Esercizi su variabili discrete: binomiali e ipergeometriche

CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA Esercizi su variabili discrete: binomiali e ipergeometriche Es1 Due squadre di rugby si sfidano giocando fra loro varie partite La squadra che vince 4 partite è vincitrice della sfida La squadra A (la più forte vince ogni partita con probabilità /, da cui segue che la squadra B vince con probabilità / Calcolare la probabilità che la squadra A vinca in k partite, con k = 4,, 6, 7 Es Una sorgente binaria genera le cifre 0 e 1 rispettivamente con probabilità 04 e 06 Calcolare: a La probabilità che in una sequenza lunga 8 cifre si verifichi cinque volte 1 e tre volte 0 b La probabilità che in una sequenza lunga 8 cifre vi sia almeno due volte 1 c Sia X n il numero aleatorio che conta quante volte compare la cifra 1 in una sequenza di n cifre Determinare la distribuzione e la media di X n Es In un quiz bisogna scegliere la risposta esatta fra quattro risposte assegnate Se le domande assegnate sono 6 e X indica il numero di risposte sbagliate, calcolare: a la probabilità di indovinarne b la probabilità di indovinarle tutte c la probabilità di indovinarne almeno d la previsione di X Es4 Si lanci 10 volte un dado non truccato e si indichi con X il numero (aleatorio di volte in cui è uscito un numero minore o uguale a Calcolare: a La distribuzione, la media e la varianza di X b La probabilità dell evento {X 4} subordinata alla conoscenza dell evento {X } 1

c Sia E l evento che indica che nei primi tre lanci sono usciti, nell ordine, 1, e Calcolare P(X = k E per k = 0,, 10 Es Un canale di comunicazione trasmette numeri binari (ovvero sequenze di 0 e 1 Ogni cifra viene trasmessa in modo corretto con probabilità 08, mentre con probabilità 0 lo 0 viene trasmesso come 1, e l 1 come 0 Per ridurre l errore di trasmissione ogni cifra viene quindi ripetuta cinque volte e viene stabilita la seguente codifica: se più della metà delle cinque cifre sono 0 allora le si codifica come uno 0, altrimenti le si codifica come 1 Supponiamo di voler trasmettere un numero di 6 cifre a Determinare la probabilità che una cifra venga codificata in modo errato b Determinare la probabilità che il messaggio (numero di 6 cifre venga codificato in modo errato c Supponiamo di ripetere volte ciascuna delle cifre che si vuole inviare, utilizzando la stessa regola di codifica Come cambia la probabilità che il messaggio (di 6 cifre venga codificato in modo errato? Es6 Uno studente si prepara per un orale dove verrà interrogato dall assistente o dal professore Nel caso in cui venga interrogato dall assistente, per ciascuna domanda ha probabilità 08 di rispondere correttamente Nel caso in cui venga interrogato dal professore, tale probabilità è invece pari a 04 In entrambe i casi, passerà l esame solo se risponderà a più della metà delle domande a Se lo studente (che si sente sfortunato pensa di avere probabilità doppia di fare l esame con il professore piuttosto che con l assistente, deve sperare che gli vengano fatte o domande? b Sapendo che lo studente ha passato l esame rispondendo correttamente a domande, qual è la probabilità che sia stato interrogato dal professore? Es7 L urna A contiene 4 palline bianche e 6 nere, l urna B contiene 8 palline bianche e nere, l urna C contiene palline bianche e nere Viene estratta una pallina dall urna A Se la pallina estratta è bianca,

