Alcune applicazioni delle equazioni differenziali ordinarie alla teoria dei circuiti elettrici Attilio Piana, Andrea Ziggioto 1 egime variabile in un circuito elettrico. Circuito C. 1.1 Carica del condensatore Consideriamo un circuito di resistenza e capacità C, alimentato da un generatore di forza elettromotrice costante E 0, di resistenza interna trascurabile. Supponiamo che il circuito sia inizialmente aperto. Si supponga inoltre che il condensatore sia inizialmente completamente scarico. Si vuole studiare il comportamento del circuito dopo che all istante iniziale t = 0 esso sia stato chiuso. Indichiamo con V (t) la tensione ai capi della resistenza al tempo t. Sappiamo che, detta i(t) l intensità di corrente ai capi del condensatore al tempo t, si ha V (t) = i(t). (1) Indicando con q(t) la carica del condensatore al tempo t e con V C (t) la tensione ai capi del condensatore, sappiamo anche che q(t) = CV C (t). (2) Derivando la (2) rispetto al tempo t e ricordando che i(t) = dq dt, otteniamo i(t) = dq dt = C dv C dt Allora la legge di Ohm generalizzata V + V C = E 0 1 = CV C(t). (3)
diventa, usando la (1) e la (3), C V C + V C = E 0. (4) La (4) è un equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili che diventa, dividendo ambo i membri per C, Integrando ambo i membri otteniamo dv C = 1 V C E 0 C dt. da cui log(v C E 0 ) = 1 C t + c, avendo posto k = e c. Imponendo la condizione iniziale V C (t) = E 0 + k e 1 C t, c V C (0) = 0 troviamo k = E 0, da cui V C (t) = E 0 ( 1 e 1 C t ) (5) Derivando la (5) otteniamo V C(t) = E 0 1 C e e, sostituendo la (6) nella (3), ricaviamo infine i(t) = E 0 1 e C t, 1 C t (6) che rappresenta l intensità di corrente di carica del condensatore (vedere Figura 1). 2
i(t) O t Figura 1: Corrente di carica del condensatore in C 1.2 Scarica del condensatore Se un condensatore di capacità C, caricato con una tensione E 0, viene posto in un circuito comprendente una resistenza complessiva e se all istante t = 0 si chiude il circuito, il condensatore si scarica sulla resistenza. Poichè nel circuito non esistono f.e.m. dovute a generatori, le tensioni ai capi del condensatore e della resistenza devono essere uguali: V C = V. Se i(t) è l intensità di corrente ai capi del condensatore all istante t, ricordando che i(t) = dq dt = C V C(t) (7) e che V = i = CV C, abbiamo V C = CV C. Anche questa è un equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili. Otteniamo dv C = 1 V C C dt. 3
Integrando membro a membro abbiamo da cui log V C (t) = 1 C t + c, V C (t) = ke 1 C t c avendo posto k = e c. Imponendo la condizione iniziale ricaviamo V C (0) = E 0 V C (t) = E 0 e 1 C t. icavando V C (t) e inserendola nella (3) possiamo ottenere l andamento dell intensità di corrente di scarica del condensatore (vedere Figura 2): i(t) = E 0 1 e C t i(t) O t Figura 2: Corrente di scarica del condensatore in C 4
