Teoria dei Giochi e Giochi Evolutivi Parte 1 - Teoria dei Giochi

Università degli studi di Siena Dipartimento di ingegneria dell informazione e scienze matematiche Dispense del corso di Teoria dei Giochi e Giochi Evolutivi Parte 1 - Teoria dei Giochi Dario Madeo, Chiara Mocenni Marzo 2016

Indice 1 Elementi della teoria dei giochi non cooperativi 4 1.1 Giochi a 2 giocatori con strategie pure..................... 4 1.1.1 Matrici di payoff e best reply...................... 6 1.1.2 È una questione di... equilibrio!..................... 7 1.1.3 Giochi con n giocatori.......................... 10 1.2 Strategie miste.................................. 10 1.2.1 Strategie miste e funzione payoff come valore atteso.......... 13 1.2.2 Best reply................................. 14 1.3 Equilibrio di Nash................................. 14 1.3.1 Calcolo degli equilibri di Nash misti: 2 giocatori e 2 strategie..... 15 1.3.2 Calcolo degli equilibri di Nash misti: 2 giocatori e 3 strategie..... 16 1.4 Giochi simmetrici a due giocatori........................ 17 1.4.1 Equilibri di Nash simmetrici....................... 18 1.4.2 Calcolo degli equilibri di Nash simmetrici................ 18 1.4.3 Classificazione dei giochi simmetrici 2 x 2................ 24 1

Introduzione La teoria dei giochi nasce con lo scopo di individuare il linguaggio matematico appropriato per la modellizzazione e lo studio dei fenomeni economici. Questa può avere due ruoli diversi, il primo è quello di interpretare la realtà, ossia spiegare come mai, in certe situazioni di conflitto, i soggetti coinvolti (giocatori) adottano certe strategie piuttosto che altre. Il secondo ruolo è invece quello di determinare quali situazioni di equilibrio possono verificarsi come risultato dell interazione tra i due soggetti. Le interazioni strategiche studiate dalla teoria dei giochi avvengono fra soggetti intelligenti e razionali. Intelligenti significa essi sono in grado di capire la situazione in cui si trovano e di effettuare ragionamenti logici complessi. Razionali significa che sanno ordinare i loro obiettivi in un scala di preferenze e che si comporteranno in modo da ottenere il risultato a loro più gradito, fra quelli ai quali sono in grado di arrivare. In altri termini la decisione sarà guidata dalla voglia di massimizzare un certo profitto, relativo ad una certa scala di valori che varia da contesto a contesto. La teoria dei giochi evolutivi è un estensione della teoria dei giochi classica, che si ispira ai meccanismi di selezione ed evoluzione delle specie in un contesto biologico. Tale teoria coinvolge individui appartenenti a vaste popolazioni, che non necessariamente hanno una conoscenza dell intera struttura del gioco, o l abilità di effettuare complicati processi razionali.la teoria dei giochi evolutivi è stata introdotta come uno strumento per studiare i processi di selezione dei geni ed anche i comportamenti nei sistemi biologici e sociali. Il suo scopo è quello di caratterizzare da un punto di vista dinamico le scelte, in termini di strategie, degli individui di una popolazione coinvolta in un gioco. Il presupposto fondamentale della teoria evolutiva è che la capacità fisica di un individuo di riprodursi corrisponde al payoff ottenuto. Di conseguenza, le strategie di maggior successo, in termini di payoff, sono anche quelle che si moltiplicano velocemente e alla fine possono diventare dominanti dopo alcune generazioni. Queste idee trovano un espressione analitica nella forma della cosiddetta replicator equation. La teoria dei giochi evolutiva studia i processi di selezione dei geni, delle specie in ambito ecologico, dei comportamenti nei sistemi biologici e sociali tramite la formalizzazione di modelli matematici. Questo tipo di modelli spiega solo le dinamiche aggregate, non i comportamenti individuali. Infatti, l ipotesi di base è che le strategie che hanno più successo vengono adottate con più frequenza; ciò può essere dovuto a dinamiche di apprendimento sociale, oppure a vere e proprie dinamiche di evoluzione biologica, in cui il comportamento è geneticamente determinato e gli individui portatori di geni di successo producono una prole 2

più numerosa, on grado di replicare il comportamento dei genitori. I primi modelli di giochi evolutivi hanno infatti avuto origine in ambito biologico e si proponevano di analizzare la distribuzione di certe caratteristiche di specie biologiche animali o vegetali non facilmente spiegabili, come effetti dell adattamento della specie all ambiente esterno. La teoria dei giochi evolutiva è stata usata per modellizare sistemi predatore preda, la diffusione del virus dell HIV e la riproduzione delle cellule tumorali. In alcune ricerche più recenti la teoria dei giochi evolutivi è stata estesa a sistemi costituiti da un numero finito di individui connessi tra di loro da una rete sociale. In questi studi la replicator equation su rete viene utilizzata come un modello che consente di spiegare quanto e come le interazioni tra individui possono modificare l opinione personale, quest ultima vista come l unica fonte decisionale per la scelta di una strategia. 3

Capitolo 1 Elementi della teoria dei giochi non cooperativi 1.1 Giochi a 2 giocatori con strategie pure In molti contesti reali, un soggetto si trova nella situazione di dover prendere una decisione, scegliendo fra varie opzioni possibili. In generale, la scelta cade su quell opzione che permette di ottenere il miglior esito in base ad una scala di preferenze (in alcuni casi, si sceglie il meno peggio!). In altri termini, la decisione sarà guidata dalla voglia di massimizzare un certo profitto, relativo ad una certa scala di valori che varia da contesto a contesto. Si supponga di avere a disposizione n scelte numerate per affrontare una certa situazione. Per indicare in maniera formale la scelta, si utilizza un vettore x di n componenti (x R n ). In particolare la componente i-esima x i sarà l unica pari ad 1 se si è deciso di adottare la strategia indicata con il numero i. Un vettore siffatto determina univocamente la scelta strategica che è stata adottata. In altri termini: x i = 1 se la strategia adottata è la i 0 se la strategia adottata non è la i (1.1) Si può pensare al profitto, normalmente chiamato payoff, come ad una funzione π(x) : R n R che associa ad ogni vettore di scelta x un numero reale che quantifica il profitto che il soggetto trae dall utilizzare la strategia scelta. In generale però le scelte sono condizionate da altri fattori. Non è raro trovarsi in contesti 4

