ELEMENTI DI TOPOGRAFIA

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1 Il fascicolo è un supporto didattico destinato agli studenti [allievi geometri]. Raccoglie parte dei contenuti esposti durante le lezioni di Topografia tenute presso l I.I.S. Morea-Vivarelli (sede Morea) di Fabriano ed è suscettibile di aggiornamenti e/o modifiche. Eventuali correzioni, segnalazioni, suggerimenti, richieste o qualsiasi altra comunicazione possono essere inviate all indirizzo moreaelearning@altervista.org Ringrazio fin d ora quanti vorranno collaborare. RILIEVO PER POLIGONAZIONE CLASSIFICAZIONE DELLE POLIGONAZIONE ANGOLI DI DIREZIONE POLIGONALI APERTE ESEMPIO 01 CONSIDERAZIONE SU ERRORI COMMESSI POLIGONALI CHIUSE ESEMPIO 02 POLIGONALI APERTE VINCOLATE AGLI ESTREMI ESEMPIO 03 APERTURA E CHIUSURA A TERRA DI POLIGONALI APERTE ESEMPIO 04 ESERCIZI SU POLIGONALI APERTE POLIGONALI CHIUSE POLIGONALI APERTE VINCOLATE AGLI ESTREMI APERTURA E CHIUSURA A TERRA DI POLIGONALI APERTE LabTopoMoreA Pagina 1 di 13

2 POLIGONALI CHIUSE Dal punto di vista geometrico le poligonali chiuse sono poligoni di n vertici di cui vengono misurate l ampiezza degli angoli e la lunghezza dei lati. Per il calcolo delle coordinate dei vertici si devono conoscere anche le coordinate di un vertice e l angolo di direzione (azimut) di un lato. Questi ultimi elementi possono essere già conosciuti perché determinati in precedenza oppure fissati dal topografo in dipendenza dalle finalità del rilievo. E da notare che per il calcolo delle coordinate dei vertici della poligonale sarebbe sufficiente conoscere la misura di n-1 lati e n-2 vertici riducendosi la poligonale ad una poligonale aperta il cui calcolo è stato visto in precedenza. Conoscere gli elementi angolari e lineari di un poligono chiuso pone all insieme delle osservazioni dei vincoli geometrici ben precisi. Gli elementi misurati sono in numero sovrabbondante rispetto a quello strettamente necessario per la determinazione delle coordinate dei vertici. Essi devono rispettare relazioni matematiche che esprimono la loro congruenza geometrica. Ciò permette di verificare la presenza di eventuali errori, di accertare che questi siano di tipo accidentale (e quindi accettabili) e di attenuarne l influenza sulla precisione dei risultati. LabTopoMoreA Pagina 2 di 13

3 Sviluppiamo la trattazione nell ipotesi di una poligonale chiusa generica ABCDE costituita da 5 vertici. Le conclusioni a cui arriveremo possono essere generalizzate ed estese ad una poligonale chiusa generica di n vertici. Della poligonale chiusa siano stati misurati gli angoli: e la lunghezza dei lati: AB, BC, CD, DE, EA. Si conoscano inoltre le coordinate del vertice A: A [E A ;N A ], e l azimut del lato AB: AB. Dalla geometria sappiamo che la somma degli angoli interni di un poligono di n vertici è pari a: nel nostro caso: A causa degli inevitabili errori di misura avremo: [ i ] =[(n-2) * 200 g ] con errore di chiusura angolare. Determinato : =[(n-2) * 200 g ]-[ i ] Si ha la necessità di stabilire se l eventuale errore riscontrato sia accidentale, e quindi accettabile, oppure grossolano. A tal proposito si introduce la tolleranza angolare T che dipende dal tipo di poligonale e dalla precisione richiesta nella determinazione delle coordinate. Per poligonali di tipo catastale con sviluppo inferiore a 1 km la tolleranza angolare suggerita è: LabTopoMoreA Pagina 3 di 13

4 NOTA: [A scopo didattico adottiamo come coefficiente 0 g,03=0, 027] Naturalmente si dovrà verificare che: t. Nel caso in cui l errore di chiusura angolare superi la tolleranza siamo in presenza di un errore grossolano e si dovranno ripetere le operazioni di rilievo della poligonale. Nel caso contrario invece l errore risulta di tipo accidentale e può essere accettato. Si procede quindi all eliminazione dell errore riscontrato distribuendolo in parti uguali tra gli angoli misurati. Si determina errore unitario: = /n cioè la quota di errore che compete a ciascun angolo misurato e si calcolano gli angoli compensati: = + = + γ = γ + = + = + Dopo aver eseguito l operazione si potrà verificare che effettivamente: Nel nostro caso (per n=5): Una volta calcolati gli angoli corretti si procede al calcolo degli azimut con le formule ricorrenti: LabTopoMoreA Pagina 4 di 13

5 AB : noto BC = AB g CD = BC + γ 200 g DE = CD g EA = DE g [per controllo: AB = EA g ]. Con gli azimut così determinati e i lati misurati si possono calcolare le coordinate parziali dei vari punti: (E B ) A =AB * sen AB (N B ) A =AB * cos AB (E C ) B =BC * sen BC (N C ) B =BC * cos BC (E D ) C =CD * sen CD (N D ) C =CD * cos CD (E E ) D =DE * sen DE (N E ) D =DE * cos DE (E A ) E =EA * sen EA (N A ) E =EA * cos EA Le coordinate parziali di un generico punto Q rispetto al punto P che lo precede rappresentano le proiezioni del lato PQ (o vettore spostamento PQ) sugli assi coordinati. Per tale motivo, in linea teorica, se le lunghezze dei lati fossero state rilevate correttamente la somma delle ascisse parziali e la somma delle ordinate parziali dovrebbero risultare entrambe nulle. Per effetto degli errori di misura le somme non saranno nulle ma assumeranno un valore E e N : LabTopoMoreA Pagina 5 di 13

