TEORIA DELLA STIMA E DELLA DESCISIONE STATISTICA

TEORIA DELLA STIMA E DELLA DESCISIOE STATISTICA STIMA A MASSIMA VEROSIMIGLIAZA Per determnare la stma a massma verosmglanza d un parametro θ, partendo da un campone d dat X, bsogna scrvere la denstà d probabltà f(x;θ) dpendente dal parametro ncognto θ. Successvamente s rcava la funzone d verosmglanza oppure l suo logartmo: L( θ ) f ( ; θ ) x ln[ L( θ )] ln[ f ( x ; θ )] Per procedere nella stma a massma verosmglanza, basta semplcemente verfcare che ln[l(θ)] sa dervable, calcolare la dervata prma e rcavare l valore d θ per cu s annulla: ln[ L( θ )] θ θ ˆ θ ML 0 Le stme a massma verosmglanza vengono n genere ndcate con Θˆ godono sono: Le stme Θˆ Le stme Θˆ ML ML sono consstent; sono asntotcamente effcent; ML. Le prncpal propretà d cu Se per l problema n esame esste uno stmatore effcente, esso è propro lo stmatore Θˆ Inoltre se ϕ(θ) è una funzone nvertble del parametro θ, la stma a massma verosmglanza d ϕ(θ), sarà propro ϕ ˆ θ ). ( ML ML

Esercz e Complement Eserczo. Determnare la stma a massma verosmglanza del valor medo e della varanza d un campone d dat X (x, x,, x ) gaussano (μ,σ ) Il prmo passo è d scrvere la funzone d verosmglanza: L ( x μ ) σ ( μ, σ ) ( ; θ ) f x e πσ passando al logartmo: ln[ L( μ, σ )] ln(π ) ln( σ ) σ ( x μ) le dervate parzal valgono: ln[ L( μ, σ )] μ σ ( x μ) ln[ L( μ, σ )] σ σ + 4 σ ( x μ) I valor per cu s annullano sono le stme a massma verosmglanza de parametr, rspettvamente: ˆμ ˆ σ ML x ML ( x ˆ μ ML ) che corrspondono alla meda e alla varanza camponara.

Modell e Metod per la Smulazone 3 Complemento. Per verfcare la bontà della stma ottenuta bsogna verfcare che le stme sano corrette. Per l valor medo s ha: E[ ˆ μ ML ] E[ x ] μ Poché l valor medo dello stmatore concde con l parametro da stmare, la stma s defnsce non polarzzata. Per verfcare se la stma del valor medo μˆ ML è una stma effcente bsogna confrontare la varanza della stma con l lmte d Cramer-Rao, a tal proposto è necessaro rcordare la dsuguaglanza d Cramer-Rao che nel caso specfco vale: σ Var[ ˆ μ ML ] ln[ f ( x; μ, σ )] E μ Per calcolare la varanza della stma μˆ ML bsogna esegure la seguente operazone: σ Var[ ˆ μ ML ] Var x Poché la varanza della stma concde con l lmte d Cramer-Rao, possamo concludere che la meda camponara μˆ ML ottenuta dalla stma a massma verosmglanza del valor medo d un campone dat gaussano è una stma effcente. Inoltre per quanto vsto prma è anche una stma non polarzzata e consstente, n defntva è la mglore stma possble che possamo ottenere per questo tpo d parametro. Questo rsultato è valdo sa se la varanza del campone è nota, e sa se è ncognta come n questo caso. Complemento. Le stesse verfche effettuate per la stma del valor medo possono essere effettuate per la stma della varanza del campone σˆ ML. Il rsultato della stma a massma verosmglanza suggersce d utlzzare la varanza camponara come stma della varanza d un campone gaussano. Purtroppo la varanza camponara non è una stma corretta nfatt:

4 Esercz e Complement E [ ] [ ] ˆ σ E ( x ˆ μ ) σ ML ML In questo caso la stma s dce polarzzata, e la sua polarzzazone b vale: b E [ ˆ σ ] ML σ σ uno stma non polarzzata è ad esempo: ˆ σ P ˆ σ ML Il lmte d Cramer-Rao, rchede un calcolo pù laboroso: ˆ b( σ ) ML + 4 ] σ σ ML Var[ ˆ σ ln[ f ( x; μ, σ )] E σ Per calcolare la varanza d σˆ ML. Consderamo la seguente varable: χ ˆ σ P σ S dmostra che questa varable ha una denstà d probabltà del Ch-quadro con grad d lbertà, e la sua varanza vale: Var χ [ ] ( ) pertanto:

Modell e Metod per la Smulazone 5 Var σ [ ˆ σ ] Var ˆ σ Var[ ˆ σ ] Var[ χ ] ML In defntva: P P Var 4 4 σ σ σ [ ] ˆ σ ( ) ML Confrontando questa espressone con l lmte d Cramer-Rao, appare evdente che la varanza camponara ha una varanza d stma sempre superore al lmte d Cramer-Rao, qund la stma a massma verosmglanza della varanza d un campone dat non è una stma effcente, ma tende al lmte d Cramer-Rao solo per. In questo caso la stma s dce asntotcamente effcente. Possamo replogare quanto detto dcendo che la stma a massma verosmglanza d un campone dat gaussano è la varanza camponara d σˆ ML, la quale rsulta essere una stma consstente(n quanto stma ML), una stma non corretta (perché polarzzata), ed una stma asntotcamente effcente. A questo punto è nteressante confrontare le propretà della varanza camponara con quelle della stma non polarzzata σˆ P determnata n precedenza : Var [ ˆ σ ] P 4 σ Poché la varanza d questa stma è maggore della varanza della stma σˆ ML, dobbamo concludere che la stma a massma verosmglanza della varanza d un campone d dat gaussano, sebbene sa una stma polarzzata, ha una bontà maggore d qualsas altra stma, poché è quella a varanza mnore.

6 Esercz e Complement Eserczo. Determnare la stma a massma verosmglanza del valor medo d una v.a. esponenzale negatva utlzzando l campone d dat X (x, x,, x ) Il prmo passo è d scrvere la funzone d verosmglanza: L( μ ) f ( ; μ) ( x + x + L+ x ) μ x e μ passando al logartmo: ln[ L ( μ )] ln( μ) L + μ ( x + x + ) x la dervata vale: ln[ L( μ)] + μ μ μ ( x + x + L + ) x Il valore per cu s annulla è la stma a massma verosmglanza del parametro: ˆμ ML ( x + x + L + x ) che corrspondono alla meda camponara. Anche la meda camponara è una stma non polarzzata, consstente ed effcente, qund la mglor stma per l valor medo d una v.a. esponenzale negatva

Modell e Metod per la Smulazone 7 Eserczo.3 Sa λ l numero medo d chamate rcevute n un ora n una centrale telefonca. Ipotzzando che l numero effettvo d chamate orare sa modellable con una varable aleatora dscreta d Posson, con valor medo par a λ, e d avere a dsposzone osservazon ndpendent del fenomeno, determnare: La stma a massma verosmglanza del parametroλ. La polarzzazone della stma ottenuta; Verfcare la consstenza e l effcenza della stma ottenuta Rcordamo che una v.a. dscreta d Posson a funzone massa d probabltà par a : p n n λ λ e n! noltre: E [ n] Var[ n] λ Il prmo passo è d scrvere la funzone d verosmglanza, sosttuendo opportunamente la funzone denstà d probabltà con la funzone massa d probabltà, perché questa volta l problema rguarda una v.a. dscreta, ed l campone delle osservazon è (n,n,n ): L( λ ) p, λ n λ e n! λ λ n n! e λ passando al logartmo: ln[ L( μ)] ln( λ) n ln( n!) λ la dervata vale:

8 Esercz e Complement n L )] ( ln[ λ λ λ Il valore per cu s annulla è la stma a massma verosmglanza del parametro: ML n ˆλ Per verfcare se la stma è corretta (non polarzzata): [ ] λ λ ML n E E ] [ ˆ La stma ottenuta medante la tecnca a massma verosmglanza è la meda camponara, e rsulta essere una stma corretta. Poché s tratta d una stma ML è anche consstente. Per verfcare se la stma è effcente bsogna calcolare la varanza della stma e confrontarla con l lmte d Cramer-Rao. Poché per potes le osservazon sono ndpendent, la varanza s può calcolare come l prodotto delle sngole varanze: [ ] n Var Var ML λ λ ] [ ˆ Il lmte d Cramer-Rao è: n E n E n E p E Var ML λ λ λ λ λ λ λ λ, ] [ ] ln ] ˆ [ Poché la varanza della stma concde con l lmte d Cramer-Rao la stma è effcente.

