MODELLO ATOMICO DI BOHR - ULTERIORI APPROFONDIMENTI Se riscaldiamo un qualsiasi elemento chimico ponendolo ad esempio su una fiamma, notiamo che esso emette un colore caratteristico. Ad esempio riscaldando alcuni grani di un sale di litio (LiCl, cloruro di litio) prelevati con un filo di platino, si genera una fiamma di colore rosso viola, riscaldando dei cristalli di un sale di potassio (KCl, cloruro di potassio), la fiamma è di colore verde, mentre un sale di sodio (NaCl, cloruro di sodio) la fiamma è di colore viola. Il gas idrogeno (H 2 ) portato ad incandescenza emette luce rossa. Analizzando per mezzo di uno spettroscopio la luce emessa dall idrogeno otteniamo uno spettro a righe di emissione, detto spettro atomico dell idrogeno. I composti gassosi formano spettri più complessi in cui appaiono gruppi di righe che conferiscono un caratteristico aspetto a bande. Lo spettro dell idrogeno (serie di Balmer) presenta una evidente riga nel rosso, una riga nell azzurro e due righe nel violetto (ricordo che la luce emessa dall elemento corrisponde al colore della riga spettrale più luminosa). Presenta inoltre, serie di righe spettrali nell ultravioletto (serie di Lymann) e nell infrarosso (le serie di Paschen, Brackett e Pfund) La spettroscopia, può essere quindi considerata un mezzo di analisi. Essa infatti consente di identificare ciascun elemento chimico mediante analisi spettroscopica. GLI SPETTRI DI DUE ELEMENTI CHIMICI POSSONO ESSERE SIMILI MA MAI UGUALI. Ritorniamo all idrogeno. Le righe del suo spettro di emissione obbediscono alla seguente legge espressa in termini matematici: dove: R = 3,29x10 15 Hz n a = 1 per le righe nell ultravioletto n a = 2 per le righe nel visibile n a = 3 per le righe nell infrarosso ν = R (1/n a 2 1/n b 2 ) Inoltre per n a ed n b vale la seguente relazione: n a + 1 n b Quindi n b è compreso tra n a + 1 e. Prof. Fulvio Baldanza Pagina 1
In pratica, questa legge descrive le frequenze (ν) delle diverse righe spettrali dell idrogeno. Per ottenere le frequenze nel visibile si pone n a = 2 ed n b in tal caso può assumere i valori da 3 a. Per le righe spettrali nell ultravioletto si porrà n a = 1 e i valori di n b saranno allora da 2 a. Infine, per le righe spettrali nell infrarosso: n a = 3 e n b potrà assumere i valori da 4 a. La legge suesposta rappresenta una relazione molto importante che tuttavia è stata trovata empiricamente, in pratica solo descrittiva ed i suoi parametri (n a, n b, R)sono da considerarsi, per il momento, privi di significato fisico. Successivamente, questa legge matematica verrà interpretata in maniera corretta da Bohr e servirà da supporto per la descrizione del suo modello atomico. Per poter comprendere il modello atomico di Bohr prima bisogna capire l ipotesi quantica di Planck. Un corpo riscaldato emette radiazioni elettromagnetiche con un massimo di emissione ad una lunghezza d onda (λ) inversamente proporzionale alla temperatura assoluta (T) del corpo, secondo la relazione λ = k/t (Legge di Wien) Ad esempio, noi esseri umani, con una temperatura corporea di circa 36 37 C (pari a 309,15 310,15 K) emettiamo onde elettromagnetiche in prevalenza nell infrarosso. Questo fenomeno non era interpretabile secondo la teoria elettromagnetica classica, per la quale doveva aumentare solo l intensità dell emissione elettromagnetica all aumentare della temperatura. Planck interpretò il fenomeno ipotizzando che l emissione di energia del corpo caldo non è continua ma avviene a pacchetti o quanti ed è multipla di una quantità minima corrispondente ad un quanto di energia pari a: Prof. Fulvio Baldanza Pagina 2
