Politecnico di Milano Sede di Cremona A.A. 2013/14 Corso di RETI DI COMUNICAZIONE E INTERNET (Modulo 1) Martino De Marco / Antonio Corghi ESERCITAZIONE VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI
Indice Sistemi di accodamento Processo degli arrivi Processo di servizio Disciplina di servizio Applicazioni alle telecomunicazioni Condizione di stabilità Occupazione media Tempo di transito ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 2
Valutazione delle prestazioni di rete Valutare le prestazioni di una Rete di Telecomunicazioni significa: determinare con quale probabilità le richieste di nuove connessioni vengono rifiutate misurare il ritardo medio per la consegna di un pacchetto da origine a destinazione stimare la capacità che deve avere un nodo di rete piuttosto che un collegamento per smaltire correttamente il traffico offerto ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 3
Sistemi di accodamento Un sistema di accodamento è un sistema deputato all erogazione di un servizio, per accedere al quale gli utenti possono entrare in competizione tra loro Anche se non ce ne rendiamo conto, noi abbiamo a che fare quotidianamente con sistemi di accodamento: quando aspettiamo di pagare la spesa alla cassa di un supermercato quando attendiamo che il semaforo si disponga al verde quando andiamo dal barbiere o dal parrucchiere... ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 4
Sistemi di accodamento nelle reti Sistemi di accodamento sono presenti anche negli apparati per reti di telecomunicazione e la loro efficienza determina le prestazioni complessive di una rete Nelle reti a commutazione di circuito (multiplazione sincrona), fenomeni di accodamento sono visibili nella fase di instaurazione dei circuiti, quando le richieste di una apertura della connessione competono per l assegnamento di risorse di rete Nelle reti a commutazione di pacchetto, i buffer presenti nel nodo consentono di accodare le unità informative in attesa della trasmissione sulla linea di uscita (multiplazione asincrona) ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 5
Teoria delle Code Per valutare le prestazioni di sistemi di accodamento si applicano risultati derivanti dalla Teoria delle Code La teoria delle code consente di studiare le prestazioni dei sistemi di accodamento Ritardo: distribuzione dei ritardi sperimentati dagli utenti Perdita: esclusione di utenti dal servizio a causa di eccessiva domanda Throughput: frequenza di servizio Popolazione Fila d attesa Servente ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 6
Modello del sistema di accodamento Possiamo modellare un sistema di accodamento con i seguenti elementi: la popolazione: gli utenti potenziali del servizio la fila d attesa (o coda): l insieme degli utenti in competizione per accedere al servizio il servente: l entità deputata all offerta del servizio (la cassiera del supermercato, il sistema semaforico, il barbiere, ecc.). Popolazione Fila d attesa Servente ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 7
Parametri di un sistema di accodamento Parametri che caratterizzano un sistema di accodamento sono: la numerosità della popolazione (N): il numero totale di utenti potenziali la distribuzione degli arrivi: come sono distribuiti nel tempo gli arrivi di nuovi utenti Il tempo di servizio: il tempo che il servente impiega per servire un utente il numero di serventi (m), contemporaneamente attivi la disciplina di servizio: l ordine con cui sono serviti gli utenti la capacità della fila d attesa (L): la capacità della coda di ospitare utenti in attesa del servizio Popolazione Fila d attesa Servente N L m ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 8
