COMPLEMENTI DI TOPOGRAFIA 1. COORDINATE PLANIMETRICHE

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1 OMLMTI DI TOOGRFI 1. OORDIT LIMTRIH In Topografia le determinazioni planimetriche di punti vengono effettuate partendo da altri punti di coordinate note (punti trigonometrici). Il sistema di coordinate è quello della proiezione cartografica usata ed è riferito ad un sistema di assi cartesiani, uno dei quali (ascisse) è generalmente diretto secondo un certo meridiano e l'altro (ordinate) è perpendicolare al primo e con verso tale che il sistema risulti orario (la direzione positiva del primo asse deve ruotare in senso orario per sovrapporsi alla direzione positiva del secondo), come fig fig. 1.1 ella geometria analitica il sistema di riferimento è antiorario, come in fig. 1.. I due sistemi, in effetti, sono identici: se, infatti, si ruota di 90 il foglio su cui si è tracciata la fig. 1. e lo si guarda in trasparenza dalla parte posteriore si vede la fig. 1.1; è chiaro pertanto che le relazioni tra gli elementi di una figura tracciata su quel foglio non cambiano variando il punto da cui la figura stessa viene vista. In particolare, le relazioni espresse dalle formule della geometria analitica valgono tali a quali nel sistema di riferimento usato in Topografia. fig.1. 1

2 ei libri di testo, per tradizione, viene assunto un sistema di riferimento come in fig L'asse delle Y, in questo sistema, viene considerato come asse delle ascisse e le formule stabilite della geometria analitica devono essere modificate in conseguenza. Tale sistema non è mai usato nella pratica ed agli effetti del presente corso sarà ignorato. fig.1.3 ella proiezione di Gauss, usata per la cartografia italiana e per quelle di molti altri aesi le coordinate vengono indicate coi simboli (iniziale di ord) ed (iniziale di st). Il sistema di assi che noi considereremo sarà quindi come in fig L'asse rappresenta l'equatore e l'asse il meridiano centrale del fuso. Fig.1.4 Le relazioni tra le coordinate di due punti (, ) e (, ), il segmento e l'anomalia o angolo di direzione () (angolo che la congiungente rettilinea forma con la parallela all'asse delle condotta per ; in alcuni libri di testo viene usato il termine azimut, che in questo caso è errato poiché esso indica esclusivamente l'angolo, sul piano orizzontale, che una qualsiasi direzione forma con la direzione del meridiano), sono le seguenti : (1.1) tg( )

3 (1.) sen( ) cos( ) ( ) + ( ) (1.3) ()() Da queste si ricava anche: (1.4) + sen( ) ; + cos() (1.5) sen( ) + sen( ) (1.6) cos( ) + cos( ) Quelle ora ricordate sono le formule fondamentali che permettono di risolvere tutti i problemi topografici. Si noti che la (1.1), da cui derivano le altre, non è che l'equazione della retta passante per i punti e. er scopi particolari (ad es.: controllo di movimenti di un'opera di ingegneria o di una particolare zona di terreno, oppure per rilievi a sé stanti) si assume talvolta un sistema di riferimento arbitrario. sso, però, sarà sempre orientato in senso orario e le formule sopra ricordate conservano la loro validità.. ORITMTO In un punto è noto l'orientamento quando è nota l'anomalia (o l'azimut) di una qualsiasi direzione. fig..1 In tal caso, infatti, per ottenere l'anomalia (o l'azimut) di una qualsiasi altra direzione, basta sommare all'anomalia o all'azimut noti l'angolo che la direzione da orientare forma con la 3

4 direzione orientata, eventualmente togliendo alla somma un angolo giro. La fig..1 mostra due esempi. 3. ITRSZIO I VTI Dati due punti di coordinate note, sui quali si fa stazione, è possibile determinare le coordinate di un altro punto. fig.3.1 a) Operazioni sul terreno Facendo stazione con un teodolite (o con un tacheometro a seconda della precisione necessaria nelle misure) su ciascuno dei punti noti, si misura l'angolo azimutale che la direzione verso il punto da determinare forma con una qualsiasi direzione di cui si possa determinare l'anomalia. Questa potrà essere la direzione verso l'altro punto noto su cui viene fatta stazione, oppure la direzione su qualsiasi altro punto di coordinate note; non è, cioè, indispensabile che i due punti su cui si fa stazione siano visibili tra loro. Due schemi delle operazioni di misura sono indicati nelle figg. 3.1 e 3., ove con è indicato il punto da determinare e le altre lettere distinguono i punti di coordinate note. 4