6 E = (E i-1 ) N = (N i-1 ) che dal punto di vista geometrico rappresentano le componenti sugli assi cartesiani del vettore L, detto errore di chiusura lineare il cui modulo vale: L = ( E 2 + N 2 ) Lo schema di figura esprime graficamente il significato di E, N e L. L errore di chiusura lineare L rappresenta l errore di chiusura del poligono dovuto agli errori commessi nella misura della lunghezza dei lati. Errore di chiusura lineare vale: Se l errore L è minore di una tolleranza lineare T L che viene assegnata in funzione della lunghezza totale della poligonale, cioè se si verifica la relazione: T L (*) l errore è accettabile (di tipo accidentale) in caso contrario la poligonale dovrà essere di nuovo rilevata sul terreno. LabTopoMoreA Pagina 6 di 13

7 La tolleranza lineare usata per poligonali catastali di lunghezza L [L= L i ] che non superino i m assume l espressione: T L =0,025* L NOTA: [A scopo didattico adottiamo come coefficiente 0,03] dove L= L i è la somma della lunghezza dei lati della poligonale o sviluppo della poligonale stessa, Se la relazione (*) è ve rificata si procede alla compensazione delle componenti sugli assi coordinati (coordinate parziali) delle distanze misurate. Gli errori e vengono distribuiti tra le varie componenti in modo proporzionale alla lunghezza delle componenti stesse. Si calcolano le somme delle lunghezze delle proiezioni dei lati della poligonale lungo gli assi coordinati (in valore assoluto): (E i-1 ) (N i-1 ) e gli errori unitari intesi come errore per unità di proiezione dei lati lungo gli assi E e N: Si possono determinare le coordinate parziali compensate con le seguenti relazioni: (E B ) A =(E B ) A - U E * (E B ) A (N B ) A =(N B ) A - U N * (N B ) A (E C ) B =(E C ) B - U E * (E C ) B (N C ) B =(N C ) B - U N * (N C ) B (E D ) C =(E D ) C - U E * (E D ) C (N D ) C =(N D ) C - U N * (N D ) C (E E ) D =(E E ) D - U E * (E E ) D (N E ) D =(N E ) D - U N * (N E ) D (E A ) E =(E A ) E - U E * (E A ) E (N A ) E = (N A ) E - U N * (N A ) E nelle quali le quantità U E * (E i+1 ) i e U N * (N i+1 ) i costituiscono le quote di errore da togliere a ciascuna proiezione. Si calcolano infine le coordinate totali di tutti i vertici con le formule: E B = E A + (E B ) A E C = E B + (E C ) B E D = E C + (E D ) C E E = E D + (E E ) D N B = N A + (N B ) A N C = N B + (N C ) B N D = N C + (N D ) C N E = N D + (N E ) D LabTopoMoreA Pagina 7 di 13

8 Per controllo: E A = E E + (E A ) E N A = N E + (N A ) E ESEMPIO 02: POLIGONALE CHIUSA La poligonale chiusa ABCDEA è stata rilevata in campagna con un teodolite centesimale a graduazione destrorsa dotato di distanziometro. Nel rilievo si sono raccolte le osservazioni riportate nel seguente registro: Si conoscono inoltre le coordinate cartesiane del punto A e l azimut del lato AB: E A = 63,155 m N A = 100,036 m θ AB = 115,451 g determinare le coordinate planimetriche della poligonale. Calcolo degli angoli: = EAB = 233 g, g,190 = 112 g,022 = ABC = 258 g,175g - 68 g,706 = 189 g,469 γ = BCD = 42 g,024g g, g = 91 g,371 = CDE = 157 g,721g - 41 g,079 = 116 g,642 = DEA = 190 g,758g g,307 = 90 g,451 LabTopoMoreA Pagina 8 di 13

9 i =599 g,955 errore di chiusura angolare: =[(n-2) * 200 g ]-[ i ] =600 g -599 g,955= 0 g,045 tolleranza angolare: T = 0 g,025* 5= 0 g,067 T errore unitario: = /n = 0 g,045/5 = 0 g,009 = + =112 g,022+0 g,009=112 g,031 = + = 189 g,469+0 g,009=189 g,478 γ = γ + = 91 g,371+0 g,009=91 g,380 = + = 116 g,642+0 g,009=116 g,651 = + = 90 g,451+0 g,009=90 g,460 [Per controllo: i =600 g ] Calcolo degli azimut: LabTopoMoreA Pagina 9 di 13

10 [ per controllo: ] Calcolo delle coordinate parziali non compensate: La somma delle coordinate parziale e dovrebbero essere pari a zero, ma contengono degli errori, che sono: (sviluppo della poligonale) Errore di chiusura lineare: Tolleranza lineare (max errore che si può commettere): LabTopoMoreA Pagina 10 di 13

11 Calcolo gli errori unitari: Coordinate parziale compensate: Calcolo le coordinate totali planimetriche dei vertici: Per controllo: Per controllo: LabTopoMoreA Pagina 11 di 13

12 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA IN SCALA 1:N LabTopoMoreA Pagina 12 di 13

13 Di seguito è riportata la soluzione dello stesso esempio eseguita con l ausilio di una tabella. LabTopoMoreA Pagina 13 di 13