in cui il guadagno che si ottiene non dipende esclusivamente dalle proprie decisioni; vi possono essere ulteriori soggetti che partecipano nel processo di scelta, i quali hanno le stesse intenzioni: massimizzare il proprio profitto. In questi casi, succede spesso che il guadagno che si può ottenere non dipenderà solo dalle proprie scelte, ma anche da quelle altrui (e viceversa). Se fosse possibile comunicare con gli altri partecipanti, si potrebbe in qualche maniera trovare un accordo. In tal caso la scelta potrebbe essere guidata da un semplice compromesso tra le parti in gioco. Tuttavia il caso più interessante si ha nel momento in cui le scelte dei vari partecipanti sono fra loro indipendenti e guidate solo dalla voglia di ogni soggetto di massimizzare il proprio guadagno. L interazione appena descritta viene detta gioco, ed i soggetti che vi partecipano sono i giocatori. Nel caso più semplice, il gioco si sviluppa tra due soggetti. Usando la definizione presentata in precedenza, si indichi con x R n come il vettore che identifica la scelta del primo soggetto su un pool di n strategie, così si indicherà con y R m la scelta del secondo partecipante, il quale ha a disposizione m opzioni. I payoff sono dunque rappresentati da due funzioni, una per ogni soggetto: π 1 (x, y) : R n R m R payoff giocatore 1 π 2 (x, y) : R n R m R payoff giocatore 2 L obiettivo dei giocatori ora diventa quello di massimizzare il proprio payoff, ma tenendo conto di ciò che farà l avversario. Il meccanismo di decisione si sviluppa a busta chiusa; le scelte di entrambi sono rese note contemporaneamente, dunque non vi è spazio per tentennamenti, escamotage o simili. È analogo al funzionamento di una asta per appalti pubblici: si scrive la propria scelta in una busta chiusa e tutte le buste vengono aperte contemporaneamente. La teoria dei giochi, di cui si parlerà nel seguito, è una branca della matematica che ci permette di effettuare delle scelte razionali. La razionalità di cui si parla è qualcosa di astratto, probabilmente diverso rispetto a quella prettamente umana; essa viene definita in base a determinati assiomi matematici, che, al solito, cercano nel miglior modo possibile di fornire un modello abbastanza potente e allo stesso tempo semplice da poter descrivere e gestire situazioni reali. La teoria dei giochi è uno strumento che ci aiuta a prendere decisioni. Essa è abbastanza robusta e si avvantaggia di svariati risultati e teoremi. Tali risultati si basano sul fatto che sono note tutte le funzioni di payoff; tutti i risultati della teoria infatti, si basano, oltre che sulla razionalità dei giocatori, anche sul fatto che si conoscono già i payoff. In realtà costruire le funzioni di payoff è spesso un lavoro arduo; è quasi come chiedere di quantificare la felicità che trae una persona dal fare una certa cosa! In questi casi ci vengono in aiuto altri 5

strumenti, come ad esempio la stima del costo dell informazione. Si assumerà comunque che i payoff siano ben determinati tramite qualche metodo e la teoria dei giochi subentrerà per dare delle risposte di tipo esecutivo, basate su tale informazione a priori. 1.1.1 Matrici di payoff e best reply Dovrebbe essere chiaro fino a questo punto che il payoff del giocatore 1, così come quello del giocatore 2, sono determinati dalla coppia di strategie (i, j), dove i è la strategia adottata dal giocatore 1 e j quella adoperata dal giocatore 2. Si indica con a ij il payoff che il giocatore 1 ottiene se egli usa la strategia i mentre il suo avversario la strategia j. Con b ij si indica il payoff del secondo giocatore: ancora, b ij è il guadagno che ottiene quando lui sceglie j e il primo giocatore sceglie i. Segue in maniera naturale dalla descrizione precedente, che sono state implicitamente definite due matrici di payoff A, B R n m, tali che A = a ij } e B = b ij }. Mediante tali matrici, si caratterizzano le funzioni di payoff: π 1 (x, y) = x T Ay π 2 (x, y) = x T By Infatti, nel momento in cui x ed y sono vettori costruiti come descritto in precedenza, allora x T Ay e x T By selezionano gli elementi a ij della matrice A e b ij della matrice B, posto che x i ed y j siano le uniche componenti di x e di y pari ad 1. Nell ambito della teoria dei giochi, vengono introdotte le best reply (lett. miglior risposta). Queste sono delle particolari funzioni che ci aiutano nel processo decisionale. La best reply del giocatore 1 associa ad ogni scelta strategica del giocatore 2 l insieme delle strategie che il giocatore 1 deve adottare se vuole massimizzare il suo payoff. Si indicano con β 1 (j) e β 2 (i) le best reply dei giocatori. Ecco un esempio: A = 1 3 0 2 0 4 5 9 3 = β 1 (1) = 3} β 1 (2) = 3} β 1 (3) = 2} In pratica, considerando che le colonne indicano le strategie del giocatore 2, si fissa la colonna relativa alla strategia j; si cerca in tale colonna l elemento massimo. La best reply sarà dunque la strategia i (riga) al quale corrisponde l elemento massimo. Un altro esempio: 6

