Probabltà cumulata emprca Se s effettua un certo numero d camponament da una popolazone con dstrbuzone cumulata F(y), s avranno allora n campon y, y,, y n. E possble consderarne la statstca d ordne, coè campon ordnat n senso crescente, del tpo y( ), y( ),, y( n ). S defnsce la probabltà cumulata emprca come: q q ( y ) ( ) q per n > 0 n+ ed n+0.4 servono a n + correggere l fatto che s avrebbe 0.3 y( ) q per n q00% per l valore pù alto de n + 0.4 campon ( ) 0 La probabltà cumulata emprca è una stma della cumulata della popolazone F(y) I dat spermental o osservat, espress n termn d probabltà cumulata emprca, possono essere successvamente organzzat sotto forma d carte d probabltà per determnare parametr della dstrbuzone f(y) ncognta.
Esempo d probabltà cumulata emprca Numero componente Ore d funzonamento 50 5 3 48 4 57 5 53 6 55 7 55 8 63 9 65 0 5 49 58 ordnamento Numero componente Ore d funzonamento 3 48 49 50 5 0 5 5 53 6 55 7 55 4 57 58 8 63 9 65 q ( y ) ( ) q n + q(y) 7693 3846 3 0.30769 4 0.30769 5 0.38465 6 0.46538 7 3846 8 0.65385 9 0.69308 0 0.7693 0.84654 0.93077 q() q(y) 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0. 0. 0 3 5 7 9 0 48 53 58 63 y() x()
Carte d probabltà La carta d probabltà è uno strumento per valutare parametr d una dstrbuzone a partre da dat ottenut con realzzazone camponare. ) A tale scopo occorre effettuare un cambo d coordnate lnearzzando la relazone tra percentl e probabltà cumulata. ) Tramte la regressone lneare è possble stablre qund parametr de modell statstc o dstrbuzon d nteresse 3) S può noltre calcolare l ndce d determnazone o d correlazone per valutare quanto la dstrbuzone s adatt a dat real d partenza.
Carta d probabltà esponenzale Rcordando le legg della esponenzale negatva f ( t) t λ e λ con 0 t < + F ( t) e λt λ ( t) t ln[ F ( t ) ] e t F λ Se allora s hanno a dsposzone n campon dervant da una dstrbuzone esponenzale negatva, e s vanno a rportare su un grafco punt d coordnate (t, -ln[-q ]), quest dovranno dspors su d una retta passante per l orgne e pendenza λ. Se s adotta una esponenzale a due parametr, c sarà anche un ntercetta par a: -t 0 λ -ln(-q ) - t 0 λ t 0 λ t
Carta d probabltà gaussana Per la gaussana generca valeva la relazone (non espctable) F( y) y f ( y) dy y y µ exp σ π σ dy Rcordando però l espressone per l cambo d coordnate z y µ y µ σ σ σ In questo caso z è l percentle calcolato sulla base della cumulata standardzzata (emprca): z Φ F ( ) Qund se y, y,, y n è la realzzazone camponara da una popolazone con dstrbuzone gaussana, punt d coordnate (y, Φ(q ) - ) gaccono su una retta con pendenza /σ e ntercetta -µ/σ. zφ(f) - -μ/σ /σ y
