La geometria a tre dimensioni

Indice Geometria e misura VIII Indice unità 1 Lunghezza della circonferenza e area del cerchio La lunghezza della circonferenza 2 Lunghezza di un arco di circonferenza 7 L area del cerchio 10 rea del settore e del segmento circolare 15 Ricorda 19 Esercizi di riepilogo 20 Scheda di autoverifica 29 Esercizi di recupero 186 Esercizi di potenziamento 189 unità 2 La geometria a tre dimensioni Rette e piani nello spazio 32 Diedri e angoloidi 36 I solidi 40 I poliedri 41 La relazione di Eulero 41 Solidi a superfi cie curva e solidi di rotazione 42 Lo sviluppo di un solido 43 Equivalenza di solidi 47 Ricorda 53 Esercizi di riepilogo 54 Scheda di autoverifica 59 Esercizi di recupero 191 Esercizi di potenziamento 193 unità 3 Superficie laterale e totale dei poliedri Poliedri regolari e loro superficie 62 I poliedri non regolari 66 I prismi 66

Le piramidi 68 Il tronco di piramide 69 Superficie laterale e totale dei prismi 73 Superfi cie laterale e totale del prisma 73 Superfi cie laterale e totale del parallelepipedo 73 Superfi cie laterale e totale del cubo 74 Superficie laterale e totale di una piramide retta 83 Superfi cie laterale e totale del tronco di piramide regolare 84 Ricorda 90 Esercizi di riepilogo 91 Scheda di autoverifica 97 Esercizi di recupero 195 Esercizi di potenziamento 201 unità unità 4 Superficie laterale e totale dei solidi di rotazione ilindro, cono e sfera 100 Il cilindro 100 Il cono 100 Il tronco di cono 101 La sfera 101 Mutua posizione di un piano e una sfera 102 Parti della sfera e della superfi cie sferica 103 Superficie laterale e totale del cilindro e del cono 109 Superfi cie laterale e totale del tronco di cono 111 rea della superficie sferica 118 rea delle parti della superfi cie sferica 119 ltri solidi di rotazione 124 Ricorda 128 Esercizi di riepilogo 129 Scheda di autoverifica 137 Esercizi di recupero 203 Esercizi di potenziamento 209 5 Il volume dei solidi Volume, peso e peso specifico 140 Il volume dei prismi 144 Il volume del parallelepipedo rettangolo 144 Il volume del cubo 145 Il volume del prisma 145 Il volume della piramide 151 Il volume dei poliedri regolari 156 IX Indice RS Libri S.p.. - Divisione Education, Milano

Il volume del cilindro e del cono 158 Il volume della sfera 164 ltri solidi di rotazione 166 Ricorda 170 Esercizi di riepilogo 171 Scheda di autoverifica 183 Esercizi di recupero 211 Esercizi di potenziamento 218 Verifichiamo... le competenze 223 X 1. Utilizzare linguaggio e simboli matematici 224 2. Eseguire calcoli algebrici 229 3. Risolvere problemi algebricamente 234 4. Organizzare e rappresentare dati 238 5. Risolvere problemi di geometria solida 241 Indice In preparazione alle prove INVLSI 247 Prove INVLSI 279 Prova Nazionale INVLSI 280 Simulazione Prove INVLSI Prima prova 291 Simulazione Prove INVLSI Seconda prova 298 In preparazione alla prova d ESME 305 pparati 335 Soluzioni delle Schede di autoverifica 336 Glossario 337 Tavole numeriche 339

Geometria e misura unità1 Lunghezza della circonferenza e area del cerchio ontenuti La lunghezza della circonferenza Lunghezza di un arco di circonferenza L area del cerchio rea del settore e del segmento circolare Prerequisiti onoscere i poligoni e le loro proprietà onoscere i concetti riguardanti la circonferenza e il cerchio onoscere i sistemi di misura onoscere il concetto di proporzionalità Obiettivi onoscenze Il calcolo della lunghezza di una circonferenza e di un arco di circonferenza Il calcolo dell area di un cerchio, della corona circolare, del settore circolare e del segmento circolare bilità alcolare la lunghezza di una circonferenza e di un suo arco alcolare l area di un cerchio, di una corona circolare, di un settore e di un segmento circolare Risolvere problemi che riguardano circonferenze e cerchi Materiali di matematica in Mappa interattiva udioripasso

La lunghezza della circonferenza onsideriamo una circonferenza e proponiamoci di calcolarne la lunghezza. asandoci sul concetto di misura, come abbiamo fatto per i poligoni, dovremmo calcolare quante volte un unità di misura della lunghezza, per esempio il centimetro, è contenuta in una circonferenza. Ma ci renderemmo conto che confrontare il centimetro, cioè un segmento, con la circonferenza, una linea curva, è impossibile. Vediamo allora come procedere. Procuriamoci un vaso e misuriamone il contorno (una circonferenza) avvolgendolo con del nastro. Il nastro disteso, che prende il nome di circonferenza rettificata, è un segmento la cui misura è proprio la lunghezza della nostra circonferenza. Se con un righello misuriamo questo segmento, avremo la misura della lunghezza della circonferenza. 2 Sfruttando il sistema descritto, ricaviamo le circonferenze rettificate di un barattolo e di un tamburello e confrontiamole con il diametro di ciascun oggetto facendone il rapporto. Geometria e misura d 1 d 2 Dal confronto osserviamo che: 1 2 = = 3, d d 1 2 iascun diametro, quindi, è contenuto nella rispettiva circonferenza rettificata sempre 3, volte, ovvero il rapporto circonferenza/diametro è costante. Diciamo che: 1 2 d 1 d 2 Il rapporto fra la lunghezza di una circonferenza qualsiasi e la lunghezza del suo diametro è costante. Se indichiamo questa costante con π (pi greco), possiamo scrivere: d = π o anche = π d Ma quanto vale esattamente questo π? π è un particolare numero decimale illimitato che per il nostro studio considereremo, secondo l approssimazione che per primo ne diede rchimede, uguale a 3,14: π = 3,14.

Possiamo quindi dire che: La lunghezza di una circonferenza si ottiene moltiplicando la lunghezza del suo diametro per π = 3,14: = πd (formula diretta) d = π (formula inversa) E poiché d = 2r, possiamo anche scrivere: = 2πr (formula diretta) r = 2π (formula inversa) esempi 1. alcolare la lunghezza di una circonferenza di diametro lungo 16 cm. = πd = 16π cm o anche, moltiplicando per il valore di π: = 16 3,14 cm = 50,24 cm 2. alcolare la misura del raggio di una circonferenza lunga 113,04 cm. r = : 2π = 113,04 : 6,28 cm = 18 cm nella storia L importante scoperta che il rapporto tra una circonferenza e il suo diametro è costante risale a epoche molto lontane. Il valore che ancora oggi usiamo, π = 3,14, si deve al grande matematico rchimede, vissuto nel III secolo a.. Egli basò il suo calcolo sulla seguente considerazione: la lunghezza di una circonferenza rettificata è maggiore del perimetro di un qualsiasi poligono regolare inscritto e minore del perimetro di un qualsiasi poligono regolare circoscritto. rchimede inscrisse e circoscrisse alla circonferenza poligoni regolari con un numero sempre maggiore di lati, fino ad arrivare a due poligoni regolari, uno inscritto e l altro circoscritto, di 96 lati. on tale procedimento arrivò a stabilire che π è compreso fra i due numeri: 3,140845 < π < 3,142857 e stabilì che il valore da usare era 3,14. Dopo rchimede molti altri matematici, convinti che π fosse un numero razionale, si dedicarono alla ricerca dell effettivo valore cercandone l ultima cifra decimale o il periodo. Ma nel 1770 il matematico svizzero Johann Lambert (1728-1777) dimostrò che π è un numero irrazionale e quindi decimale illimitato. Successivamente, nel 1882, il matematico tedesco arl Lindemann (1852-1939) affermò che π è un numero irrazionale atipico e lo chiamò numero irrazionale trascendente. 1. Lunghezza della circonferenza e area del cerchio Esercizi pag. 20 3 Nel XX secolo (1946), con il calcolatore ENI, si arrivò al calcolo di 2 036 cifre decimali di π. i giorni nostri, i moderni calcolatori hanno permesso di arrivare alla 40 miliardesima cifra decimale. 1946: il primo calcolatore ENI (Electronic Numerical Integrator and omputer), Università di Pennsylvania.