A = 3 6 2 3 6 1 5 1 0 = β 1 (1) = 3} β 1 (2) = 1, 2} β 1 (3) = 1} In questo caso succede che, se il giocatore 2 adotta la strategia j = 2, allora il giocatore 1 è indifferente nell utilizzare le strategie i = 1 ed i = 2, in quanto gli garantiscono lo stesso payoff. La costruzione della best reply function del giocatore 2 è del tutto analoga a quella appena descritta, salvo scambiare i ruoli alle righe (strategie del giocatore 1) con le colonne (strategie del giocatore 2). 1.1.2 È una questione di... equilibrio! Si consideri il seguente gioco: A = 3 6 20 3 6 1 5 1 0 = β 1 (1) = 3} β 1 (2) = 1, 2} β 1 (3) = 1} B = 4 8 2 1 1 10 3 5 5 = β 2 (1) = 2} β 2 (2) = 3} β 2 (3) = 2, 3} Il giocatore 1 potrebbe voler adottare come strategia i = 1, nella speranza che il giocatore 2 scelga j = 3. In tal caso, il giocatore 1 guadagnerebbe il payoff più alto (20). Ma se il giocatore 2 scegliesse j = 3, otterrebbe un payoff pari a 2. Il giocatore 2 dal canto suo sarebbe molto propenso ad ottenere il payoff 10 e può raggiungere tale obiettivo scegliendo j = 3 e sperando che l avversario scelga i = 2; ma in questo modo il giocatore 1 otterrebbe un modesto payoff pari ad 1. Lo scenario delineato conduce ad un circolo vizioso, mosso essenzialmente dall egoismo di entrambi i giocatori. Agendo come descritto in precedenza, essi potrebbero prendere una decisione che poi potrebbe quasi certamente non rispecchiare le aspettative. L idea per uscirne fuori è quella di giungere ad un compromesso, ovvero effettuare una scelta strategica che va bene ad entrambi i giocatori. Bisogna cioè raggiungere una situazione di equilibrio tra le parti. In termini matematici, si può definire un equilibrio alla seguente maniera: (i, j ) è un equilibrio i β 1 (j ) j β 2 (i ) (1.2) 7

Tale nozione è stata formalizzata dal premio Nobel J.F.Nash da cui il nome equilibri di Nash. Osservando le best reply function riportate in precedenza, si ottiene che (i, j ) = (1, 2). Infatti i = 1 β 1 (j = 2) = 1, 2} e j = 2 β 2 (i = 1) = 2}. Se il giocatore 2 fosse a conoscenza del fatto che l avversario sceglie i = 1, allora sicuramente sceglierebbe j = 2; questa mossa gli garantirebbe il massimo payoff raggiungibile in relazione al fatto che i = 1. Il giocatore 1 similmente, venendo a conoscenza del fatto che il giocatore 2 giocherà j = 2, si troverà nella situazione di dover scegliere tra i = 1 ed i = 2, nel qual caso riuscirà comunque a massimizzare il suo payoff. Se ai giocatori venisse data la possibilità di cambiare la propria strategia una volta scelti i = 1 e j = 2, essi non ne avrebbero motivo. Per questo si parla di equilibrio. L equilibrio di Nash trovato in particolare è non stretto, a causa del fatto che il giocatore 1 ha due opzioni per massimizzare il suo payoff rispetto alla scelta j = 2. Nei casi in cui questa ambiguità non si presenta, si parlerà invece di equilibri stretti. Non è però in generale garantito che, dato un certo gioco, esista un solo equilibrio di Nash. Si possono presentare delle situazioni in cui gli equilibri sono più di uno, o addirittura nessuno! Si possono trovare gli equilibri di Nash (qualora esistono!) utilizzando uno schema a bimatrice. Si supponga di avere un gioco definito dalle seguenti matrici di payoff: A = [ 5 1 1 2 ] [ 2 1, B = 7 3 Si costruisce a partire dalle matrici A e B la seguente bimatrice: ] gioc. 1 gioc. 2 strat. 1 strat. 2 strat. 1 (5, 2) (1, 1) strat. 2 (1, 7) (2, 3) La lettura della bimatrice è semplice: ad esempio la coppia (1, 7) indica il payoff che ottengono i giocatori se il primo usa la strategia 2 ed il secondo la strategia 1; chiaramente 1 è il payoff che ottiene il primo giocatore, 7 è il payoff per il secondo. Si può a questo punto provare a valutare se esistono equilibri di Nash facendo le seguenti considerazioni: 8

se il giocatore 1 adotta la strategia 1, l avversario preferisce scegliere la strategia 1; per questo, si disegnano delle frecce che partono da tutti gli elementi della riga indicata dalla strategia 1, verso la strategia (1, 1); se il giocatore 1 utilizza la strategia 2, l avversario sceglie la strategia 1; si mandano quindi delle frecce che partono da tutti gli elementi della riga indicata dalla strategia 2, verso la strategia (2, 1); se il giocatore 2 sceglie la strategia 1, l avversario usa la strategia 1; di nuovo, si tracciano delle frecce che partono da tutti gli elementi della colonna indicata dalla strategia 2, verso la strategia (1, 1); infine, se il giocatore 2 adotta la strategia 2, l avversario preferisce scegliere la strategia 2; si disegnano delle frecce che partono da tutti gli elementi della colonna indicata dalla strategia 2, verso la strategia (2, 2). Si ottiene dunque la seguente situazione: gioc. 2 strat. 1 strat. 2 strat. 1 (5, 2) (1, 1) gioc. 1 strat. 2 (1, 7) (2, 3) Nel momento in cui si ottiene una certa strategia che possiede solo frecce entranti, allora quella rappresenta un equilibrio di Nash stretto. In particolare il numero di frecce entranti è pari al massimo che è 2 nel caso specifico di giochi con 2 partecipanti. Nel caso particolare si ha che la strategia (1, 1) è un equilibrio di Nash stretto. Ecco un altro esempio: gioc. 2 strat. 1 strat. 2 strat. 1 (4, 20) (3, 15) gioc. 1 strat. 2 (4, 7) (2, 13) La doppia freccia sta indicare il fatto che il giocatore 1 è indifferente a scegliere la sua strategia se l avversario sceglie la strategia 1 (otterrà in ogni caso lo stesso payoff). Si vede che la coppia di strategie (1, 1) è un equilibrio poichè ha 2 frecce entranti, ma in questo caso non è stretto, infatti ne ha anche una uscente. 9

