RETI TOPOGRAFICHE 1. Premessa Una rete topografica è costituita da un insieme di punti, detti vertici della rete, connessi fra di loro da un insieme di misure di distanze e di angoli azimutali e zenitali; sia i punti di stazione, sia i punti collimati sono vertici della rete. Le misure devono essere in numero sufficiente per rendere la rete rigida (contrariamente a quanto avviene in fig.1), e in generale si richiede che siano ridondanti, per poter eseguire compensazioni; la ridondanza viene richiesta non soltanto per la rete nel suo complesso, ma per ciascuno dei suoi vertici (cosa non vera, ad esempio, per il punto P 0 in fig.). Inoltre devono essere fornite informazioni atte a fissare il sistema di riferimento. Le compensazioni vengono eseguite con il metodo dei minimi quadrati, utilizzando le equazioni di osservazione che legano le quantità misurate con i parametri da stimare (in generale le coordinate dei vertici). Si è già accennato al fatto che, per la compensazione rigorosa di una rete 3-dimensionale, è necessario tenere conto che la direzione della verticale varia e che in generale non viene osservata in tutti i punti di stazione, e va quindi inserita come parametro incognito. Ovviamente, per rendere la compensazione il più possibile robusta, si dovrebbe cercare di avere la massima ridondanza possibile; tuttavia in generale è possibile limitare il numero delle misure, e quindi il costo del rilevamento, senza deteriorare in modo inaccettabile la qualità della rete. Per ottenere questo scopo, è essenziale una accurata progettazione della rete preliminarmente all esecuzione della campagna di misure. È possibile fare una previsione sull accuratezza delle coordinate calcolate, espressa dalla matrice di covarianza dei parametri stimati, e visualizzata con gli ellissi di errore nel caso planimetrico (ellissoidi nel caso 3-dimensionale), prima di eseguire le misure, utilizzando la struttura geometrica della rete, implicitamente contenuta nelle equazioni di osservazione, e le informazioni a priori sull accuratezza delle misure eseguite, contenuta nella matrice di covarianza delle osservazioni. Verranno illustrati nel seguito alcuni esempi che, per semplicità, si riferiscono a reti i cui vertici stanno su un piano; le coordinate possono quindi essere riferite ad un sistema di assi cartesiano locale -dimensionale. In una situazione realistica il problema non è tanto che i punti non sono tutti alla stessa quota e bisogna quindi introdurre una terza coordinata, quanto che le quote non possono essere riferite ad una superficie piana e che la verticale, fisicamente determinabile, varia da punto a punto. Una prima approssimazione consiste nello scegliere come superficie di riferimento una sfera locale e come piano xy il piano tangente alla sfera in un determinato punto; per ogni altro punto le coordinate planimetriche approssimate consentono di stabilire sia la direzione della normale alla sfera sia la coordinata z.. Programmi di compensazione I calcoli per la compensazione di una rete, che sono in generale lunghi e laboriosi, vengono oggi eseguiti al calcolatore usando perlopiù programmi preconfezionati. La possibilità di scrivere programmi generali applicabili a qualsiasi tipo di rete si basa sul fatto che le equazioni di osservazione per direzioni azimutali, angoli zenitali, distanze e dislivelli hanno forma standard, e l utilizzatore deve soltanto inserire correttamente i dati, in modo che il programma possa riconoscere la geometria della rete e il tipo di misure eseguite, nonchè essere consapevole delle approssimazioni contenute negli algoritmi del programma, e quindi dell estensione delle reti a cui esso è applicabile. Per l inserimento dei dati è naturalmente previsto un formato ben preciso. In primo luogo i vertici devono essere numerati; di conseguenza, ogni direzione di collimazione è univocamente individuata da una coppia di numeri costituita, nell ordine, dal numero del vertice di stazione e da quello del vertice collimato. Per ogni direzione devono essere poi riportate, in un ordine ben preciso, le misure degli angoli azimutali (rispetto allo zero dello strumento la cui direzione, a sua volta, viene trattata come un incognita del problema), delle 1
