Ricerca Operativa e Logistica Dott. F.Carrabs e Dott.ssa M.Gentili Il modello matematico 2: Funzioni obiettivo: ma.min, Min-ma Tipologie di Vincoli
Funzione obiettivo ma-min: Esempio Scommesse Il signor Rossi è uno scommettitore incallito ma poco fortunato. Dopo aver perso tutte le scommesse della giornata ha deciso di puntare gli ultimi 100 euro sulla vincitrice della coppa Italia. Questa volta però vuole essere assolutamente sicuro di vincere e per farlo chiede aiuto ad un amico che ha studiato un pò di ricerca operativa. Le 4 squadre rimaste in gara per la vittoria finale sono milan, uventus, napoli e siena quotate rispettivamente 3:1, 4:1, 7:1 e 10:1. Una di queste 4 squadre sarà sicuramente la vincitrice del torneo. Quanto deve scommettere il signor Rossi su ogni squadra per massimizzare la vincita nel caso peggiore?
Funzione obiettivo ma-min: Esempio Scommesse Il signor Rossi è uno scommettitore incallito ma poco fortunato. Dopo aver perso tutte le scommesse della giornata ha deciso di puntare gli ultimi 100 euro sulla vincitrice della coppa Italia. Questa volta però vuole essere assolutamente sicuro di vincere e per farlo chiede aiuto ad un amico che ha studiato un pò di ricerca operativa. Le 4 squadre rimaste in gara per la vittoria finale sono milan, uventus, napoli e siena quotate rispettivamente 3:1, 4:1, 7:1 e 10:1. Una di queste 4 squadre sarà sicuramente la vincitrice del torneo. Quanto deve scommettere il signor Rossi su ogni squadra per massimizzare la vincita nel caso peggiore? Variabili decisionali i = quantità di soldi scommessi sulla squadra i con i {m,,n,s} Osservazione: Se m =30, =20, n =40, s =10 quanto vale la funzione obiettivo? Applicando le quote si ha: 3* m =90, 4* =80, 7* n =280, 10* s =100 La vincita più bassa, in base alle scommesse effettuate, si verifica se la coppa viene vinta dalla uventus. 80 rappresenta il valore della nostra funzione obiettivo valutata nella soluzione scelta. Se indichiamo con z i la vincita ottenuta, in base ai soldi scommessi, quando la coppa viene vinta dalla squadra i, il nostro obiettivo diventa ma-min{z m, z, z n, z s }, ossia scegliere la soluzione che massimizzi la minima vincita qualunque sia la squadra vincitrice.
Funzione obiettivo ma-min: Esempio Scommesse Il signor Rossi è uno scommettitore incallito ma poco fortunato. Dopo aver perso tutte le scommesse della giornata ha deciso di puntare gli ultimi 100 euro sulla vincitrice della coppa Italia. Questa volta però vuole essere assolutamente sicuro di vincere e per farlo chiede aiuto ad un amico che ha studiato un pò di ricerca operativa. Le 4 squadre rimaste in gara per la vittoria finale sono milan, uventus, napoli e siena quotate rispettivamente 3:1, 4:1, 7:1 e 10:1. Una di queste 4 squadre sarà sicuramente la vincitrice del torneo. Quanto deve scommettere il signor Rossi su ogni squadra per massimizzare la vincita nel caso peggiore? Variabili decisionali i = quantità di soldi scommessi sulla squadra i con i {m,,n,s} La funzione min{z m, z, z n, z s } non è lineare ma la si può linearizzare introducendo una nuova variabile y. Come?