gioc. 2 strat. 1 strat. 2 strat. 1 ( 3, 5) (3, 1) gioc. 1 strat. 2 (3, 7) (2, 12) In quest ultimo caso, non sono presenti coppie di strategie che hanno 2 frecce entranti; si conclude dicendo che non si hanno equilibri di Nash. 1.1.3 Giochi con n giocatori Definiamo I = 1, 2,...n} l insieme dei giocatori, dove n è un intero positivo e con S i = 1, 2,...m i } l insieme di strategie pure per ogni giocatore i I, con m i 2. Il giocatore i è caratterizzato da un vettore x i R m i tale che: x ij = 1 se la strategia adottata dal giocatore i è la j 0 se la strategia adottata dal giocatore i non è la la j. (1.3) L insieme dei vettori x 1, x 2,..., x n } viene detto profilo di strategie. Per ogni profilo di strategie ed ogni giocatore i I, sia π i (x 1, x 2,..., x n ) R il payoff associato al giocatore i. In teoria dei giochi, il payoff per un giocatore è una funzione che esprime la valutazione del suo risultato ottenuto, a seguito delle scelte operate da tutti i giocatori coinvolti. Come già visto nelle sezioni precedenti, nel caso particolare di un gioco a due giocatori le funzioni payoff, π 1 (x 1, x 2 ) e π 2 (x 1, x 2 ), vengono rappresentate da due matrici A e B del tipo R m 1 m 2 ; notare inoltre che in questo caso sono stati usati x 1 al posto di x, e x 2 anzichè y. 1.2 Strategie miste Una strategia mista per il giocatore i è una distribuzione di probabilità sull insieme delle sue m i strategie pure. Formalmente: x ij = Probabilità con cui il giocatore i userà la strategia j (1.4) 10

Alla luce di questa definizione possiamo interpretare una strategia pura come un caso particolare di una strategia mista. Dire che il giocatore i usa la strategia pura j equivale a dire che il giocatore i usa la strategia j con il 100% di probabilità. Esempio 1.2.1 Un esempio di strategia mista è il seguente: x i = 0.4 0.1 0 0.5, (1.5) dove il giocatore i ha a disposizione m i = 4 strategie. In questo caso, il giocatore i userà la strategia 1 con probabilità del 40% (0.4), la strategia 2 con probabilità del 10% (0.1), la strategia 3 con probabilità dello 0% (0), ed infine la strategia 4 con probabilità del 50% (0.5). Poichè x ij (per j = 1, 2,..., m i ) rappresentano delle probabilità, allora esse sono non negative e la loro somma è uguale a uno. In virtù di queste proprietà, si dice che il vettore x i R m i appartiene al simplesso i nell m i -spazio, definito come: } i = x i R m i + : m i j=1 x ij = 1 La figura 1.1 rappresenta geometricamente il simplesso nel caso m = 3.. (1.6) Il simplesso i del giocatore i ha dimensione m i 1. I vertici di i sono i versori nell m i - spazio, identificati da e 1 i = (1, 0,..., 0), e 2 i = (0, 1,..., 0), fino a e m i i = (0, 0,..., 1). Ogni vertice e j i rappresenta la strategia mista del giocatore i che assegna probabilità 1 all j-esima strategia pura. Se il giocatore i usa la strategia pura j, allora x i = e j i. Il simplesso di strategie miste i è un involucro convesso dei vertici, ed ogni x i i è una combinazione convessa dei versori, o strategie pure e j i : m i xi = x ij e j i. (1.7) Il sottoinsieme interno di i è definito come: j=1 int( i ) = x i i : x ij > 0 j} (1.8) Le strategie miste di questo sottoinsieme vengono chiamate interne o completamente miste, ed assegnano probabilità positive a tutte le strategie pure dei giocatori. L insieme delle strategie non interne in i viene chiamato frontiera (o bordo) di i, definito come: bd( i ) = x i i : x i / int( i )} (1.9) 11

Figura 1.1: Il simplesso i con m = 3. La frontiera di i è l insieme di strategie x i per le quali almeno una strategia j viene giocata con probabilità nulla, ovvero j 1,..., m i } : x ij = 0. Un profilo di strategie miste X = x 1, x 2,..., x n } è un punto dello spazio delle strategie miste del gioco: Θ = i I i. (1.10) Essendo Θ il prodotto di n unità semplici i, dove ognuna di esse è un insieme (m i 1)- 12

dimensionale per ogni giocatore i I, l insieme è un poliedro (m n)-dimensionale in R m, con m = m 1 + m 2 +... + m n il numero totale di strategie pure nel gioco. Un profilo di strategie X è detto interno se ogni componente x i è interna. Il sottoinsieme di tali profili è definito come: int(θ) = i I int( i ). (1.11) Similmente, il contorno di Θ, bd(θ), è l insieme dei profili non interni x Θ. 1.2.1 Strategie miste e funzione payoff come valore atteso L introduzione del concetto di strategie miste implica una rivisitazione del concetto di payoff. Infatti, poichè le strategie miste sono distribuzioni di probabilià, allora anche il payoff è il valore atteso dei payoff che si possono guadagnare utilizzando solo strategie pure. Tale risultato vale per qualunque gioco con n giocatori. Nel seguito, viene proposta una dimostrazione della precedente affermazione, utilizzando il caso semplice dei giochi con 2 giocatori. Sia A R m 1 m 2 la matrice di payoff del giocatore 1. Si supponga che il giocatore 1 decida di utilizzare la strategia pura i, mentre il giocatore 2 gioca una strategia mista x 2. In media, il giocatore 1 guadagnerà la seguente quantità: m 2 u 1i = a ij x 2j, j=1 ovvero la somma dei payoff a i,j pesati dalle probabilità x 2j. Si supponga ora che anche il giocatore 1 utilizzi una strategia mista x 1. In media, il giocatore 1 guadagnerà: m 1 m 1 m 2 x 1i u 1i = x 1i a ij x 2j, j=1 ovvero la somma dei payoff medi u 1i pesati dalle probabilità x 1i. La doppia sommatoria suggerisce che la precedente equazione possa essere riscritta in forma matriciale, vale a dire: m 1 m 2 x 1i a ij x 2j = x T 1 Ax 2. j=1 13