distanze, degli angoli zenitali, dei dislivelli, ciascuna con lo sqm a priori, usando ovviamente le unità di misura richieste dal programma. Se una certa misura non è stata eseguita, lo spazio ad essa attribuito deve essere lasciato vuoto. Inoltre devono essere assegnate le coordinate approssimate dei punti, e devono essere indicati i vincoli, ossia le coordinate di punti noti e gli azimut di direzioni note, che definiscono il sistema di riferimento, e possono anche essere in numero superiore a quello strettamento necessario. Un ulteriore possibile opzione è quella di inserire, oltre al sistema di riferimento in cui viene eseguita la compensazione, che è in generale un sistema locale arbitrario, le coordinate di un certo numero di punti in un sistema di riferimento diverso, per esempio legato alla cartografia, in modo che possano essere calcolate le trasformazioni necessarie per l inquadramento della rete. Il programma, oltre ad eseguire la compensazione con il metodo dei minimi quadrati (con iterazioni, visto che si tratta di equazioni non lineari, fino alla stabilizzazione degli sqm stimati), deve segnalare se le misure inserite non sono sufficienti ad assicurare la rigidità della rete, e se i vincoli non sono sufficienti a definire il sistema di riferimento. Infine, deve essere possibile utilizzare il programma per lo studio a priori della rete, prima di eseguire le misure, dando indicazione soltanto di quali misure sono previste nel progetto di rete e dei loro sqm a priori, oltre alle coordinate approssimate dei vertici. 3. Equazioni di osservazione 3.1 Equazioni di osservazione di azimut (angoli in verso orario dall asse y) - Con riferimento alla fig.3, che rappresenta misure angolari da una stazione posta nell origine, le relazioni fra angoli misurati e coordinate dei punti collimati sono le seguenti: I quadrante: α 1 arctan x 1 y 1 II quadrante: α arctan x y + π III quadrante: α 3 arctan x 3 y 3 + π IV quadrante: α 4 arctan x 4 y 4 + π Ovviamente, se la stazione è in un punto generico (x 0, y 0 ), nelle equazioni x i, y i con x i x 0, y i y 0. devono essere sostituite NOTA: i valori di arctan sono compresi fra π/ e π/. 3.. Equazioni di osservazione di angoli azimutali (fig.4) - Si misurano gli angoli θ 1 e θ in verso orario a partire dallo zero dello strumento. L azimut β della direzione dello zero non entra nell equazione. L equazione per α 1 è α 1 θ θ 1 (θ + β) (θ 1 + β) arctan x x 0 y y 0 + π arctan x 1 x 0 y 1 y 0 (1) L equazione per α 13 è del tutto analoga. NOTA: anche se le misure degli angoli θ i sono indipendenti, gli angoli α 1 e α 13 sono correlati.
( α1 α 13 ) C α ( 1 1 0 1 0 1 ) θ 1 θ θ 3 ( ) 1 1 0 σ 1 0 σ 1 0 1 0 σ3 1 1 0 0 1 1 ( σ 1 + σ σ 1 σ 1 σ 1 + σ 3 ) () 4. Esempi di reti piane con misure ridondanti 4.1. Intersezione multipla in avanti - Il punto P (x, y) incognito viene collimato da un certo numero di punti noti P i (x i, y i ), e vengono misurati angoli azimutali. A rigore, per ciascun punto di stazione bisognerebbe introdurre come incognita l azimut dello zero del cerchio orizzontale e misurare gli angoli usando lo zero come direzione di riferimento. Per semplicità le equazioni di osservazione vengono qui scritte introducendo direttamente come osservabili gli angoli azimutali θ j fra le direzioni collimate da ciascun punto di stazione. Gli