Scommesse: Modello matematico z= ma y budget s.t. m n s = budget y z m y z y z n 3 m 4 7 n y z 10 s s, m, n, s, intere y R OPT: profitto=20 con m =40, =30, n =18, s =12
Funzioni obiettivo: ma-min e min-ma Ma-Min ma min{z 1, z 2,, z k } ma y Min-Ma min ma{z 1, z 2,, z k } min y y z 1 y z 2. y z k y z 1 y z 2. y z k
Funzioni obiettivo: valore assoluto Definizione z = z se z 0 z se z<0 oppure z = ma{z, z} Consideriamo ora una funzione obiettivo che contiene il valore assoluto e vediamo come esprimerla tramite una funzione lineare. n min c i i i=1 Dalla definizione di valore assoluto, se poniamo z i =ma{ i,- i } possiamo riscrivere la funzione come: min n i=1 c i z i z i i i=1,...,n z i i i=1,...,n -2-1 2 1 y= 1 2
Funzioni obiettivo: valore assoluto Esempio Riscrivere il seguente modello matematico in modo da rendere lineare la sua funzione obiettivo. min 1 3 2 2 1 2 5 In questo caso è sufficiente porre z 2 =ma{ 2,- 2 } ottenendo: min 1 3z 2 2 1 2 5 z 2 2 z 2 2
Tipologie di vincoli Vincoli di capacità produttiva Vincoli di domanda Vincoli hard e vincoli soft Vincoli in conflitto Vincoli di bilanciamento Vincoli logici Vincoli alternativi: almeno uno Vincoli alternativi: solamente uno Vincoli alternativi a gruppi Saranno introdotti più avanti nel corso
Azienda dolciaria: Confetti Un azienda dolciaria produce quattro tipi di confetti (classico, doppio latte, al cioccolato, delizia al limone) utilizzando cinque ingredienti (zucchero, mandorla, latte, cioccolato, limone) che vengono acquistate all esterno. La tabella che segue mostra, per ogni chilo di confetti, le quantità (in litri per il latte e in kg per gli altri ingredienti) di ingredienti necessarie per produrre quel tipo di confetti. Inoltre vengono anche indicati sia la quantità massima di ciascun ingrediente acquistabile mensilmente sia il prezzo di acquisto. zucchero mandorla latte cioccolato limone Classico 0.4 0.7 0 0 0 Doppio latte 0.2 0.5 0.5 0 0 Al cioccolato 0.1 0.1 0.3 0.4 0 Delizia al limone 0.3 0.2 0 0 0.7 Quantità massima 700 1200 500 200 500 Prezzo di Acquisto 1 4 2 9 6 In base alle vendite dell anno precedente è stato stabilito che la quantità minima (in kg) di confetti da produrre mensilmente per ogni tipologia è di : 15, 11, 20, 5. Per ottenere un prodotto finito pronto per la vendita è necessaria una lavorazione che richiede un numero di ore diverso a seconda del tipo di confetto. La tabella che segue riporta per ogni chilo di ciascun tipo di confetto il numero di ore di lavorazione necessarie, insieme al prezzo di vendita unitario (in euro al chilo). Classico Doppio latte Al cioccolato Delizia al limone Ore lavorative 0.4 0.7 1.1 1.3 Prezzo di vendita 14 19 27 36 La lavorazione dei confetti viene effettuata da 5 operai che lavorano per 8 ore al giorno e per 24 giorni al mese percependo una paga di 1200 euro. Costruire un modello di PL che permetta di pianificare la produzione mensile dell azienda, determinando, per ogni tipologia di confetto, i chili da produrre per massimizzare il profitto.