4Geometria e misura acciamo il punto verifica le tue conoscenze. 1. he cosa si intende per circonferenza rettificata? 2. Osserva le seguenti figure. D he cosa rappresenta il segmento della figura a sinistra?... he cosa rappresenta il segmento D della figura a destra?... 3. Segna il completamento esatto. In una circonferenza qualsiasi è costante: il prodotto fra la sua lunghezza e la lunghezza del suo diametro. il rapporto fra la sua lunghezza e la lunghezza del suo diametro. il rapporto fra la lunghezza del suo diametro e la lunghezza di una sua corda. 4. ome si ottiene la lunghezza di una circonferenza conoscendo il raggio? E conoscendo il diametro? 5. he cosa rappresenta nella formula per il calcolo della lunghezza di una circonferenza il numero π? 6. Quali sono le formule inverse per il calcolo del diametro e del raggio conoscendo la lunghezza della circonferenza? verifica le tue abilità. ompleta le seguenti tabelle (r = raggio, d = diametro, = lunghezza circonferenza). 7. 8. r d r d 10 cm 2,5 cm 6 m 9. r d 10. 28,26 cm 34,54 cm 94,2 cm 14 cm 4,8 cm 24 cm r d 22π cm 9,4π cm 2,42π m

Risolvi i seguenti problemi. 11. alcola la misura della lunghezza di una circonferenza che ha il raggio lungo 22 m. [44π cm = 138,16 cm] 17. I 5/4 di una circonferenza misurano 75π cm. alcola la misura del raggio della circonferenza. [30 cm] 12. Quanto misura una circonferenza il cui diametro è lungo 16 m? [50,24 m] 13. Il raggio di una circonferenza misura 10,5 m. alcola la misura della lunghezza della circonferenza. [21π m] 14. Una circonferenza è lunga 78,5 cm. Quanto misura il suo raggio? [12,5 cm] 15. Una circonferenza misura 78,5 cm. Quanto misura il suo diametro? [25 cm] 16. Quanto misura il diametro di una circonferenza se i 3/7 di essa misurano 47,1 cm? [35 cm] 18. Una circonferenza è lunga 87,92 cm. Quanto è lunga una circonferenza che ha il raggio congruente ai 3/2 del raggio della circonferenza data? [42π cm] 19. Il diametro di una circonferenza misura 28 cm. alcola la lunghezza di una circonferenza con il raggio congruente ai 2/7 del raggio della circonferenza data. [8π cm] 20. alcola la misura del raggio di una circonferenza la cui lunghezza supera di 25,12 cm quella di una circonferenza avente il raggio lungo 15 cm. [19 cm] Esercizi pag. 20 5 21. Due circonferenze misurano 282,6 cm e 263,76 cm. alcola la lunghezza della circonferenza con il raggio congruente alla semisomma dei raggi delle circonferenze date. [273,18 cm] 22. La somma delle lunghezze di due circonferenze misura 329,7 cm e una è i 7/3 dell altra. alcola la lunghezza dei loro raggi. [36,75 cm; 15,75 cm] 23. La differenza delle lunghezze di due circonferenze misura 659,4 cm e una è gli 8/5 dell altra. alcola la misura dei raggi delle due circonferenze. [280 cm; 175 cm] 24. Un triangolo isoscele ha il perimetro di 582 cm e il lato lungo 226 cm. alcola la lunghezza di una circonferenza il cui raggio è congruente alla base del triangolo. [260π cm] 25. Una circonferenza ha il raggio uguale ai 3/4 del lato di un quadrato avente l area di 256 cm 2. alcola la lunghezza della circonferenza. [24π cm] 26. Un rettangolo, avente il perimetro di 112 cm, ha le dimensioni una i 4/3 dell altra. alcola la lunghezza di una circonferenza avente il raggio congruente alla metà della dimensione minore del rettangolo. [24π cm] 27. Il raggio di una circonferenza è congruente all ipotenusa di un triangolo rettangolo avente i due cateti lunghi 18 cm e 80 cm. alcola la lunghezza della circonferenza. [164π cm] 28. L area di un triangolo isoscele è 1 452 cm 2 e la base misura 66 cm. alcola la misura della circonferenza che ha il raggio congruente ai 3/11 del perimetro del triangolo. [96π cm] 29. La differenza delle lunghezze di due circonferenze misura 131,88 cm e una è gli 8/5 dell altra. alcola perimetro e area di un quadrato avente il lato congruente ai 5/13 della somma dei raggi delle due circonferenze. [140 cm; 1 225 cm 2 ] 30. La somma delle lunghezze di due circonferenze misura 439,6 cm e una è i 3/7 dell altra. alcola perimetro e area di un rettangolo le cui dimensioni sono congruenti agli 8/7 dei raggi delle due circonferenze. [160 cm; 1 344 cm 2 ] 1. Lunghezza della circonferenza e area del cerchio RS Libri S.p.. - Divisione Education, Milano

acciamo il punto 6 Geometria e misura 31. Una circonferenza è lunga 109,9 cm e una retta dista dal suo centro 19,5 cm. Qual è la posizione della retta rispetto alla circonferenza? [esterna] 32. Una circonferenza è lunga 204,1 m e una retta dista dal suo centro 25 m. Qual è la posizione della retta rispetto alla circonferenza? [secante] 33. Una circonferenza è lunga 28,26 m e una retta dista dal suo centro 45 dm. Qual è la posizione della retta rispetto alla circonferenza? [tangente] 34. Due circonferenze sono tangenti esternamente e misurano rispettivamente 329,7 cm e 408,2 cm. alcola la distanza tra i loro centri. [117,5 cm] 35. Due circonferenze sono tangenti internamente. Una misura 251,2 cm, l altra ha il raggio congruente ai 3/8 del raggio della prima. alcola la distanza tra i loro centri. [25 cm] 36. Due circonferenze sono tangenti internamente. Una misura 100,48 cm, l altra ha il raggio congruente ai 3/8 della prima. alcola la distanza tra i loro centri. [10 cm] Ricorda che: una retta è tangente a una circonferenza se la sua distanza dal centro è uguale al raggio; una retta è secante a una circonferenza se la sua distanza dal centro è minore del raggio; una retta è esterna a una circonferenza se la sua distanza dal centro è maggiore del raggio; due circonferenze sono tangenti esternamente se la distanza dei loro centri è congruente alla somma dei raggi; due circonferenze sono tangenti internamente se la distanza dei loro centri è congruente alla differenza fra i raggi; due circonferenze sono esterne se la distanza dei loro centri è maggiore della somma dei raggi. 37. Due circonferenze misurano rispettivamente 150,72 cm e 226,08 cm. Determina la loro posizione reciproca sapendo che la distanza tra i loro centri misura 6 dm. [tangenti esternamente] 38. Due circonferenze misurano rispettivamente 62,8 cm e 100,48 cm. Determina la loro posizione reciproca sapendo che la distanza tra i loro centri misura 27 cm. [esterne] 39. Due circonferenze misurano 455,3 cm e 266,9 cm. Determina la loro posizione reciproca sapendo che la distanza tra i loro centri misura 30 cm. [tangenti internamente] 40. alcola la misura del contorno della parte colorata della figura sapendo che l area del quadrato è 144 cm 2. [40,26 cm] 41. alcola la misura del contorno della parte colorata della figura sapendo che l area del rettangolo è 1 458 cm 2 e che le due dimensioni sono una la metà dell altra. [192,78 cm] 42. alcola la misura del contorno della parte colorata della figura sapendo che la base maggiore, l altezza e il lato obliquo del trapezio misurano rispettivamente 27 cm, 8 cm e 10 cm. [70,55 cm]

Lunghezza di un arco di circonferenza Osserva le circonferenze nelle quali sono evidenziati degli archi e i corrispondenti angoli al centro. raddoppia l angolo al centro dimezza l angolo al centro 90 180 O O O O raddoppia l arco dimezza l arco ome vedi, archi e angoli al centro corrispondenti sono grandezze direttamente proporzionali. Ricordando che all angolo al centro di ampiezza 360 corrisponde tutta la circonferenza, possiamo quindi scrivere: da cui: : l = 360 : α lunghezza arco ampiezza angolo al centro 360 l α La proporzione a cui siamo arrivati, nella quale = lunghezza della circonferenza, l = lunghezza arco e α = ampiezza dell angolo al centro corrispondente, ci permette di calcolare una qualsiasi di queste tre grandezze: l = α 360 l = 360 α α = l 360 1. Lunghezza della circonferenza e area del cerchio Esercizi pag. 20 7 esempi 1. alcolare la lunghezza di un arco corrispondente a un angolo di 60 appartenente a una circonferenza lunga 65,94 cm. Sostituiamo i valori conosciuti nella proporzione : l = 360 : α, avremo: 65,94 : l = 360 : 60, da cui: l = (65,94 60 ) : 360 cm = 3 956,4 : 360 cm = 10,99 cm 2. In una circonferenza lunga 36π cm, calcolare l ampiezza di un angolo al centro corrispondente di un arco lungo 8π cm. Sostituiamo i valori conosciuti nella proporzione: : l = 360 : α, avremo: 36π : 8π = 360 : α, da cui: α = (8π 360 ) : 36π = 2 880π : 36π = 80

