γ γ z z u = + = θ z v = + = θ z + = + = θ θ = =

4 R. BARBONI LA PIASTRA Pertanto la cinematica semplificata consente di descrivere il campo di spostamenti in termini di tre incognite cinematice u,v,w funzioni solo delle coordinate nel piano,: (1.4) (, ) u(,,z) = u (, ) z (, ) v(,,z) = v (, ) z w(,,z) = w (, ) Sostituendo le (1.4) nelle relazioni cinematice (lineari): (1.5) ε ε γ ε zz z,w u (, ) w (, ) (,,z) = z v (, ) w (, ) (,,z) = z w u,u w u (, ) v (, ) w (, ) (,,z) = + z = γ = γ = z Infine dalle relazioni costitutive, utilizzando le (1.5): σ (1.6) σ τ [ ] z ν ε νε ν ν E E u v w w = z + = + + 1 1 ν E [ ] ν ε νε E v ν u w z ν w = + = + + 1 1 ν u v w = Gγ = G + z ce possiamo scrivere in forma abbreviata come: (1.7) σ =σ + zσ σ =σ + z σ τ =τ + z τ 1 1 1

R. BARBONI TEORIA DELLA PIASTRA 5. Elemento rappresentativo della piastra Gli sforzi (1.7) sono noti una volta determinati le sei funzioni σ, σ 1, σ, σ 1, τ, τ 1. In luogo di tali incognite si introducono delle grandezze di più immediato significato fisico, quali forze e momenti. Precisamente: 1. Integrando le (1.7) sullo spessore, si a: (.1) ed analogamente: / / N = σ dz = ( σ + z σ )dz= σ 1 / / (.) N = σ dz = σ ; N = τ dz = τ / / / / Le (.1,), ricordando le (1.6,7), in termini di spostamenti si scrivono: (.3) E u v N = +ν 1 ν u v ; N = G + E v u N = +ν 1 ν In similitudine 1 possiamo porre: (.4) T = τ dz ; T = τ dz / z / / z / Notiamo ce sulla base delle (1.5) si avrebbe ce τ z =τ z =. a questo è vero al primo ordine. Considerando un maggior numero di termini nello sviluppo (1.1) tali sforzi di taglio dipendono da z. Dovendo peraltro risultare τ z =τ z = in z=±/, detti sforzi anno l andamento di figura e la loro risultante, in direzione z, non può essere trascurata. d d q(,) z σ 1 τ z τ z σ 1 τ 1 τ 1 1 Si noti ce N e T, pur indicate genericamente come forze, non anno le dimensioni di una forza ma di una forza per unità di lungezza.

6 R. BARBONI LA PIASTRA INFLESSA. oltiplicando le (1.7) per z ed integrando sullo spessore, si a: (.5) analogamente: / / 3 = zσ dz = z( σ + z σ )dz = σ 1 1 1 / / / (.6) = zσ dz ; = zτ dz = / / / Le (.5,6), utilizzando le (1.6,7), possono essere scritte in termini di spostamenti: w w = D + ν w w (.7) = D + ν D w = ( 1 ν) dove D è la rigidezza flessionale della piastra 1 : 3 E (.8) D = 1( 1 ν ) Pertanto tra le grandezze iniziali σ, σ 1, e le nuove grandezze introdotte N,, vigono le seguenti relazioni: N 1 N 1 σ = σ = σ = + N 1 N 1 σ = σ = σ = + N 1 N 1 τ = σ = τ = + ; 1 3 z 3 ; 1 3 z 3 ; 1 3 z 3 1 Si noti ce la rigidezza flessionale D della piastra non a le stesse dimensioni fisice della rigidezza flessionale EI della trave dal momento ce le integrazioni (.5,6) sono sullo spessore e non sull area dove agisce lo sforzo.

R. BARBONI TEORIA DELLA PIASTRA 7 Possiamo allora considerare come elemento rappresentativo di una piastra quello dato dal piano medio di dimensioni d,d, soggetto alle forze N,,T. Consideriamo separatamente le sollecitazioni nel piano della piastra date dalle N e quelle fuori del piano date dalle T ed. a) sollecitazioni nel piano N N N d Figura 1 Piastra Tirata b) sollecitazioni fuori del piano z N + d N N d N T N + d T + d + d T d T d qdd z +... T T + d + d +... T T + d + d Figura Piastra Inflessa