Carta d probabltà Webull Per la dstrbuzone d Webull l espressone del percentle era: t p α [ ln( F )] β Applcando l logartmo ad entramb membr dell equazone ln ( ) ln ( α ) + ln [ ln( F )] t p β ln [ ln( F )] β ln ( t ) β ln ( α ) p Qund se t, t,, t n è la realzzazone camponara da una popolazone con dstrbuzone d Webull, punt d coordnate (ln(t ), ln[-ln(-q )]) gaccono su una retta con pendenzaβentercetta par a β ln(α). ln[-ln(-f)] β -β ln(α) ln(t)
Sono assegnat temp d cedmento d un componente, ottenut da una campagna d prove su 9 campon. S chede d calcolare l parametro λ della dstrbuzone esponenzale. campone t 64. 3.8 3 8.4 4 353. 5 08.9 6 574.0 7 83.0 8 79.8 9 446.5
Come prmo passo s mettono campon n ordne crescente d durata, e s calcola la probabltà cumulata emprca con la relazone: q y( ) campone t q 3 8.4 745 5 08.9 0.809 3.8 0.87 64. 0.3936 4 353. 000 9 446.5 0.6064 6 574.0 0.78 8 79.8 0.89 7 83.0 0.955 S possono po rappresentare punt su grafco cdf q.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 0.3 0. 0. cdf ( ) q 0.3 n + 0.4 0 00 400 600 800 000 00 t [h]
Po s organzzano valor ottenut sotto forma d carta d probabltà, ponendo: x t e y -ln(-q ) campone t q 3 8.4 745 5 08.9 0.809 3.8 0.87 64. 0.3936 4 353. 000 9 446.5 0.6064 6 574.0 0.78 8 79.8 0.89 7 83.0 0.955 3.0 x y 8.4 774 08.9 0.995 3.8 0.3386 64. 00 353. 0.693 446.5 0.934 574.0.475 79.8.70 83.0.5974 carta d probabltà exp neg S possono po rappresentare punt su grafco carta d probabltà -ln(-q).5.0.5.0 0 00 400 600 800 000 00 t [h]
S è qund pront per effettuare la regressone lneare Rcordando a 0 e a : y x x n x ( x ) ˆ0 a x y x y 0. 0009 n x ( x ) n aˆ x y x^ x*y 8.4 774 7.3 0.65 08.9 0.995 859.4.7 3.8 0.3386 948.8 38.53 64. 00 69734.0 3.0 353. 0.693 4770.7 44.84 446.5 0.934 99377.7 46.3 574.0.475 395 76.07 79.8.70 587.7 30.9 83.0.5974 39938.5 307.59 TOT 377.7 8.96 665763.5 5873.75 x y MTTF 0395 λ 45.7 [h] λ -ln(-q) 3.0.5.0.5.0 carta d probabltà exp neg y 009x -03953 R² 0.99555 0 00 400 600 800 000 00 t [h]
S può notare come n realtà la procedura usata comport anche l calcolo d un ntercetta par ad a 0. Essa è qund adatta all ndvduazone del parametro t 0 tpco delle esponenzal a due parametr. a ˆ ˆ0 a0 t0λ t0.79 [ h] λ Se nvece s vuole forzare l fttng a passare per l orgne, bsogna porre uguale a 0 la dervata del RSS rspetto ad a n cu anche a 0 è posto 0 n n n Err ( y ax a0 ) x 0 x y a x 0 a carta d probabltà exp neg a n x y n a 0. 0003 λ x MTTF 453.8 [h] λ -ln(-q) 3.0.5.0.5.0 y 003x R² 0.99544 0 00 400 600 800 000 00 t [h]
Sono assegnat temp d cedmento d un componente, ottenut da una campagna d prove su 9 campon. S chede d calcolare parametr secondo la mglore dstrbuzone d Webull campone t 64. 3.8 3 8.4 4 353. 5 08.9 6 574.0 7 83.0 8 79.8 9 446.5