Modell e Metod per la Smulazone 9 Eserczo.4 S consder un espermento che può avere solo due rsultat: successo o nsuccesso e che essere rpetuto volte. Ipotzzando che la probabltà dell evento successo sa par a p, e che durante le prove dell espermento l evento favorevole s è verfcato k volte, determnare una stma non polarzzata del parametro p e verfcarne la consstenza. La varable aleatora dscreta che descrve l eserczo è una v.a. bnomale la cu funzone massa d probabltà vale: ) ( ) ( k k k p p k p Charamente la funzone massa d probabltà è funzone del parametro p, noltre è anche la funzone d verosmglanza, qund per determnare la stma ML è suffcente dervare p k.: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( k k k k k k k p p k k p kp k p p k dp d dp dp dp p dl la dervata s annulla per k p dp p dl ML p p ML ˆ 0 ) ( ˆ poché s tratta d una v.a. bnomale l valor medo e la varanza d k sono: p kp k E k k 0 ] [ ) ( ] [ ] [ ] [ p p k E k E k Var Verfchamo se la stma ML è una stma polarzzata:

0 Esercz e Complement E[ k] E[ pˆ ML ] p La stma ML del parametro p è una stma corretta. Var[ pˆ ML Var[ k] ] p( p) Poché: lm Var [ pˆ ] 0 ML La stma ML del parametro p è una stma consstente.

Modell e Metod per la Smulazone DISTRIBUZIOE ORMALE STADARD La dstrbuzone normale standard s ndca con Φ(z), e la sua espressone vale: Φ( z x z) e π dx La funzone Φ(z), rappresenta l area sottesa ad una curva gaussana d valor medo nullo, e varanza untara. Questa espressone permette d calcolare la probabltà degl event X z, quando X è appunto, una v.a. gaussana a meda nulla, e varanza untara. Φ (z) 0.4-3.5 z 3.5 x Ogn v.a. gaussana X (μ,σ ), può essere normalzzata alla v.a. gaussana standard Z medante la trasformazone: μ Z X σ In appendce, nella tavola A., vene rportata la tabella con valor d Φ(z). Anche se la curva è defnta nell ntervallo ]-,+ [, n pratca assume valor sgnfcat nell ntervallo [-3.5, +3.5]. Per questo motvo nelle tabelle vengono rportat soltanto n questo ntervallo. Inoltre poché la curva gaussana è una funzone smmetrca, la funzone Φ(z), gode della seguente propretà: Φ ( z) Φ( z) Pertanto la tabella rporta soltanto valor nell ntervallo [0, +3.5].

Esercz e Complement Eserczo.5 Medante l utlzzo della tavola statstca Tav. A (che rporta valor della dstrbuzone normale standard), calcolare la probabltà che la v.a. gaussana X (4,4), assuma valor tra 3 e 5. La prma operazone da effettuare è normalzzare la v.a. X alla gaussana standard, e successvamente e segure l calcolo della probabltà. In pratca: Pr 5 4 3 4 { 3 < X < 5} Φ Φ Φ(0.5) Φ( 0.5) Φ(0.5) [ Φ(0.5) ] Dalla tabella s ha: Φ(0.5) 0.695, s ha: { 3 < X < 5} 0. 383 Pr Eserczo.6 La quanttà d carburante, n mglaa d ltr, rchesta settmanalmente ad una stazone d servzo, può essere schematzzata come una v.a. gaussana X (0,6). Sapendo che la stazone vene completamente rfornta all nzo d ogn settmana, s chede d calcolare la capactà C del serbatoo, n modo che la probabltà d esaurre l carburante nella settmana rsult 0.0 Poché la probabltà che l carburante rchesto dalla stazone super la capactà del deposto deve essere 0.0, s ha: { X > C} 0 Pr 0. e poché: C 0 Pr 4 { X > C} Pr{ X < C} Φ 0. 0 da cu:

Modell e Metod per la Smulazone 3 0 Φ C 4 0.99 Dalla tabella s ha: C 0.33 C 9,3 4 Qund la capactà del serbatoo deve essere crca d 9,3 mglaa d ltr. Complemento.3 Le varabl aleatore gaussane godono d alcune mportant propretà, tra le qual, rcordamo che due v.a. gaussane ncorrelate sono anche ndpendent. Un altra propretà rguarda la somma d due v.a. gaussane In partcolare se una v.a. V è combnazone lneare d due v.a. gaussane X e Y ncorrelate V ax + by E una v.a. gaussana con seguent parametr: μ aμ + bμ V X Y V X σ aσ + bσ Y Questo rsultato può essere esteso anche alla combnazone lneare d v.a. gaussane. Se nvece le due v.a. non sono ncorrelate, le relazon date sopra non sono valde. el caso d due v.a. gaussane correlate con grado d correlazone par a ρ può essere nteressante calcolare le probabltà condzonate X Y e Y X. In questo caso valgono le seguent relazon: E σ X [ X Y y] μ + ρ y μ ) Var X σ Y ( Y [ X Y y] σ ( ) ρ X

B 4 Esercz e Complement E σ Y [ Y X x] μ + ρ x μ ) Var Y σ X ( X [ Y X x] σ ( ) ρ Y Eserczo.7 Un operao A per compere un lavoro mpega un certo tempo( n mnut) T A schematzzable con una v.a. gaussana con parametr (0,9). Un secondo operao mpega un tempo( n mnut) T B schematzzable con una v.a. gaussana con parametr (00,6). I due opera nzano l lavoro contemporaneamente ed n manera ndpendente.quale è la probabltà che l operao A fnsca l lavoro prma dell operao B La coppa d varabl T A e T A sono due una coppa d v.a. gaussane ndpendent. Pertanto la varable D T A - T A è ancora una v.a. gaussana con parametr (8,5): Pr 5 { T < T } Pr{ ( T T ) 0} Pr{ D 0} Φ 0. 334 A B A B Eserczo.8 S supponga che l altezza(cm) d un gruppo molto numero sa una v.a gaussana X (70,00). Mentre l peso(kg) sa espresso da una v.a gaussana Y (75,00). Poché le v.a. X e Y s rferscono allo stesso gruppo d persone sono correlate (ρ 0.8) Quale è la probabltà che scelta una persona a caso pes meno d 75 Kg?. Quale l peso medo delle persone alte 80 cm? Quale è la probabltà che una persona alta 80 cm pes meno d 75 Kg? La prma domanda rguarda soltanto la v.a. Y pertanto: { Y 75} Φ( 0) 0. 5 Pr

Modell e Metod per la Smulazone 5 La seconda domanda mplca l calcolo del valor medo condzonato E[Y X 80] E σ Y [ Y X 80 ] μ + 0.8 (80 μ ) 75 + 0.8(80 70) Kg Y X 83 σ X La devazone standard della v.a. condzonata Y X, vale: σ Y X Y σ ρ ( ) 0 0.64 6 Qund la rsposta alla terza domanda è : Pr 75 83 4 {( Y X 80) 75} Φ Φ 0. 09 6 3