8 R. BARBONI LA PIASTRA INFLESSA 3. Equazioni di equilibrio della piastra inflessa Supponiamo ce non ci siano forze applicate nel piano ma solo forze fuori del piano ce inducono flessione. Dalla precedente figura, si a: l equilibrio ai momenti intorno all asse : dd dd T T d + + d dd qdd = ovvero, trascurando i termini di ordine superiore: (3.1) + = T l equilibrio ai momenti intorno all asse, in maniera analoga: (3.) + = T l equilibrio ai momenti intorno all asse z. Dalla precedente figura 1 si ottiene quanto già noto: N = N l equilibrio delle forze in direzione z, quindi: T T T + d d Td + T + d d Td + qdd = T (3.3) T + + q = Le (3.1,3) sono tre equazioni di equilibrio nelle cinque incognite,,, T, T. Nella logica di risolvere le equazioni per risalita vediamo di ricavare un equazione in termini dei soli momenti. Eseguendo la seguente operazione: T (3,1) (3,) T + + + = +

R. BARBONI TEORIA DELLA PIASTRA 9 ed utilizzando la (3.3) si a: (3.4) + + = q Sostituendo le (.7) nella (3.4) ed eliminando l ormai superfluo pedice di w(,) w : (3.5) w w w 4 4 4 4 D + + = q D w = q 4 4 ce è l equazione della piastra inflessa, espressa in termini di spostamento. In definitiva si a una sola equazione differenziale del 4 ordine nella sola incognita w, cui vanno associate le condizioni al contorno. Le equazioni (3.1,3) si sarebbero potute ricavare dalle equazioni di equilibrio della teoria tridimensionale dell elasticità, tenendo conto del piccolo spessore della piastra. Infatti ricordando l equazione di equilibrio: σ τ τz (a) + + = z moltiplicandola per z, integrando lungo lo spessore e ricordando le (.4,5): / τz (b) + + z dz = z / Poicé: / / τz / (c) z dz = (z τz ) τ / zdz = T z / / la (b) è esattamente la (3.1) precedentemente trovata. Procedendo in modo analogo sulla seconda equazione di equilibrio: σ τ τz (d) + + = z si a facilmente la (3.). Per ottenere l equazione di equilibrio (3.3) si integri la terza equazione: / σzz τ τ z z (e) + + dz = z / e ricordando le (.4): T T (f) + = ( σzz ) ( σzz ) z= / z= / ma, poicè (σ zz ) z= / = q e (σ zz ) z=/ =, la (e) è proprio la (3.3).

1 R. BARBONI LA PIASTRA INFLESSA 4. Condizioni al contorno per piastra inflessa Sul contorno devono essere date due condizioni ce definiscono gli spostamenti (generalizzati w,θ) e/o i carici (generalizzati T,). In particolare per piastra rettangolare alcuni possibili tipi di vincolo, precisati sul lato =, sono: 1.Incastro: spostamento e rotazione nulla: w= = z (4.1) w = Incastro =.Appoggio (con cerniera): spostamento e momento nullo: (4.) w= = w w = = D +ν = = 3.Libera: ovvero sono consentiti gli spostamenti e non vi sono forze: (4.3) ( ) = = (T ) = = ( ) = = z Sotto questa forma le condizioni al contorno sono state discusse da Poisson. Incastro Più tardi Kircoff a dimostrato ce tre condizioni al contorno sono sovrabbondanti e sono sufficienti due sole condizioni a determinare in modo completo lo spostamento w. Egli a dimostrato ce le ultime due delle (4.3) possono essere combinate insieme in una unica condizione ed essere scritte: (4.4) w w = = 3 3 ( ) = D +ν = Incastro w w (V ) = = D + ( ν ) 3 = = Limitiamoci in questa sede a giustificare intuitivamente ce la seconda delle (4.4) è equivalente alle ultime due delle (4.3). z

R. BARBONI TEORIA DELLA PIASTRA 11 Si consideri un tratto del lato = della piastra come costituito da due elementi di lungezza d; se nel primo tratto d è presente un momento (per unità di lungezza), sul secondo tratto si a +( / )d. R 1 d = d d d R (d) = Il momento d sul tratto d può essere pensato come dovuto a due forze di intensità R 1 =( d)/d a distanza d; analogamente il momento sul secondo tratto è dato da due forze R =( d)/d+ ( d)/. Nell unione dei due elementi queste forze si compensano, salvo ce per il loro incremento ce diviso per d dà una forza di taglio per unità di lungezza Q : (4.5) (d) d+ d R d (d) d = + d d Q R R d d d 1 = = + = Procedendo in modo analogo su tutto il lato possiamo concludere ce il momento torcente (per unità di lungezza) è staticamente equivalente ad una forza di taglio (per unità di lungezza) di intensità (4.5). Le due ultime condizioni (4.3) possono quindi essere compattate in una sola condizione: V T = = ce, utilizzando la (3.1) e la (.7) si scrive: (4.6) ( ) = + = = + d (4.7) ( V ) 3 3 w w = D + ( ν) 3 = = = =