Come prmo passo s mettono campon n ordne crescente d durata, e s calcola la probabltà cumulata emprca con la relazone: q y( ) campone t q 3 8.4 745 5 08.9 0.809 3.8 0.87 64. 0.3936 4 353. 000 9 446.5 0.6064 6 574.0 0.78 8 79.8 0.89 7 83.0 0.955 S possono po rappresentare punt su grafco cdf q.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 0.3 0. 0. cdf ( ) q 0.3 n + 0.4 0 00 400 600 800 000 00 t [h]
Po s organzzano valor ottenut sotto forma d carta d probabltà Webull, ponendo: x ln(t ) e y ln[-ln(-q )] campone t q 3 8.4 745 5 08.9 0.809 3.8 0.87 64. 0.3936 4 353. 000 9 446.5 0.6064 6 574.0 0.78 8 79.8 0.89 7 83.0 0.955 S possono po rappresentare punt su grafco carta d probabltà ln[-ln(-q)].5.0 - -.0 -.5 -.0 -.5-3.0 x y. -.5589 4.7 -.60 4.7 -.089 5.6-0.697 5.9-0.3665 6. -700 6.4 0. 6.6 365 7. 0.9545 carta d probabltà Webull 3 4 5 6 7 ln(t)
S è qund pront per effettuare la regressone lneare Rcordando a 0 e a : y x x n x ( x ) ˆ0 a x y x y 0. 799 n x ( x ) n aˆ x y x y x^ x*y. -.5589 4.6-5.46 4.7 -.60.0-7.56 4.7 -.089.4-5.3 5.6-0.697 3. -3.86 5.9-0.3665 34.4 -.5 6. -700 37. -0.43 6.4 0. 40.4.40 6.6 365 43.3 3.53 7. 0.9545 50. 6.75 TOT 49. -4.6709 85.4 -.90 4.45866 β a 0 α exp 480.8 β ln[-ln(-q)] [ h].5.0 - -.0 -.5 -.0 -.5-3.0-3.5 carta d probabltà Webull y 0.7989x -4.458655 R² 0.93098 3 4 5 6 7 ln(t)
Sono assegnat temp d cedmento d un componente, ottenut da una campagna d prove su 9 campon. S chede d calcolare parametr secondo la mglore dstrbuzone Gaussana campone t 64. 3.8 3 8.4 4 353. 5 08.9 6 574.0 7 83.0 8 79.8 9 446.5
Come prmo passo s mettono campon n ordne crescente d durata, e s calcola la probabltà cumulata emprca con la relazone: q y( ) campone t q 3 8.4 745 5 08.9 0.809 3.8 0.87 64. 0.3936 4 353. 000 9 446.5 0.6064 6 574.0 0.78 8 79.8 0.89 7 83.0 0.955 S possono po rappresentare punt su grafco cdf q.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 0.3 0. 0. cdf ( ) q 0.3 n + 0.4 0 00 400 600 800 000 00 t [h]
Po s organzzano valor ottenut sotto forma d carta d probabltà Gaussana, ponendo: x t e y z p Φ(F) - campone t q 3 8.4 745 5 08.9 0.809 3.8 0.87 64. 0.3936 4 353. 000 9 446.5 0.6064 6 574.0 0.78 8 79.8 0.89 7 83.0 0.955 S possono po rappresentare punt su grafco carta d probabltà Φ(q) -.0.5.0 - -.0 -.5 -.0 x y 8.4 -.4433 08.9-0.9 3.8-65 64. -0.699 353. 000 446.5 0.699 574.0 65 79.8 0.9 83.0.4433 carta d probabltà Gaussana 0 00 400 600 800 000 00 t
S è qund pront per effettuare la regressone lneare x y x^ x*y 8.4 -.4663 7.3 -.8 08.9-0.943 859.4-99.33 3.8-709 948.8-63.89 64. -0.78 69734.0-7.7 353. -080 4770.7 0 446.5 0.66 99377.7 574.0 5 395 3.30 79.8 0.900 587.7 656.55 83.0.40 39938.5 707.36 TOT 377.7 000 665763.5 565 Rcordando a 0 e a : y x x n x ( x ) ˆ0 a x y x n x ( x ) ˆ a n σ a y x y 0.98873 0359 43.9 µ σa0 49. Φ(q) -.0.5.0 - -.0 -.5 -.0 carta d probabltà Gaussana y 0359x -0.988730 R² 0.9445 0 00 400 600 800 000 00 t