5 fig.3. b) Operazioni di calcolo Supposte le note anomalie () (), applicando la formula (1.1) alle rette e si ha (3.1) ( ( ) tg( ) ) tg( ) Sottraendo membro a membro le due equazioni e risolvendo rispetto a : (3.) tg( ) tg( ) + tg( ) tg( ) ed introducendo questo valore in ciascuna delle (3.1) risulta (3.3) + ( ) tg( ) + ( ) tg( ) La determinazione di in doppio modo permette di individuare errori di calcolo (si noti bene: non errori di misura negli angoli sul terreno). er applicare le (3.) e (3.3) è necessario conoscere le anomalie () e (). In uno schema come in fig. 3.1 si calcolano dapprima le anomalie () e () dalle relazioni e quindi tg( ) ( ) ( ) + ; ( ) ( ) + ssendo e gli angoli misurati sul terreno. ello schema della fig. 3. si ha tg ( ) ( ) ± 180 ( ) ; ( ) ( ) + 0 5

6 tg D ( D) ; ( ) ( D) + D D c) ontrollo dei risultati. Le misure di cui al paragrafo a) danno sempre luogo ad una coppia di coordinate del punto ; è ovvio che se la misura di un angolo è errata si otterranno delle coordinate errate. er garantirsi contro tali errori occorrerà allora eseguire un'altra intersezione facendo stazione in un terzo punto. Le coordinate di provenienti dai primi due punti dovranno coincidere, entro plausibili scarti, con quelle provenienti dal secondo o dal terzo (o dal primo e del terzo). Si ricorda, tuttavia che in genere non si esegue la sola determinazione planimetrica, ma anche quella altimetrica. Se questa è fatta mediante livellazione trigonometrica, poiché coordinate errate del punto danno luogo a valori errati delle distanze e si otterranno quote diverse partendo da o partendo da. iò è indizio di errore o nella determinazione planimetrica o nella misura di una distanza zenitale. 4. ITRSZIO IVRS Dati tre punti di coordinate note, è possibile determinare le coordinate di un quarto punto facendo stazione solo su di esso. Si noti che nel caso dell intersezione in avanti sono necessarie solo due rette per rilevare un punto perché l orientamento dai punti noti è determinato; nel caso attuale esso è incognito. fig.4.1 6

7 a) Operazioni sul terreno Facendo stazione con un teodolite (o tacheometro) sul punto da determinare e scelta la direzione ad uno dei punti noti come origine, si misurano gli angoli azimutali che ciascuna direzione agli altri punti noti forma con essa. La fig. 4.1 ove con,, sono indicati i punti noti con il punto da determinare e con α e β gli angoli misurati, mostra uno schema di disposizione dei punti, in cui la direzione al punto è presa come origine. b) Operazioni di calcolo Si osservi che le anomalie (), (), () sono legate dalle relazioni pplicando la formula (1.1) si ha: ( ) ( ) + α ; ( ) ( ) + β tg ( ) 4.1 tg( ( ) + α ) tg (( ) + β ) Le (4.1) costituiscono un sistema nelle tre incognite (),,. Ricordando che 4. tg( ) tg( ( ) + α ) e l analoga relazione per tg ( ) ottiene: 4.3 tg( ) 1+ tg ctgα ( ) ctg tg( ) ( + β, eliminando dalle tre equazioni le incognite e si ( ) ctgα ( ) ctgβ + ( ) ( ) ctgα ( ) ctgβ ( ) alcolato il valore di tg(), mediante le 4. si calcolano i valori di tg() e tg() dopo di che si possono calcolare le coordinate di per intersezione diretta mediante le (3.) e (3.3). Si noti che non è necessario calcolare gli angoli (), (), (), per il che occorrerebbe conoscere come sono disposti sul terreno i punti, in quanto è sufficiente la conoscenza delle tangenti di quegli angoli. Operando nel modo detto, cioè stabilendo una direzione origine, si ha una soluzione unica del problema e non la doppia soluzione indicata nella maggior parte dei libri di testo. α 7