Diagramma temporale del sistema C i : i-esimo cliente che entra nel sistema τ i : tempo di arrivo i-esima richiesta di servizio t i : tempo di interarrivo tra la richiesta (i-1)-esima e la i-esima w i : tempo di attesa in coda della i-esima richiesta di servizio x i : tempo di servizio dell i-esima richiesta ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 9
Grandezze da valutare ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 10
Processo arrivi e partenze Ipotesi: gli arrivi avvengono uno alla volta Nella realtà possono presentarsi arrivi in gruppo (batch, o cluster) L utilizzo del servente (espresso come frazione di tempo in cui è impegnato a servire utenti) sarà definito come: ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 11
Il processo degli arrivi alla coda (1) Cominciamo a considerare il processo di Poisson, largamente usato per modellizzare il processo degli arrivi in: traffico telefonico sistemi di commutazione reti a pacchetto reti di calcolatori rumore per effetto granulare generazione fotoni statistiche dei fotorivelatori generazione lacune nei semiconduttori... Popolazione Fila d attesa Servente ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 12
Il processo degli arrivi alla coda (2) Se la popolazione è infinita e gli arrivi generati dagli utenti sono indipendenti tra loro, il processo degli arrivi è riconducibile alla legge di Poisson In tal caso, la probabilità che si presentino al sistema n clienti durante un intervallo di durata t è data da: ( ) λt λ t Pn [ t] = e n! Il processo degli arrivi è descritto unicamente dalla variabile λ, che indica la frequenza media di arrivo (utenti al secondo) n Popolazione Fila d attesa Servente ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 13
Il processo degli arrivi alla coda (3) Frequenza di arrivo = 1 messaggio al secondo Probabilità 0,2 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Funzione di distribuzione 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 Numero di arrivi DeltaT=5s DeltaT=10s DeltaT=20s Probabilità 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 Funzione di ripartizione 1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 Numero di arrivi DeltaT=5s DeltaT=10s DeltaT=20s ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 14
Il processo degli arrivi alla coda (4) Consideriamo un punto di partenza (nel tempo) arbitrario, ad esempio t=0, in cui avviene un arrivo di Poisson Sia t 1 la variabile aleatoria che esprime il tempo che trascorre fino al prossimo arrivo Risulta: ovvero: P(nessun arrivo in 0,t) Quindi la funzione di ripartizione di t 1 vale E quindi la distribuzione di probabilità vale:...che è una distribuzione esponenziale con media 1/λ (e zero altrove) ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 15
Il processo degli arrivi alla coda (5) Analogamente ha distribuzione esponenziale la variabile aleatoria intervallo di tempo fra due arrivi Poissoniani successivi L intervallo temporale tra un arrivo ed il successivo (tempo di interarrivo) sarà modellato matematicamente con una funzione di densità di probabilità esponenziale negativa λ e λt Questa funzione rappresenta la frequenza normalizzata con cui si verificano tempi di interarrivo pari a t λ =0,5 arrivi al secondo Valor medio: 1/λ ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 16
Il processo degli arrivi alla coda (6) Proprietà di non memoria P[intervallo di tempo fino al prossimo arrivo t0 + t intervallo di tempo fino al prossimo arrivo > t0] ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 17
Il processo di servizio In generale i serventi possono essere più di uno Per semplicità si considereranno sempre sistemi a singolo servente Occorre conoscere anche il tempo che il servente impiega per servire un cliente (tempo di servizio) Se il processo di servizio obbedisce alla Legge di Poisson, il tempo di servizio è una variabile casuale descritta da una funzione di densità di probabilità esponenziale negativa, con valore medio Ts La variabile µ indica il numero medio di utenti che il servente riesce a soddisfare nell unità di tempo (frequenza media di servizio): µ= 1/ Ts Popolazione Fila d attesa Servente N L m ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 18