2 egime variabile in un circuito elettrico. Circuito L. 2.1 Circuito L con forza elettromotrice costante Consideriamo un circuito di resistenza, induttanza L, alimentato da un generatore di forza elettromotrice costante E 0, di resistenza interna trascurabile. Scriviamo la legge di Ohm generalizzata, indicando con i = i(t) l intensità della corrente all istante t. Si ha L di dt + i = E 0. Questa è un equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili. Possiamo quindi separare le variabili e ottenere L di = dt E 0 i da cui, integrando membro a membro, otteniamo L log(e 0 i) = t + c, c, cioè log(e 0 i) = (t + c) L da cui con k = e L c. Da questa uguaglianza si ricava E 0 i = ke L t, (8) i(t) = E 0 ke L t. Poichè si sa che, quanto è t = 0, anche i = 0, dalla (8) si deduce che 0 = E 0 ke 0, da cui k = E 0. Quindi, sempre dalla (8), si ottiene l espressione dell intensità di corrente: i(t) = E ) 0 (1 e L t. 5
Osservazioni. Osserviamo che il termine e L t tende a 0 con l aumentare del tempo t e tanto più rapidamente quanto più piccola è l induttanza L. Il diagramma della corrente in Figura 3 mostra che l intensità della corrente, alla chiusura del circuito, non raggiunge subito il valore di regime i 0 = E 0, ma cresce esponenzialmente tendendo al valore i 0; se l induttanza L del circuito è molto piccola, il circuito raggiunge il valore di regime in breve tempo. i i 0 O t Figura 3: L con E 0 Il termine i 1 = i 0 e L t si chiama extracorrente di chiusura del circuito. 2.2 Circuito L senza forza elettromotrice Dopo che la corrente nel circuito ha raggiunto il valore di regime i 0, supponiamo di escludere il generatore di forza elettromotrice costante E 0, chiudendo il circuito direttamente su e L. La presenza dell induttanza L determina una forza elettromotrice autoindotta che fa circolare nel circuito una corrente, detta extracorrente di apertura, che può essere calcolata risolvendo l equazione differenziale L di + i = 0, dt ottenuta applicando la legge di Ohm con E 0 = 0. Questa è nuovamente un equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili, il cui integrale generale è i(t) = ce L t, c. (9) 6
Tenendo presente che all istante t = 0, in cui è stato escluso il generatore, la corrente aveva intensità i 0, si ottiene il valore della costante arbitraria c; infatti si ha i 0 = c e 0 = c. Pertanto la (9) può scriversi come i(t) = i 0 e L t. L extracorrente di apertura decresce rapidamente con legge esponenziale e dopo breve tempo è difficilmente valutabile (Figura 4). i i 0 O t Figura 4: L senza E 0 2.3 Circuito L con forza elettromotrice alternata Consideriamo un circuito di resistenza, induttanza L, alimentato da un generatore di f.e.m. alternata E sin ωt. Applicando la legge di Ohm generalizzata possiamo scrivere L di + i = E sin ωt. (10) dt La (10) è un equazione differenziale del primo ordine lineare, che può scriversi come i + L i = E sin ωt, L 7