8Geometria e misura acciamo il punto verifica le tue conoscenze. 1. Quale relazione esiste tra le ampiezze degli angoli al centro e le lunghezze dei corrispondenti archi di una circonferenza? 2. Scrivi la proporzione che esprime la relazione tra la lunghezza di una circonferenza, la lunghezza di un suo arco e l ampiezza dell angolo al centro corrispondente a tale arco. verifica le tue abilità. 3. ompleta le seguenti affermazioni. Un angolo al centro corrispondente a un arco lungo i 7/9 della circonferenza a cui appartiene è ampio.... Un angolo al centro corrispondente a un arco lungo i 3/5 della circonferenza a cui appartiene è ampio.... Un angolo al centro corrispondente a un arco lungo 1/6 della circonferenza a cui appartiene è ampio.... 4. Quanto è ampio un angolo alla circonferenza che insiste su un arco lungo 1/5 della circonferenza a cui appartiene? 5. Quanto è ampio un angolo alla circonferenza che insiste su un arco lungo i 5/12 della circonferenza a cui appartiene? 6. Quali delle seguenti formule dà la lunghezza l di un arco di circonferenza? Segnala. l = α 360 l = (α 360 ) : l = ( α ) : 360 7. Quali delle seguenti formule dà l ampiezza α di un angolo al centro? Segnala. α = l 360 α = (l 360 ) : α = ( l) : 360 8. ompleta la tabella dove l indica la lunghezza di un arco, α l angolo al centro corrispondente, r il raggio e la circonferenza. l α r 16π cm 64 cm 90 30 cm 10 144π cm 9. alcola la lunghezza di un arco appartenente a una circonferenza lunga 64π cm sapendo che l angolo al centro corrispondente è ampio 72. [12,8π cm] 10. alcola la lunghezza di una circonferenza nella quale a un angolo al centro ampio 27 corrisponde un arco lungo 135 cm. [1 800 cm] 11. Un arco di circonferenza, corrispondente a un angolo di 50, è lungo 141,3 cm. alcola la lunghezza del raggio della circonferenza a cui appartiene. [162 cm]

12. In una circonferenza di raggio lungo 36 cm, un arco misura 13π cm. alcola l ampiezza dell angolo al centro corrispondente. [65 ] 13. Un arco lungo 4π cm appartiene a una circonferenza lunga 188,4 cm. alcola l ampiezza dell angolo al centro corrispondente. [24 ] 14. alcola la lunghezza della circonferenza a cui appartiene un arco lungo 18,84 cm corrispondente a un angolo al centro ampio 12. [565,2 cm] 15. Un arco di circonferenza corrisponde a un angolo al centro ampio 60. alcola la sua lunghezza sapendo che la circonferenza a cui appartiene è lunga 90π cm. [47,1 cm] 16. alcola la lunghezza di un arco sapendo che il diametro della circonferenza a cui appartiene misura 10 cm e che l angolo al centro corrispondente misura 54. [4,71 cm] 17. alcola la lunghezza del diametro di una circonferenza sapendo che a un suo arco, lungo 125,6 cm, corrisponde un angolo al centro di 72. [200 cm] Esercizi pag. 20 18. Un arco, lungo 23,55 cm, appartiene a una circonferenza lunga 1 256 cm. Quanto è ampio l angolo al centro corrispondente? [6 45 ] 9 19. Un arco, corrispondente a un angolo al centro ampio 31 30, è lungo 21π cm. alcola la lunghezza della circonferenza a cui appartiene. [753,6 cm] 20. Un arco corrisponde a un angolo al centro ampio 47 24 e appartiene a una circonferenza avente il diametro di 12 cm. alcola la lunghezza dell arco. [ 4,96 cm] 21. Un arco lungo 37,68 cm corrisponde a un angolo al centro ampio 96. alcola la lunghezza dell arco, appartenente alla stessa circonferenza, che corrisponde a un angolo al centro ampio 80. [31,4 cm] 22. alcola la misura del contorno della figura data. [ 38 cm] O 60 12,5 cm 23. alcola la misura del contorno della parte colorata sapendo che il perimetro del rettangolo misura 32 cm e che la base è tripla dell altezza. [33,42 cm] 1. Lunghezza della circonferenza e area del cerchio 24. alcola la misura del contorno della parte colorata della figura sapendo che = 8 cm e F = 2 cm. [20,56 cm] D H G 25. Quanto misura la somma delle lunghezze dei tre archi disegnati nel triangolo se hanno tutti lo stesso raggio lungo 6 cm? [18,84 cm] 60 60 E F

ricorda 1 Il rapporto fra la lunghezza di una circonferenza qualsiasi e la lunghezza del suo diametro è costante. La lunghezza di una circonferenza si ottiene moltiplicando la lunghezza del suo diametro per π = 3,14: = πd (formula diretta) d = π (formula inversa) 2 l = α 360 o anche: = 2πr (formula diretta) r = 2π = l 360 α α = l 360 (formula inversa) Esercizi pag. 20 dove è la lunghezza della circonferenza, l è quella di un arco e α è l ampiezza dell angolo al centro corrispondente all arco. 19 4 L area di un cerchio si ottiene moltiplicando il quadrato della misura del raggio per π: = πr 2 (formula diretta) r = π (formula inversa) L area di una corona circolare è data dalla differenza fra l area del cerchio maggiore e l area del cerchio minore: = π(r 2 r 2 ) 3 1. Lunghezza della circonferenza e area del cerchio S = α 360 = S 360 α α = S 360 L area di un settore circolare si può calcolare moltiplicando la misura della lunghezza dell arco che lo limita per la misura della lunghezza del raggio della circonferenza e dividendo tale prodotto per 2. L area del segmento circolare che non contiene il centro del cerchio si ottiene sottraendo dall area del settore circolare che insiste sullo stesso arco di circonferenza l area del triangolo O: segmento circolare = settore circolare triangolo O L area del segmento circolare che contiene il centro del cerchio si ottiene sommando all area del settore circolare che insiste sullo stesso arco di circonferenza quella del triangolo O: segmento circolare = settore circolare + triangolo O

esercizi di riepilogo Risolvi i seguenti problemi riguardanti la lunghezza di una circonferenza. 1. alcola la misura del contorno della figura sapendo che il raggio della semicirconferenza di centro O misura 16 cm. [24π cm] 2. alcola la misura del contorno della figura sapendo che il segmento misura 18 cm e D = 1/2. [51,39 cm] D 20 O 1 O 2 O 3 O 4 Geometria e misura 3. alcola la misura del contorno della figura sapendo che il triangolo è equilatero e il suo perimetro misura 54 cm. [74,52 cm] 4. alcola la misura del contorno della parte colorata sapendo che il raggio della semicirconferenza di centro O 1 misura 12 cm e quello della semicirconferenza di centro O 2 misura 18 cm. [60π cm] O 1 O O 2 5. alcola la misura del contorno della figura sapendo che i raggi delle semicirconferenze di centro O 1 e O 2 sono congruenti e misurano 9 cm ciascuno e che il diametro misura 14 cm. [50π cm] 6. alcola la misura del contorno della parte colorata sapendo che l area del quadrato D è 900 cm 2. [171,3 cm] D O 1 O 2

7. alcola la lunghezza della circonferenza inscritta in un quadrato avente il perimetro di 60 cm. [15π cm] 8. alcola la lunghezza della circonferenza circoscritta e quella della circonferenza inscritta in un quadrato avente l area di 1 225 cm 2. [ 49,5π cm; 35π cm] 9. alcola la lunghezza della circonferenza circoscritta ad un rettangolo avente le dimensioni lunghe rispettivamente 25,8 cm e 34,4 cm. [43π cm] 10. alcola la lunghezza della circonferenza inscritta in un rombo avente le diagonali lunghe rispettivamente 30 cm e 40 cm. [24π cm] 11. alcola la misura della circonferenza inscritta in un rombo che ha il perimetro di 200 cm e una diagonale lunga 80 cm. [48π cm] 12. alcola la lunghezza della circonferenza circoscritta in un triangolo rettangolo avente l area di 1 470 cm 2 e un cateto lungo 84 cm. [91π cm] 13. alcola la lunghezza della circonferenza circoscritta e quella della circonferenza inscritta in un esagono regolare avente il perimetro di 54 cm. [18π cm; 15,588π cm] 14. alcola la lunghezza della circonferenza circoscritta e quella della circonferenza inscritta in un triangolo equilatero avente il perimetro di 90 cm. [20 3 π cm; 10 3 π cm] 15. Un triangolo rettangolo è inscritto in una circonferenza lunga 204π cm. alcola perimetro e area del triangolo sapendo che un cateto è lungo 180 cm. [480 cm; 8 640 cm 2 ] 16. alcola la misura della circonferenza inscritta in un trapezio isoscele avente le due basi lunghe rispettivamente 18 cm e 50 cm. [30π cm] 17. I due cateti di un triangolo rettangolo inscritto in una semicirconferenza sono uno i 3/4 dell altro e la loro somma misura 70 cm. alcola la lunghezza della circonferenza circoscritta al triangolo. [50π cm] 18. Quanti metri di strada percorre una ruota avente il raggio lungo 15 cm dopo aver compiuto 500 giri? [471 m] 19. Una ruota ha il raggio lungo 25 cm. Quanti giri deve fare per percorrere 102,05 m? [65] 20. Una ruota ha il raggio lungo 30 cm. Quanti giri fa una ruota con il raggio lungo 21 cm per percorrere lo stesso tratto che la prima ruota percorre facendo 350 giri? [500] 21. Una ruota in 400 giri percorre 678,24 m. Quanto misura il raggio? [27 cm] 22. Un orto circolare avente il raggio lungo 15 m viene recintato con 120 paletti tra loro equidistanti. quale distanza si trovano i paletti l uno dall altro? [78,5 cm] Risolvi i seguenti problemi riguardanti archi di circonferenza. 23. Disegna una circonferenza di diametro e traccia da una secante che incontri la circonferenza in e formi con la tangente in un angolo D ampio 30. Sapendo che il segmento di secante D misura 18 cm, calcola la misura dell arco. [3π cm] Teoria da pag. 2 a pag. 19 21 1. Lunghezza della circonferenza e area del cerchio RS Libri S.p.. - Divisione Education, Milano