Disciplina di servizio Vi sono diversi modi con cui un servente può soddisfare i suoi utenti: FIFO (First In First Out): servire per primo chi è arrivato per primo LIFO (Last In First Out): servire per primo chi è arrivato per ultimo (stack) SJF (Shortest Job First): servire per primo quello che richiede meno tempo per essere serviti PQ (Priority Queueing): servire per primo che ha più priorità più elevata... In seguito adotteremo il criterio del primo arrivato primo servito (FIFO) Popolazione Fila d attesa Servente N L m ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 19
Capacità della fila d attesa Per quanto riguarda la fila d attesa essa, nella realtà, ha capacità tutt altro che infinita (anche se a volte può sembrarlo!) Se però la capacità della coda è molto grande (L>>λ Ts), si può approssimare la trattazione al caso della fila d attesa con capacità infinita (più semplice da descrivere analiticamente) Si considereranno nel seguito solamente file d attesa aventi capacità infinita Popolazione Fila d attesa Servente N L m ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 20
Notazione formale (1) Notazione formale (notazione di Kendall) per esprimere le caratteristiche di un sistema a code M/M/m/L/N Il primo campo indica come sono distribuiti gli interarrivi dei clienti: M (memoryless) rappresenta una distribuzione esponenziale negativa (Poisson) G (general) indica che gli arrivi sono caratterizzati da una distribuzione di probabilità generale. In questo caso non si conosce l andamento della funzione distribuzione di probabilità degli arrivi, ma si conoscono solamente i momenti del 1 e del 2 ordine D (deterministic), indica che il processo degli arrivi è caratterizzato da una distribuzione di probabilità deterministica. Il secondo campo serve a rappresentare la distribuzione del tempo di servizio del servente ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 21
Notazione formale (2) Notazione formale (notazione di Kendall) per esprimere le caratteristiche di un sistema a code M/M/m/L/N Il terzo campo, m, è il numero di serventi presenti nel sistema considerato Il quarto campo, L, rappresenta la capacità massima della fila d attesa Il quinto campo, N, indica la numerosità della popolazione degli utenti In seguito si considereranno principalmente sistemi di tipo M/M/1/ / (M/M/1) Questi sistemi sono completamente descritti se si conosce il numero di utenti presenti in un dato istante in fila d attesa ed occupati col servente Il tempo che un cliente ha già trascorso nel servente non interessa, poiché la distribuzione esponenziale negativa non lo considera: si dice che non ha memoria ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 22
Applicazione alle telecomunicazioni (1) Elementi di Ritardo in una Rete di Telecomunicazione Processing Delay: tempo che trascorre tra quando il pacchetto è correttamente ricevuto al nodo di testa del link e quando esso viene assegnato alla coda di trasmissione di un link d uscita. Queueing Delay: tempo che trascorre tra l istante in cui il pacchetto è assegnato ad una coda per la trasmissione e l istante in cui il pacchetto inizia ad essere trasmesso. Transmission Delay: tempo che trascorre tra l istante in cui il primo e l ultimo bit del pacchetto sono spediti. Propagation Delay: tempo che trascorre tra l istante in cui l ultimo bit è spedito dal nodo di testa del link e l istante in cui esso è ricevuto dal nodo di coda del link. Questo tempo dipende dalle caratteristiche del mezzo trasmissivo, ed è proporzionale alla distanza che separa il sender dal receiver. ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 23