il cui integrale generale è dato da i(t) = e L dt { E L sin ωt e L dt dt + c 1 }, da cui i(t) = e L t { E L sin ωt e L t dt + c 1 }. (11) Calcoliamo a parte l integrale I = sin ωt e L t dt. Poniamo f(t) = e L t e g (t) = sin ωt. Allora f (t) = e L t e g(t) = 1 cos ωt. L ω Integrando per parti abbiamo I = 1 ω e L t cos ωt + cos ωt e L t dt. Lω Poniamo f(t) = e L t e g (t) = cos ωt. Allora f (t) = e L t e g(t) = 1 sin ωt. L ω Integrando nuovamente per parti otteniamo: I = 1 ω e L t cos ωt + { 1 Lω ω e L t sin ωt } sin ωt e L t dt = Lω = 1 ω e L t cos ωt + Lω e 2 L t sin ωt 2 L 2 ω I. 2 In questo modo otteniamo che ) (1 + 2 I = e ( ) L t sin ωt cos ωt = e L t L 2 ω 2 ω Lω ω 2 ( ) sin ωt ω cos ωt. L e con qualche semplice passaggio algebrico abbiamo (a meno di una costante arbitraria) I = ( ) e L t sin ωt ω cos ωt = L ω 2 + 2 L 2 Sostituendo la (12) nella (11) si ha i(t) = ( sin ωt ωl cos ωt L ) e L t ω 2 L 2 + 2 L 2. (12) E ω 2 L 2 + ( sin ωt ωl cos ωt) + c 2 1 e L t. (13) 8
Tenendo conto della condizione iniziale i = 0 per t = 0, si ottiene il valore della costante arbitraria c 1 : da cui 0 = E ω 2 L 2 + 2 ( ωl) + c 1 c 1 = La (13) può così riscriversi come Ponendo i(t) = E ω 2 L 2 + 2 ωl. E ( ) sin ωt ωl cos ωt + ωl e ω 2 L 2 + 2 L t. (14) Z def = ω 2 L 2 + 2, grandezza che viene detta, per un circuito ohmico-induttivo, impedenza e corrisponde alla resistenza dei circuiti in corrente continua, abbiamo i(t) = E ( ) ωl sin ωt cos ωt + ωle e Z Z Z Z 2 L t. (15) Poniamo ora def ωl def = cos ϕ, = sin ϕ, (16) Z Z osservando che tale posizione è giustificata dall essere cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 2 Z 2 + ω2 L 2 Z 2 = 2 + ω 2 L 2 Z 2 = 2 + ω 2 L 2 2 + ω 2 L 2 = 1, e sostituiamo nella (15), ottenendo da cui i(t) = E ωle (sin ωt cos ϕ cos ωt sin ϕ) + Z Z 2 i(t) = E sin(ωt ϕ) } Z {{ } i 1 + e L t, ωle e Z 2 L t } {{ }. (17) i 2 In Figura 5 si può vedere l andamento di i(t). Si è così ottenuto che l intensità i(t) della corrente che attraversa il circuito è la somma del termine i 1 = ωle Z 2 9 e L t,
i O t Figura 5: L con f.e.m. alternata che decresce esponenzialmente con il tempo, e del termine i 2 = E Z sin(ωt ϕ), che rappresenta l andamento della corrente in condizione di regime: i 2 ha andamento sinusoidale ed è in ritardo rispetto alla tensione alternata del generatore. L angolo ϕ, detto angolo di sfasamento tra la tensione e la corrente, è compreso fra 0 e π perchè, per le posizioni prima fatte in (16), sin ϕ 2 e cos ϕ sono entrambi positivi. 3 egime variabile in un circuito elettrico. Circuito LC Consideriamo ora il caso di un circuito elettrico contenente una resistenza, un induttanza L e un condensatore di capacità C. Supponiamo che all istante iniziale t = 0 in cui il circuito viene chiuso vi sia la carica q 0 sulle armature del condensatore. Vogliamo studiare l intensità i = i(t) della corrente di scarica del condensatore. Indicando con V 1 V 2 la differenza di potenziale esistente tra le armature del condensatore all istante t, l armatura a potenziale maggiore possiede la carica q = q(t) = C(V 1 V 2 ), 10
da cui V 1 V 2 = q C. (18) L intensità della corrente i(t) che circola a spese della scarica del condensatore è data da i(t) = dq dt. (19) Per la legge di Ohm generalizzata si ha V 1 V 2 L di dt = i. icordando la (18) e la (19), otteniamo L d2 q dt + dq 2 dt + 1 q = 0. (20) C Si ottiene così un equazione differenziale lineare del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti. L equazione caratteristica associata alla (20) è L λ 2 + λ + 1 C = 0. (21) Il discriminante della (21) è allora = 2 4 L C. Potranno così presentarsi 3 diversi casi, a seconda del segno del discriminante. 3.1 > 0 = > 2 L C L equazione (21) ammette due radici reali, entrambe negative, che indichiamo con λ 1 = α e λ 2 = β (α, β > 0). L integrale generale è q(t) = c 1 e αt + c 2 e βt da cui i(t) = dq dt = α c 1 e αt + β c 2 e βt, 11