Ma la precedente equazione corrisponde alla definizione di payoff che era stata introdotta parlando di strategie pure, ovvero: π 1 (x 1, x 2 ) = x T 1 Ax 2. (1.12) In maniera del tutto simile, si può lavorare sul payoff del secondo giocatore, utilizzando la matrice di payoff B, ovvero: π 2 (x 1, x 2 ) = x T 1 Bx 2. (1.13) 1.2.2 Best reply Per analizzare il concetto di best reply, indichiamo con X i le strategie che fanno parte del profilo X eccetto x i, e con π i (x i, X i ) il payoff del giocatore i. Una strategia mista x i i sarà una best reply per il giocatore i se esso non ha a disposizione nessun altra strategia che gli dia un payoff maggiore rispetto ad X. Questo ci permette di definire la corrispondenza best reply per strategie pure β i : Θ i che assegna ad ogni X Θ l insieme non vuoto di best reply per il giocatore i così definito: β i (X) = x i i : π i (x i, X i ) π i (z i, X i ) z i i } In altri termini, una strategia x i β i (X) è la miglior risposta possibile alle strategie X i adottate dagli avversari. 1.3 Equilibrio di Nash Uno dei concetti cardine della teoria dei giochi è quello di equilibrio di Nash. L idea intuitiva è quella di giungere ad un compromesso tra le parti, ovvero una scelta strategica che vada bene a tutti i giocatori, ottenendo così un equilibrio. In teoria dei giochi si definisce equilibrio di Nash un profilo di strategie rispetto al quale nessun giocatore ha interesse ad essere l unico a cambiare. Definendo il concetto di equilibrio di Nash in termini di best reply, avremo che un profilo di strategie X Θ è un equilibrio di Nash se x i β i (X) i. 14

In altri termini, se ogni strategia del profilo X è best reply per ogni giocatore, allora X è un equilibrio di Nash. Un equilibrio di Nash X Θ è stretto se ogni componente x i è l unica best reply per X, cioè se β i (X) = x i } i. Ogni equilibrio stretto in un profilo di strategie è un vertice del poliedro Θ. Sia Θ NE l insieme di tutti gli equilibri di Nash di un gioco. Vale il seguente teorema (Nash, 1950): Teorema 1.3.1 Per ogni gioco, Θ NE. Tale teorema ci garantisce che, nello spazio delle strategie miste, ogni gioco ammette sempre almeno un equilibrio di Nash. È dunque possibile avere giochi che non possiedono equilibri di Nash puri, ma hanno equilibri di Nash misti (ad esempio, la morra cinese). 1.3.1 Calcolo degli equilibri di Nash misti: 2 giocatori e 2 strategie Consideriamo i giochi a due giocatori e due strategie. I payoff dei 2 giocatori sono rappresentati dalle seguenti matrici: [ a1 b A = 1 c 1 d 1 ] [ a2 c, B = 2 b 2 d 2 ]. e la relativa bimatrice è: G1 G2 s1 s2 s1 (a 1, a 2 ) (b 1, c 2 ) s2 (c 1, b 2 ) (d 1, d 2 ) Si considerino le funzioni di payoff ottenute con le matrici A e B, ed usando come vettori x = [x 1 1 x 1 ] T ed y = [y 1 1 y 1 ] T : π 1 (x, y) = x 1 [(a 1 c 1 + d 1 b 1 )y 1 + b 1 d 1 ] + (c 1 d 1 )y 1 + d 1 π 2 (x, y) = y 1 [(a 2 c 2 + d 2 b 2 )x 1 + b 2 d 2 ] + (c 2 d 2 )x 1 + d 2 (1.14) 15

Calcolando le derivate π 1 x 1 e π 2 y 1 e ponendole uguali a 0, si ottengono le seguenti soluzioni: x 1 = y 1 = (d 2 b 2 ) (d 2 b 2 ) + (a 2 c 2 ), x 2 = (d 1 b 1 ) (d 1 b 1 ) + (a 1 c 1 ), y 2 = (a 2 c 2 ) (d 2 b 2 ) + (a 2 c 2 ) (a 1 c 1 ) (d 1 b 1 ) + (a 1 c 1 ) (1.15) Tali soluzioni sono valide se appartengono al simplesso di dimensione 2 e rappresentano l eventuale equilibrio misto del gioco. Gli equilibri puri invece possono essere ricavati utilizzando il metodo della bimatrice. 1.3.2 Calcolo degli equilibri di Nash misti: 2 giocatori e 3 strategie Di seguito viene riportato a titolo di esempio il calcolo dell equilibrio di Nash misto della morra cinese. Si noti che la morra cinese non ha equilibri puri, e quindi per il teorema di Nash deve esserci per forza almeno un equilibrio misto. Le matrici di payoff del gioco sono le seguenti: A = B T = 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Si costruiscano i vettori x ed y come spiegato in precedenza: x = Le funzioni di payoff diventano: x 1 x 2 1 x 1 x 2, y = y 1 y 2 1 y 1 y 2 π 1 (x, y) = x T Ay = ( 3y 2 + 1)x 1 + (3y 1 1)x 2 y 1 + y 2 π 2 (x, y) = x T By = ( 3x 2 + 1)y 1 + (3x 1 1)y 2 x 1 + x 2 Si passa quindi al calcolo delle derivate: 16