Applicazione alle telecomunicazioni (2) Le considerazioni fatte nel caso generale si possono applicare alle reti di telecomunicazioni a commutazione di pacchetto i clienti sono i pacchetti generati da uno o più elementi di rete (host, router,...) il servente è rappresentato dall interfaccia di uscita di un nodo di rete che inoltra i pacchetti su una linea di trasmissione in sede di calcolo si dovrà considerare il tempo di servizio dovuto alla capacità della linea i ritardi di processing e di propagation vengono normalmente trascurati Interfaccia ingresso SWITCHING MATRIX ROUTER Interfaccia uscita Capacità linea (C) Processing Delay Queuing Delay Transmission Delay Propagation Delay ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 24
Applicazione alle telecomunicazioni (3) Se nella coda non sono segnati i posti per gli utenti, intenderemo che il sistema è del tipo a coda infinita La lunghezza dei pacchetti, essendo una variabile casuale con distribuzione esponenziale negativa, ha un valore medio pari a [bit] ~ l Nota la capacità C della linea [bit/s], si può calcolare il tempo medio di servizio del trasmettitore come: ~ l [ s] C Il numero medio di pacchetti processati nell unità di tempo dal trasmettitore è: C ~ l [ 1 s ] ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 25
Sistemi di nascita e morte Assumiamo come variabile di stato S(t) del sistema il numero di pacchetti presenti nel sistema (coda+trasmettitore) all istante t Se il sistema non contiene alcun pacchetto, si dice che è nello stato 0 (zero) Se ora arriva un pacchetto il sistema passa dallo stato 0 allo stato 1 Quando il pacchetto viene trasmesso, il sistema ritorna nello stato 0 Un sistema in cui le sole transizioni di stato possibili sono quelle che portano a stati adiacenti viene chiamato sistema di nascita-morte ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 26
Diagramma degli stati Probabilità stazionaria p k è la probabilità stazionaria che il sistema si trovi nello stato k diamo una definizione intuitiva del concetto di probabilità p k rappresenta la frazione di tempo che il sistema trascorre nello stato k nel corso di un periodo di osservazione molto lungo p k indica analogamente la frequenza relativa (normalizzata) in cui il sistema viene osservato nello stato k in un gran numero di ispezioni casuali Frequenze di transizione La frequenza con cui il sistema passa dallo stato k allo stato k+1 è λ p k Analogamente, la frequenza con cui il sistema transita dallo stato k+1 allo stato k è µ p k+1, in cui p k+1 è la probabilità stazionaria che il sistema si trovi nello stato k+1 ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 27
Principio di bilanciamento dettagliato Affinché il sistema sia stabile, cioè la sua coda non cresca indefinitamente, la frequenza di transizione dallo stato k allo stato k+1 dev essere uguale alla frequenza di transizione da k+1 a k (Principio di bilanciamento dettagliato) Quindi λ p k =µ p k+1, cioè ad esempio: si può ricavare p 2 in funzione di p 0 ottenendo: Generalizzando: λ p = µ p 0 1 λ p = µ p 1 2 λ p2 = p1 = p λ µ µ k k pk = p p λ = ρ µ 2 0 0 0 λ p 0 p 1 p 2 0 1 2 µ µ µ λ λ ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 28
Condizione di stabilità ρ = λ/ µ prende il nome di intensità di traffico o carico del sistema, perché indica la frazione di tempo per cui il servente è occupato es.: λ =1, µ =2 ρ =0,5, cioè per il 50% del tempo il servente sta lavorando e per il restante 50% è inattivo ρ è in misurato in Erlang Se λ > µ il sistema si dice instabile, in quanto il servente soddisfa mediamente meno utenti di quanti ne arrivano Occorrerà quindi che, affinché un sistema possa funzionare, λ sia sempre minore di µ Affinché λ < µ (sistema stabile), ρ <1 ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 29