esercizi di riepilogo 24. Disegna una circonferenza di diametro e due corde e D uscenti dal punto, da parti opposte rispetto al diametro e che formino con esso angoli ampi rispettivamente 30 e 45. Sapendo che il raggio misura 60 cm, calcola l area e il perimetro del quadrilatero D e la misura dell arco D. [1 344 cm 2 ; 333,5 cm; 50π cm] 25. Il triangolo isoscele ha il lato obliquo e la base rispettivamente lunghi 36 cm e 28 cm e l angolo al vertice ampio 30. alcola la misura del contorno della parte colorata sapendo che D ed E sono i punti medi dei lati obliqui. [73,42 cm] D 30 E 22 26. L area del trapezio D è 2 304 cm 2, la base maggiore misura 84 cm e l altezza è gli 8/21 della base maggiore. Sapendo che E e H sono i punti medi dei lati e D, calcola la misura del contorno della parte colorata. [185,04 cm] E D H Geometria e misura 27. Il perimetro del triangolo equilatero è 480 cm. alcola la misura del contorno della parte colorata sapendo che i punti D, E ed F sono i punti medi dei lati del triangolo. [251,2 cm] F D E 28. alcola la misura del contorno della parte colorata sapendo che le due circonferenze concentriche hanno i raggi rispettivamente lunghi 54 cm e 81 cm. [242,4 cm] 80 29. La somma di un angolo alla circonferenza e del corrispondente angolo al centro misura 108. alcola la lunghezza dell arco su cui insistono sapendo che appartiene a una circonferenza di raggio 35 cm. [43,96 cm] 30. Un arco ampio 84 misura 109,9 cm. alcola la lunghezza della circonferenza il cui raggio è i 3/5 del raggio della circonferenza a cui appartiene l arco dato. [282,6 cm] 31. Un arco, lungo 376,8 cm, corrisponde a un angolo al centro ampio 96. alcola la lunghezza dell arco, appartenente alla stessa circonferenza, che corrisponde ad un angolo al centro ampio 80. [314 cm] 32. Tre circonferenze concentriche hanno i raggi lunghi rispettivamente 20 cm, 30 cm e 40 cm. alcola la lunghezza degli archi corrispondenti, nelle tre circonferenze, all angolo al centro ampio 45. [15,7 cm; 23,55 cm; 31,4 cm] 33. Due archi, lunghi rispettivamente 40π cm e 50π cm, appartengono a due circonferenze diverse. Sapendo che gli angoli al centro corrispondenti hanno la stessa ampiezza e che il raggio della circonferenza a cui appartiene l arco minore misura 160 cm, calcola il raggio della circonferenza a cui appartiene l arco maggiore. [200 cm]

34. Un arco di circonferenza, lungo 130π cm, è i 5/9 dell intera circonferenza. alcola la lunghezza di una circonferenza avente il raggio congruente ai 4/3 di quello della prima circonferenza e l ampiezza dell angolo che corrisponde, nella seconda circonferenza, a un arco uguale a quello dato. [312π cm; 150 ] Risolvi i seguenti problemi riguardanti l area del cerchio e delle sue parti. 35. alcola l area del cerchio inscritto e quella del cerchio circoscritto a un quadrato avente il perimetro di 208 cm. [676π cm 2 ; 1 352π cm 2 ] 36. Un quadrato ha l area di 11 025 cm 2. alcola l area del cerchio il cui raggio è i 3/7 del lato del quadrato. [2 025π cm 2 ] 37. Un rettangolo ha le dimensioni lunghe 39 cm e 52 cm. alcola l area del cerchio circoscritto al rettangolo. [1 056,25π cm 2 ] 38. Un quadrato è circoscritto a un cerchio avente l area di 53 066 cm 2. alcola l area del quadrato. [67 600 cm 2 ] Teoria da pag. 2 a pag. 19 39. alcola la misura del contorno e l area della parte colorata sapendo che il diametro misura 24 cm. [75,36 cm; 150,72 cm 2 ] 23 40. Il diametro di ciascun cerchio della figura misura 12 cm. alcola l area della parte colorata. [30,96 cm 2 ] 41. alcola la misura del contorno e l area della figura sapendo che il diametro della semicirconferenza di centro O misura 20 cm. [20π cm; 75π cm 2 ] O 1. Lunghezza della circonferenza e area del cerchio 42. alcola la misura del contorno e l area della parte colorata sapendo che il quadrato ha il perimetro di 160 cm. [ 202 cm; 1 256 cm 2 ] 43. alcola la misura del contorno e l area della figura sapendo che il rettangolo D ha il perimetro di 80 cm e la base i 2/3 dell altezza. [125,6 cm; 1 037,12 cm 2 ] D

esercizi di riepilogo 44. alcola l area e la misura del contorno della parte colorata sapendo che le dimensioni del rettangolo D misurano rispettivamente 24 cm e 12 cm. [288 cm 2 ; 85,68 cm] D 45. alcola l area della parte colorata sapendo che il raggio della circonferenza in cui è inscritto il quadrato misura 20 cm. [456 cm 2 ] 46. alcola l area e la misura del contorno della parte colorata sapendo che il diametro della circonferenza misura 18 cm. [127,17 cm 2 ; 149,04 cm] 24 Geometria e misura 47. Nel triangolo rettangolo, retto in, il cateto minore misura 30 cm e l altezza relativa all ipotenusa misura 24 cm. alcola l area e la misura del contorno della parte colorata. [144π cm 2 ; 50π cm] H 48. alcola l area e la misura del contorno della parte colorata sapendo che il segmento misura 102 cm e che = D = D. [867π cm 2 ; 102π cm] D 49. alcola l area e la misura del contorno della parte colorata sapendo che la dimensione maggiore del rettangolo D misura 36 cm. [139,32 cm 2 ; 185,04 cm] D 50. alcola l area e la misura del contorno della figura sapendo che il trapezio ha l area di 900 cm 2 e le due basi lunghe rispettivamente 30 cm e 60 cm. [1 253,25 cm 2 ; 157,1 cm]

Esercizi di recupero Una consistente serie di esercizi, unità per unità, fi nalizzati al recupero delle nozioni matematiche acquisite. La gradualità delle diffi coltà e i numerosi esercizi guidati consentono un agevole percorso di apprendimento. Esercizi di potenziamento Una consistente serie di esercizi, unità per unità, fi nalizzati al potenziamento delle nozioni matematiche acquisite e completati da esercizi tratti, in gran parte, dalle Olimpiadi della Matematica.

esercizi di recupero 1 unità Lunghezza della circonferenza e area del cerchio Risolvi i seguenti problemi riguardanti la lunghezza della circonferenza e l area del cerchio (osserva gli esempi). 1. Il raggio di una circonferenza misura 8 cm. alcola la lunghezza della circonferenza e l area del cerchio da essa delimitata. = 2πr = 2π 8 cm = 16π cm = 50,24 cm = πr 2 = π 82 cm 2 = 64π cm 2 = 200,96 cm Ricorda che: = πd d = π = 2πr r = 2π 2 = πr r = π o e 2. Il diametro di una circonferenza misura 24 cm. alcola la lunghezza della circonferenza e l area del cerchio che essa delimita. [24π cm; 144π cm 2 ] 186 3. Il raggio di una circonferenza misura 31 cm. alcola la lunghezza della circonferenza e l area del cerchio che essa delimita. [62π cm; 961π cm 2 ] 4. Il diametro di una circonferenza misura 18 cm. alcola la lunghezza della circonferenza e l area del cerchio che essa delimita. [18π cm; 81π cm 2 ] 5. Una circonferenza è lunga 94,2 cm. alcola la misura del raggio della circonferenza e l area del cerchio da essa delimitata. 94, 2 r = = cm = 94, 2 : 6, 28 cm = 15 cm 2π 2π 2 2 = r = cm 2 = 225π cm 2 Geometria e misura 6. Una circonferenza è lunga 43,96 cm. alcola la misura del raggio della circonferenza e l area del cerchio da essa delimitata. [7 cm; 49π cm 2 ] 7. Una circonferenza è lunga 40π cm. alcola la misura del diametro della circonferenza e l area del cerchio da essa delimitata. [40 cm; 400π cm 2 ] 8. Una circonferenza è lunga 100,48 cm. alcola la misura del raggio della circonferenza e l area del cerchio da essa delimitata. [16 cm; 256π cm 2 ] 9. Una circonferenza è lunga 408,2 m. alcola la misura del diametro della circonferenza e l area del cerchio da essa delimitata. [130 m; 4 225π cm 2 ] 10. Un cerchio ha l area di 38,44π cm 2. alcola la misura del raggio e la lunghezza della circonferenza che lo delimita. 38, 44π r = cm = 6,2cm π = 2π r = 2π 62, cm = 12,4π cm 11. Un cerchio ha l area di 151,29π cm 2. alcola la misura del raggio del cerchio e la lunghezza della circonferenza che lo delimita. [12,3 cm; 24,6π cm]