si estrae poi una pallina dall urna B senza reimbussolamento, se inceve la pallina estratta è nera si estrae una pallina dall urna C senza reimbussolamento a Calcolare la probabilità che nella seconda estrazione sia estratta una pallina bianca b Calcolare la probabilità che nella seconda estrazione sia estratta una pallina nera subordinatamente all evento che nella prima è stata estatta una pallina bianca c Supponiamo che dalla stessa urna (da cui è stata fatta la seconda estrazione si estraggano due ulteriori palline senza reimbussolamento Calcolare la probabilità che siano una bianca e una nera Es8 Un urna contiene 8 palline bianche e 4 nere Si lancia un dado equilibrato a 6 facce Se esce un numero pari si eseguono due estrazioni con reimbussolamento Se esce un numero dispari si eseguono due estrazioni senza reimbussolamento Sia X il numero aleatorio che conta il numero di palline bianche estratte Calcolare l insieme dei valori possibili di X, la distribuzione, la previsione e la varianza di X Es9 L urna A contiene 0 palline di cui 14 bianche e 6 nere L urna B contiene 0 palline di cui 10 bianche e 10 nere Viene lanciata una moneta simmetrica In base al risultato viene scelta una delle due urne (A se esce testa e B se esce croce e dall urna scelta vengono estratte due palline con reimbussolamento a Calcolare la probabilità di estrarre due palline bianche b Calcolare la probabilità che sia stata scelta l urna A subordinatamente all evento che sono state estratte due palline nere c Calcolare le stesse quantità nel caso in cui le estrazioni vengano effettuate senza reimbussolamento Es10 Da un mazzo di carte (1 per ogni seme si scelgono (senza ripetizione carte Sia X il numero aleatorio che conta il numero di assi estratti

a Determinare l insieme dei valori possibili di X e la distribuzione di probabilità di X b Calcolare la previsione e la varianza di X Es11 Dieci palline bianche vengono distribuite aleatoriamente in scatole, in modo indipendente le une dalle altre Per ciascuna pallina, la probabilità di finire nella scatola 1 è pari a 1/ e la probabilità di finire nella scatola è pari a / Per j = 1,, sia Y j il numero aleatorio di palline bianche che vengono messe nella scatola j a Determinare l insieme dei valori possibili di Y 1 e la distribuzione di probabilità di Y 1 b Determinare l insieme dei valori possibili della coppia (Y 1, Y e la distribuzione congiunta della coppia Alla scatola 1 vengono aggiunte palline rosse e vengono fatte estrazioni senza reimbussolamento Sia X il numero aleatorio di palline bianche estratte c Calcolare P (X = 1 Y 1 = k per k = 0,, 10 d Calcolare P (X = 1 Es1 Da un urna contenente tante palline bianche quante nere si eseguono estrazioni con reimbussolamento a Calcolare la probabilità di ottenere una pallina bianca entro la quinta estrazione b Sapendo che dopo 10 estrazioni non è ancora uscita una pallina nera, calcolare la probabilità di aspettare almeno altre tre estrazioni prima di ottenere una pallina nera Le estrazioni si arrestano non appena sono stati estratti entrambi i colori c Calcolare la probabilità di arrestare le estrazioni alla terza estrazione d Calcolare la probabilità di proseguire le estrazioni oltre la terza estrazione Es1 Da un urna contenente 8 palline nere e 6 palline bianche si eseguono due estrazioni senza reimbussolamento Ad ogni estrazione corrisponde 4

la vincita di un euro se la pallina estratta è nera, o alla perdita di un euro se è bianca Sia X il numero aleatorio che quantifica la vincita (o perdita a Determinare l insieme dei valori possibili di X e la distribuzione di probabilità b Calcolare la media e la varianza di X Soluzioni Es 1: Siano dati gli eventi E k = {la squadra A vince la k-esima partita}, con k = 1, 7, tutti stocasticamente indipendenti e tali che P(E k = per ogni k Per ogni k = 1, 7, il numero di vincite della squadra A in k partite è quindi dato dal numero aleatorio X k = E 1 + + E k che ha distribuzione binomiale di parametri k e (in sintesi scriveremo X k Bin(k, Definiamo ora l evento F k = {A vince in k partite}, con k = 4,, 6, 7, di cui si vuole calcolare la probabilità Nella notazione introdotta, osserviamo che F k = {X k = 4} E k, ovvero esso si verifica quando la squadra A vince 4 delle k partite, tra cui l ultima di quelle giocate (altrimenti la sfida si sarebbe interrotta prima Per ogni k = 4,, 7 vale quindi P(F k = P(X k = 4, E k = 1 = P(X k = 4 E k = 1P(E k = P(X k 1 = P(E k ( ( k 1 4 ( k 4 = (Verificare l identità P(X k = 4 E k = 1 = P(X k 1 = Es : Siano dati gli eventi E k = {la k-esima cifra è un 1}, con k N tutti stocasticamente indipendenti e tali che P(E k = 06 = per ogni k Il