Distribuzione di probabilità stazionaria Poiché la somma delle probabilità (frequenze normalizzate) deve essere 1: k = 0 k 1 pk = ρ p0 = p0 = 1 1 ρ k = 0 dato che la sommatoria di ρ k costituisce una serie geometrica di ragione ρ <1 In definitiva abbiamo che: p 0 =1-ρ e quindi: p k =ρ k (1-ρ) ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 30
Occupazione media del sistema Il numero medio di pacchetti nel sistema (N) sarà quindi: d d N = kp = k = k = = dρ ρ ρ ρ dρ Poiché: d dρ risulta: N = k k k ( 1 k ) ( 1 1 ρ ρ ρ ) ρ ρ ( 1 ρ ) ρ ( 1 ) k = 0 k = 0 k ρ = ( 1 ) k = 0 d 1 1 = dρ 1 ρ ρ ( ρ ) ( 1 ) 1 ρ ρ ρ = 2 1 1 ρ 2 k = 0 k = 0 k = 0 k ρ ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 31
Occupazione media del servente e della coda Il numero medio di pacchetti che il trasmettitore sta processando (N T ) equivale alla frazione di tempo in cui il servente non sia vuoto, cioè: N T =ρ Il numero medio di pacchetti in attesa di essere processati (N A ) può essere calcolato come il numero totale di pacchetti nel sistema meno il numero di pacchetti nel trasmettitore, cioè: N A = 2 ρρ ρ ρ 1 = 1 ρ ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 32
Principio di Little (1) Per conoscere il tempo medio di transito nel sistema (coda + trasmettitore), dobbiamo applicare un equazione dimostrata per la prima volta da D. C. Little nel 1961 Spiegazione intuitiva: si indichi con T il tempo medio trascorso da un utente nell intero sistema (cioè l intervallo di tempo che intercorre tra l arrivo e l uscita dal sistema di un pacchetto) Il numero medio di arrivi di nuovi pacchetti durante l intervallo T è λ T Poiché il numero medio di pacchetti nel sistema è N, si ha N= λ T (Principio di Little) Il Principio di Little, può essere utilizzato per calcolare T: ρ 1 N 1. T = = ρ µ 1 = = λ λ 1 ρ µ λ ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 33
Principio di Little (2) Il principio di Little può essere applicato a qualsiasi superficie chiusa, permettendoci di ricavare altri parametri interessanti del sistema tempo medio di transito nella fila d attesa (T A ) in questo caso N A è il numero medio di pacchetti in coda, quindi: T A 2 ρ N A 1 = = ρ ρ = λ λ µ λ tempo medio di transito nel trasmettitore (T T ) T T NT ρ 1 = = = λ λ µ ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 34
Dimensionamento del servente Il Principio di Little consente di dimensionare una sistema di trasmissione Sostituendo a µ la sua espressione in funzione della capacita ~ C della linea di trasmissione e della lunghezza media l dei pacchetti si ottiene: T ~ 1 l = = 1 = C ~ µ λ λ C λl ~ l ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 35
Sistema a coda M/M/S/S/ (1) Ipotesi: tempi di interarrivo con distribuzione esponenziale negativa (λ); tempi di servizio con distribuzione esponenziale negativa (µ); processi di arrivo e di servizio statisticamente indipendenti. S serventi, statisticamente identici ed indipendenti; capacità nulla della fila d attesa. Il processo di coda K(t) è descrivibile mediante un processo di Markov di nascita e morte con spazio di stato {0,..., S} λ λ λ λ λ 0 1 2 S-1 S... µ 2µ 3µ (S-1)µ Sµ ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 36
Sistema a coda M/M/S/S/ (2) Scrivendo gli equilibri ai tagli si ha: E più in generale: λ λ λ λ λ 0 1 2 S-1 S... µ 2µ 3µ (S-1)µ Sµ ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 37
Sistema a coda M/M/S/S/ (3) Applicando la condizione di normalizzazione si ottiene: Nessuna nuovo ingresso è accettato quando il sistema ha tutti gli S serventi occupati. Pertanto la probabilità di blocco del sistema è la probabilità di avere il sistema nello stato S FORMULA DI ERLANG B ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 38
Esercizi ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 39