12. Un cerchio ha l area di 2826 cm 2. alcola la misura del diametro del cerchio e la lunghezza della circonferenza che lo delimita. [60 cm; 60π cm] 13. Un cerchio ha l area di 38,465 cm 2. alcola la misura del raggio del cerchio e la lunghezza della circonferenza che lo delimita. [3,5 cm; 7π cm] 14. Un cerchio ha l area di 1764π cm 2. alcola la misura del raggio e la lunghezza della circonferenza che lo delimita. [42 cm; 84π cm] Risolvi i seguenti problemi riguardanti la lunghezza di un arco di circonferenza (osserva gli esempi). 15. In una circonferenza di raggio lungo 60 cm un arco corrisponde a un angolo al centro ampio 30. alcola la lunghezza dell arco. 120π 30 cm 120 cm l cm = 10π cm 360 Ricorda che: α l = 360 l = 360 α l = 360 α 16. In una circonferenza di raggio lungo 90 cm un arco corrisponde a un angolo al centro ampio 20. alcola la lunghezza dell arco. [10π cm] Teoria da pag. 2 a pag. 19 187 17. In una circonferenza di raggio lungo 18 cm un arco corrisponde a un angolo al centro ampio 27. alcola la lunghezza dell arco. [2,7π cm] 18. In una circonferenza lunga 56,52π cm un arco corrisponde a un angolo al centro ampio 100. alcola la lunghezza dell arco. [15,7π cm] 19. Un arco di circonferenza è lungo 48π cm e appartiene a una circonferenza lunga 240π cm. alcola l ampiezza dell angolo al centro corrispondente. 20. Un arco di circonferenza è lungo 36π cm e appartiene a una circonferenza lunga 60π cm. alcola l ampiezza dell angolo al centro corrispondente. [216 ] 21. Un arco di circonferenza è lungo 20π cm e appartiene a una circonferenza lunga 100π cm. alcola l ampiezza dell angolo al centro corrispondente. [72 ] 22. Un arco di circonferenza è lungo 34,54 cm e appartiene a una circonferenza lunga 56,52 cm. alcola l ampiezza dell angolo al centro corrispondente. [220 ] 23. Un arco di circonferenza lungo 9,42 cm è il corrispondente di un angolo al centro ampio 72. alcola la misura del raggio della circonferenza a cui appartiene. l α = 360 48π 360 = = 72 240π l 360 942 360 cm = 47,1cm α 72 r = 47, 1 : 2π cm = 47, 1 : 6, 28 cm = 7,5 cm 24. Un arco di circonferenza lungo 28,26 cm è il corrispondente di un angolo al centro ampio 54. alcola la misura del raggio della circonferenza a cui appartiene. [30 cm] 1. Lunghezza della circonferenza e area del cerchio RS Libri S.p.. - Divisione Education, Milano

Esercizi di recupero 25. Un arco di circonferenza lungo 60π cm è il corrispondente di un angolo al centro ampio 240. alcola la misura del raggio della circonferenza a cui appartiene. [45 cm] 26. Un arco di circonferenza lungo 40π cm è il corrispondente di un angolo al centro ampio 36. alcola la misura del raggio della circonferenza a cui appartiene. [200 cm] Risolvi i seguenti problemi riguardanti l area del settore circolare (osserva gli esempi). 27. L area di un cerchio è 1 296π cm 2. alcola l area del settore circolare che corrisponde a un angolo al centro di 48. S α 1296π 48 = = 360 360 cm 2 = 172,8π cm 2 Ricorda che: α = S 360 360 S = α 360 S α = 188 28. L area di un cerchio è 204,12π cm 2. alcola l area del settore circolare che corrisponde a un angolo al centro di 60. [34,02π cm 2 ] 29. L area di un cerchio è 254,34 cm 2. alcola l area del settore circolare che corrisponde a un angolo al centro di 48. [10,8π cm 2 ] 30. Un cerchio ha il raggio lungo 42 cm. alcola l area del settore circolare che corrisponde a un angolo al centro di 110. [539π cm 2 ] Geometria e misura 31. un settore circolare avente l area di 10,99 cm 2 corrisponde un angolo al centro ampio 35. alcola l area del cerchio a cui appartiene. 32. un settore circolare avente l area di 45π cm 2 corrisponde un angolo al centro ampio 8. alcola l area del cerchio a cui appartiene. [2 025π cm 2 ] 33. d un settore circolare avente l area di 50,24 cm 2 corrisponde un angolo al centro ampio 160. alcola la misura del raggio del cerchio a cui appartiene. [6 cm] 34. Un settore circolare ha l area di 211,95 cm 2 e l angolo al centro a esso corrispondente è ampio 12. alcola l area e la misura del raggio del cerchio a cui appartiene. [ ; 45 cm] 35. L area di un cerchio è 108π cm 2. alcola l ampiezza dell angolo corrispondente a un suo settore circolare di area 36π cm 2. = S 360 10, 99 360 = α 35 α = S 360 36π 360 = cm 108π cm 2 = 113,04 cm 2 2 = 120 36. L area di un cerchio è 50π cm 2. alcola l ampiezza dell angolo corrispondente a un suo settore circolare di area 20π cm 2. [144 ] 37. L area di un cerchio è 37,68 cm 2. alcola l ampiezza dell angolo corrispondente a un suo settore circolare di area 8π cm 2. [240 ] 38. Un cerchio ha il raggio lungo 8 cm e un settore circolare di area 25,12 cm 2. alcola l ampiezza dell angolo corrispondente. [45 ]

esercizi di potenziamento 1 unità Lunghezza della circonferenza e area del cerchio Risolvi i seguenti problemi riguardanti il cerchio, la circonferenza e le loro parti. 1. alcola l area di un cerchio il cui raggio è congruente alla metà della diagonale di un rettangolo avente l area di 192 cm 2 e la base lunga 16 cm. [100π cm 2 ] 2. La lunghezza di una circonferenza misura 80π cm. alcola il perimetro di un rettangolo equivalente al cerchio delimitato dalla circonferenza data sapendo che la sua base misura 157 cm. [378 cm] 3. Un cerchio è equivalente ai 4/3 di un trapezio isoscele avente la base maggiore, l altezza e il lato obliquo lunghi rispettivamente 21 cm, 24 cm e 25 cm. alcola la lunghezza della circonferenza che lo delimita (approssima ai centesimi). [23,88π cm] 4. Un esagono regolare ha l area di 6 495 cm 2. alcola la lunghezza della circonferenza e l area del cerchio da essa delimitata sapendo che il raggio è congruente ai 6/5 del lato dell esagono. [120π cm; 3 600π cm 2 ] 5. alcola la lunghezza della circonferenza e l area del cerchio da essa delimitata sapendo che la circonferenza è inscritta in un rombo avente le due diagonali lunghe rispettivamente 40 cm e 30 cm. [24π cm; 144π cm 2 ] 6. La somma delle aree di due cerchi è 4 896π cm 2 e l area di uno è i 9/25 dell area dell altro. alcola la lunghezza di una circonferenza avente il raggio congruente alla semisomma dei diametri dei due cerchi dati. [192π cm] 7. Un quadrato è equivalente ai 4/9 di un altro quadrato il cui lato misura 48 cm. alcola la lunghezza della circonferenza e l area del cerchio da essa delimitata sapendo che il raggio è congruente alla semidifferenza dei perimetri dei due quadrati. [64π cm; 1 024π cm 2 ] 8. La differenza delle aree di due cerchi è 1 570 cm 2 e uno è equivalente ai 9/4 dell altro. alcola l area di un cerchio avente il diametro congruente ai 3/10 della somma dei diametri dei due cerchi dati. [225π cm 2 ] 9. Due cerchi hanno l area rispettivamente di 729π cm 2 e 21 609π cm 2. alcola la lunghezza della circonferenza e l area del cerchio da essa delimitato sapendo che il raggio di questa circonferenza è medio proporzionale tra i raggi dei due cerchi dati. [126π cm; 3 969π cm 2 ] 10. La misura di un arco di circonferenza è 22,75π cm e l angolo al centro corrispondente è ampio 45 30. alcola l area del cerchio delimitato da una circonferenza avente il raggio congruente ai 2/3 del raggio della circonferenza a cui appartiene l arco dato. [3 600π cm 2 ] 11. La somma delle ampiezze di un angolo alla circonferenza e del corrispondente angolo al centro misura 121 30. Sapendo che l arco su cui insistano i due angoli appartiene a una circonferenza avente il diametro lungo 60 cm, calcola la lunghezza dell arco su cui insistono i due angoli. [42,39 cm] 12. alcola la lunghezza di un arco sapendo che l angolo al centro corrispondente misura 96 e che la circonferenza a cui appartiene ha il diametro congruente al lato di un quadrato di area 1089 cm 2. [27,632 cm] 13. Sapendo che l area di un settore circolare è 241,74π cm 2 e che il raggio del cerchio a cui appartiene misura 36 cm, calcola l ampiezza dell angolo al centro corrispondente. [67 9 ] 14. Un settore circolare avente l area di 127,17 cm 2 appartiene a un cerchio il cui raggio è congruente al lato di un triangolo equilatero avente il perimetro di 81 cm. alcola la lunghezza dell arco che limita il settore. [9,42 cm] Teoria da pag. 2 a pag. 19 189 1. Lunghezza della circonferenza e area del cerchio