numero di volte che compare 1 in una sequenza di n cifre è quindi dato dal numero aleatorio che ha distribuzione Bin(n, X n = E 1 + + E n a Nella notazione introdotta, la probabilità richiesta è quella dell evento {X 8 = }, che per definizione di distribuzione binomiale è data da P(X 8 = = ( 8 ( ( b In questo caso, la probabilità richiesta è quella dell evento {X 8 }, che possiamo calcolare esplicitamente passando al complementare, ovvero P(X 8 = 1 P(X 8 = 1 ( 8 8 ( ( 7 c Come già osservato, X n Bin(n, e quindi, per ogni k = 0,, n P(X n = k = ( n k ( k ( n k La sua media può essere calcolata utilizzando la linearità della previsione come Es : Siano dati gli eventi P(X n = P(E 1 + + P(E n = n E k = {la k-esima risposta è esatta}, con k = 1,, 6 tutti stocasticamente indipendenti e tali che P(E k = 1 4 per ogni k Il numero di risposte corrette su 6 domande è quindi dato dal numero aleatorio che ha distribuzione Bin(6, 1 4 X X 6 = E 1 + + E 6 a Nella notazione introdotta la probabilità di indovinare risposte è ( 6 1 P(X 6 = = 4 4 = 18 4 6 b La probabilità di indovinare tutte le risposte è P(X 6 = 6 = 1 4 6 c La probabilità di indovinarne almeno è P(X 6 = 18 4 6 + 1 4 6 = 19 4 6 d La media (o previsione si calcola come P(X = P(E 1 + + P(E 6 = 6 4 6

Es 4: Siano dati gli eventi E k = {al k-esimo lancio è uscito un numero }, con k = 1,, 10 tutti stocasticamente indipendenti e tali che P(E k = 6 = 1 per ogni k a Il numero di volte in cui è uscito un numero su 10 tiri è dato dal numero aleatorio X X 10 = E 1 + + E 10 che ha distribuzione Bin(10, 1, ovvero, per ogni k = 0,, 10 P(X = k = ( 10 k ( 1 k ( 10 k Come nell esercizio precedente, la media (o previsione si calcola come P(X = P(E 1 + + P(E 10 = 10 mentre per la varianza, data l indipendenza degli eventi E k, vale che σ (X = σ (E 1 + + σ (E 10 = 10 4 = 40 b Usando la formula della probabilità condizionata, vale P(X 4 X = P( X 4 P(X, dove P( X 4 = ( ( 10 1 ( 7 ( + 10 ( 1 4 ( 6 4 e P(X = 10 k= ( 10 k ( 1 k ( 10 k c Osserviamo che l evento E, che nei primi tre lanci siano usciti (in ordine 1, e, è contenuto nell evento E 1 E Ẽ In particolare poichè P(X = k E = P(E 1 + + E 10 = k E = P( + E 4 + + E 10 = k E = P(E 4 + + E 10 = k = P(X 7 = k, dove con X 7 si è indicato una variabile di distribuzione Bin(7, 1, vale che P(X = k E = P(X 7 = k = P(X = k E = 0, se k < ( 7 k 7 ( 1 k ( 9 k, se k

Es : Siano dati gli eventi E k = {la k-esima cifra è codificata im modo corretto }, con k = 1,, 6 tutti stocasticamente indipendenti a Per la regola di codifica stabilita, ogni cifra è codificata in modo corretto se almeno delle cifre trasmesse e ad essa corrispondenti hanno stesso valore Quindi, per ogni k, vale che P(E k = j= ( (08 j (0 j 094 j b Il numero di cifre codificate in modo corretto in un messaggio lugno 6 cifre, è dato dal numero aleatorio X 6 = E 1 + + E 6 che ha distribuzione Bin(6, 094 La probabilità che il messaggio venga codificato in modo errato, corrisponde quindi alla probabilità dell evento X 6, che si calcola (passando all evento complementare come P(X 6 = 1 P(X 6 = 6 = 1 (094 6 0 c Se ogni cifra viene ripetuta volte, ed è codificata in modo corretto se almeno delle cifre trasmesse e ad essa corrispondenti hanno stesso valore, la probabilità di un evento E k (definito come sopra diventa P(E k = j= ( (08 j (0 j 0896 j Ne segue che X 6 Bin(6, 0896, e quindi la probabilità che il messaggio sia codificato in modo errato è pari P(X 6 = 1 P(X 6 = 6 = 1 (0896 6 048 Es 6: Siano dati gli eventi E k = {lo studente risponde in modo corretto alla k-esima domanda }, con k = 1,, F = {lo studente viene interrogato dal professore} e osserviamo che per ipotesi P(E k F = mentre P(E k F = 4 a Per quanto indicato nel testo, lo studente stima che P(F = P( F Poichè 8