Esercizio 1 Si consideri un sistema con N terminali, ognuno dei quali genera λ=2 pacchetti al minuto. Si vuole accedere ad un database remoto raggiungibile da una rete a cui si accede tramite un multiplatore che trasmette a 14400 bps. si supponga che i pacchetti abbiano una distribuzione esponenziale negativa con una lunghezza media 1024 bit. Si supponga inoltre che la lunghezza della fila d attesa sia infinita. Si calcoli: a) il numero massimo di terminali affinché il sistema sia stabile; b) il numero massimo di terminali affinché il ritardo d attraversamento dell intero sistema (multiplatore + linea di trasmissione) sia inferiore a 0,1 s. ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 40
Esercizio 2 Supponiamo di essere in un supermarket in cui entrano 10 clienti al minuto, e supponiamo che una cassiera riesca a smaltire un cliente ogni 2 minuti. Quante casse devo predisporre per fare in modo che il tempo medio di attesa globale (compreso il tempo di servizio) sia inferiore a 5 minuti? Per ridurre il numero di casse posso introdurre delle casse rapide. Supponiamo che il 30 % dei clienti acquisti pochi articoli e che, quindi, ognuno di questi clienti abbia bisogno di 0.5 minuti per essere servito su una cassa veloce per la quale si vuole fare in modo che il tempo di servizio sia inferiore o uguale 4 minuti. Quante sono le casse complessivamente? Quante le casse veloci? ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 41
Esercizio 3 Si consideri un multiplexer che raccoglie traffico formato da messaggi con intertempi di arrivo a distribuzione esponenziale negativa. Il multiplexer è formato da un buffer e da una linea di trasmissione in uscita. Il tempo di trasmissione di un messaggio sulla linea è anch esso a distribuzione esponenziale negativa con valor medio di 10ms. Da misure effettuate sul buffer si ricava che la probabilità che esso sia vuoto è pari a 0,8. Ricavare il ritardo medio di trasmissione di un messaggio. ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 42
Esercizio 4 Si consideri la rete in figura. Essa è costituita da tre router R1, R2 e R3. Il traffico in ingresso a R1 e R2 ha una distribuzione esponenziale con tasso di arrivo λ 1 =λ 2 =20 pacchetti/secondo. I pacchetti vengono inoltrati al router R3, che procede ad una verifica di correttezza e ne scarta una frazione 2α equamente ripartita sul traffico proveniente da R1 e da R2 e ne richiede quindi la trasmissione a R1 e R2. I tre router hanno tempi di trasmissione esponenziali, con tasso medio, espresso in pacchetti al secondo, rispettivamente di µ1=30, µ2=40, µ3=60. Quale valore massimo può assumere α affinché il sistema sia stabile? Supponendo α=0,1, calcolare il tempo di attesa medio trascorso da un pacchetto nel sistema. R1 R2 N1 R3 ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 43
Esercizio 5 Si consideri il collegamento tra due stazioni S e D che attraversa 2 link in cascata (come illustrato nella Figura seguente). La sorgente S genera ad intervalli casuali pacchetti con lunghezza media pari L =4000 bit. I link sono caratterizzati da un tasso d'errore sul pacchetto e1=1% sul Link 1, e2=10% sul Link 2. Le velocità di trasmissione sui link sono rispettivamente C1=48000 bit/s sul Link 1 e C2=52000 bit/s sul Link 2. Si assuma che sia applicabile all analisi il modello di reti di code M/M/1. S Link1 X Link2 D PARTE 1 Sul Link 1 è implementato il controllo e recupero degli errori di trasmissione (tra i nodi S e X), mentre sul Link 2 (tra i nodi X e D) non vi è nessun controllo. Fra la sorgente S e destinazione D viene implementato un meccanismo di controllo e recupero degli errori end-to-end, quindi se alla destinazione D il pacchetto giunge errato, questo deve essere ritrasmesso da parte della sorgente S. a) Si illustri graficamente il modello a code che descrive il sistema, indicando il valore delle grandezze di interesse per la valutazione delle prestazioni (in particolare, i flussi di traffico entranti e uscenti da ogni sottosistema). b) Si calcoli il traffico limite smaltibile tra S e D in condizioni di stabilità, descrivendo il procedimento seguito. PARTE 2 Si ipotizzi ora che anche sul Link 2 (cioe tra X e D) venga implementato un meccanismo di controllo e recupero degli errori di trasmissione. a) Si illustri graficamente il modello a code che descrive il sistema, indicando il valore delle grandezze di interesse per la valutazione delle prestazioni (in particolare, i flussi di traffico entranti e uscenti da ogni sottosistema). b) Si calcoli il traffico limite smaltibile tra S e D in condizioni di stabilità, descrivendo il procedimento seguito. ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 44
Esercizio 6 Si consideri un centralino telefonico che raccoglie le chiamate di una grande azienda in cui si hanno 1000 utenze telefoniche, ciascuna generante un traffico di Poisson di 30mErlang. a) Dimensionare il numero di linee telefoniche per collegarsi alla Rete Telefonica Pubblica in modo da garantire una probabilità di blocco delle chiamate minore o uguale al 3% (si faccia uso della tabella allegata). b) Cosa succede al numero di linee in uscita, volendo mantenere la probabilità di blocco inferiore o uguale al 3%, se il numero di utenze telefoniche aumenta a 1300? c) Si confronti l incremento percentuale di traffico offerto con l incremento percentuale di linee che ne risulta. ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 45
n Loss probability (E) n 0.00001 0.00005 0.0001 0.0005 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 1 0.00001 0.00005 0.0001 0.0005 0.001 0.002 0.00301 0.00402 0.00503 0.00604 1 2 0.00448 0.01005 0.01425 0.03213 0.04576 0.06534 0.08064 0.09373 0.1054 0.11608 2 3 0.0398 0.06849 0.08683 0.1517 0.19384 0.24872 0.28851 0.32099 0.349 0.37395 3 4 0.12855 0.19554 0.23471 0.36236 0.43927 0.53503 0.60209 0.65568 0.7012 0.74124 4 5 0.27584 0.38851 0.45195 0.64857 0.76212 0.89986 0.99446 1.0692 1.132 1.187 5 6 0.47596 0.63923 0.72826 0.99567 1.1459 1.3252 1.4468 1.5421 1.6218 1.6912 6 7 0.72378 0.93919 1.0541 1.3922 1.5786 1.7984 1.9463 2.0614 2.1575 2.2408 7 8 1.0133 1.2816 1.4219 1.8298 2.0513 2.3106 2.4837 2.6181 2.7299 2.8266 8 9 1.3391 1.6595 1.8256 2.3016 2.5575 2.8549 3.0526 3.2057 3.3326 3.4422 9 10 1.697 2.0689 2.2601 2.8028 3.092 3.4265 3.648 3.819 3.9607 4.0829 10 11 2.0849 2.5059 2.7216 3.3294 3.6511 4.0215 4.2661 4.4545 4.6104 4.7447 11 12 2.4958 2.9671 3.2072 3.8781 4.2314 4.6368 4.9038 5.1092 5.2789 5.425 12 13 2.9294 3.45 3.7136 4.4465 4.8306 5.27 5.5588 5.7807 5.9638 6.1214 13 14 3.3834 3.9523 4.2388 5.0324 5.4464 5.919 6.2291 6.467 6.6632 6.832 14 15 3.8559 4.4721 4.7812 5.6339 6.0772 6.5822 6.913 7.1665 7.3755 7.5552 15 16 4.3453 5.0079 5.339 6.2496 6.7215 7.2582 7.6091 7.878 8.0995 8.2898 16 17 4.8502 5.5583 5.911 6.8782 7.3781 7.9457 8.3164 8.6003 8.834 9.0347 17 18 5.3693 6.122 6.4959 7.5186 8.0459 8.6437 9.0339 9.3324 9.578 9.7889 18 19 5.9016 6.698 7.0927 8.1698 8.7239 9.3515 9.7606 10.073 10.331 10.552 19 20 6.446 7.2854 7.7005 8.831 9.4115 10.068 10.496 10.823 11.092 11.322 20 21 7.0017 7.8834 8.3186 9.5014 10.108 10.793 11.239 11.58 11.86 12.1 21 22 7.568 8.4926 8.9462 10.18 10.812 11.525 11.989 12.344 12.635 12.885 22 23 8.1443 9.1095 9.5826 10.868 11.524 12.265 12.746 13.114 13.416 13.676 23 24 8.7298 9.7351 10.227 11.562 12.243 13.011 13.51 13.891 14.204 14.472 24 25 9.324 10.369 10.88 12.264 12.969 13.763 14.279 14.673 14.997 15.274 25 26 9.9265 11.01 11.54 12.972 13.701 14.522 15.054 15.461 15.795 16.081 26 27 10.537 11.659 12.207 13.686 14.439 15.285 15.835 16.254 16.598 16.893 27 28 11.154 12.314 12.88 14.406 15.182 16.054 16.62 17.051 17.406 17.709 28 29 11.779 12.976 13.56 15.132 15.93 16.828 17.41 17.853 18.218 18.53 29 30 12.417 13.644 14.246 15.863 16.684 17.606 18.204 18.66 19.034 19.355 30 31 13.054 14.318 14.937 16.599 17.442 18.389 19.002 19.47 19.854 20.183 31 32 13.697 14.998 15.633 17.34 18.205 19.176 19.805 20.284 20.678 