6 Esercz e Complement STIMA PER ITERVALLI La stma per ntervall, consste nel determnare se l valore del parametro θ da stmare rcade n un certo ntervallo, che vene defnto ntervallo d fduca della stma. Il problema vene formulato nel seguente modo { B < θ < } γ Pr B Dove BB e B B sono due varabl statstche, l cu valore è completamente determnato dal campone dat X, mentre γ vene detto lvello d ncertezza. Rcordamo due rsultat mportant della teora della stma: ) Quando l parametro da stmare è l valor medo μ d un campone dat gaussano, la stma per ntervall vene formulata nel seguente modo: t t Pr X S < μ < X + S γ dove X e S sono rspettvamente la meda e la varanza camponara. Le varabl B e BB nel caso specfco sono varabl t-student con grad d lbertà ( dmensone del campone). )Quando l parametro da stmare è la varanza del campone l problema vene formulato nel seguente modo: S Pr x S < σ < γ x I valor x e x s determnano faclmente dalle tavole del χ mponendo le condzon: γ { χ x } Pr{ χ x } Pr γ

Modell e Metod per la Smulazone 7 Eserczo.9 Dato un campone d dat X d dmensone 00, estratto da una popolazone avente scarto quadratco medo σ 5.. Ipotzzando che la meda camponara sa X.6 costrure un ntervallo d fduca al 95% per la stma del valor medo della popolazone. L eserczo consste nel determnare un ntervallo entro quale rtenere accettable la stma del parametro μ, con un lvello d ncertezza γ 0.05. Poché la varanza del campone è nota l problema può essere formulato semplcemente nella forma: { z < μ < z } 0. 95 Pr Grafcamente s ha la seguente stuazone: regone d rfuto regone d accettazone X z γ σ μ X + z γ σ Per determnare la regone d accettazone [z,z ] bsogna qund calcolare la varable z γ medante la conoscenza del lvello d ncertezza γ. Dalla tabella della dstrbuzone normale standard, s rcava: { z < Z < z } Φ( z ) [ Φ( z )] Φ( z ) 0.95 Φ( z ) 0.975 z. 96 Pr γ γ γ γ γ γ γ Dal valore d z γ s ottene l seguente ntervallo d fduca: Pr X z γ σ < μ < X + z γ σ 5. 5. Pr.6.96 < μ <.6 +.96 0 0 0.95 0.6 μ.6

8 Esercz e Complement Eserczo.0 Consderato l campone dat X ( 80), rportato n tabella, determnare un ntervallo d fduca al 99% per la stma del valor medo. 5.8 6.4 7.3. 3.9 4.8 8.7 3.9 9.0 3..7 9.8 6. 4.7 7.5 6..8 8.6 7.6 3.7 6.8.7 8.0 0.5.0 0.9 5.5 9.4 6.7 0.7 9. 5..9 6.6 0.4.4 9..6 6.9 9.0 8.5 3.0 4.6 0. 6. 8 7.7 3.5 3.5 4.5 4.4 9.6 9.4 7.0 0.8 4.3.5 4.6 8.4 8. 8.3.9.3.3 3.3.8 9.3 0.0 5.7 3.8 5.9 0.5 5.9 7.5 8. 7.9 9.4 4. 0. 8.5 L eserczo è molto smle a quello precedente, bsogna però fare attenzone al fatto che questa volta la varanza non è nota. La prma operazone da compere è calcolare la meda e la varanza camponara: X x 8.8 S ( x X ) 3.96 Il problema vene formulato nel seguente modo: tγ tγ Pr X S < μ < X + S γ ( 40) Anche n questo caso l problema s rconduce al calcolo d una varable t γ, medante le tavole statstche. Questa volta bsogna utlzzare le tavole della dstrbuzone t-student, poché la varanza del campone dat non è nota. { t < T < } γ 0. 0 Pr γ t γ Poché 80, è necessaro conoscere la dstrbuzone t- Student con 79 grad d lbertà. ella tabella a dsposzone, questo valore non è rportato. Qund s può procedere n dvers mod, l prmo è utlzzare l

Modell e Metod per la Smulazone 9 valore pù vcno rportato nella tabella, e qund dalla rga della dstrbuzone con 80 grad d lbertà s legge t γ.638, d conseguenza s rcavo l ntervallo:.638 Pr 8.8 79.638 3.96 < μ < 8.8 + 79 3.96 0.0 7.3 μ 0.47 Un secondo metodo è l approssmazone gaussana, tanto pù valda quanto pù grande è. Per 79, è ragonevole poter utlzzare tale approssmazone: { z < Z < z } Φ( z ) [ Φ( z )] Φ( z ) 0.99 z. 5758 Pr γ γ γ γ γ γ Pr 8.8.5758 3.96 80 < μ < 8.8.5758 3.96 0.99 7. μ 0.5 80 Eserczo. S consder l seguente campone dat X ( 5): [0.060, 0.08, 0.056, 0.075, 0.09, 0.074, 0.07, 0.074, 0.080, 0.064, 0.068, 0.085, 0.078, 0.07] S determn un ntervallo d fduca al 95% per la stma del valor medo e della devazone standard. Calcolo della meda e della varanza camponara: X x 0.074 S ( x X ) 0.00008 Per la stma del valor medo utlzzamo le tavole della dstrbuzone t-student con 4 grad d lbertà, poché l lvello d ncertezza è γ 0.05, s ha t γ.45:.45.45 Pr 0.074 0.009 < μ < 0.074 + 0.009 0.05 0.069 μ 0.079 4 4

0 Esercz e Complement Per la stma della varanza, s ha: S Pr x S < σ < γ x I valor x e x s determnano dalla tabella del χ faclmente mponendo le condzon: γ { χ x } Pr{ χ x } γ Pr Pertanto x 6.9 e x 5.69, da cu: Pr S x S 5 5 < σ < γ Pr 0.09 < σ < 0.009 0.95 0.007 σ 0.05 x 6.9 5.69 Complemento.4 E mportante notare, che se dmnusce l lvello d ncertezza γ, l ntervallo d fduca aumenta. Questo che apparentemente è un rsultato postvo, deve far rflettere. Perché l aumento della fduca nella stma, sgnfca che la stma è poco attendble, perché pù è ampo l ntervallo n cu s cerca un parametro, e pù facle è trovarlo. Qund una buona stma, è una stma con un lvello d ncertezza basso ed un ntervallo d fduca molto stretto.