Esercizi di potenziamento 15. Un settore circolare appartiene a un cerchio il cui diametro è congruente alla base di un rettangolo di area 1 800 cm 2 e avente l altezza lunga 25 cm. Sapendo che il settore è limitato da un arco lungo 50,868 cm, calcolane l area. [291,6π cm 2 ] 16. L area di un settore circolare, appartenente a un cerchio di raggio lungo 72 cm, è i 5/7 di quella di una corona circolare avente la circonferenza maggiore lunga 136π cm e il raggio della minore i 10/17 di quello della maggiore. alcola l area del settore circolare e l ampiezza dell angolo al centro corrispondente. [2 160π cm 2 ; 150 ] 17. Nel rettangolo D, avente l area di 648 cm 2 e la base lunga 36 cm, gli archi disegnati hanno tutti il raggio congruente all altezza del rettangolo. alcola l area e la misura del contorno della parte colorata. [369,36 cm 2 ; 113,04 cm] D 190 18. Sapendo che l area del quadrato D è 7 744 cm 2, calcola l area della parte colorata. [5 662,8 cm 2 ] D 19. Le diagonali del rombo D misurano rispettivamente 24 cm e 32 cm. Sapendo che H è il punto medio del lato D, calcola l area della parte colorata. [70 cm 2 ] H D Geometria e misura In gara 20. 12 ragazzi e 8 ragazze sono membri del lub Kangourou della loro città. Ogni settimana 2 nuove ragazze e un nuovo ragazzo vengono accettati nel club. Quanti sono i membri del club il giorno in cui il numero dei ragazzi eguaglia quello delle ragazze? (Kangourou della Matematica, 2003) 21. L area della regione rettangolare in figura è 2 010 m 2. La regione è suddivisa in sette quadrati e due rettangoli. Le dimensioni di tutti i quadrati e i rettangoli sono espresse, in metri, da numeri interi. I due rettangoli, in figura colorati, hanno le stesse dimensioni e i quadrati hanno la dimensione massima possibile compatibilmente con i vincoli del problema. Qual è, in metri, il perimetro di ciascuno dei due rettangoli? (Kangourou della Matematica, 2010)

Verifichiamo... le competenze 1. Utilizzare linguaggio e simboli matematici 2. Eseguire calcoli algebrici 3. Risolvere problemi algebricamente 4. Organizzare e rappresentare dati 5. Risolvere problemi di geometria solida

1. Utilizzare linguaggio e simboli matematici 1. ompleta le seguenti frasi. L insieme Z è l insieme dei.... L insieme Q è l insieme dei.... L insieme I è l insieme dei.... L insieme R è l insieme dei.... 2. Scrivi l operazione rappresentata in ciascuna delle seguenti figure. 2 1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6... 224 4 3 2 1 0 + 1 + 2 + 3 + 4... 6 5 4 3 2 1 0 + 1 + 2... Verifichiamo... le competenze 3. ompleta quanto richiesto. a alla terza più b tutto fratto due a più b in linguaggio matematico si scrive... e prende il nome di....... Se ad a e b sostituiamo dei numeri ed eseguiamo le operazioni indicate otteniamo il....... 4. Riscrivi ciascuna frase sostituendo alla parte in corsivo la terminologia matematica opportuna. 6ab 2 c è un espressione letterale che non contiene affatto addizioni algebriche.... 2ab 2 e + 7ab 2 hanno la stessa parte letterale.... 3abc 3 e + 3abc 3 sono simili e hanno come coefficienti due numeri opposti.... 7ab 2 + 9a 2 5ab è la somma algebrica di due o più monomi non simili tra loro....

5. ome sono tra loro le coppie di rette a e b? Scrivilo al posto dei puntini. b a a b a b......... 6. ompleta le seguenti frasi. iascuna delle quattro parti di spazio delimitate da due semipiani incidenti si chiama....... 225 La parte di spazio limitata da tre o più angoli aventi il vertice in comune, tutti a due a due consecutivi e che non giacciono su uno stesso piano si chiama.... 7. I seguenti diedri sono concavi o convessi? Scrivilo al posto dei puntini............. 1. Utilizzare linguaggio e simboli matematici RS Libri S.p.. - Divisione Education, Milano

8. ompleta le seguenti frasi. Un solido limitato da più poligoni posti in piani diversi e tali che ogni lato è comune a due soli di essi si chiama.... I solidi ottenuti dalla rotazione di una figura piana attorno a una retta si chiamano....... 9. I seguenti solidi sono poliedri, solidi rotondi o solidi di rotazione? Scrivilo al posto dei puntini. 226......... Verifichiamo... le competenze......... 10. Riscrivi ogni frase sostituendo alla parte in corsivo la terminologia matematica opportuna. Il poliedro è un poliedro che ha tutte le facce poligoni regolari tra loro congruenti e tutti i diedri e gli angoloidi tra loro congruenti.... Il poliedro è un poliedro limitato da due poligoni congruenti e paralleli e da tanti parallelogrammi quanti sono i lati di questi poligoni.... Il poliedro è un poliedro avente per basi dei rettangoli e per facce dei rettangoli perpendicolari alle basi e paralleli e congruenti a due a due.... Il poliedro D è un poliedro limitato da un poligono qualsiasi e da tanti triangoli quanti sono i lati di questo poligono aventi tutti un vertice in comune....

11. quale solido appartengono i seguenti sviluppi? Scrivilo al posto dei puntini....... 227...... 12. Scrivi al posto dei puntini il nome dell elemento indicato............................ 1. Utilizzare linguaggio e simboli matematici............ r.........

Scrivi le formule dirette e inverse relative al calcolo della superficie laterale e del volume di ciascun solido assegnato nei seguenti esercizi. 13. c l b a h a 228 Verifichiamo... le competenze 14. h r a r h r

In preparazione alle prove INVLSI L INVLSI (Istituto Nazionale di Valutazione del Sistema di Istruzione) è un ente che si occupa, tra le altre cose, di effettuare verifiche periodiche su tutte le scuole di ogni ordine e grado per avere un quadro complessivo delle conoscenze e delle abilità che gli studenti raggiungono alla fine di un ciclo scolastico. Nell anno scolastico 2007-2008, l Istituto ha predisposto anche la Prova Nazionale dell Esame di Stato alla fine della scuola secondaria di primo grado che, secondo le indicazioni ministeriali dalla legge n. 176/2007, affianca la Prova scritta di matematica. Secondo le indicazioni ministeriali dalla legge n. 176/2007, la Prova scritta di matematica agli esami di licenza consta infatti di due distinte prove. Una prova scritta redatta dall insegnante della disciplina secondo il curricolo di studi e articolata su più quesiti che non comportino soluzioni dipendenti l una dall altra e che tocchino aspetti numerici, geometrici e tecnologici, nozioni elementari nel campo della statistica e della probabilità e anche aspetti matematici aventi attinenza con attività svolte nel corso del triennio nel campo delle scienze sperimentali. Una prova scritta a carattere nazionale volta a verificare i livelli generali e specifici di apprendimento conseguiti dagli alunni e i cui quesiti sono scelti dal Ministro tra quelli definiti annualmente dall INVLSI. Nella suddetta prova verranno proposti quesiti a scelta multipla e a risposta aperta sulle seguenti aree: numeri, geometria, relazioni e funzioni, misure, dati e previsioni. Nelle pagine seguenti vengono proposti: esercizi adatti a prepararsi alle prove INVLSI sui principali argomenti affrontati nel 3 o anno; la Prova Nazionale INVLSI dell anno 2009-2010; due prove simili a quelle proposte, attraverso le quali è possibile verificare ulteriormente la preparazione.

ttività di preparazione alle Prove Invalsi sul programma complessivo dei tre anni della Scuola Secondaria di primo grado 1. Il numero a è tale che, moltiplicato per 7 e diminuito del suo triplo, dà 20. Qual è l equazione che traduce in termini matematici questa relazione? Segna la risposta esatta. a. 7a + 3 = 20 c. 7(a 3) = 20 b. 7a 3a = 20 d. 7a + 3a = 20 2. Le tre figure seguenti sono formate da rombi congruenti. 248 Se prolunghi la successione, quanti rombi conterrà la sesta figura? Segna la risposta esatta. a. 12 b. 18 c. 72 d. 36 In preparazione alle prove INVLSI 3. Il trapezio D è isoscele. Segna la relazione esatta. a. D = 2(K + H) b. D = 1 2 K c. D = 2K d. D = ( K) 2 4. Quale unità frazionaria rappresenta la parte colorata del seguente rettangolo? Segna la risposta esatta. a. 1 4 c. 1 3 D K H b. 1 6 d. 1 8