21.015 32 33 14.346 15.682 16.335 18.085 18.972 19.966 20.611 21.102 21.505 21.85 33 34 15.001 16.372 17.041 18.835 19.743 20.761 21.421 21.923 22.336 22.689 34 35 15.66 17.067 17.752 19.589 20.517 21.559 22.234 22.748 23.169 23.531 35 36 16.325 17.766 18.468 20.347 21.296 22.361 23.05 23.575 24.006 24.376 36 37 16.995 18.47 19.188 21.108 22.078 23.166 23.87 24.406 24.846 25.223 37 38 17.669 19.178 19.911 21.873 22.864 23.974 24.692 25.24 25.689 26.074 38 39 18.348 19.89 20.64 22.642 23.652 24.785 25.518 26.076 26.534 26.926 39 40 19.031 20.606 21.372 23.414 24.444 25.599 26.346 26.915 27.382 27.782 40 ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 46
n Loss probability (E) n 0.007 0.008 0.009 0.01 0.02 0.03 0.05 0.1 0.2 0.4 1 0.00705 0.00806 0.00908 0.0101 0.02041 0.03093 0.05263 0.11111 0.25 0.66667 1 2 0.126 0.13532 0.14416 0.15259 0.22347 0.28155 0.38132 0.59543 1 2 2 3 0.39664 0.41757 0.43711 0.45549 0.60221 0.71513 0.8994 1.2708 1.9299 3.4798 3 4 0.77729 0.81029 0.84085 0.86942 1.0923 1.2589 1.5246 2.0454 2.9452 5.021 4 5 1.2362 1.281 1.3223 1.3608 1.6571 1.8752 2.2185 2.8811 4.0104 6.5955 5 6 1.7531 1.8093 1.861 1.909 2.2759 2.5431 2.9603 3.7584 5.1086 8.1907 6 7 2.3149 2.382 2.4437 2.5009 2.9354 3.2497 3.7378 4.6662 6.2302 9.7998 7 8 2.9125 2.9902 3.0615 3.1276 3.6271 3.9865 4.543 5.5971 7.3692 11.419 8 9 3.5395 3.6274 3.708 3.7825 4.3447 4.7479 5.3702 6.5464 8.5217 13.045 9 10 4.1911 4.2889 4.3784 4.4612 5.084 5.5294 6.2157 7.5106 9.685 14.677 10 11 4.8637 4.9709 5.0691 5.1599 5.8415 6.328 7.0764 8.4871 10.857 16.314 11 12 5.5543 5.6708 5.7774 5.876 6.6147 7.141 7.9501 9.474 12.036 17.954 12 13 6.2607 6.3863 6.5011 6.6072 7.4015 7.9667 8.8349 10.47 13.222 19.598 13 14 6.9811 7.1155 7.2382 7.3517 8.2003 8.8035 9.7295 11.473 14.413 21.243 14 15 7.7139 7.8568 7.9874 8.108 9.0096 9.65 10.633 12.484 15.608 22.891 15 16 8.4579 8.6092 8.7474 8.875 9.8284 10.505 11.544 13.5 16.807 24.541 16 17 9.2119 9.3714 9.5171 9.6516 10.656 11.368 12.461 14.522 18.01 26.192 17 18 9.9751 10.143 10.296 10.437 11.491 12.238 13.385 15.548 19.216 27.844 18 19 10.747 10.922 11.082 11.23 12.333 13.115 14.315 16.579 20.424 29.498 19 20 11.526 11.709 11.876 12.031 13.182 13.997 15.249 17.613 21.635 31.152 20 21 12.312 12.503 12.677 12.838 14.036 14.885 16.189 18.651 22.848 32.808 21 22 13.105 13.303 13.484 13.651 14.896 15.778 17.132 19.692 24.064 34.464 22 23 13.904 14.11 14.297 14.47 15.761 16.675 18.08 20.737 25.281 36.121 23 24 14.709 14.922 15.116 15.295 16.631 17.577 19.031 21.784 26.499 37.779 24 25 15.519 15.739 15.939 16.125 17.505 18.483 19.985 22.833 27.72 39.437 25 26 16.334 16.561 16.768 16.959 18.383 19.392 20.943 23.885 28.941 41.096 26 27 17.153 17.387 17.601 17.797 19.265 20.305 21.904 24.939 30.164 42.755 27 28 17.977 18.218 18.438 18.64 20.15 21.221 22.867 25.995 31.388 44.414 28 29 18.805 19.053 19.279 19.487 21.039 22.14 23.833 27.053 32.614 46.074 29 30 19.637 19.891 20.123 20.337 21.932 23.062 24.802 28.113 33.84 47.735 30 31 20.473 20.734 20.972 21.191 22.827 23.987 25.773 29.174 35.067 49.395 31 32 21.312 21.58 21.823 22.048 23.725 24.914 26.746 30.237 36.295 51.056 32 33 22.155 22.429 22.678 22.909 24.626 25.844 27.721 31.301 37.524 52.718 33 34 23.001 23.281 23.536 23.772 25.529 26.776 28.698 32.367 38.754 54.379 34 35 23.849 24.136 24.397 24.638 26.435 27.711 29.677 33.434 39.985 56.041 35 36 24.701 24.994 25.261 25.507 27.343 28.647 30.657 34.503 41.216 57.703 36 37 25.556 25.854 26.127 26.378 28.254 29.585 31.64 35.572 42.448 59.365 37 38 26.413 26.718 26.996 27.252 29.166 30.526 32.624 36.643 43.68 61.028 38 39 27.272 27.583 27.867 28.129 30.081 31.468 33.609 37.715 44.913 62.69 39 40 28.134 28.451 28.741 29.007 30.997 32.412 34.596 38.787 46.147 64.353 40 0.007 0.008 0.009 0.01 0.02 0.03 0.05 0.1 0.2 0.4 n Loss probability (E) n ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 47