E = hν oppure E = hc/λ (Ricordare che esiste una relazione tra lunghezza d onda e frequenza dell onda elettromagnetica data da λν = c dove c è la velocità della luce pari a 299792458m/s cioè all incirca 300000000m/s). h = 6,626 x 10-34 Js (costante di Planck) Inoltre, Einstein spiegò l effetto fotoelettrico e chiamò Fotone il quanto di luce. (Ricordare che intensità di un raggio luminoso si riferisce al numero di fotoni presenti nel raggio stesso). La luce quindi, e qualsiasi tipo di radiazione elettromagnetica ha una doppia natura, corpuscolare e ondulatoria. Infatti sussiste la relazione E = hc/λ, da cui λ = hc/e. Poiché per Einstein E = mc 2, sostituendo otteniamo λ = hc/mc 2. Semplificando si ottiene alla fine λ = h/mc MODELLO ATOMICO QUANTICO DI BOHR Il modello quantico di Bohr è importante perché giustifica la stabilità dell atomo, superando le difficoltà insite nel modello atomico di Rutherford. Bohr ipotizzò l atomo servendosi della teoria quantica di Planck. Per Bohr l elettrone si muove su orbite circolari concentriche appartenenti a gusci sferici ad energia costante, chiamati stati stazionari. Finchè l elettrone rimane nel suo stato stazionario, la sua energia rimane costante. Se l elettrone si sposta da un guscio all altro, la sua energia cambia. Inoltre, non tutte le orbite sono possibili ma solo quelle che rispettano la seguente relazione empiricamente trovata da Bohr: r = nh/2πmv con n ( chiamato da Bohr numero quantico principale) che può assumere come valori solo numeri interi da 1 a. Tuttavia, per il momento n rimane senza significato fisico. Prof. Fulvio Baldanza Pagina 3
Inoltre, facendo considerazioni sull equilibrio tra le forze coulombiane attrattive tra nucleo ed elettrone e la forza centrifuga, Bohr determinò e calcolò il raggio delle orbite dell elettrone (vedi alla fine di questo paragrafo per saperne di più): dove a 0 = 0,529 Å. r = a 0 n 2 Dunque, il raggio dell orbita dipende da n e con n = 1 sarà r = (0,529 x 1 2 ) Å = 0,529 Å. Con n = 2 il raggio dell orbita elettronica sarà r = (0,529 x 2 2 ) Å = (0,529 x 4) Å = 2,12 Å. E così via. Tenendo conto che l energia totale dell elettrone è data dalla somma della sua energia cinetica e della sua energia potenziale determinò l energia delle varie orbite, trovandola pari a: Dove E = energia totale dell elettrone E = -2,18x10-18 /n 2 (J) Quindi anche l energia dell elettrone dipende da n. Ponendo E 0 = 2,18x10-18 (J) la relazione precedente diventa E = - E 0 /n 2 (J) Il segno meno nell ultima relazione sta a significare che all aumentare del numero n, il valore assoluto del rapporto diminuisce ma il valore di E aumenta poiché il rapporto è negativo. Il valore massimo teorico di E si raggiunge per n = : in questo caso E = 0 e ciò corrisponde all elettrone isolato, cioè libero dall atomo. Se invece n = 1, l energia dell elettrone è minima con E = -E 0 = -2,18x10-18 (J). In questo caso si dice che l elettrone si trova nel suo stato fondamentale. Ci tengo ancora una volta a puntualizzare il motivo del segno meno: Perché al massimo di energia posseduta dall elettrone isolato viene assegnato il valore 0. Tutti gli altri valori corrispondenti alla presenza dell elettrone nei diversi stati stazionari corrispondono quindi, essendo di minore entità a valori negativi. Tracciando il diagramma dei livelli energetici (o stati stazionari) per l elettrone nell atomo di idrogeno di Bohr, calcolati con la formula E = -E 0 /n 2 (J), otteniamo il seguente diagramma: Prof. Fulvio Baldanza Pagina 4