5. Un recipiente è pieno di acqua per i 4/9 della sua capacità. Se si aggiungono 6 litri di acqua, il recipiente risulta pieno per i 7/9 della sua capacità. Qual è la capacità del recipiente? Risposta... Spiega il perché della tua risposta. 6. Quale, tra le equazioni assegnate, è quella equivalente a 1 x = 12? Segnala. 5 a. 1 5 = 12x b. x = 60 c. x = 12 5 d. x = 12 5 249 7. Il rapporto tra due grandezze, date in un preciso ordine, è uguale a 18. Quale può essere il valore delle due grandezze? Segna la risposta esatta. a. 3 e 6. c. 36 e 2. b. 2 e 36. d. 18 e 2. 8. Nella figura a fianco, la retta s è parallela al lato del triangolo. Se = 49 e = 68, quanto misura l angolo α? Risposta... s Descrivi il procedimento che hai seguito. 9. In un cono il diametro di base misura 24 cm e l altezza è 1/2 del raggio. Qual è il volume del cono? Segna la risposta esatta. a. 864π cm b. 288π cm 3 c. 192π cm 3 d. 576π cm 3 α RS Libri S.p.. - Divisione Education, Milano

10. Il quadrilatero D è simmetrico rispetto alla retta r. Sapendo che D = 25 e = 80, quanto misura D? Risposta... D r Descrivi il procedimento che hai seguito. 250 11. Osserva la figura. Le due rette a e b sono parallele e vengono tagliate da una trasversale formando otto angoli particolari. Quali degli angoli sotto elencati sono congruenti e quali supplementari? Segna le risposte esatte. Sono congruenti: Sono supplementari: a. 3 e 8; a. 2 e 7; b. 1 e 6; b. 4 e 7; a 1 2 3 4 b 5 6 7 8 c. 7 e 1; c. 1 e 7; d. 3 e 6. d. 5 e 8. In preparazione alle prove INVLSI 12. Il grafico a fianco rappresenta il numero di biglie di diverso colore contenute in un sacchetto. Prendendone una a caso, qual è la probabilità di prendere una biglia blu? Segna la risposta esatta. a. 4 5 b. 5 6 c. 1 4 d. 5 4 13. Tra le seguenti frazioni, 6 5,, 13 13 7 13 6 5 4 3 2 3 e, qual è la frazione più piccola? 13 0 Risposta... Spiega il perché della tua risposta.

14. Osserva la figura. I triangoli e DEF sono congruenti. Se l angolo DF E misura 62, quanto misura l angolo DH? Risposta... G F D H E Descrivi il procedimento che hai seguito. 15. Quale delle seguenti proporzioni traduce esattamente la frase otto sta a due come venti sta a x? Segnala. a. 2 : 20 = 8 : x b. 8 : 20 = 2 : x c. 20 : 2 = 8 : x d. 8 : 2 = 20 : x Qual è il valore esatto di x? 251 Risposta... 16. Due grandezze x e y sono legate dalla relazione data nella tabella a fianco. Quale delle seguenti equazioni rappresenta esattamente tale relazione? Segna la risposta esatta. a. y = x 2 b. y = x 4 c. y = x + 2 d. y = x 1 x y 2 4 3 5 4 6 5 7 17. Osserva la figura. Se l area del rombo esterno è 400 cm 2, qual è l area del rombo interno? Risposta... Spiega il perché della tua risposta.

18. Osserva i due sacchetti: il primo,, contiene 20 biglie numerate da 1 a 20, il secondo,, 50 biglie numerate da 1 a 50. Pescando a caso, da quale sacchetto hai più probabilità di estrarre la biglia con il numero 20? Risposta... Spiega il perché della tua risposta. 20 biglie 50 biglie 252 19. Le due rette m ed n della figura sono parallele. Se l angolo D misura 64, quanto misura l angolo del triangolo isoscele? Segna la risposta esatta. a. 58 b. 116 m c. 64 d. È impossibile stabilirlo. n D In preparazione alle prove INVLSI 20. Tra le seguenti frazioni, 7 7,, 19 15 Risposta... Spiega il perché della tua risposta. 7 12 7 e, qual è la frazione più grande? 13 21. Il grafico a fianco rappresenta il numero di fiori di diverso tipo esposti nella vetrina di un fiorista. Prendendone uno a caso, qual è la probabilità di prendere un fiore che non è un giglio né una rosa? Segna la risposta esatta. a. 7 10 b. 13 20 c. 2 5 d. 3 20 14 12 10 8 6 4 2 0 Gladiolo iclamino Rosa Giglio

22. In quale delle seguenti figure sono stati colorati i 4/5? Segnala. a. c. b. d. 23. Il trapezio D è isoscele e in esso la base maggiore misura 90 cm e l altezza 20 cm. Qual è l area del trapezio? Segna la risposta esatta. 45 D 45 253 a. 700 cm 2 c. 1400 cm 2 b. 1100 cm 2 d. È impossibile calcolarla. 24. Nel triangolo il lato misura 36 cm. Se l area del triangolo è 864 cm 2, quanto misura il lato? Risposta... Descrivi il procedimento che hai seguito....... 25. Nel poligono DE la retta a è l asse di simmetria. Quanto misura l angolo D E? Segna la risposta esatta. a. 80 c. 120 a E 40 D b. 100 d. 90 26. una conferenza sono intervenuti il 60% dei giornalisti invitati. Quale frazione rappresenta i giornalisti non intervenuti alla conferenza? Segna la risposta esatta. a. 5 2 b. 1 5 c. 2 5 d. 3 5

27. Se a (un numero naturale) è tale che moltiplicato per 5 fa 60, quanto vale 1 6 a? Segna la risposta esatta. a. 12 c. 2 b. 4 d. 20 28. Da ciascun sacchetto a fianco si estrae un gettone. Qual è la probabilità dell evento E: Escono nell ordine un gettone verde e un gettone rosso? Segna la risposta esatta. a. 5 6 b. 1 3 c. 1 6 d. 3 4 254 29. Tre fratelli dividono i loro risparmi in modo tale che il primo prende i 2/3 dell intera somma e gli altri due la somma rimanente divisa in parti uguali. Quale frazione dell intera vincita spetta a ciascuno di questi? Risposta... Spiega il perché della tua risposta. In preparazione alle prove INVLSI 30. Osserva i due solidi a fianco. Quali delle seguenti affermazioni è quella vera? Segna la risposta esatta. a. I due solidi sono equivalenti. b. La sfera è equivalente a un terzo del cono. c. Il cono è equivalente al doppio della sfera. d. Il cono è equivalente al triplo della sfera. r r 2r 31. una mostra fotografica sono esposte 140 foto. Nel 10% di queste foto sono state ritratte due persone, nella metà delle rimanenti foto è stata ritratta una persona e nel resto non è stata ritratta alcuna persona. Quante persone si possono contare in tutto nelle foto esposte? Segna la risposta esatta. a. 126 b. 91 c. 77 d. 63

PROVE INVLSI Prova Nazionale INVLSI anno scolastico 2009-2010 Simulazioni Prove INVLSI

PROV NZIONLE INVLSI NNO SOLSTIO 2009-2010 280 Prova Nazionale INVLSI

281 0160.invalsi.indd 281 15/03/11 11:52

D1. Su una confezione di succo di frutta da 250 ml trovi le seguenti informazioni nutrizionali: Informazioni nutrizionali Valore energetico Proteine arboidrati Grassi Valori medi per 100 ml 54 kcal 228 kj 0,3 g 13,1 g 0,0 g 282 Quante kcal assumi se bevi tutto il succo di frutta della confezione?. 54. 135. 228 D. 570 D2. In quale di queste sequenze i numeri sono ordinati dal più piccolo al più grande?. 3 100 0,125 1 3 0,65. 0,125 3 100 0,65 1 3. 0,65 0,125 1 3 3 100 D. 1 3 3 100 0,65 0,125 D3. Su una carta stradale due località sono distanti 3 cm. Sapendo che la scala della carta è di 1 : 1 500 000, a quale distanza si trovano le due località?. 4,5 km. 15 km. 45 km D. 450 km

D4. Il direttore di un negozio vuole sapere quanti computer con hard disk da 250 G (gigabyte) sono stati venduti nell ultimo trimestre. In riferimento a tale periodo, l addetto commerciale fornisce i dati rappresentati nel grafico e nella tabella seguenti. 400 Vendite 350 N di articoli venduti 300 250 200 150 100 50 Tipologia di computer 0 Televisori omputer Lavatrici Frigoriferi Ferri da stiro limatizzatori omputer venduti in percentuale on hard disk da 60 G 14% on hard disk da 80 G 20% on hard disk da 120 G 6% on hard disk da 160 G 10% on hard disk da 250 G 40% Quanti computer con hard disk da 250 G sono stati venduti?. 35. 40. 100 D. 140 283 on hard disk da 320 G 10% Totale 100% D5. In un laboratorio si devono riempire completamente 7 contenitori da un litro travasando il liquido contenuto in flaconi da 33 cl ciascuno. Il liquido rimanente viene gettato via. a. Qual è il numero minimo di flaconi che occorrono per riempire tutti i sette contenitori? Risposta... b. Quanto liquido viene gettato via? Risposta... cl D6. Qual è il risultato della seguente espressione? 1 + 1 2 + 1 1 1 2. 1. 7 4. 2 D. 4