Modell e Metod per la Smulazone TEST DI IPOTESI STATISTICHE S chamano test d potes statstche (o prove d accordo) tutt que procedment att a verfcare, per mezzo dello studo d campon, se sono accettabl o meno delle potes fatte sulla legge d dstrbuzone d una varable. ella sua forma pù generale l test delle potes statstche vene formulato nel seguente modo: S defnsce una varable H (funzone del campone dat X) detta statstca del test; S defnsce un ntervallo d fduca entro l quale devono essere verfcate le potes; Se n corrspondenza del partcolare campone osservato la varable H assume un valore esterno all ntervallo d fduca, l potes fatta vene rfutata. Qund formalmente l problema vene formulato n manera analoga al calcolo dell ntervallo d fduca per la stma de parametr: { h < H < } γ Pr h Se l valore d H, ottenuto dal campone n esame, cade all nterno dell ntervallo [h,h ] non è ragonevole rfutare l potes, che può essere accetta con una certa cautela dervante dal lvello d ncertezza γ. Un test molto mportate è l test del χ (Ch-quadro), che vene utlzzato, per verfcare se un campone dat X osservato segue una dstrbuzone unforme. Per condurre l test s suddvde l ntervallo della varable unforme potzzata n s part e s determna la varable R che rappresenta l numero d element del campone che assumono un valore compreso nella -esma parte, valor (R, R, R 3, R S ). Poché sulla varable n esame vene fatta l potes sulla sua dstrbuzone, n ogn ntervallo dovrebbe cadere un numero d valor par a : (p, p, p 3,, p S ). La statstca del test V vene calcolata nel seguente modo: V S ( R p ) p Fssato un certo lvello d ncertezza γ, dalle tabelle del χ con s- grad d lbertà, s può rcavare x γ tale che Pr { χ xγ } γ

Esercz e Complement A questo punto possamo formulare un test d potes statstche del tpo: Pr { 0 < V < x } γ γ dove l ntervallo [0, x γ ] defnsce la regone d accettazone. L potes verrà rfutata se l valore d V ottenuto da un partcolare campone, è esterno alla regone d accettazone. Eserczo. Gl ncdent d auto avvenut n un anno su un tratto d strada sono ndcat per ogn mese nella seguente tabella: MESE GE FEB MAR APR MAG GIU LUG AGO SET OTT OV DIC n ncdent 9 6 0 33 30 34 35 8 30 S vuole provare con un lvello d ncertezza γ 0.0, l potes che la probabltà evento ncdente non dpenda dal partcolare mese n cu accada. L potes che l numero d ncdent non dpenda dal mese, s traduce defnendo una v.a. dscreta X, che sa unformemente dstrbuta nell ntervallo [,], con vettore delle probabltà: p, p, p 3,, p S /. Per verfcare se l numero degl ncdent segua questa legge d dstrbuzone utlzzamo l test del χ defnendo la varable V: V S ( R p ) p L ntervallo de defnzone della dstrbuzone n esame, vene suddvso charamente n dodc part s Al posto d R sosttuamo l relatvo numero d ncdent nel relatvo mese, mentre la dmensone del campone s ottene sommando tutt valor della tabella: R 300 p 5 A questo punto samo n grado d calcolare l valore d V:

Modell e Metod per la Smulazone 3 V ( 5) R 5 0.8 Dalle tabelle del χ rcavamo x γ tale che: Pr { χ x } γ 0.0 x 4. 7 γ γ Poché V < x γ, l potes fatta è vera con un lvello d fduca par al 99%. Eserczo. S supponga d effettuare 00 lanc con una moneta e d ottenere 45 volte testa. Verfcare medante l test del χ che la moneta non sa truccata. Se la moneta è perfettamente smmetrca la varable X che esprme l rsultato del lanco, può assumere due valor con probabltà par a p 0.5,,. Assocamo ad l rsultato testa e a l rsultato croce: R 00 p 50 V S ( R p ) p (45 50) 50 (55 50) + 50 (5) 50 Dalle tabelle del χ con grado d lbertà, s rcava che x γ è sempre maggore d, per ogn γ >0.3. Qund l potes d smmetra sulla moneta può essere accettata con un lvello d ncertezza par a 0.3

4 Esercz e Complement Eserczo.3 S supponga d effettuare al calcolatore l espermento del lanco d un dado. L espermento vene rpetuto 0 volte ottenendo seguent rsultat: Valore 3 4 5 6 Rsultato 5 7 5 3 4 6 Per poter verfcare se la smulazone condotta rproduce fedelmente la realtà, analzzamo l rsultat ottenut. Medante l test del χ s vuole verfcare che la sequenza d dat ottenut sa unforme nell ntervallo [,6] con un lvello d ncertezza γ 5% Questo tpo d verfca è molto frequente, nell anals degl Input d un smulazone. In pratca lo scopo è verfcare che la sequenza casuale generata al calcolatore segua la dstrbuzone desderata. el caso specfca bsogna verfcare che la sequenza s unforme nell ntervallo [,6] 6 R 0 p 0 S V ( R p ) p (5 0) 0 (7 0) + 0 (5 0) + 0 (3 0) + 0 (4 0) + 0 (6 0) + 0 5 Dalle tabelle del χ con 5 grad d lbertà rcavamo x γ tale che: Pr { χ x } γ 0.05 x. 07 γ γ Poché V < x γ, l potes fatta è vera con un lvello d fduca par al 95%.

Modell e Metod per la Smulazone 5 Eserczo.4 Durante l esecuzone d una smulazone è prevsto generare una sequenza d 50 numer casual tra [0,9]. Per poter verfcare la corretta generazone della sequenza casuale, vene suddvso l ntervallo [0,9] n 0 part e s effettua l conteggo d quant valor cadono nel sngolo ntervallo, e s ottene la seguente tabella: Valore 0 3 4 5 6 7 8 9 Rsultato 7 3 9 8 4 0 35 30 0 36 Medante l test del χ s vuole verfcare che la sequenza d dat ottenut sa unforme nell ntervallo [0,9] Analogamente all eserczo precedente: 0 R 50 p 5 V S 0 ( R p ) ( R 5) p 5 3.8 Poché non vene fatta nessun rfermento al lvello d ncertezza sceglamo due valor γ (5%,%) Dalle tabelle del χ con 9 grad d lbertà rcavamo x γ tale che: Pr { χ x } γ 0.05 x 6. 99 γ γ Pr { χ x } γ 0.0 x. 666 γ γ In entramb cas non è possble accettare l test. Se s analzza attentamente la tabella s vede che per γ 0.5%, s ottene x γ 3.589. Il test n questo caso può essere accettato anche se lo scarto è mnmo. E opportuno rcordare, che n questo caso è poco sgnfcatvo accettare l test, n prmo luogo perché lo scarto è mnmo, ma soprattutto perché l potes è verfcata con un lvello d ncertezza molto basso, e qund con un ntervallo d fduca molto ampo. Abbamo pù volte rbadto, che quando l ntervallo d fduca è molto ampo è poco sgnfcatvo accettare un test d potes statstche.

6 Esercz e Complement Eserczo.5 ell anals dell accadmento d un certo evento, s è msurato che l evento nelle ultme 90 settmane s è verfcato secondo l seguente campone dat: d event per settmana 0 3 o pù d settmane n cu s è verfcato 5 3 6 0 Dalla tabella, s evnce che sono 5 le settmane n cu non s è verfcato, mentre sono 3 le settmane n cu s è verfcato una volta, e 6 le settmane n cu s è verfcato volte, etc. Verfcare medante l test del χ che la frequenza degl evento segua una dstrbuzone d Posson con parametro λ 0.4 con lvello d ncertezza γ 5% L espermento n esame consste nell osservare, n un ntervallo temporale ben defnto (0,t) par ad una settmana l verfcars d un dato evento. In generale ogn osservazone è ndpendente dalle altre, e qund ogn occorrenza dell evento è ndpendente dalle altre, noltre da dat osservart la frequenza delle occorrenze dell evento sembra puttosto regolare Qund è lecto supporre, che l occorrenza d questo evento segua una dstrbuzone d Posson. Per calcolare valor delle probabltà p bsogna utlzzare la formula d Posson: p n n λ λ e n! da cu: p p p 0 0 0. 4 0 e.4 0! 0 0. 4 e.4! 0 0. 4 e.4! 0.6703 0.68 0.0536 p 3 ( p0 + p + p ) 0.0080 Charamente nel nostro caso sebbene l ndce parte da zero (p 0, p, p, p 3 ), queste probabltà vanno lette come (p, p, p 3, p 4 ) perché l ndce della sommatora del calcolo della statstca del test V parte da :