Azienda dolciaria: Confetti ma 14 1 19 2 27 3 36 4 (0.4 1 0.2 2 0.1 3 0.3 4 ) 4(0.7 1 0.5 2 0.1 3 0.2 4 ) s.t. 2(0.5 2 0.3 3 ) 9(0.4 3 ) 6(0.7 4 ) 6000 0.4 1 0.2 2 0.1 3 0.3 4 700 0.7 1 0.5 2 0.1 3 0.2 4 1200 0.5 2 0.3 3 500 0.4 3 200 0.7 4 500 1 15 2 11 3 20 4 5 0.4 1 0.7 2 1.1 3 1.3 4 960 0
Vincoli di capacità produttiva Tipologia di vincoli che abbiamo visto nel modello di produzione: a i b i Disponibilità della risorsa i-sima Coefficiente di produzione della risorsa i per produrre una unità di prodotto Livello di produzione del prodotto
Vincoli di domanda M L
Azienda dolciaria: Confetti ma 14 1 19 2 27 3 36 4 (0.4 1 0.2 2 0.1 3 0.3 4 ) 4(0.7 1 0.5 2 0.1 3 0.2 4 ) s.t. 2(0.5 2 0.3 3 ) 9(0.4 3 ) 6(0.7 4 ) 6000 0.4 1 0.2 2 0.1 3 0.3 4 700 0.7 1 0.5 2 0.1 3 0.2 4 1200 0.5 2 0.3 3 500 0.4 3 200 0.7 4 500 1 15 2 11 3 20 4 5 0.4 1 0.7 2 1.1 3 1.3 4 960 0 Vincoli di capacità produttiva Vincoli di domanda
min f ( ) b Vincoli hard e vincoli soft min f () c u u b u u 0 min f ( ) b min f () c v v v 0 b v min f ( ) = b min f ( ) c u 0 v 0 u u u v = b c v v All ottimo solo una tra le due variabili sarà strettamente positiva
Azienda dolciaria: Confetti ma 14 1 19 2 27 3 36 4 (0.4 1 0.2 2 0.1 3 0.3 4 ) 4(0.7 1 0.5 2 0.1 3 0.2 4 ) s.t. 2(0.5 2 0.3 3 ) 9(0.4 3 ) 6(0.7 4 ) 6000 0.4 1 0.2 2 0.1 3 0.3 4 700 0.7 1 0.5 2 0.1 3 0.2 4 1200 0.5 2 0.3 3 500 0.4 3 200 0.7 4 500 1 15 2 11 3 20 4 5 0.4 1 0.7 2 1.1 3 1.3 4 960 0 Variazione dei vincoli: L azienda ha la possibilità di comprare più di 500 litri di latte al mese pagando però per ogni litro oltre questa soglia 1.5 euro
Azienda dolciaria: Confetti ma 14 1 19 2 27 3 36 4 (0.4 1 0.2 2 0.1 3 0.3 4 ) 4(0.7 1 0.5 2 0.1 3 0.2 4 ) s.t. 2(0.5 2 0.3 3 ) 9(0.4 3 ) 6(0.7 4 ) 6000-1.5u 0.4 1 0.2 2 0.1 3 0.3 4 700 0.7 1 0.5 2 0.1 3 0.2 4 1200 0.5 2 0.3 3 500 0.4 3 200 0.7 4 500 u 1 15 2 11 3 20 4 5 0.4 1 0.7 2 1.1 3 1.3 4 960 0 Variazione dei vincoli: L azienda ha la possibilità di comprare più di 500 litri di latte al mese pagando però per ogni litro oltre questa soglia 1.5 euro
Azienda dolciaria: Confetti ma 14 1 19 2 27 3 36 4 (0.4 1 0.2 2 0.1 3 0.3 4 ) 4(0.7 1 0.5 2 0.1 3 0.2 4 ) s.t. 2(0.5 2 0.3 3 ) 9(0.4 3 ) 6(0.7 4 ) 6000-1.5u -2v 0.4 1 0.2 2 0.1 3 0.3 4 700 0.7 1 0.5 2 0.1 3 0.2 4 1200 0.5 2 0.3 3 500 0.4 3 200 0.7 4 500 u 1 15 -v 2 11 3 20 4 5 0.4 1 0.7 2 1.1 3 1.3 4 960 0 Variazione dei vincoli: L azienda ha la possibilità di comprare più di 500 litri di latte al mese pagando però per ogni litro oltre questa soglia 1 euro E possibile produrre meno di 15 kg di confetti classici pagando però per ogni kg non prodotto 2 euro di multa.