dove le costanti arbitrarie c 1 e c 2 si determinano in base alle condizioni iniziali: q(0) = q 0, i(0) = 0. Si ha così { c 1 + c 2 = q 0 α c 1 + β c 2 = 0 da cui L intensità di corrente i(t) è perciò Si può osservare che, essendo c 1 = β q 0 α β c 2 = αq 0 α β. i(t) = α β q 0 α β (e βt e αt ). lim i(t) = 0, t + l intensità di corrente tende asintoticamente a 0 (vedere Figura 6). i(t) O t Figura 6: LC con > 0 12
L 3.2 < 0 = < 2 C L equazione (21) fornisce due soluzioni complesse coniugate 4L λ 1,2 = i 2L ± C 2. 2L Poniamo per comodità 4L C 2 = ω. (22) 2L Dunque l integrale generale della (20) è q(t) = e 2L t (c 1 cos ωt + c 2 sin ωt). L espressione dell intensità di corrente i(t) diventa perciò i(t) = dq dt = 2L e 2L t (c 1 cos ωt+c 2 sin ωt) e 2L t ( c 1 ω sin ωt+c 2 ω cos ωt). Affinchè siano soddisfatte le due condizioni iniziali q(0) = q 0, i(0) = 0, (23) dovrà essere { q 0 = c 1 0 = 2L c 1 c 2 ω, da cui c 1 = q 0 (24) c 2 = q 0 2ωL. Sostituendo questi valori di c 1 e c 2 nella (23) otteniamo i(t) = q 0 e 2L t sin ωt 2 + 4L 2 ω 2 4ωL 2. (25) icavando ω 2 dalla (22) e sostituendolo nel fattore 2 + 4L 2 ω 2 della (25) otteniamo infine i(t) = q 0 LCω e 2L t sin ωt. 13
( Si vede così che, se la resistenza è sufficientemente piccola < 2 L C ), la corrente di scarica del condensatore è una corrente alternata con intensità decrescente in modo esponenziale (vedere Figura 7). i(t) O t L 3.3 = 0 = = 2 C Figura 7: LC con < 0 La carica q(t) varia nel tempo secondo la legge q(t) = (c 1 + c 2 t) e 2L t. La carica sul condensatore decresce, tendendo asintoticamente a 0. L intensità di corrente sarà perciò i(t) = dq ( ) dt = c 1 2L c 2 + c 2 2L t e 2L t. Tenendo conto delle condizioni iniziali abbiamo Essendo lim t + q(0) = q 0, i(0) = 0, 2 i(t) = q 0 4L t 2 e 2L t. i(t) = 0, anche in questo caso l intensità di corrente tende asintoticamente a 0 (vedere Figura 8). 14
i(t) O t Figura 8: LC con = 0 4 egime variabile in un circuito elettrico. Circuito LC Interessa particolarmente in caso in cui la resistenza sia trascurabile. queste condizioni la legge di Ohm generalizzata si riduce a L di dt + q C = 0, cioè d 2 q dt + q = 0. (26) 2 LC Siamo in presenza di un equazione differenziale del secondo ordine lineare omogenea a coefficienti costanti, la cui equazione caratteristica λ 2 + 1 LC = 0 1 ammette le due radici immaginarie opposte λ = ±i LC ω = 1 LC, λ = ±iω. In e cioè, ponendo Si ha così che l andamento della carica q(t) sulle armature del condensatore è q(t) = c 1 cos ωt + c 2 sin ωt. (27) 15
Derivando rispetto a t la (27) si ha Tenendo conto delle condizioni iniziali i(t) = dq dt = c 1ω sin ωt c 2 ω cos ωt. (28) q(0) = q 0, i(0) = 0, si ottiene, dalla (27) e dalla (28), { q 0 = c 1 0 = c 2 ω da cui { c 1 = q 0 c 2 = 0. La corrente di scarica sarà perciò i(t) = q 0 ω sin ωt. La scarica è dunque oscillatoria (vedere Figura 9), con ampiezza costante q 0 ω, ed il periodo T = 2π ω = 2π LC prende il nome di periodo proprio del circuito. i(t) O t Figura 9: corrente di scarica in circuito LC 16