Dunque, l elettrone che assorbe energia passa ad un livello successivo (transizione) ma rimane in questo stato eccitato per poco tempo, ricadendo (transizione) nei gusci ad energia minore ed emettendo una quantità di energia pari alla differenza di energia fra i due stati stazionari: cioè: transizione E eccit. E staz. dove E eccit. > E staz. : emissione di energia pari a: E = E eccit. E staz. = -E 0 /n e 2 (-E 0 /n s 2 ) = = -E 0 /n e 2 + E 0 /n s 2 = E 0 /n s 2 -E 0 /n e 2 = E 0 (1/n s 2-1/n e 2 ) Dove n s = numero quantico principale dello stato stazionario e n e = numero quantico principale dello stato eccitato. Dunque: E = E 0 (1/n s 2-1/n e 2 ) Essendo per Planck E = hν e quindi ν = E/h, avremo che: Passando alle misure avremo: ν = E/h = E 0 /h (1/n s 2-1/n e 2 ) ν = 2,18x10-18 J/6,626x10-34 Js (1/n s 2-1/n e 2 ) = 3,29x10 15 (1/n s 2-1/n e 2 ) Hz = R (1/n s 2-1/n e 2 ) Quindi: ν = R (1/n s 2-1/n e 2 ) formula identica a quella trovata sperimentalmente per descrivere le frequenze delle righe spettrali dell idrogeno (confronta inizio appunti) con R = 3,29x10 15 Hz. Prof. Fulvio Baldanza Pagina 5
Quindi, se nell equazione di Bohr poniamo n s =1 otteniamo le stesse frequenze sperimentali trovate nella relazione per le righe spettrali che cadono nell ultravioletto (serie di Lymann). Per n s =2 troviamo le frequenze emesse nel visibile (serie di Balmer). Per n s =3 troviamo le frequenze emesse nell infrarosso (serie di Paschen). Bohr dunque, spiega le frequenze delle righe spettrali e giustifica l emissione nell ultravioletto durante la ricaduta dell elettrone sul livello n = 1. Per concludere, è intuibile che: Le frequenze delle radiazioni emesse dai corpi riscaldati corrispondono a transizioni elettroniche tra livelli energetici quantizzati. CALCOLO DI BOHR DEL RAGGIO DELL ORBITA ELETTRONICA. BREVE DESCRIZIONE Bohr considerò che un elettrone che ruota intorno al suo nucleo, è soggetto a due forze: 1) Forza elettrica di attrazione tra nucleo carico positivamente ed elettrone carico negativamente di tipo coulombiano, cioè descritta dalla legge di Coulomb: F c = k (q 1 q 2 )/r 2 La forza che si genera è dunque direttamente proporzionale al prodotto delle cariche (q 1 e q 2 ) e inversamente al prodotto del quadrato della loro distanza (r 2 ). K è la costante dielettrica assoluta. 2) Forza centrifuga repulsiva pari a: Prof. Fulvio Baldanza Pagina 6
F r = mv 2 /r dove m è la massa dell'elettrone v è la sua velocità lineare ed r è la sua distanza dal nucleo. Le due forze devono avere lo stesso valore perchè la distanza dal nucleo dell'elettrone rimanga invariata nel tempo. Inoltre, poichè la carica del protone e quella dell'elettrone sono uguali in valore assoluto, la relazione di Coulomb diventa F c = e 2 /r 2 Infatti, in questo caso è possibile scrivere ee = e 2 al posto di q 1 q 2, dove e è la carica dell'elettrone. k in questo caso ha valore 1. Per le considerazioni appena fatte si può scrivere (equazione 1): Dato il primo postulato di Bohr: e 2 /r 2 = mv 2 /r r = nh/2πmv ricavandone la velocità otteniamo (equazione 2): Ma dall'equazione 1: v = nh/2πmr r = mv 2 r 2 /e 2 Sostituendo nell'ultima relazione la velocità dall'equazione 2, otteniamo dopo alcuni semplici passaggi algebrici che (equazione 3): r = n 2 h 2 /4π 2 e 2 m Si ottiene in questo modo, il raggio dell'orbita elettronica in funzione di n (numero quantico principale). Tutti gli altri parametri sono costanti. Il loro valore può quindi essere indicato con h 2 /4π 2 e 2 m = a 0 = 0,529 Å ( in Angstrom) L' equazione 3 si semplifica quindi in: r = a 0 n 2 Il raggio dell'orbita elettronica è dunque direttamente proporzionale al quadrato del numero quantico principale. Prof. Fulvio Baldanza Pagina 7