Vincoli in conflitto A volte accade che il problema coinvolga vincoli che non possano essere soddisfatti tutti simultaneamente, ma si vuole lasciare la possibilità che non tutti siano soddisfatti. u v = = b i i i b i Obiettivo 1: minimizzare la somma totale della violazione dei vincoli Obiettivo 2: minimizzare la massima violazione dei vincoli
Vincoli in conflitto Obiettivo 1: minimizzare la somma totale della violazione dei vincoli = b i min u i u i i v i i v = i b i i Obiettivo 2: minimizzare la massima violazione dei vincoli = b i min w u i v i = b i i w u i i w v i i
Azienda dolciaria: Confetti ma 14 1 19 2 27 3 36 4 (0.4 1 0.2 2 0.1 3 0.3 4 ) 4(0.7 1 0.5 2 0.1 3 0.2 4 ) 2(0.5 2 0.3 3 ) 9(0.4 3 ) 6(0.7 4 ) 6000-u -v s.t. 0.4 1 0.2 2 0.1 3 0.3 4 700 0.7 1 0.5 2 0.1 3 0.2 4 1200 0.5 2 0.3 3 500 0.4 3 200 0.7 4 500 1 300 -u 2 150 -v 3 20 4 5 0.4 1 0.7 2 1.1 3 1.3 4 960 0 vincoli in conflitto Obiettivo 1: minimizzare la somma totale della violazione dei vincoli (i 700kg di zucchero non sono sufficienti per soddisfare questi due vincoli contemporaneamente)
Azienda dolciaria: Confetti ma 14 1 19 2 27 3 36 4 (0.4 1 0.2 2 0.1 3 0.3 4 ) 4(0.7 1 0.5 2 0.1 3 0.2 4 ) s.t. 2(0.5 2 0.3 3 ) 9(0.4 3 ) 6(0.7 4 ) 6000 0.4 1 0.2 2 0.1 3 0.3 4 700 0.7 1 0.5 2 0.1 3 0.2 4 1200 0.5 2 0.3 3 500 0.4 3 200 0.7 4 500 1 300 2 150 3 20 4 5 0.4 1 0.7 2 1.1 3 1.3 4 960 w u w v 0 -u -v vincoli in conflitto -w Obiettivo 2: minimizzare la massima violazione dei vincoli (i 700kg di zucchero non sono sufficienti per soddisfare questi due vincoli contemporaneamente)
Vincoli di bilanciamento Le quantità che entrano nel processo produttivo non vengono perse alla fine del processo: y k k = 0 Materiale che entra nel processo produttivo Materiale che esce alla fine del processo produttivo
Esempio: Miscela di olii Una fabbrica produce un tipo di cibo ottenuto dalla miscelazione di 5 differenti olii. Ci sono due olii di tipo vegetale ( VEG1, VEG2) e tre olii di tipo non vegetale (OIL1, OIL2, OIL3). Ogni olio è inizialmente allo stato grezzo e deve essere raffinato. Ogni mese è possibile raffinare al massimo 200 tons di olii vegetali e 250 di olii non vegetali. Si suppone che non ci sia perdita di peso in questo processo di raffinamento e che il costo sia trascurabile. Ogni olio ha un costo ed una densità differente: VEG1 VEG2 OIL1 OIL2 OIL3 Costo (Euro/ton) 110 120 130 110 115 Densità (per ton) 8.8 6.1 2.0 4.2 5.0 Quando gli olii vengono mescolati la densità del prodotto finale cresce linearmente. La densità del prodotto finale deve essere compresa tra 3 e 6. Il prodotto finale viene venduto ad un prezzo di Euro 150 per ogni tonnellata. Come devono essere miscelati gli olii al fine di massimizza il profitto
0 0, 0, 0, 0, 0, 3 5 4.2 2 6.1 8.8 6 5 4.2 2 6.1 8.8 250 200.. ) 115 110 130 120 150y - (110 ma 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 = y y y y s t Esempio: Miscela di olii