Modell e Metod per la Smulazone 7 V 3 ( R p ) ( 5 60.33) ( 3 4.3) ( 6 5.54) p 60.33 + 4.3 + 5.54 3.76 Le ultme due probabltà sono state accorpate, poché la somma delle loro probabltà assolute è mnore d 5 è qund sono nnfluent per l test (p 3 0.0536*904.84, p 4 0.0536*900.7) le abbamo sommate e consderate come un unco caso (p 3+4 5.54). Questa è una regola emprca per asscurars che la statstca del test sa una v.a. del χ. Dalle tabelle del χ con grad d lbertà rcavamo x γ tale che: Pr { χ x } γ 0.05 x 5. 99 γ γ Poché V < x γ, l potes fatta è vera con un lvello d fduca par al 95%. Eserczo.6 S potzza che l numero d dfett d present su un crcuto stampato segue una legge d Posson. Su un campone d 60 crcut pres a caso s msurano le seguent frequenze d dfett: dfett 0 3 o pù d crcut n cu è sono present dfett 3 5 9 4 Verfcare medante l test del χ che la frequenza degl evento segua una dstrbuzone d Posson con lvello d ncertezza γ 5% Poché n questo caso non vene fatta nessuna potes sul parametro della dstrbuzone utlzzmo un valore stmato. Dalla teora è noto che la meda camponara è corrsponde alla stma a massma verosmglanza del valor medo d un v.a. d Posson, pertanto: ˆ 0 3 + 5 + 9 + 3 4 λ 0.75 60 da cu:

8 Esercz e Complement p p p 0 0 0. 75 0 e.75 0! 0 0. 75 e.75! 0 0. 75 e.75! 0.474 0.3543 0.39 p 3 ( p0 + p + p ) 0.0404 Anche n questo caso convene accorpare le ultme due probabltà. Questo s poteva anche vedere, dalla tabella nzale, nfatt perché l test sa sgnfcatvo, n ogn ntervallo -esmo, n cu s dvde l campone dat è bene che cadano al meno 0 valor. Unendo le ultme due colonne ottenamo : 9+4 3 V 3 ( R p ) ( 3 8.34) ( 5.6) ( 3 0.39) p 8.34 +.6 + 0.39.97 Poché l valor medo della varable d Posson è stato stmato dal campone, non bsogna utlzzare la dstrbuzone del χ con grad d lbertà ( come s dovrebbe perché la statstca del test è stata calcolato con s 3), ma quella con un grado d lbertà, perché bsogna anche consderare l ncertezza della stma effettuata, qund dmnure grad d lbertà del numero d parametr stmat dal campone dat (n questo caso solo l valor medo), pertanto rcavamo x γ tale che Pr { χ x } γ 0.05 x 3. 84 γ γ Poché V < x γ, l potes fatta è vera con un lvello d fduca par al 95%.

Modell e Metod per la Smulazone 9 Eserczo.7 Osservando gl arrv n un centro d servzo, s regstrano seguent valor: 0.87.57 3.3 3.94 0.06 0.95.48.43.63 5.80.50.36 3.43 0.5.04 5.53 0.54.4.68 0.80 3.86.3.00.88.73 0.7 0.0 0.55 3.48 0.77 che rappresentano temp d nter-arrvo delle rcheste d servzo al sstema. Verfcare medante l test del χ che la dstrbuzone de temp d nter-arrvo segua una legge esponenzale negatva. ell anals de sstem a coda, questo tpo d verfca è necessara per poter decdere d adottare un modello markovano per descrve l sstema. Poché abbamo soltanto un campone dat X osservato senza nessuna potes calcolamo la meda e varanza camponara: X x.3 S ( x X ).88 Se temp d nter-arrvo fossero esponenzal, ogn arrvo è ndpendente dal precedente, è s può potzzare che gl arrv sono unformemente dstrbut all nterno dell ntervallo d osservazone. Questo sgnfca che se suddvdamo la sequenza complessva d 30 valor n s 6 ntervall, n ogn ntervallo devono cadere 5 valor della sequenza. Se suddvdamo l ntervallo [0,] n 6 part ottenamo seguent sottontervall con rspettv valor d sogla: 5 5 5 5 5 5 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 0.00 0.67 0.333 0.500 0.667 0.883.00

30 Esercz e Complement Il problema va trasportato ad una dstrbuzone esponenzale, qund dobbamo traslare valor d sogla secondo la formula: [ U ( )] E( x).3ln x E contare n ogn ntervallo quant valor cadono: 4 5 6 5 8 *** * ***** ** ** * * ** * * * * * ** * * * * * * 0.00 0.4 0.935.599.534 4.33 5.95 charamente per effetto della trasformazone d varable gl ntervall non sono della stessa lunghezza, ma n ogn caso dovrebbero cadere 5 valor n ogn ntervallo (potes d unformtà). Poché s osservano de valor dvers n ogn ntervallo, effettuamo l test del χ con un lvello d ncertezza del 5% per verfcare l potes: 6 R 30 p 5 V 6 ( R p ) ( 4 5) ( 5 5) ( 6 5) ( 5 5) ( 8 5) ( 5) p 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 4 Poché abbamo utlzzato, un valore stmato del valor medo della dstrbuzone esponenzale, bsogna utlzzare la tavola del χ con 4 grad d lbertà: Pr { χ x } γ 0.05 x 9. 488 γ γ Poché V < x γ, l potes fatta è vera con un lvello d fduca par al 95%.

UMERI PSEUDO-CASUALI GEERATORI DI SEQUEZE PSEUDO-CASUALI Un generatore congruente lneare, ha la seguente espressone X n+ ( ax n + c) mod m Il parametro a è detto moltplcatore mentre c ncremento, m è l valore rspetto al quale s esegue l operazone d modulo. In partcolare se c 0, l generatore vene detto moltplcatvo. Il termne nzale dell algortmo X 0 è detto seme ed è un numero ntero. Per ottenere dalla sequenza numerca X n una sequenza d valor dstrbuta tra [0,] è suffcente la seguente operazone U n X n m La sequenza ottenuta è perodca al pù d perodo m, n partcolare s dce che ha perodo peno se l suo perodo è propro m, e cò s verfca quando sono verfcate le seguent condzon: Se m e c sono prm tra loro; Se m è dvsble per un numero prmo b, per l quale deve essere dvsble anche a ; Se m è dvsble per 4, allora anche a deve essere dvsble per 4. Oltre a queste verfche è necessaro anche verfcare l unformtà della sequenza medante l stogramma (anals qualtatva) e medante l test del χ (anals quanttatva). Dopo aver ottenuto una sequenza pseudo-casuale è possble ottenere altre dstrbuzon medante le trasformazon d varabl aleatore, o medante l metodo della reezone-accettazone. Appare evdente che maggore è l perodo della sequenza ottenuta, e maggor sono le probabltà d aver ottenuto un buon generatore. Poché per ottenere un perodo molto elevato bsogna utlzzare valor d m molto elevat, almeno m 35, e d conseguenza anche valor d a molto grand, questo sgnfca che bsogna avere elaborator elettronc con notevol capactà d calcolo. Bsogna anche consderare lo scopo per cu s svolge la smulazone, nfatt se non sono necessare sequenze molto numerose s possono utlzzare anche generator con valor pù bass.