5 Il fenomeno della risonanza. Supponiamo di avere un circuito LC in cui è presente anche un generatore di corrente alternata di frequenza Ω 0. L equazione che governa il circuito allora diventa L d2 q dt + dq 2 dt + 1 C q = V 0 sin Ωt. (29) con le condizioni iniziali q(0) = q 0 e i(0) = 0. L equazione è pertanto contraddistinta dalla presenza del termine forzante V 0 sin Ωt. Prima di risolvere l equazione (29), è necessario enunciare (senza dimostrazione) i seguenti risultati generali: Teorema 1. Data un equazione differenziale ordinaria lineare del secondo ordine a coefficienti costanti completa ay + by + cy = f(t), il suo integrale generale è dato dalla somma dell integrale generale y o (t) dell equazione omogenea associata ay + by + cy = 0 e di una soluzione particolare y p (t) dell equazione completa. Teorema 2. Sia data un equazione differenziale ordinaria del secondo ordine lineare a coefficienti costanti completa con Si hanno i seguenti casi: ay + by + cy = f(t), (30) f(t) = k sin βt, k, β. 1. se iβ non è soluzione dell equazione caratteristica aλ 2 + bλ + c = 0 allora una soluzione particolare della (30) è del tipo y p (t) = A sin(ωt + α), con A, α costanti reali da determinarsi; 17
2. se iβ è soluzione dell equazione caratteristica, allora una soluzione particolare della (30) è del tipo y p (t) = At sin(ωt + α), con A, α costanti reali da determinarsi. In quest ultimo caso, matematicamente si dice che siamo in presenza del fenomeno della risonanza. Vogliamo cercare di indagare e di scoprire se e in quale misura la risonanza da un punto di vista matematico è legata al fenomeno della risonanza in campo elettronico. Torniamo alla (29). L equazione caratteristica ad essa associata è L λ 2 + λ + 1 C = 0. (31) Posto = 2 4 L C, ci occupiamo di risolvere la (29) quando L < 2 C e 0. Sappiamo già che l integrale generale dell equazione omogenea associata alla (29) è q 0 (t) = e 2L t (c 1 cos ωt + c 2 sin ωt). con c 1, c 2 costanti arbitrarie e ω = 2L. Come visto nel Teorema 2, sicuramente una soluzione particolare q p (t) della (29) è del tipo q p (t) = A sin(ωt + α). (32) Non può essere q p (t) = At sin(ωt + α) 18
perchè in tal caso iω dovrebbe essere soluzione dell equazione caratteristica (31) e quindi dovremmo avere L(iΩ) 2 + iω + 1 C = 0 da cui il che comporterebbe LΩ 2 + 1 C + iω = 0, LΩ 2 + 1 C = 0 e = 0, contro le nostre ipotesi ( 0). Troviamo allora A e α nella (32). Abbiamo q p(t) = AΩ cos(ωt + α) e q p(t) = AΩ 2 sin(ωt + α). Sostituendo nella (29) avremo LAΩ 2 sin(ωt + α) + AΩ cos(ωt + α) + A C sin(ωt + α) = V 0 sin Ωt, da cui, utilizzando le formule di addizione del seno e del coseno note dalla trigonometria, LAΩ 2 sin Ωt cos α LAΩ 2 cos Ωt sin α + AΩ cos Ωt cos α AΩ sin Ωt sin α + A C sin Ωt cos α + A C cos Ω sin α = V 0 sin Ωt. Pertanto dovrà essere LAΩ 2 cos α AΩ sin α + A C cos α = V 0 LAΩ 2 sin α + AΩ cos α + A C sin α = 0 da cui ( ) 1 C LΩ2 sin α = Ω cos α ( ) 1 C LΩ2 A cos α AΩ sin α = V 0 19