D7. La superficie del cubo di legno in figura è stata completamente verniciata. Il cubo viene poi segato lungo le linee tratteggiate. Si ottengono così diversi cubetti, dei quali alcuni non hanno nessuna faccia verniciata, altri una o più facce verniciate. ompleta ora la seguente tabella. Numero di facce verniciate Numero di cubetti 0... 1... 2 12 3... 284 D8. Piero e Giorgio partono per una breve vacanza. Decidono che Piero pagherà per il cibo e Giorgio per l alloggio. Questo è il riepilogo delle spese che ciascuno di loro ha sostenuto: Giorgio Piero Lunedì 27 euro 35 euro Martedì 30 euro 30 euro Mercoledì 49 euro 21 euro l ritorno fanno i conti per dividere in parti uguali le spese. a. Quanti euro deve dare Piero a Giorgio per far sì che entrambi abbiano speso la stessa somma di denaro? Risposta... euro b. Scrivi i calcoli che hai fatto per trovare la risposta.......... D9. Il prezzo p (in euro) di una padella dipende dal suo diametro d (in cm) secondo la seguente formula: p d 2 1. Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa. 15 V F a. Il prezzo della padella è direttamente proporzionale al suo diametro. b. Il prezzo della padella aumenta del suo diametro. c. Il rapporto fra il diametro della padella e il suo prezzo è 15.

In preparazione alla prova d ESME Temi d esame relativi ad aspetti numerici, geometrici e tecnologici, nozioni di statistica e probabilità e aspetti matematici di argomenti svolti nel campo delle scienze sperimentali 305 1 Tema 1. Un solido è formato da un cilindro sormontato da un cono avente la base coincidente con quella del cilindro. Di questo solido sappiamo che: il raggio di base del cilindro misura 20 cm; l area della superficie laterale del cono è 1 040π cm 2 ; l apotema del cono è i 13/12 dell altezza; l altezza del cilindro è congruente all apotema del cono. alcola l area della superficie del solido e il suo peso nel caso lo si realizzi di vetro (ps = 2,5 g/cm 3 ). [3 520π cm 2 ; 213,52 kg] 2. onsidera i due sacchetti rappresentati e immagina di estrarre un dischetto da entrambi. Disegna il grafo ad albero di tutti i casi possibili. alcola la probabilità dell evento E: on le cifre estratte nell ordine si forma un numero divisibile per 5. [1/3] 1 4 2 6 3 5 7 3. Risolvi la seguente equazione: 3 1 x + 3 + 4 2 2( 2x + 3) 1 = +. [+ 1] 5 2 4. Un blocco di ferro (ps = 7,8) ha il volume di 15 dm 3. alcola: il lavoro, in joule, necessario per sollevarlo a un altezza di 10 m; la potenza di una macchina che compie tale lavoro in 5 minuti. [11 466 J; 38,22 W]

2 Tema 1. Un solido è formato da un prisma quadrangolare sormontato da un cilindro la cui base è inscritta nella base superiore del prisma. Sapendo che l altezza del prisma e quella del cilindro misurano rispettivamente 30 cm e 40 cm e che il lato della base del prisma misura 36 cm, calcola l area della superficie e il volume del solido. [11 433,6 cm 2 ; 79 574,4 cm 3 ] 2. In un sistema di riferimento cartesiano (u = 1 cm) rappresenta il poligono avente i seguenti vertici: (0; 5), (4; 2), (2; 2), D( 2; 2) ed E( 4; 2) alcola perimetro e area del pentagono DE. Scrivi l equazione dell asse di simmetria del pentagono. Disegna il simmetrico di DE rispetto all asse x e scrivi le coordinate dei punti uniti nella simmetria considerata. 306 3. In un circuito elettrico la differenza di potenziale e la resistenza misurano rispettivamente 18 V e 50 Ω. alcola l intensità di corrente che attraversa il circuito. onsidera poi la resistenza costante e stabilisci che tipo di relazione lega le grandezze differenza di potenziale e intensità di corrente. [0,36 ; proporzionalità ] In preparazione alla prova d ESME 4. Un indagine condotta fra i ragazzi di un club sportivo sul tipo di professione più gradita ha dato i risultati riportati nella tabella a fianco. Da quanti ragazzi è formata la popolazione su cui è stata condotta l indagine? alcola la frequenza percentuale e rappresentala graficamente. alcola la moda. 3 Tema 1. In un trapezio rettangolo il perimetro è di 72 cm, l altezza è congruente alla base minore, la base maggiore supera il lato obliquo di 8 cm e il doppio dell altezza supera di 4 cm il lato obliquo. Descrivi il solido generato dalla rotazione completa del trapezio attorno alla base maggiore. alcola l area della superficie e il volume di questo solido. [672π cm 2 ; 2 496π cm 3 ] 2. Risolvi le seguenti equazioni e verifica che sono equivalenti. x 5 2 x 1 x + 2 = 2 6 3 3 2 3x 2x 1 x 2 1 = 4 3 12 2 Professione Frequenza Informatico 65 rchitetto 50 Ingegnere 150 Medico 100 Insegnante 45 Farmacista 90 [+1]

3. Un corpo si muove di moto rettilineo uniforme alla velocità di 6 m/s. y (spazio) 30 42 ompleta la tabella a fianco, dove x e y sono rispettivamente il tempo (in secondi) e lo spazio (in metri). x (tempo) 2 3 10 Scrivi la legge matematica che esprime y in funzione di x, disegna il relativo diagramma cartesiano e stabilisci che tipo di relazione lega le due grandezze, tempo e spazio. [y = 6x; ] 4. In un supermercato sono state messe in vendita 500 confezioni di una nuova miscela di caffè e per il lancio pubblicitario in 30 di esse è stato inserito un buono acquisto. quale percentuale corrispondono sul totale le confezioni con il buono acquisto? Sono state vendute 120 confezioni e di queste 10 contenevano il buono acquisto, qual è la probabilità di acquistare adesso una confezione con il buono acquisto? [6%; 1/19] 307 4 Tema 1. In un cono, avente l area della superficie totale di 1 440π cm 2, l area della superficie laterale è i 13/5 di quella della base. alcola: il volume del cono; il volume della piramide avente per base il quadrato circoscritto al cerchio base del cono e per vertice il vertice del cono. [20 096 cm 3 ; 25 600 cm 3 ] 2. Osserva il sacchetto a fianco rappresentato e disegna il grafo ad albero di tutti i possibili casi che si possono verificare estraendo a caso due gettoni numerati che contiene il sacchetto senza che il primo estratto venga reinserito nel sacchetto. Qual è la probabilità che il primo numero sia pari e il secondo sia il 3 o il 9? Qual è la probabilità che con le due cifre estratte si possa scrivere il numero 77? [4/45; 0] 3. Un solido che pesa 10 kg viene appeso a un dinamometro e provoca un allungamento della molla di 2 dm. Le due grandezze peso solido e allungamento molla sono grandezze direttamente o inversamente proporzionali? ompila una tabella indicando con x la grandezza variabile peso e con y la corrispondente grandezza allungamento molla. Scrivi la relazione che lega x e y e disegna il relativo diagramma cartesiano. 4. Risolvi e verifica l equazione: 8 x 1 x 7 5 x + x = + 2 6 3 6 7 0 3 6 2 8 4 5 9 1 [+ 11] RS Libri S.p.. - Divisione Education, Milano

5 Tema 1. In una piramide regolare quadrangolare di marmo (ps = 2,6 g/cm 3 ) l altezza misura 24 cm e lo spigolo di base 14 cm. alcola: l area della superficie totale e il peso della piramide; l area della superficie totale di un parallelepipedo rettangolo equivalente alla piramide e con le dimensioni di base lunghe rispettivamente 8 cm e 28 cm. [896 cm 2 ; 4 076,8 g; 952 cm 2 ] 308 2. Nel sistema di assi cartesiani assegnato (u = 1 cm) rappresenta i punti (0; 5), (0; 1), (6; 1) e D(3; 5). Uniscili nell ordine dato e descrivi il quadrilatero ottenuto. alcolane il perimetro e l area. Disegna il simmetrico di D rispetto all asse y e scrivi le coordinate dei suoi vertici. [18 cm; 18 cm 2 ] y O u x 3. Un indagine sugli hobby di un gruppo di persone ha dato i risultati sotto rappresentati. In preparazione alla prova d ESME Lettura Giardinaggio Sport ricolage Televisione = 20 persone Quante persone sono state oggetto dell indagine? Quante preferiscono lo sport e quante il bricolage? Telefonando a caso ad una persona di questo gruppo, qual è la probabilità che sia una di quelle che preferisce il giardinaggio? Qual è la frequenza percentuale delle persone che preferiscono la lettura? [ ; 7/25; 20%] 4. Date le proposizioni p: «7 è un numero dispari» e q: «10 è un numero primo», determina i valori di verità delle seguenti proposizioni: p q p q (p q) (p q)