P(F +P( F = 1, si deduce che P(F = e P( F = 1 Il numero di domande a cui lo studente risponde in modo corretto, su n domande che gli vengono poste, è dato dal numero aleatorio X n = E 1 + + E n che condizionatamente ad F ha distribuzione Bin(n, e condizionatamente ad F ha distribuzione Bin(n, 4 Poichè lo studente passa l esame se risponde a più della metà delle domande, se n =, la probabilità di tale evento è data da P(X = P(X F P(F + P(X F P( F = [ ( ( ] [ + + 1 ( 4 1 ( ] 4 + = 0 mentre se n = è pari a P(X = P(X F P(F + P(X F P( F = ( [ ( k ( k + 1 ( 4 k ( ] 1 k = 06 k k= Lo studente deve quindi sperare che gli vengano poste domande b La quantità richiesta è P(F X Usando la formula di Bayes, possiamo scrivere P(F X = P(X F P(F P(X di cui rimane da calcolare il termine P(X F al numeratore Come già osservato, subordinatamente all evento F la variabile aleatoria X ha distribuzione Bin(, Ne segue che P(X F = ( + ( = 0, che sostituito nella formula sopra, insieme alle quantità calcolate al punto precedente, fornisce il risultato Es 7: Siano dati gli eventi E A = {alla prima estrazione dall urna A si estrae una pallina bianca} E B = {alla prima estrazione dall urna B si estrae una pallina bianca} E C = {alla prima estrazione dall urna C si estrae una pallina bianca} 9,

aventi probabilità P(E A =, P(E B = 4 ep(e C = 1 e tutti indipendenti fra loro a Definiamo l evento F = {alla seconda estrazione si estrae una pallina bianca} Per come è definito il problema, vale che P(F = P(F E A P(E A +P(F ẼAP(ẼA = P(E B P(E A +P(E C P(ẼA = 1 0 b Con la stessa notazione, la probabilità richiesta è P( F E A = P(ẼB = 1 c Sia G = {alla e 4 estrazione si estraggono una pallina bianca e una nera} Per determinare la probabilità di G si deve e stabilire da quale urna (B o C vengono fatte le estrazioni, e quale colore era stato estratto nella estrazione precedente ad esse Ovvero P(G = P(G E A P(E A + P(G ẼAP(ẼA, e per calcolare P(G E A e P(G ẼA utilizziamo le identità P(G E A = P(G E A E B P(E B + P(G E A Ẽ B P(ẼB P(G ẼA = P(G ẼAE C P(E C + P(G ẼAẼCP(ẼC Rimangono da calcolare le probabilità P(G E A E B, P(G E A Ẽ B, P(G ẼAE C e P(G ẼAẼC Osserviamo che queste corrispondono alle probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera dalle urne B o C (a seconda del condizionamento a E A o a ẼA a cui è già stata estratta una pallina bianca o nera (a seconda del condizionamento a E B, Ẽ B, E C o ẼC Questo si può calcolare in modo diretto, e vale P(G E A E B = ( ( 6 ( 4 ( 1( 1 1 9 ; P(G E A Ẽ B = ( 1 9 ; P(G ẼAE C = ( 4 ( ( ( 4 1( 1 1 9 ; P(G ẼAẼC = ( 1 9 Inserendo i risultati nelle formule sopra, si ottiene la quantità richiesta Es 8: Siano dati gli eventi H = {dal lancio del dado esce un numero pari} E k = {alla k-esima estrazione si estrae una pallina bianca}, con k = 1, stocasticamente indipendenti e con P(H = 1 Osserviamo inoltre che P(E k H = P(E k H = 8 1 = per k = 1,, sebbene gli eventi E k sono 10