e, dividendo ambo i membri delle 2 equazioni per Ω, ( ) 1 ΩC LΩ sin α = cos α ( ) 1 LΩ LΩ cos α sin α = V 0 AΩ Poniamo Allora otteniamo tan α = X X def = ΩL 1 ΩC. X cos α sin α = V 0 AΩ. Pertanto = X tan α X cos α X tan α sin α = V 0 AΩ da cui = X tan α X cos α X sin2 α cos α = V 0 AΩ. e quindi = X tan α 1 cos α = V 0 AXΩ In definitiva troviamo α = arctan X Allora con α = arctan. X Teorema 1, A = V 0 ΩX cos α q p (t) = V 0 cos α sin(ωt + α) ΩX L integrale generale della (29) pertanto è, in base al q(t) = e 2L t (c 1 cos ωt + c 2 sin ωt) V 0 cos α sin(ωt + α). (33) ΩX 20
Per l intensità di corrente avremo i(t) = dq dt = 2L e 2L t (c 1 cos ωt + c 2 sin ωt) e 2L t ( c 1 ω sin ωt + c 2 ω cos ωt)+ + V 0 X Ponendo α = ϕ + π, si ha 2 e Quindi cos α cos(ωt + α). cos α = cos ( ϕ + π ) = sin ϕ 2 ( cos(ωt + α) = cos Ωt + ϕ + π ) = sin(ωt + ϕ). 2 i(t) = dq dt = 2L e 2L t (c 1 cos ωt + c 2 sin ωt) e 2L t ( c 1 ω sin ωt + c 2 ω cos ωt)+ + V 0 X sin ϕ sin(ωt + ϕ). Poichè tan ϕ = 1 = X, segue che tan α 1 sin ϕ = cos α = 1 + tan 2 α = X 2 + X. 2 Così abbiamo in definitiva che i(t) = 2L e 2L t (c 1 cos ωt + c 2 sin ωt) e 2L t ( c 1 ω sin ωt + c 2 ω cos ωt) V 0 2 + X 2 sin(ωt + ϕ). (34) Le quantità X e Z def = 2 + X 2 sono rispettivamente chiamate reattanza e impedenza del circuito. Imponiamo ora le condizioni iniziali per trovare le costanti arbitrarie c 1 e c 2. Imponendo q(0) = q 0 nella (33) otteniamo c 1 = q 0 + V 0 cos α sin α ΩX Imponendo i(0) = 0 nella (34) otteniamo = q 0 V 0 sin ϕ cos ϕ. ΩX c 2 = q 0 2Lω V 0 sin ϕ cos ϕ V 0 sin ϕ 2LωΩX ω 2 + X. 2 21
A noi interessa ragionare per un tempo t sufficientemente grande, cioè ci interessa studiare il fenomeno una volta superato il transitorio. Poichè [ ] 2L t (c 1 cos ωt + c 2 sin ωt) e 2L t ( c 1 ω sin ωt + c 2 ω cos ωt) = 0 lim t + 2L e possiamo dire che, superato il transitorio, l intensità di corrente sarà V 0 i(t) = sin(ωt + ϕ). (35) 2 + X2 Consideriamo (in modulo) la sua ampiezza, come funzione di Ω: A(Ω) = V 0 2 + X = V 0 2 ( 2 + ΩL 1 ). 2 ΩC Proviamo a vedere per quali valori della frequenza esterna Ω si ha che A(Ω) è massima: da dω = V ( ) ( 0 L + 1 1 ΩL) Ω 2 C ΩC [ 2 + ( ) ] 3. ΩL 1 2 2 ΩC Si ha che quando cioè quando 1 ΩC da dω 0 ΩL 0, 1 Ω 2 LC 0. Otteniamo allora che A(Ω) è massima quando Ω = 1 LC e vale A max = V 0. La frequenza Ω = 1 LC si chiama frequenza di risonanza del circuito. Si ha quindi risonanza quando la frequenza esterna coincide con la frequenza che ci dà la massima oscillazione dell intensità di corrente del circuito. 22
Notiamo che, in condizioni di risonanza, lo sfasamento ϕ tra l intensità di corrente i(t) e la tensione esterna applicata V 0 sin(ωt), pari a ( ϕ(ω) = arctan X ) = arctan ( ΩL 1 ) ΩC si annulla. In condizioni di risonanza, dunque, l intensità di corrente diventa, dopo opportune semplificazioni e ricordando che ϕ = 0, i(t) = ( 2L e 2L t q 0 cos ωt + q 0 sin ωt 2Lω V 0 sin Ωt = = e 2L t ( 2 q 0 4L 2 ω + q 0ω ) sin ωt V 0 ) e 2L t ( sin Ωt. q 0 ω sin ωt + q 0 2L In particolare, superato il transitorio, l intensità di corrente diventa i(t) = V 0 sin