π 1 x 1 = 3y 2 + 1 π 1 x 2 = 3y 1 1, π 2 y 1 = 3x 2 + 1 π 2 y 2 = 3x 1 1 Infine si pongono le derivate pari a 0: π 1 x 1 = 3y 2 + 1 = 0 π 1 x 2 = 3y 1 1 = 0 = y1 = 1 3 y2 = 1 3 y3 = 1 y1 y2 = 1 3 π 2 y 1 = 3x 2 + 1 = 0 π 2 y 2 = 3x 1 1 = 0 = x 1 = 1 3 x 2 = 1 3 x 3 = 1 x 1 x 2 = 1 3 1.4 Giochi simmetrici a due giocatori In questo paragrafo analizzeremo i giochi simmetrici a due giocatori, base fondamentale per la teoria dei giochi evolutiva. Un gioco è simmetrico quando i due giocatori hanno lo stesso guadagno in condizioni analoghe. Un gioco simmetrico coinvolge dunque due giocatori con lo stesso numero di strategie e la funzione payoff di ogni strategia è indipendente dalla postazione del giocatore dalla quale viene giocata. Richiedere l equivalenza delle funzioni payoff delle strategie pure è equivalente a richiedere che la matrice dei payoff del secondo giocatore sia la trasposta della matrice dei payoff del primo, ovvero: B = A T. In questo caso, introducendo la funzione di payoff π(x, y) = x T Ay, si ha che: π 1 (x, y) = π(x, y) 17

π 2 (x, y) = x T By = y T B T x = y T Ax = π(y, x). Con K = 1, 2,..., k} indicheremo l insieme di strategie pure, dove k è il numero di strategie pure per ognuno dei due giocatori. Le strategie miste del primo e del secondo giocatore saranno indicate rispettivamente da x e y, dove = x R+ k : i K x i = 1}, mentre Θ = 2. L insieme di best reply è rispetto ad una strategia z è lo stesso per entrambi i giocatori ed è rappresentato da β(z): β(z) = x : π(x, z) π(y, z) y }. (1.16) 1.4.1 Equilibri di Nash simmetrici Nel contesto dei giochi simmetrici una coppia di strategie (x, y) Θ = 2 costituisce un equilibrio di Nash, (x, y) Θ NE, se e solo se x β(y) e y β(x). Se x = y, l equilibrio (x, y) si dice è simmetrico. Il sottoinsieme di strategie x che sono in equilibrio con se stesse è: NE = x : (x, x) Θ NE } (1.17) Non è detto che gli equilibri di Nash di un gioco simmetrico siano simmetrici, ma ogni gioco simmetrico ha almeno un equilibrio di Nash simmetrico. Teorema 1.4.1 Per ogni gioco simmetrico finito a due giocatori, NE. 1.4.2 Calcolo degli equilibri di Nash simmetrici Abbiamo visto che se x NE (x è un equilibrio di Nash simmetrico), allora x β(x). In altri termini: π(x, x) π(y, x) y, ovvero x T Ax y T Ax y. È possibile riscrivere la precedente equazione usando le sommatorie: x i [Ax] i y i [Ax] i y, (1.18) dove [Ax] i indica l i-esima componente del vettore Ax. 18

Valgono i seguenti risultati. Teorema 1.4.2 Sia x una strategia pura (x = e h ). Se [Ax] h [Ax] i i h, allora x NE. Dim. Sia M = [Ax] h. Si ha che: e x i [Ax] i = x h [Ax] h = M, y i [Ax] i = y h [Ax] h + y i [Ax] i = y h M + y i [Ax] i.,i h,i h Poichè M [Ax] i i h, allora: Dunque: y i [Ax] i y i M = (1 y h )M.,i h,i h e x i [Ax] i = M, Da cui segue che y i [Ax] i M. x i [Ax] i y i [Ax] i y. 19

Teorema 1.4.3 Sia x una strategia appartenente a int, cioè una strategia mista tale per cui x i > 0 i. Se [Ax] i = [Ax] j i, j, allora x NE. Dim. Poniamo M = [Ax] i i. Allora:: e x i [Ax] i = y i [Ax] i = x i M = M y i M = M x i = M 1 = M, y i = M 1 = M. Dunque, la 1.18 vale sempre in maniera non stretta, ovvero: x i [Ax] i = y i [Ax] i y. Questo significa x è un equilibrio di Nash simmetrico. Inoltre, tale equilibrio è non stretto. Teorema 1.4.4 Sia x una strategia mista con un unica componente nulla (x h = 0, x i > 0 i h). Se [Ax] i = [Ax] j i h, j h, e [Ax] i [Ax] h i h allora x NE. Dim. Poniamo M = [Ax] i i h. Allora: e x i [Ax] i = x i M = M x i = M 1 = M, y i [Ax] i = y i M + y h [Ax] h = M y i + y h [Ax] h = M(1 y h ) + y h [Ax] h.,i h,i h Nella seconda equazione è stato sfruttato il fatto che 20

y i = 1 y i = 1 y h.,i h Per ipotesi, si ha che M [Ax] h. Da cui: M [Ax] h y h M y h [Ax] h y h M + M M y h [Ax] h M M(1 y h ) y h [Ax] h M M(1 y h ) + y h [Ax] h x i [Ax] i y i [Ax] i y. Dunque, poichè x soddisfa la 1.18 per ogni y, allora x è un equilibrio di Nash simmetrico. Di seguito viene mostrato come sia possibile utilizzare i teoremi precedenti per calcolare gli equilibri simmetrici di giochi con 3 strategie. Per quanto riguarda il calcolo degli equilibri misti interni, si pone il vettore x = x 1 x 2 1 x 1 x 2 e si calcola il vettore Ax. Successivamente, sfruttando il teorema 1.4.3, si risolve il seguente sistema rispetto x 1 ed x 2 : [Ax] 1 = [Ax] 2 [Ax] 2 = [Ax] 3, (1.19) dove [Ax] i è l i-esima componente del vettore Ax. Se la soluzione ottenuta appartiene all interno del simplesso (cioè x i > 0 e 3 x i = 1), allora essa rappresenta un punto di equilibrio di Nash simmetrico. Per calcolare eventuali equilibri misti sulla frontiera, è possibile sfruttare il teorema 1.4.4. Si supponga di voler verificare la presenza di equilibri misti sulla frontiera, ad esempio 21