azimut β k delle direzioni di punti noti sono ovviamente noti; con riferimento alla figura β i arctan((x i+1 x i ))/(y i+1 y i )), i 1, ; β 3 arctan((x 4 x 3 )/(y 4 y 3 )) + π ; β 4 β 3 π. Equazioni di osservazione (con riferimento alla fig.5): θ 1 β 1 arctan x x 1 y y 1 θ β arctan x x y y θ 3 β 3 π arctan x x 3 y y 3 θ 4 β 4 + π + arctan x x 4 y y 4 (3) Queste equazioni vengono linearizzate (i simboli soprasegnati con una barra indicano valori approssimati delle osservabili e delle coordinate, supposti noti): θ 1 + δθ 1 β 1 arctan x x 1 ȳ y 1 ȳ y 1 ( x x 1 ) + (ȳ y 1 ) δx + x x 1 ( x x 1 ) + (ȳ y 1 ) δy θ + δθ β arctan x x ȳ y θ 3 + δθ 3 β 3 π arctan x x 3 ȳ y 3 θ 4 + δθ 4 β 4 + π + arctan x x 4 + ȳ y ( x x ) + (ȳ y ) δx + x x ( x x ) + (ȳ y ) δy ȳ y 3 ( x x 3 ) + (ȳ y 3 ) δx + x x 3 ( x x 3 ) + (ȳ y 3 ) δy ( x x 4 ) + ( ) δx x x 4 ( x x 4 ) + ( ) δy (4) e viene applicato il metodo dei minimi quadrati per la stima dei parametri δx, δy. 4.. Intersezione multipla inversa (giro d orizzonte) - Si fa stazione nel punto P (x, y) incognito e si collima un certo numero di punti noti (ad esempio, punti trigonometrici IGM visibili dal punto di stazione). Nell esempio che segue si assume di misurare gli angoli a partire dallo zero del cerchio orizzontale la cui direzione rispetto agli assi coordinati è incognita. Oltre alle coordinate x, y di P, si introduce l ulteriore parametro incognito β che è l azimut della direzione dello zero. Equazioni di osservazione (con riferimento alla fig.6): 3
θ i arctan x x i y y i + π β i 1,, 3 θ 4 arctan x x 4 y y 4 + π β (5) Equazioni di osservazione linearizzate: θ i + δθ i arctan x x i ȳ y i + π β + θ 4 + δθ 4 arctan x x 4 + π β + ȳ y i ( x x i ) + (ȳ y i ) δx x x i ( x x i ) δy i 1,, 3 + (ȳ y i ) ( x x 4 ) + ( ) δx x x 4 ( x x 4 ) + ( ) δy (6) Si noti che, dato che il parametro β compare linearmente nelle equazioni di osservazione, non è necessario conoscere un valore approssimato. 4.3. Poligonale - Una poligonale piana è una rete che connette in sequenza un certo numero di punti, tutti giacenti su uno stesso piano orizzontale. Si fa stazione in ognuno dei punti e vengono misurate la distanza del punto successivo e l angolo azimutale fra la direzione del punto precedente e quella del punto successivo. Il sistema di riferimento è definito se le coordinate del punto di partenza P 0 (x 0, y 0 ) sono note, e se è possibile collimare da P 0 un altro punto noto P 0 ( x 0, ȳ 0 ), in modo che è noto anche l azimut ᾱ 0 della direzione di collimazione P 0 P0 : con riferimento alla figura, ᾱ 0 arctan((x 0 x 0 )/(y 0 ȳ 0 )) + π. Procedendo a passi a partire da P 0, si possono stimare successivamente, senza ridondanza, le coordinate dei punti P 1, P,... e le loro matrici di covarianza. Le equazioni di osservazione possono essere espresse nella forma seguente (con riferimento alla fig.7): x i+1 x i + d i+1 sin α i y i+1 y i + d i+1 cos α i i 0,..., n 1 (7) dove d i sono le distanze misurate, α i sono gli azimut delle direzioni P i P i+1, che non vengono misurati direttamente, ma possono essere espressi ricorsivamente in funzione degli angoli azimutali θ i misurati fra le direzioni P i P i 1 e P i P i+1 : α i+1 α i + θ i+1 π (8) (al primo passo, P 1 P 0 ). A titolo di esempio, si costruisce la matrice di covarianza per le coordinate di P 1 bisogna scrivere le equazioni linearizzate per i primi due passi. Al primo passo, x 0 e y 0 sono note, e si linearizza solo rispetto a d 1 e α 0 : ( ) ( ) ( δx1 sin α0 d 1 cos α 0 δd1 δy 1 cos α 0 d 1 sin α 0 δθ 0 ) + ( ) termine noto e di P. A tale scopo, (9) Di conseguenza, assumendo che le misure di d 1 e di θ 0 siano incorrelate, la matrice di covarianza di x 1 e y 1 è ( ) ( ) ( ) sin α0 d C x1y 1 1 cos α 0 σ d1 0 sin α0 cos α 0 cos α 0 d 1 sin α σθ 0 d 1 cos α 0 d 1 sin α 0 (10) 4