Ωt. ) cos ωt Osservazione. Notiamo che, in condizioni di risonanza (Ω = 1 LC ), superato il transitorio, quando 0 (cioè quando la resistenza all interno del circuito diventa trascurabile), le oscillazioni dell intensità di corrente crescono all infinito (in modulo): V 0 lim 0 + = +. Possiamo in qualche modo trovare un riscontro matematico a questo fenomeno? Per rispondere a quest ultima domanda, consideriamo il circuito ideale LC, in cui = 0, con generatore di tensione sinusoidale esterno: Lq + 1 C q = V 0 sin Ωt, (36) con le condizioni iniziali q(0) = q 0 e i(0) = 0. Supponiamo di metterci in condizioni di risonanza, cioè Ω = 1 LC. Notiamo che in queste condizioni, vi è anche risonanza da un punto di vista matematico perchè se Ω = 1 LC allora iω è soluzione dell equazione caratteristica: Lλ 2 + 1 C = 0. 23
Come vediamo, Ω = 1 LC è esattamente la frequenza propria del circuito e coincide con la frequenza di risonanza che si verifica quando 0. Nel caso di risonanza, inoltre, si ha in questo caso che ω = 2L = 4 L C 2 2L = 1 LC = Ω. isolviamo la (36). Sappiamo che l integrale generale dell equazione omogenea associata è q 0 (t) = c 1 cos ωt + c 2 sin ωt con c 1, c 2 costanti arbitrarie. Una soluzione particolare della (36) è che scriviamo nella forma equivalente q p (t) = At sin(ωt + α) q p (t) = t(a cos ωt + B sin ωt), con A, B costanti da determinarsi. Abbiamo e q p(t) = A cos ωt + B sin ωt + t( Aω sin ωt + Bω cos ωt) q p(t) = 2Aω sin ωt + 2Bω cos ωt + t( Aω 2 cos ωt Bω 2 sin ωt). Sostituiamo nella (36) e semplifichiamo: 2ALω sin ωt + 2BLω cos ωt + ( BLω 2 + B C ( ALω 2 + A ) t cos ωt+ C ) t sin ωt = V 0 sin ωt. Essendo ω 2 = 1 LC, avremo e ALω 2 + A C = AL 1 LC + A C = 0 BLω 2 + B C = BL 1 LC + B C = 0. 24
Allora si ha 2ALω sin ωt + 2BLω cos ωt = V 0 sin ωt. Pertanto dovrà essere { 2ALω = V 0 2BLω = 0 da cui A = V 0 2Lω B = 0. Una soluzione particolare della (36) è quindi q p (t) = V 0 t cos ωt. 2Lω Otteniamo così che l integrale generale della (36) è Allora l intensità di corrente è q(t) = c 1 cos ωt + c 2 sin ωt V 0 t cos ωt. 2Lω i(t) = dq dt = c 1ω sin ωt c 2 ω cos ωt + V 0 2Lω cos ωt V 0 t sin ωt. 2L Imponendo le condizioni iniziali troviamo c 1 = q 0 c 2 = V 0 2Lω. 2 Pertanto, dopo opportune semplificazioni, l intensità di corrente del circuito LC con generatore di tensione sinusoidale esterno è ( i(t) = q 0 ω V ) 0 2L t sin ωt. (37) Notiamo che in questo caso l ampiezza dell oscillazione dell intensità di corrente è funzione del tempo: A(t) = q 0 ω V 0 2L t. 25
Essa, per t +, tende all infinito (in modulo), in perfetto accordo con quanto studiato nel caso della risonanza del circuito LC quando 0. Otteniamo cioè il classico fenomeno della risonanza in cui l ampiezza delle oscillazioni diventa sempre più grande per tendere all infinito. Osserviamo inoltre che, superato il transitorio τ = 2L, si ha che A(τ) V 0 2L 2L = V 0 avendo trascurato il termine q 0 ω che per tempi sufficientemente grandi non è influente. Vediamo così che A(τ) è esattamente l ampiezza massima di oscillazione dell intensità di corrente che si aveva nel caso in cui 0, in condizioni di risonanza. 26