considerando x 1 = 0. Per prima cosa, si pone il vettore x = 0 x 2 1 x 2 e si calcola il vettore Ax. Successivamente, si risolve il seguente sistema rispetto x 2 : [Ax] 2 = [Ax] 3 [Ax] 2 [Ax] 1. (1.20) Se la soluzione ottenuta appartiene al simplesso di dimensione 3, allora essa rappresenta un punto di equilibrio di Nash simmetrico. Esempio 1.4.5 Consideriamo la matrice A = 1 2 0 3 0 1 1 1 0 Per prima cosa, calcoliamo l eventuale equilibrio interno. Posto x = [x 1 x 2 1 x 1 x 2 ] T, si ha che: Ax = A questo punto, si risolve il seguente sistema:. x 1 + 2x 2 2x 1 x 2 + 1 x 1 + x 2. [Ax] 1 = [Ax] 2 [Ax] 2 = [Ax] 3 x 1 + 2x 2 = 2x 1 x 2 + 1 2x 1 x 2 + 1 = x 1 + x 2 x 1 + 3x 2 = 1 x 1 2x 2 = 1 x 1 = 1 x 2 = 0 x 3 = 1 x 1 x 2 = 1 ( 1) 0 = 2 Chiaramente tale soluzione non può essere un equilibrio (la componente x 1 è negativa!). Si calcola ora l eventuale equilibrio di frontiera con x 1 = 0. 22

Posto x = [0 x 2 1 x 2 ] T, si ha che: Ax = 2x 2 1 x 2 x 2. Si risolve poi il seguente sistema: [Ax] 2 = [Ax] 3 [Ax] 2 [Ax] 1 1 x 2 = x 2 x 2 = 1 2 1 1 x 2 2x 2 1. 2 Poichè tale sistema è impossibile, si conclude dicendo che non ci sono equilibri misti sulla frontiera x 1 = 0. Si calcola ora l eventuale equilibrio di frontiera con x 2 = 0. Posto x = [x 1 0 1 x 1 ] T, si ha che: Ax = x 1 2x 1 + 1 x 1. Si risolve poi il seguente sistema: [Ax] 1 = [Ax] 3 [Ax] 1 [Ax] 2 x 1 = x 1 x 1 2x 1 + 1 x 1 = x 1 x 1 1. Anche in questo caso il tale sistema è impossibile (x 1 > 0), e si conclude dicendo che non ci sono equilibri misti sulla frontiera x 2 = 0. Infine, si calcola l eventuale equilibrio di frontiera con x 3 = 0. Posto x = [x 1 1 x 1 0] T, si ha che: Ax = x 1 + 2 3x 1 1. Si risolve poi il seguente sistema: [Ax] 1 = [Ax] 2 [Ax] 1 [Ax] 3 x 1 + 2 = 3x 1 x 1 + 2 1 23 x 1 = 1 2 3 2 1.

Il sistema in questo caso produce un risultato consistente. L equilibrio misto sulla frontiera x 3 = 0 è: x 1 = 1 2, x 2 = 1 2, x 3 = 0. 1.4.3 Classificazione dei giochi simmetrici 2 x 2 In questa sezione analizziamo i giochi in cui i giocatori hanno solamente due strategie pure a disposizione. Considerando la matrice dei payoff di un generico gioco simmetrico 2 2: ( ) a11 a A = 12 (1.21) a 21 a 22 Sottraendo a 21 dalla prima colonna e a 12 dalla seconda, otteniamo: ( ) A a11 a = 21 0 0 a 22 a 12 (1.22) Si ottiene così una matrice simmetrica e quindi un gioco totalmente simmetrico, con matrice dei payoff: ( ) A a1 0 = (1.23) 0 a 2 Con a 1 = a 11 a 21 e a 2 = a 22 a 12. La matrice ottenuta, per ogni gioco simmetrico 2 2, è identificata da un punto a = (a 1, a 2 ) R 2. Questo punto apparterrà ad una dei quadranti del piano cartesiano, in base al quadrante di appartenenza potremo così identificare la categoria alla quale appartiene il gioco. La figura 1.2 ci aiuta nell identificazione della categoria di appartenenza. L utilità della divisione in categorie consiste nel fatto che tutti i giochi appartenenti a una data categoria hanno le stesse best reply e relazioni di dominanza. Effettivamente esistono solo tre categorie per i giochi simmetrici 2 2, poichè la quarta categoria è l immagine specchio dei giochi che compaiono nella prima categoria. Nei giochi appartenenti alla prima categoria è evidente che la seconda strategia domina strettamente la prima, poichè a 1 < 0 e a 2 > 0; per tale ragione la soluzione strettamente dominante è S D = (2, 2)} S, Θ NE = (e 2, e 2 )} e NE = e 2 }. Esempio 1.4.6 Un esempio di gioco simmetrico è il Dilemma del Prigioniero, in assoluto il gioco più conosciuto della teoria dei giochi. Nel gioco ogni giocatore ha solo due strategie pure, il dilemma si basa sulla seguente storia: Due ladri sospettati di un efferato delitto vengono imprigionati in due celle separate e quindi con l impossibilità di comunicare tra 24

Figura 1.2: Suddivisione in categorie dei giochi simmetrici a due giocatori, posizionando il punto a = (a 1, a 2 ) nel piano visualizzo graficamente la categoria di appartenenza loro. Il giudice ha prove sufficienti per condannare entrambi per il reato minore, ma per infliggere una pena maggiore ha bisogno della confessione. Il giudice offre uno sconto di pena a chi accettasse di confessare contro l altro (in tal caso all accusato verrebbe inflitta una pena maggiore mentre l altro avrebbe uno sconto di pena). I ladri hanno due scelte possibili: confessare o non confessare. Configureremo così il payoff del primo e del secondo giocatore rispettivamente con le matrici A e B: ( ) ( ) 4 0 4 5 A = B = (1.24) 5 3 0 3 La razionalità individuale porta ogni giocatore a scegliere la seconda strategia, poichè utilizzandola, indipendentemente dalla strategia attuata dall altro, ottengono un payoff maggiore, raggiungendo così un equilibrio in strategie dominanti. Il dilemma consiste nel fatto che entrambi i giocatori avrebbero un guadagno maggiore se selezionassero la prima strategia pura. Nei giochi appartenenti alla seconda categoria (a 1, a 2 > 0), evidentemente avremo due equilibri simmetrici e stretti, ed è facile verificare che la strategia mista è in equilibrio con se stessa ˆx = (a 2 /(a 1 + a 2 ), a 1 /(a 1 + a 2 )). Quindi S D = S = 1, 2}, Θ NE = (e 1, e 1 ), (e 2, e 2 ), (ˆx, ˆx)} e NE = e 1, e 2, ˆx}. I giochi di coordinamento rappresentano un esempio di gioco appartenente alla seconda categoria. 25