fra loro stocasticamente indipendenti subordinatamente all evento H, mentre non sono stocasticamente indipendenti subordinatamente all evento H Con questa notazione possiamo scrivere X = E 1 + E, con insieme di valori possibili I(X = {0, 1, } Per calcolare la sua distribuzione è necessario stabilire quale sia il valore di parità del dado Ovvero scriviamo P(X = k = P(X = k HP(H + P(X = k HP( H per k = 0, 1,, (1 dove rimangono da calcolare le quantità P(X = k H e P(X = k H Subordinatemente all evento H, ovvero nel caso di estrazione con reimmissione, la distribuzione di X è Bin(, e quindi P(X = k H = ( k ( k ( 1 k Subordinatemente all evento H, ovvero nel caso di estrazione senza reimmissione, la distribuzione di X è ipergeometrica e vale ( 8 4 P(X = k H = k( k Inserendo queste formule in (1 si ottiene la distribuzione cercata: ( 1 P(X = 0 = 1 ( 1 + 1 11 = 10 99 P(X = 1 = 1 ( 4 + 16 = 46 99 P(X = = 1 ( 4 + 14 = 4 99 Calcoliamo quindi previsione e varianza di X: P(X = P(X = k I(X k I(X kp(x = k = 46 99 + 4 99 = 4 k P(X = k = 46 99 +44 99 = 18 99 σ (X = P(X P(X = 18 99 16 9 = 14 Es 9: Siano dati gli eventi H = {dal lancio della moneta esce testa} (previsione (previsione quadratica (varianza E k = {alla k-esima estrazione si estrae una pallina bianca}, con k = 1, fra loro stocasticamente indipendenti Si osserva che P(H = 1, P(E k H = 7 10 e P(E k H = 1 per k = 1, 11

a La probabilità richiesta è quella dell evento E 1 E Per calcolarla è necessario stabilire da quale urna viene effettuata l estrazione, ovvero l esito del lancio di moneta Procedendo come all esercizio precedente, si ha ( ( P(E 1 E = P(E 1 E HP(H+P(E 1 E HP( H = 1 7 ( 1 + = 7 10 0 b La probabilità richiesta è P(H Ẽ1Ẽ, che per la formula di Bayes possiamo riscrivere come P(H Ẽ1Ẽ = P(Ẽ1Ẽ HP(H P(Ẽ1Ẽ Analogamente al punto a calcoliamo P(Ẽ1Ẽ H = P(Ẽ1 HP(Ẽ H = P(Ẽ1Ẽ = P(Ẽ1Ẽ HP(H+P(Ẽ1Ẽ HP( H = 1 che inseriti nella formula sopra danno P(H Ẽ1Ẽ = 1 4 (, e 10 ( ( + 10 ( 1 = 17 0, c Nel caso di reimbussolamento, gli eventi E 1 ed E sono stocasticamente indipendenti subordinatamente agli eventi H e H e vale P(E 1 E = P(E 1 E HP(H + P(E 1 E HP( H = 1 ( 6 P(Ẽ1Ẽ H = ( 0 = 8, (( 14 ( 0 ( 10 + ( 0 ( P(Ẽ1Ẽ = P(Ẽ1Ẽ HP(H + P(Ẽ1Ẽ HP( H = 1 ( 6 + ( 0 da cui si ottiene infine ( 0 ( 10 = 4 9, = 19, P(H Ẽ1Ẽ = P(Ẽ1Ẽ HP(H P(Ẽ1Ẽ = 1 4 Es 10: Siano dati gli eventi E k = {alla k-esima scelta si estrae un asso}, con k = 1,, non stocasticamente indipendenti ma tutti con probabilità P(E k = 1 1 a Con questa notazione possiamo scrivere X = E 1 + E + E con insieme 1