1 R. BARBONI LA PIASTRA INFLESSA 5. La piastra appoggiata al contorno Nel caso di piastra rettangolare di lati a,b appoggiata su tutto il contorno, all equazione nel campo: 4 4 4 (5.1) w w w q + + = 4 4 D vanno associate le condizioni al contorno: w=,a= w w =,a= D +ν = =,a w=,b= w w =,b= D +ν = =,b ce sono soddisfatte dallo sviluppo in serie: (5.) N N mπ nπ w(,) = w sen( )sen( ) w s s mn mn m n m= 1 n= 1 a b m= 1n= 1 dove i coefficienti w mn devono garantire il soddisfacimento della (5.1). Sostituendo la (5.) nella (5.1): b a q(,) (5.3) N mπ nπ mπ nπ w mn ( ) + ( ) sen( )sen( ) = q(, ) m= 1 n= 1 a b a b Al fine di ottenere un sistema di equazioni algebrice nelle incognite w mn si può, in linea di principio, procedere in due modi: a) sviluppare la funzione nota q(,) a secondo membro della (5.3) in una serie analoga a quella ce compare a primo membro 1 : (5.4) N N mπ nπ q(,) = q sen( )sen( ) q s s mn mn m n m= 1n= 1 a b m= 1 n= 1 1 etodo questo indicato ance come metodo di Navier

R. BARBONI TEORIA DELLA PIASTRA 13 dove: (5.5) q a b pπ qπ q(, )sen( )sen( )dd a b = mπ pπ nπ qπ sen( )sen( )d sen( )sen( )d a a b b pq a b e poicé le funzioni s m sen(mπ/a) sono ortogonali nel dominio,a come lo sono le funzioni s n sen(nπ/b) nel dominio,b:: (5.6) la (5.5) si scrive: (5.7) a b se m p se n q smspd = ; snsqd = a/ se m= p b/ se n= q q 4 a b = q(,)s s dd pq p q ab Sostituendo la (5.4) nella (5.3): N mπ nπ q mn mπ nπ (5.8) w mn ( ) + ( ) sen( )sen( ) = m= 1 n= 1 a b D a b ce risulta verificata se è nullo ogni termine della serie: mπ nπ q m = 1,,..., mn (5.9) w mn ( ) + ( ) = ; a b D n = 1,,..., N da cui: q m = 1,,..., mn (5.1) w mn = ; mπ n 1,,..., N nπ = D ( ) + ( ) a b Pertanto la soluzione (5.) del problema si scrive: (5.11) N 1 qmn mπ nπ D m= 1 n= 1 mπ a b nπ w(,) = sen( )sen( ) ( ) + ( ) a b

14 R. BARBONI LA PIASTRA INFLESSA b) Utilizzando il metodo di Galerkin, ovvero moltiplicando ambo i membri della (5.3) per s p s q sen(pπ/a)sen(qπ/b) ed integrando su tutta l area della piastra in modo da soddisfare in media l equazione nel campo: (5.1) w ( ) + ( ) s s d s s d = N a b mπ nπ mn m p n q m= 1 n= 1 a b a b = q(, )spsqdd ; q = p = 1,,..., 1,,..., N ce, utilizzando le (5.6,7), si scrive: (5.13) pπ q qπ pq p = 1,,..., w pq ( ) + ( ) = ; a b D q = 1,,..., N Nel caso particolare di carico uniformemente distribuito, q=q =costante, la (5.7) diventa: a b a b 4q 4q qpq = sp sqdd spd sqd ab = ab = (5.14) 4q a p b q 16q = (1 ( 1) (1 ( 1) ab p = q π π pqπ ; p,q = 1,3,5,... la (5.1) si scrive: 16q 1 (5.15) w mn = ; m,n = 1,3,5,... 6 Dπ m n mn ( ) + ( ) a b per cui la soluzione (5.) si scrive: (5.15) mπ nπ 4 N sen( )sen( ) 16a q w(,) = a b 6 Dπ m= 1,3,5 n= 1,3.5 a mn m + ( n) b serie questa ce converge rapidamente per cui sono sufficienti poci termini per avere una sufficiente accuratezza.