Esempio 1.4.7 Si ha un gioco di coordinamento puro se, per ogni coppia di situazioni, quando un giocatore preferisce la prima alla seconda, anche tutti gli altri giocatori manifestano la medesima preferenza. Questi sono giochi totalmente simmetrici (A = B). Vediamo qui di seguito un generico esempio delle matrici dei payoff del primo e del secondo giocatore. A = ( 2 0 0 1 ) B = ( 2 0 0 1 ) (1.25) Entrambi i giocatori preferiranno il profilo di strategie s = (1, 1), che costituirà un equilibrio di Nash stretto. Ma anche il profilo di strategie s = (2, 2) è un equilibrio di Nash stretto, poichè un giocatore, se prevede con un tasso di probabilità sufficientemente alto che l altro giocatore giochi la seconda strategia, la scelta ottimale sarà quella di giocare anch esso la seconda. Nel gioco è presente un terzo equilibrio, in questo caso misto, ed è costituito dalle coppie (x, x) 2 dove x = ( 1, 2 ). Si hanno così due equilibri di Nash puri ed uno misto. 3 3 I giochi appartenenti alla terza categoria sono caratterizzati da a 1 < 0 e a 2 < 0. In questi giochi non esistono strategie dominanti S D = S, ma la best reply rispetto ad una strategia pura è l altra strategia pura. Pertanto tali giochi hanno due equilibri di Nash puri asimmetrici ed uno misto simmetrico: Θ NE = (e 1, e 2 ), (e 2, e 1 ), (ˆx, ˆx)} e NE = ˆx} dove stavolta ˆx è caratterizzato da numeratore e denominatore minori di zero. Un classico esempio di gioco appartenente a questa categoria, è il gioco falchi e colombe. Esempio 1.4.8 Un classico esempio nella teoria dei giochi evolutiva è il gioco falchi e colombe. Ogni giocatore ha a disposizione due strategie pure: lotta o resa. Si suppone che i giocatori siano due animali che si contendono una preda, e ciascuno di loro può comportarsi come falco (lotta) o come colomba (resa). Nel caso in cui uno dei due si comporta da falco, esso avrà la meglio rispetto all altro se si comporta da colomba, ottenendo così payoff pari a v > 0 e lasciando all altro solo le briciole (payoff pari a 0). Entrambi i giocatori hanno la stessa probabilità di vincere la lotta, e il costo in caso di perdita sarà pari a c > 0. Nel caso in cui entrambi decidano di adottare la prima strategia, ovvero la lotta, avranno una probabilità di vincita pari a 1 e un payoff v c con probabilità 1. Quindi il payoff atteso 2 2 della prima strategia contro se stessa è pari a v c Nel caso in cui, invece, entrambi gli animali 2 decidano di comportarsi da colombe, e quindi adotteranno la seconda strategia riusciranno a suddividersi la preda, ottendno un payoff pari a v. Ecco qui indicata le matrici dei payoff: 2 ) A = ( v c 2 v 0 v 2 (1.26) mentre la matrice del secondo giocatore è B = A T. Supponiamo ora che valga la disequazione v < c. Il caso peggiore si ha quando entrambi decidono di adottare un atteggiamento da falchi, scelta meno conveniente, poichè finiranno per farsi del male vicendevolmente e otterranno un payoff negativo; come conseguenza si ha che la miglior risposta per uno dei due giocatori rispetto alla prima strategia è la seconda, ovvero la resa. Quindi le coppie (1, 2)e 26

(2, 1) costituiscono equilibri di Nash puri e stretti ma asimmetrici. Nel gioco è presente anche un equilibrio misto simmetrico (x, x), dove x attribuisce probabilità λ = v alla prima c strategia pura e 1 λ alla seconda. I giochi appartenenti alla quarta categoria sono caratterizzati da a 1 > 0 e a 2 < 0. La soluzione strettamente dominante: S D = (1, 1)} S, Θ NE = (e 1, e 1 )} e NE = e 1 } che corrisponde, come detto prima, all immagine specchio dei giochi appartenenti alla prima categoria. La razionalità dei giocatori nelle partite della seconda categoria porta a pensare che quest ultimi giochino l equilibrio stretto dominante (e 1, e 1 ). Al contrario, gli strumenti standard della teoria dei giochi non cooperativi non rifiutano gli altri due equilibri che sono entrambi perfetti, ed (e 2, e 2 ) è stretto. Tuttavia, dal punto di vista rigorosamente non cooperativo ci può essere un compromesso tra efficienza e rischio strategico. 27

Bibliografia J. Hofbauer and K. Sigmund, Evolutionary games and population dynamics, Cambridge University Press, 1998. D. Madeo and C. Mocenni, Game Interactions and dynamics on networked populations, IEEE Trans. on Autom. Control, vol. 60, n. 7, pp. 1801-1810, 2015. J. Maynard Smith, Evolution and the Theory of Games, Cambridge University Press, Cambridge. 1982. J. Nash, Equilibrium points in n-person games, Proc. Nat. Acad. Sci. USA vol. 36, no. 1, pp. 48-49, 1950. sity Press, 1994. M.A. Nowak, Evolutionary Dynamics: Exploring the Equations of Life, Belknap Press of Harvard University Press, 2006. M.J. Osborne, An Introduction to Game Theory, Oxford University Press, 2003. J.W. Weibull, Evolutionary Game Theory, MIT Press, 1995. J. von Neumann and O. Morgenstern, Theory of games and economic behavior, Princeton University C. Brezzi, Teoria dei Giochi: Modelli e Applicazioni in un Contesto Evolutivo, Tesi di Laura Triennale in Matematica, Università di Siena, 2014. 28