di valori possibili I(X = {0, 1,, } La sua distribuzione è ipergeometrica di parametri N =, n = e H = 4 Ne segue che ( 4 48 P(X = k = k( k (, per k = 0, 1,, b La previsione di X si calcola (utilizzando la proprietà linearità come P(X = P(E 1 + P(E + P(E = 1 Per la covarianza vale la formula σ (X = σ (E k + cov(e j E k = k=1 j k 49 4 48 ( 1, in quanto σ (E k = 1 1 1 1, cov(e j E k = 4 48 (, j, k = 1,, 1 Es 11: Siano dati gli eventi E k = {la k-esima pallina è posta nella scatola 1}, con k = 1,, 10 tutti stocasticamente indipendenti e con probabilità P(E k = 1 a Osserviamo che Y 1 = E 1 + + E 10, Y = Ẽ1 + + Ẽ10 da cui segue che Y 1 Bin(10, 1 e Y Bin(10,, con I(Y 1 = I(Y = {0, 1,,, 10} b L insieme dei valori possibili della coppia (Y 1, Y è con distribuzione congiunta I(Y 1, Y = {(k, 10 k, con k {0, 1,, 10}} P(X = k, Y = 10 k = ( 10 k ( 1 k ( 10 k c Per costruzione la variabile X, subordinatamente all evento Y 1 = k, ha distribuzione ipergeometrica di parametri N = + k, n =, H = k Ne segue che P(X = 1 Y 1 = k = ( k ( 1 1 ( +k = 10k, k = 0,, 10 ( + k(4 + k 1

d Poichè gli eventi {Y 1 = k}, per k = 0,, 10, formano una partizione, utilizzando i risultati ai punti precedenti si ottiene 10 P(X = 1 = P(X = 1 Y 1 = kp(y 1 = k = k=0 10 k=0 10k ( + k(4 + k ( 10 k ( 1 Es 1: Indicheremo con n il numero (sconosciuto di palline all interno dell urna, di cui la metà (n sono bianche e l altra metà nere Siano dati gli eventi E k = {la k-esima pallina estratta è bianca}, con k = 1,, n non stocasticamente indipendenti e con probabilità P(E k = 1 Per ogni k = 1,, n, sia inoltre k ( 10 k X k := E 1 + + E k il numero aleatorio che conta il numero di palline bianche estratte in k estrazioni Si osservi che X k ha distribuzione ipergeometrica a Nella notazione sopra, la quantità richiesta è ( n P(X 1 = 1 P(X = 0 = 1 ( n b La quantità richiesta è P(X 1 = 1 X 10 = 10 = P(X 1 = 1 P(X 10 = 10 = ( n ( n 1 ( 10 n 10 ( n 1 = (n 10(n 11 (n 10(n 11 c L evento, diciamo F, di cui si richiede la probabilità si può scrivere come somma degli eventi disgiunti E 1 E Ẽ ed Ẽ1ẼE, con P(E 1 E Ẽ = Dn Dn 1 D n =!( n n! ( n e P (Ẽ1ẼE = Dn Dn 1 D n =!( n n! ( n Da questo segue P(F =!(n n!( n d Ragionando come sopra, l evento che si proseguano le estrazioni oltre alle terza, che indichiamo con G, si può scrivere come somma degli eventi disgiunti E 1 E E e Ẽ1ẼẼ, e quindi P(G = P(E 1 E E + P(Ẽ1ẼẼ = ( n ( n 14

Es 1: Siano dati gli eventi E k = {la k-esima pallina estratta è bianca}, con k = 1, non stocasticamente indipendenti e con probabilità P(E k = 7 Sia inoltre Y := E 1 + E il numero aleatorio che conta il numero di palline bianche estratte in due estrazioni, e che ha distribuzione ipergeometrica, ed X la variabile aleatoria definita nel testo dell esercizio a Si osserva che I(X = {, 0, } e che X ha distribuzione di probabilità: P(X = = P(Y = 0 = b Per definizione ( 8 ( 14, P(X = 0 = P(Y = 1 = ( 6 e P(X = = P(Y = = ( 14 P(X = k I(X kp(x = k = P(X = + P(X = = 7, P(X = k I(X k P(X = k = 4P(X = + 4P(X = = 1 7, σ (X = P(X P(X = 1 7 ( 7 ( 6 ( 8 1 1 ( 14 Si osservi inoltre che scrivendo X = Y (verificare, la previsione di X poteva essere calcolata solo per il tramite della variabile Y come P(X = P(Y = P(Y = 7 1