3 Esercz e Complement Eserczo. Dato l seguente generatore congruente lneare (LCG), calcolare la sequenza pseudo-randomca generata e verfcare l unformtà,medante la tecnca dell stogramma. LCG (a 3, X 0 3, m 7). Calcolamo la sequenza X n : X 3X 0 mod(7) X 3X mod(7) 6 X 3 3X mod(7) 4 X 4 3X 3 mod(7) 5 X 5 3X 4 mod(7) X 6 3X 5 mod(7) 3 X 7 3X 6 mod(7) U n X 7 n [ 0.85 0.857 0.57 0.4 0.48 0.48 0.85] suddvdamo l ntervallo [0,] n 6 ntervall e contamo quant valor cadono n ogn sngolo ntervallo: I [0, 0.67, 0.333, 0.500, 0.667, 0.833, ] R [,,,, 0, ].8.6.4. 0.8 0.6 0.4 0. 0 0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Modell e Metod per la Smulazone 33 Eserczo. Rpetere l eserczo precedente con m 4 Calcolamo la sequenza X n : X X mod(4) 9 X X mod(4) 3 3 0 8 3 7 X X mod(4) 3 X X mod(4) 3 9 3 8 X X mod(4) X X mod(4) 5 3 3 0 3 9 X X mod(4) 5 X X mod(4) 4 3 3 3 0 X X mod(4) X X mod(4) 3 5 3 4 3 X X mod(4) 3 X X mod(4) 9 6 3 5 3 3 X X mod(4) 9 X X mod(4) 3 7 3 6 3 3 4 U n [0.649, 0.986, 0.7857, 0.357, 0.074, 0.43, 0.649, 0.986, 0.7857, 0.357, 0.074, 0.43, 0.649, 0.986] R [4,, 0, 3,, 3] 4 3.5 3.5.5 0.5 0 0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Il rsultato non è molto ncoraggante, qund la scelta d aumentare l perodo non basta per mglorare, l generatore, nfatt abbamo ottenuto una sequenza con un perodo molto basso, nfatt l numero prmo per cu è dvsble m è 7, mentre a- non è dvsble per 7.

34 Esercz e Complement Eserczo.3 Dato l seguente generatore congruente lneare (LCG: a 7, c 43, X 0 7, m 00), verfcare al calcolatore, l unformtà medante la tecnca dell stogramma e l test del χ con un lvello d ncertezza del 5% Prma d generare la sequenza al calcolatore bsogna fare alcune verfche prelmnar su parametr del LCG: Se m e c sono non hanno dvsor comun, sebbene m non sa un numero prmo; Sa m 00 che a 6 sono dvsbl per (numero prmo) Sa m 00 che a 6 sono dvsbl per 4 Qund possamo concludere che la sequenza generata avrà perodo peno. D seguto rportamo prm 3 (la sequenza completa ha lunghezza 00): X n+ ( ax n + c) mod m X X 7X 0 + 43 mod(00) U 0.0 m X X 7X + 43 mod(00) 77 U 0.77 m X 3 X 3 7X + 43 mod(00) 53 U 3 0.5 m Per mplementare l test del χ è possble suddvdere l ntervallo [0,] n s 0 part, per ognuna d queste part p 0.: 0 R 00 p 0 Il vettore delle varabl R [5, 0, 0, 5, 0, 0, 5, 0,0, 5] Poché c sono gel ntervall n cu non cadono valor, effettuamo l aggregazone, calcolando l test su 4 con 5 valor:

Modell e Metod per la Smulazone 35 V 4 ( R p ) ( 5 5) ( 5 5) ( 5 5) ( 5 5) p 5 + 5 + 5 + 5 0 Medante la tavola del χ con 3 grad d lbertà: Pr { χ x } γ 0.05 x 7. 85 γ γ Poché V < x γ, l potes fatta è vera con un lvello d fduca par al 95%. Bsogna n questo caso fare attenzone perché l test del χ condotto n questo modo è falsato. Infatt osservando l vettore R è possble notare che c sono degl ntervall n cu sono concentrat molt valor, ed altr vuot, questo basta per concludere che la sequenza generata non può essere utlzzata come sequenza pseudocasuale n una smulazone perché l generatore LCG scelto non è affdable: 5 0 5 0 5 0 0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Istogramma della sequenza casuale d 00 con s 0 Questo eserczo mette n rsalto un forte lmte del test del χ, quando vene utlzzato per verfcare l comportamento d un generatore LCG per questo motvo, la verfca s accompagna molto spesso con l stogramma e ad altr tp d verfche pù sgnfcatve che saranno llustrate nelle pagne seguent.

36 Esercz e Complement Eserczo.4 Data la seguente sequenza d numer pseudocasual U n [0.44, 0.8, 0.4, 0.05, 0.93] verfcare l unformtà medante l test d Kolmogorov-Smrnov con un lvello d ncertezza par al 5% Il campone dat dsponble è molto pccolo ( 5), qund l test del χ manera sgnfcatva. In questo caso s prefersce l test KS: La prma operazone da compere è ordnare valor del campone osservato: non può essere condotto n F 0 0 (0.05) 0.0, F (0.4) 0.40 F (0.44) 0.60 F (0.8) 0.80 F 0 0 0 (0.93) E opportuno rcordare che una varable aleatora che segue una legge d dstrbuzone unforme nell ntervallo [0,] è descrtta dalle seguent curve: f(x) X F(x) X 0 x 0 Denstà d Probabltà Dstrbuzone d Probabltà x Per mplementare l test KS bsogna utlzzare la curva Dstrbuzone d Probabltà (la curva d destra): 0 0 F X ) F ) F X ) F ( X ) ( ( ) X ( X ( ) ( ( ) X ( ) 0.0 0.05 0.5 0.40 0.4 0.6 0.60 0.44 0..6 0.80 0.8 0.0.00 0.93 0.07 Il punto d massma dstanza dalla curva potzzata è l della tabella qund X () 0.4, per cu la statstca del test è D 0.6. Se ponamo un lvello d ncertezza par a γ 0.05, le tabelle (K S) curva

Modell e Metod per la Smulazone 37 fornscono per 5, un valore d γ 0.56, poché la statstca del test D è mnore d questo valore, l potes fatta (sequenza osservata unforme) può essere accettata. Test d Kolmogorov-Smrnov 0.9 0.8 0.7 0.6 Curva osservata -> <- Curva teorca F(x) 0.5 0.4 0.3 0. 0. 0 0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 x Interpretazone grafca del test d Kolmogorov-Smrnov Complemento. Il test d Kolmogorov-Smrnov, a dfferenza del test del χ, analzza la forma della legge d dstrbuzone, pertanto è pù potente nel caso d campon con poch valor. Il test del χ è pù doneo ad analzzare la denstà de punt all nterno degl ntervall n cu suddvdamo l ntervallo d defnzone della varable, e molto spesso è necessaro accompagnare questo test medante un anals fatta con l stogramma. Quando la sequenza pseudocasuale è molto numerosa l test KS dventa molto laboroso ma con l attuale dsponbltà d calcolator elettronc, è possble mplementare entramb test al calcolatore, pertanto quando s genera una sequenza pseudocasuale unforme, è consglable effettuare tutte le verfche prma d accettare l generatore ed utlzzarlo per una smulazone.