8 c) ontrollo dei risultati Le coordinate del punto possono essere calcolate per intersezione diretta dalle coppie di punti, oppure, od anche,. Il calcolo in doppio modo garantisce contro gli errori aritmetici; per garantirsi contro errori nelle misure angolari occorre misurare sul terreno anche l angolo con un quarto punto noto; indicando con D questo punto è allora possibile avere due determinazioni indipendenti, ad es. da,, e da,,d (oppure,,d) che devono fornire per il punto valori delle coordinate coincidenti entro le approssimazioni di misura. nche la determinazione della quota mediante livellazione trigonometrica può fornire un criterio sull'attendibilità delle misure. 5. OMLMTI SULL OLIGOLI L esecuzione delle misure indicate sui libri di testo permette solo la compensazione empirica di una poligonale chiusa. er poter procedere ad una compensazione rigorosa occorre che le misure sovrabbondanti siano in numero molto maggiore. tale scopo, nelle poligonali ordinarie si potranno misurare da ciascun vertice non solo le direzioni ai vertici contigui, ma anche quelle ad altri vertici ed ad altri punti noti eventualmente visibili, e sarà anche opportuno aumentare le misure di distanza. Si noti che quando in una poligonale che si svolge tra due punti trigonometrici vengono misurate le distanze mediante un distanziometro elettronico, si misura con una precisione maggiore di quella che ha la distanza tra i punti noti ottenuta dalle coordinate. ella compensazione occorre allora introdurre un fattore di scala, incognito, che alteri le misure in modo da uniformare la scala del nuovo rilievo con quella della rete trigonometrica esistente. 6. ITRSZIO MDIT MISUR DI DISTZ Data la facilità di misura offerta dai distanziometri elettronici, questo metodo trova frequenti applicazioni. Dati due punti di coordinate note, è possibile determinare le coordinate di un terzo punto misurando le distanze tra questo e ciascun punto noto. Si noti che la soluzione non è univoca (due circonferenze si intersecano in due punti): è perciò necessario conoscere da quale parte si trovi il punto da determinare, rispetto all allineamento tra i punti noti. Si consideri lo schema della fig. 3.1; dalle coordinate dei punti noti è: 8

9 tg 0 ( ) ( ) ; ( ) ( ) ±180 sen( ) cos ( ) Mediante il teorema di arnot (o le formule di riggs) si determinano gli angoli e, e quindi l anomalia ( ) ( ) ± ; ( ) ( ) ± (il segno dipende dalla posizione del punto ), dopo di che con le formule del tipo della (1.4) si calcolano le coordinate del punto. Misurando le distanze da tre punti noti l ambiguità della determinazione non sussiste più poiché tre circonferenze si incontrano in un punto. Le coordinate del punto si possono ottenere direttamente, in maniera semplice, nel seguente modo: seguendo una traslazione di assi che porti l origine delle coordinate in uno dei punti noti, ad. es., essi avranno per coordinate: ( 0,0) ; (, ); (, ) Dette X ed Y le coordinate di in questo sistema, le equazioni delle circonferenze con centro in,, e raggio,,, rispettivamente, (che colle loro intersezioni individuano il punto ) sono: X ( ( X X + Y ( ( ) ) + Y ( ) ) ( ) ) + ( Y ( ) ) svolgendo i quadrati e sottraendo dalla prima equazione la seconda e la terza, tenendo + presente che (formula(1.)) ( ) ( ) ottiene: X X risolvendo con la regola di Kramer, e posto D ( )( ) ( )( ) Si ottiene: 1 ( ) + Y ( ) ( + ) 1 ( ) + Y ( ) ( + ) e l analoga formula per, si 9

10 X Y 1 1 D D ( + )( ) ( + )( ) ) ( + )( ) ( + )( ) ) e, ritornando al sistema di assi originario, + X + Y er applicare il procedimento ora descritto le misure di distanza devono essere congruenti, cioè devono soddisfare ad una condizione geometrica (vi è una misura in più del necessario). ssa può essere espressa in vari modi equivalenti: ad es., riferendosi ad uno schema come in fig. 4.1, la somma degli angoli e calcolati dalle lunghezze dei lati dei triangoli e dovrà essere uguale all angolo calcolato dalle coordinate dei punti noti; le misure, pertanto, dovranno essere prima sottoposte ad un calcolo di compensazione secondo i procedimenti indicati dalla teoria degli errori. In pratica, dato anche lo scarso significato di una compensazione con un solo elemento sovrabbondante, si applica due volte il procedimento descritto per il caso di due soli punti noti: le coordinate del punto derivanti dalle due provenienze dovranno risultare concordanti. Vale anche qui l osservazione fatta al paragrafo 5 per le misure geodimetriche circa il fattore di scala: si ottiene, cioè, una figura simile a quella data dalle coordinate dei punti noti, per cui le coordinate del punto sono in accordo con quelle della rete già esistente. Si ricordi, infine, che le misure fatte sul terreno devono essere ridotte al piano della proiezione cartografica per mezzo del modulo di deformazione lineare. 1