Al secondo passo bisogna tenere conto che anche x 1 e y 1 sono affette da incertezza. L equazione linearizzata è quindi δx 1 ( ) ( ) δy δx 1 0 sin α1 d 1 cos α 1 d 1 cos α 1 1 δd δy 0 1 cos α 1 d 1 sin α 1 d 1 sin α 1 + δθ 0 δθ 1 ( ) termine noto (11) (le ultime colonne sono le derivate parziali rispetta a θ 0 ottiene e θ 1, dato che α 1 α 0 + θ 1 π ), da cui si ( 1 0 sin α1 d C xy 1 cos α 1 d 1 cos α 1 0 1 cos α 1 d 1 sin α 1 d 1 sin α 1 ) C x1y 1.... σ d. 0 σ θ 0 0. σ θ 1 1 0 0 1 sin α 1 cos α 1 d cos α 1 d sin α 1 d cos α 1 d sin α 1 (1) NOTA: i puntini nella matrice quadrata in (1) non corrispondono necessariamente a degli zeri, dato che x 1 e y 1 sono correlati con θ 0. Procedendo in questa maniera non si ha ridondanza. Non è quindi possibile fare alcuna compensazione, e gli errori si amplificano passando da un vertice al successivo (vedi fig.8). E possibile ottenere ridondanza imponendo che il punto terminale della poligonale P n sia un punto noto, e che da esso sia collimabile un altro punto noto Q, in modo che sia noto l azimut β 0 della direzione P n Q. Utilizzando le equazioni (7) e (8), si ottengono le equazioni di condizione n 1 x n x 0 + d j+1 sin α j j0 n 1 y n y 0 + d j+1 cos α j j0 (13) β 0 ᾱ 0 + n θ i (n + 1)π i0 dove le α j possono essere espresse in funzione delle osservabili θ i nella forma α j ᾱ 0 + j i0 θ i (j +1)π, ricavabile dalla (8). La compensazione può essere eseguita sulle osservabili con il metodo dei minimi quadrati, utilizzando le equazioni di condizione (13); successivamente, introducendo le osservabili compensate nelle (7) e (8), si ottengono le stime delle coordinate x e y degli n 1 punti incogniti P 1,..., P n 1. E però possibile adottare una procedura di compensazione semplificata, suggerita in numerosi manuali, che non è equivalente al metodo dei minimi quadrati, ma che fornisce pur sempre valori compensati, ossia compatibili con le equazioni di osservazione. Viene prima eseguita una compensazione sugli angoli, equiripartendo su tutti i θ i lo scarto della terza equazione di condizione (13). Gli angoli α i ottenuti dai valori compensati dei θ i vengono poi introdotti nelle altre due equazioni di condizione, che presentano ancora uno scarto ɛ (ɛ x, ɛ y ). Questo scarto viene compensato aggiungendo a ciascun vettore congiungente due vertici consecutivi P i e P i+1 (di lunghezza d i+1 ) il vettore ɛ i+1 (d i+1 / j d j)ɛ, che è proporzionale alla distanza. Questo criterio, che è del tutto arbitrario, riflette la convinzione, in verità non sempre giustificata, che gli errori commessi nella misura delle distanze siano proporzionali alle distanze stesse. 5
4.4. Trilaterazione - Una rete piana può essere compensata anche disponendo soltanto di misure di distanza. Ad esempio, in una rete con 5 vertici sono determinabili 10 distanze; supponendo che punti siano noti (e quindi anche la loro distanza), si possono misurare 9 distanze e si devono determinare le 6 coordinate dei 3 punti incogniti. Indicando con P A, P B i punti noti, e con P i, i 1,, 3 i punti incogniti (fig.9), le equazioni di osservazione hanno la forma Le equazioni linearizzate hanno la forma d ij (x i x j ) (y i y j ) 0 d i(a,b) (x i x A,B ) (y i y A,B ) 0 (3 equazioni) (6 equazioni) (14) d ij δd ij ( x i x j )(δx i δx j ) (ȳ i ȳ j )(δy i δy j ) + termine noto 0 d i(a,b) δd i(a,b) ( x i x A,B )δx i (ȳ i ȳ A,B )δy i + termine noto 0 (15) ovvero δd 1 δ δd 3 δd 1A δd A δd 3A δd 1B δd B δd 3B x 1 x ȳ 1 ȳ d 1 d 1 x 1 x 3 ȳ 1 ȳ 3 x1 x d 1 ȳ1 ȳ d 1 x 1 x 3 x 1 x A d 1A ȳ1 ȳ 3 x x 3 d 3 ȳ ȳ 3 d 3 x x 3 d 3 ȳ ȳ 3 d 3 d 1A ȳ 1 ȳ A x x A d A ȳ ȳ A d A x 3 x A d 3A ȳ 1 ȳ B d 1B x x B d B ȳ ȳ B d B x 1 x B d 1B x 3 x B d 3B ȳ 3 ȳ A d 3A ȳ 3 ȳ B d 3B δx 1 δy 1 δx + δy δx 3 δy 3 ( ) term. noto (16) 6