38 Esercz e Complement Complemento. La verfca dell unformtà della sequenza pseudocasuale non è l unca verfca da effettuare, per accettare un LCG. Una verfca molto mportante e necessara è quella della correlazone tra valor della sequenza. Questo tpo d verfca è molto pù complessa, ma è necessara perché un generatore LCG che supera test d unformtà non può essere utlzzato se valor della sequenza non sono ncorrelat. Questa condzone non s può ottenere e qund è suffcente che la correlazone sa molto bassa. Un test molto potente che vene condotto per verfcare la bontà de generator LCG è l test spettrale, che sfrutta una partcolare propretà de generator LCG. Quest generator presentano una struttura a retcolo, se ad esempo suddvdamo la sequenza n trple, ed analzzamo la dsposzone de valor n uno spazo trdmensonale osservamo una fgura del tpo: Generatore moltplcatvo IBM RADU( LCG: a 65539, c 0, X 0, m 3 ), 968 Il generatore LCG n fgura è noto come RADU, ed è stato mplementato dalla IBM su propr sstem nel 968. Come s vede dalla fgura, valor della sequenza s dspongono su de pan ( questa è una dretta conseguenza della struttura a retcolo de generator congruent lnear). Se pan non sono equdstant, sgnfca che v sono delle zone dell ntervallo [0,] a maggore denstà d valor, e soprattutto che c è una elevato correlazone tra valor della sequenza. Pensamo ad esempo ad un generatore che smul l lanco del dado, se prendamo rsultat a valor sngol è auspcable che ogn valore abba una percentuale par ad /6, mentre se prendamo valor della sequenza a coppe desderamo che ogn coppa abba una percentuale par a /36 e cos va. Da questa consderazone nasce l dea d verfcare la correlazone e l unformtà della sequenza medante la dstanza tra pan d cu è formato l retcolo. Se l anals è condotta su due dmenson pan s rducono a delle rette, mentre se l anals vene condotta per dmenson k > 3, pan dventano degl perpan non pù rappresentabl grafcamente, ma n ogn caso la

Modell e Metod per la Smulazone 39 dstanza è calcolable. Il test spettrale, consste nel calcolare per ogn dmensone k >, la dstanza mnma tra pan e d effettuare una normalzzazone tale che s ottene una varable 0<S<. Se S è molto vcno ad, la correlazone è abbastanza bassa perché gl perpan sono quas equdstant, se nvece S è molto vcno a zero allora c degl perpan molto vcn tra loro e qund la sequenza generata ha una elevata correlazone. Un rsultato molto nteressante del test spettrale, è che S non ha lo stesso valore per tutte le dmenson. D seguto s rportano alcun esemp d LCG molto comun ed rspettv test spettral. LCG: a 477307, c 0, X 0, m 3 Il test spettrale è stato condotto fno ad 8 dmenson (k 8) con l seguente rsultato: k 3 4 5 6 7 8 S 0.658 0.0095 0.0500 0.367 0.608 0.403 0.5660 Questo generatore analzzato n dmenson sembra buono, ma po presenta un elevata correlazone gà per valor della sequenza dstant pù d due valor (k > 3). Grafcamente: Su generator LCG vengono fatte numerose prove ed poché quest generator dpendono molto da loro parametr tanto che un pccolo cambamento d uno d ess può provocare la totale modfca della sequenza generata l parametr (a, c, X 0, m) vengono nella pratca determnat n manera esaustva rpetendo per ogn scelta, l test spettrale ed test d unformtà.

40 Esercz e Complement Unx ASI-C : LCG: a 035545, c 345, X 0 345, m 3 Il test spettrale è stato condotto fno ad 8 dmenson (k 8) con l seguente rsultato: k 3 4 5 6 7 8 S 0.84 0.5 0.63 0.49 0.68 0.43 0.54 BCSLIB: LCG: a 5 5, c 0, X 0, m 35 Implementato nel lnguaggo SIMULA : k 3 4 5 6 7 8 S 0.5809 0.445 0.8004 0.640 0.695 0.6379 0.7473

Modell e Metod per la Smulazone 4 APPLE: LCG: a 5 3, c 0, X 0, m 35 Implementato da Apple Computers : k 3 4 5 6 7 8 S 0.4746 0.375 0.6376 0.64 0.746 0.678 0.7473 Fshman-Moore: LCG: a 7493885, c 0, X 0, m 3 - Implementato da Apple Computers : k 3 4 5 6 7 8 S 0.867 0.8607 0.867 0.839 0.8340 0.639 0.7067

4 Esercz e Complement Complemento.3 Un altra mportante classe d generator d sequenze pseudocasuale è costtuta da generator congruent nvers denomnat ICG (propost da Euchenauer e Lehr nel 986), la cu formula è: X ( a X n+ + n c) mod m U n X n m Questa classe d generator è molto meno sensble alla varazone de parametr rspetto a generator LCG. Purtroppo non avendo una struttura regolare non è possble mplementare l test spettrale, possamo n ogn caso analzzare una fgura bdmensonale che c dà una msura della correlazone, prendendo punt a coppa e dsponendol su d un pano. Questa operazone è analoga a quella vsta n precedenza per generator LCG, per qual è stato possble msurare la correlazone graze alla struttura a retcolo ( che n un pano ha come effetto d dsporre le coppe d valor su delle rette parallele), per un generatore ICG s ottene una fgura del tpo: Oltre a classc test llustrat, esstono molt altr tp d test emprc che s effettuano su generator d sequenze pseudocasual per verfcarne le prestazon: come ad esempo verfcare che un generatore unforme smul correttamente delle varabl aleatore ndpendent ed dentcamente dstrbute n [0,]

Modell e Metod per la Smulazone 43 SEQUEZE PSEUDO-CASUALI O UIFORMI La generazone d sequenze pseudocasuale unform n[0,], è soltanto l prmo passo della generazone d numer casual. Infatt una volta ottenuta una sequenza che smul n manera accettable una v.a. unforme n [0,] bsogna determnare delle sequenze che rappresentno bene anche altre varabl aleatore. Esstono dverse tecnche per ottenere varabl aleatore con denstà d probabltà nota da una sequenza numerca pseudocasuale. egl esercz propost d seguto saranno llustrat alcun esemp. Eserczo.5 Data una sequenza d numer pseudocasual U n n [0,], determnare una sequenza d numer pseudocasuale che segua una dstrbuzone unforme n [b,b+a] Consderamo la seguente varable Y Y au + b la funzone nversa è : Y b U g ( Y) a Qund la dstrbuzone della v.a. unforme n [a,b]: F Y 0 y ( y) a < y < b b < y < b + a y > b

44 Esercz e Complement Eserczo.6 Data una sequenza d numer pseudocasual U n n [0,], determnare una sequenza d numer pseudocasuale che segua una dstrbuzone esponenzale negatva Indchamo con E la v.a. esponenzale, e rflettamo sulla seguente legge d corrspondenza: E ln( U ) la funzone nversa è : U g ( E) e E Qund la dstrbuzone della v.a. esponenzale: y F ( y) e y 0 E Sebbene samo cer d aver utlzzano un generatore molto affdable per generare la sequenza pseudocasuale U n convene sempre effettuare de test d verfca, come l test del χ oppure l test d Kolmogorov-Smrnov per verfcare che la v.a. generata segua la curva desderata, molto semplce è suffcente una verfca medante stogramma: 600 500 400 300 00 00 0 0 3 4 5 6 7 8

Modell e Metod per la Smulazone 45 Eserczo.7 Data una sequenza d numer pseudocasual U n n [0,], determnare una sequenza d numer pseudocasuale che segua una dstrbuzone d Webull con parametr (β,δ ) Questo eserczo è molto smle al precedente. La funzone denstà d probabltà della v.a. d Webull è: f X ( x) e x β δ β x δ δ β La funzone dstrbuzone d probabltà vale: F ( x) e X β x δ ponendo U g ( ) ( X ) X δ [ ln U ]β Confrontamo l stogramma con parametr (δ, β ) con la curva reale (δ, β ) per un anals qualtatva, ma è possble anche effettuare anals pù consstent medante l test del χ oppure l test d Kolmogorov-Smrnov: 50.8 Denstà d probabltà della v.a. d Webull.6 00 50.4. b0.8 00 50 f(x) 0.8 0.6 0.4 b b 0. 0 0 0.5.5.5 3 0 0 0.5.5.5 3 3.5 4 x

46 Esercz e Complement Complemento.4 Con l metodo della trasformazone d varabl aleatore è possble anche generare varabl aleatore gaussane. Osservando la probabltà congunta d due v.a. gaussane ndpendent X e Y s ha: + ) ( ) ( ), ( y x Y X XY e y f x f y x f π Consderamo la seguente trasformazone n coordnate polar: Y X R + Θ X Y g arctan Le varabl X e Y s ottengono dalle varabl R e Θ medante la seguente trasformazone nversa: cos Θ R X sn Θ R Y La denstà d probabltà congunta d R e Θ è: Θ ), ( r R e r r f π θ con le sngole denstà d probabltà margnal : 0 ) ( r re r f r R π θ π θ 0 ) ( Θ f

Modell e Metod per la Smulazone 47 In defntva R è una varable aleatora d Raylegh mentre Θ è una varable aleatora unforme n [0,π]. Poché samo n grado d generare solo varabl aleatore unform n [0,] l nostro obettvo è d manpolare le espresson appena calcolate per rcavare una legge d trasformazone che permetta d rcavare le v.a. gaussane X e Y da v.a. unform U n [0,]. La denstà d Raylegh è una legge esponenzale qund è molto semplce verfcare che dalla dstrbuzone d probabltà d R: F ( r) R r 0 f R ( r) dr e r r 0 s rcava la seguente trasformazone, che permette d esprmere una v.a. R d Raylegh n funzone d una v.a. unforme n [0,] : ( ) R ln U la varable Θ è unforme n [0,π], e nell eserczo.5 abbamo vsto come s operano le trasformazon d v.a. unform, qund defnte due v.a. unform n [0,] U e U la trasformazone che consente d ottenere due v.a. gaussane ndpendent X e Y è: X Y ( U ) cos( π ) ln U ( U ) sn( π ) ln U

48 Esercz e Complement SEQUEZE PSEUDO-CASUALI DISCRETE La generazone d varabl aleatore dscrete è molto semplce, basta rcordare la defnzone d una v.a. d Bernoull. Questa v.a. può assumere solo due valor 0 ed, rspettvamente con probabltà ( p) e p. L dea è quella d determnare una regola che c aut a passare da una varable contnua unforme n [0,] alla v.a. d Bernoull. Se fssamo un valore d sogla par a p ed eseguamo un test defnendo una varable B tale che: 0 B U > U p p Ottenamo una v.a. d Bernoull. Allo stesso modo s procede per qualsas v.a. dscreta come vedremo negl esercz che seguono. Eserczo.7 Data una sequenza d numer pseudocasual unforme n [0,] U, determnare una sequenza d numer pseudocasuale che segua una dstrbuzone dscreta p n [0.5, 0.3, 0.] La v.a dscreta defnta nella tracca dell eserczo può assumere solo tre valor [0,,] e rspettvamente con probabltà p 0 0.5, p 0.3, p 0., partendo da una v.a. unforme s può ottenere semplcemente con seguente test: B n 0 0 < U 0.5 0.5 < U 0.8 0.8 < U

Modell e Metod per la Smulazone 49 Eserczo.8 Data una sequenza d numer pseudocasual unforme n [0,] U, determnare una sequenza d numer pseudocasuale che segua una dstrbuzone bnomale con parametr p e La v.a Bnomale ha funzone massa d probabltà: p n n p q n ( n) p + q 0.35 Massa d probabltà della v.a. bnomale 0.3 0.5 0. Pn 0.5 0. 0.05 0 0 4 6 8 0 4 6 8 Xn Massa d probabltà della v.a. Bnomale per 5, p0.8 Ed esprme la probabltà che un evento s realzz n volte n un espermento rpetuto volte. Per, la v.a. bnomale s rduce ad una v.a. d Bernoull. Questo c suggersce d generare una v.a. d Bernoull e d rpetere l espermento e contare l numero d volte che s verfca l evento favorevole. Un possble algortmo è rportato d seguto: Bnomale (,p) for :00 sum0;%nzalzzazone for j: f(u < p);%generazone d una v.a. d Bernoull sumsum+; end end Bsum+;%B rappresenta una v.a. Bnomale h(b)h(b)+;%complazone dell stogramma end

50 Esercz e Complement Eserczo.9 Data una sequenza d numer pseudocasual unforme n [0,] U, determnare una sequenza d numer pseudocasuale che segua una dstrbuzone geometrca con parametro p La v.a. dscreta geometrca è defnta come l numero d prove k da effettuare prma che s abba l evento favorevole, l quale ha probabltà p d accadere. Pr( successo dopo k prove) p( p) k 0.35 Massa d probabltà della v.a. geometrca 0.3 0.5 0. Pn 0.5 0. 0.05 0 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Xn - Dstrbuzone geometrca (k 0, p 0.3) Qund per generare una v.a. geometrca basta semplcemente, generare una v.a. U, defnre l evento favorevole come: U < p e contare l numero prove del test fno al prmo evento favorevole (rcordamo che l prmo campone della v.a. geometrca vale p: p 0 p). for :000 geo 0; %ntalzone whle U>p & geo+<k %steppng through the dstrbuton geogeo+; %geo è la v.a. geometrca end h(geo+)h(geo+)+; %complazone stogramma end La v.a. geometrca è defnta per n 0,,,. In realtà la sequenza vene generata per un numero fnto d valor k. Poché la somma d tutt element della sequenza deve essere, è possble soprattutto negl ultm termn (coda della dstrbuzone) che valor della sequenza generata non concdano con quella teorca.

Modell e Metod per la Smulazone 5 Complemento.5 Alle volte per generare una v.a. dscreta occorre esamnare attentamente le sue propretà. Ad esempo la v.a. d Posson ha funzone massa d probabltà: p n n λ λ e n! 0.5 Massa d probabltà della v.a. d Posson 0. 0.5 Pn 0. 0.05 0 0 4 6 8 0 4 6 8 0 Xn Massa d probabltà d una v.a. bnomale negatva con λ 7 Partre dalla funzone massa d probabltà per generare la v.a. può essere complcato, qund è opportuno sfruttare alcune propretà. Ad esempo una propretà molto mportante d cu gode una v.a. d Posson è la propretà dell unformtà degl event. Tutt gl event che s susseguono nell ntervallo d osservazone (0,t) hanno nter-temp esponenzal, qund ndcando con e una successone d v.a. esponenzal con valor medo /λ s ha: n e t < n+ e l valore d n esprme l numero d event accadut nell ntervallo (0,t) e qund segue una dstrbuzone d Posson. Rcordando l espressone che lega la v.a. esponenzale a quella unforme, s può generare la v.a. d Posson drettamente da sequenze unform n [0,] U n+ U < e λt n U

METODO MOTE CARLO CALCOLO ITEGRALE Il metodo Monte Carlo consste nel rpetere numerose volte un espermento per conteggare l numero d volte che s verfca un evento (un partcolare rsultato dell espermento) rspetto al numero totale d volte che s rpete l espermento. In questo modo è possble calcolare una stma della probabltà dell evento: {} Pr ε ( ε ) tot Dove con (ε) abbamo ndcato l numero d volte che s verfca l evento ε. Questo metodo è molto usato ne problem, ove s conosce una formulazone matematca, ma non resce a determnare una soluzone per va analtca. Il metodo Monte Carlo, può essere mpegato sa n problem d natura probablstca, e sa n problem d natura non aleatora. Infatt graze al forte mpulso che ha avuto l nformatca negl ultm decenn, e alla possbltà d generare varabl casual al calcolatore, negl ultm decenn questo metodo è stato molto mpegato per determnare soluzon approssmat d equazon non rsolvbl per va analtca. L dea che è alla base, nasce dalla relazone ntegrale che defnsce la probabltà d un evento: Pr {} ε Pr{ ( ε ) x} X f ( x) dx x X Da un espermento defnto su uno spazo campone Ω, è sempre possble defnre una varable aleatora X con funzone d denstà d probabltà f X (x), tale che la probabltà dell evento ε, possa essere determnata medante l calcolo d un ntegrale defnto. Questo sgnfca calcolare la probabltà d un evento medante l calcolo d un area. 0