1 Un esempio di modello

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta 1 QUESTE BREVI NOTE RAPPRESENTANO SOLTANTO LO SCHEMA DELLE LEZIONI DEL CORSO DI MICROECONOMIA NON SOSTITUISCONO IL LIBRO DI TESTO E/O GLI APPUNTI PRESI A LEZIONE!!! 1 Un esempio di modello Modello: rappresentazione semplificata della realtà Mercato degli appartamenti: 2 tipi di appartamenti: vicini (V) e lontani (L); prezzo (p) di L variabile esogena; p di V variabile endogena Problemi: 1) determinare il p di affitto; 2) chi saranno i locatari; 3) statica comparata; 4) confronto tra i diversi meccanismi di allocazione. Principio di ottimizzazione e di equilibrio Curva di domanda (D) e prezzo di riserva Curva di offerta (S) di breve periodo: molti proprietari che agiscono in modo indipendente disposti a dare in affitto il proprio appartamento al prezzo più alto consentito dal mercato (meccanismo concorrenziale) prezzo di equilibrio p : viene determinato dall incontro tra D e S p < p : eccesso di domanda; p > p : eccesso di offerta; chi abiterà in V dipende dalla disponibilità a pagare (prezzo di riserva) Statica comparata: 1) aumento/diminuzione dell offerta; 2) vendita di appartamenti; 3) imposta sulle abitazioni

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta 2 Meccanismi di allocazione: 1) Concorrenza perfetta 2) Monopolista discriminante 3) Monopolista puro: applica un prezzo p = p M tale che massimizzi il suo ricavo pd(p) 4) Controllo degli affitti: p max < p Miglioramento paretiano: è possibile aumentare la soddisfazione di qualcuno senza diminuire quella di qualcun altro (vengono effettuati tutti gli scambi volontari) Una allocazione è Pareto-efficiente se non è possibile un miglioramento paretiano Osservazione: chi paga l affitto in V ha un prezzo di riserva più elevato: concorrenza e monopolista discriminante sono Pareto-efficienti (gli altri meccanismi no); ESERCIZIO: Sia D(p) = 100 2p la curva di domanda di appartamenti. Se un monopolista disponesse di 60 appartamenti, quale prezzo p M massimizzerebbe il ricavo? Quanti saranno gli appartamenti affittati? E se il monopolista disponesse di 40 appartamenti? Confrontare con la concorrenza perfetta. 2 Vincolo di bilancio Problema del consumatore: scegliere la migliore combinazione di beni tra quelle che è in grado di acquistare p 1 x 1 +p 2 x 2 m vincolo di bilancio i panieri di consumo (x 1,x 2 ) che soddisfano il vincolo li chiameremo insieme di bilancio retta di bilancio: x 2 = m p 2 p 1 p 2 x 1 interpretazione economica di p 1 /p 2 (costo opportunità) e delle intercette p 1 x 1 +x 2 m, dove x 2 bene composito bene numerario: un bene il cui prezzo è stato fissato pari a 1

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta 3 Variazioni della retta (variazioni del reddito o dei prezzi) Osservazione: retta di bilancio e inflazione tassa sulla quantità: p 1 +t (retta più ripida) tassa ad valorem: (1+τ)p 1 sussidi: p 1 s (sulla quantità), (1 σ)p 1 (ad valorem) tasse e sussidi globali (non modificano l inclinazione) m o p i = soddisfazione ESERCIZI: 1) Riscrivere la retta p 1 x 1 +p 2 x 2 = m se p 1 raddoppia, p 2 aumenta otto volte e m sei volte; 2) Se p 2 (m,p 1 invariati) si disegni lo spostamento subito dalla retta di bilancio 3) Se p 1 raddoppia e p 2 triplica, la retta diventa + ripida o + piatta? 4) Se spendi tutto il tuo reddito per acquistare (100,50) quando p 1 = 2 e p 2 = 4, di quanto deve aumentare m per consumare lo stesso paniere se p 1 = 3? 5) Consideriamo 3 beni. Siano i prezzi p 1 = 2,p 2 = 4,p 3 = 6. a) Scrivere la retta di bilancio se m = 360 b) Sia il bene 1 il numerario. Si riscriva la retta di bilancio. 6) Si scriva la retta di bilancio in presenza di una tassa globale T, di una tassa sulla quantità t (sul bene 1) e un sussidio sulla quantità s sul bene 2. 7) Se m e p i (i = 1,2), il consumatore è altrettanto soddisfatto? 3 Preferenze Relazione di preferenza debole, forte, indifferenza Assunzioni: completezza, riflessività, transitività Curva di indifferenza (CI) e insieme preferito debolmente Costruzione della curva: (x 1,x 2 ) (x 1 + x 1,x 2 + x 2 )

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta 4 Perfetti sostituti: saggio di sostituzione costante(ci inclinazione costante) Perfetti complementi: vengono consumati congiuntamente in proporzioni fisse (CI forma a L) Mali, beni neutrali, sazietà, beni discreti: curve di indifferenza Preferenze regolari: soddisfano anche la monotonicità e la convessità Saggio marginale di sostituzione (SMS): rappresenta l inclinazione della CI monotonicità = SMS negativo convessità = SMS decrescente interpretazione del SMS come disponibilità marginale a pagare SMS e saggio di scambio ESERCIZI 1) Essere almeno altrettanto alto di... è una relazione transitiva? E completa? 2) Essere strettamente più alto di... è una relazione transitiva? E completa? E riflessiva? 3) Essere più robusto e più veloce di... è una relazione transitiva? E completa? 4) Due curve di indifferenza possono intersecarsi? 5) Se consideriamo due mali, come rappresentiamo le curve di indifferenza? 4 Utilità la funzione di utilità, u : R 2 R, è un modo per associare un numero ad ogni possibile paniere di consumo rispettando le preferenze: utilità ordinale e cardinale A B u(a) u(b)

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta 5 Esempi perfetti sostituti: u(x,y) = ax+by perfetti complementi: u(x, y) = min{ax, by} Cobb-Douglas: u(x,y) = x c y d SMS e utilità marginale SMS di preferenze Cobb-Douglas ESERCIZI u x SMS = u y SMS = cy dx 1) Calcolare il SMS delle seguenti funzioni di utilità a) u(x,y) = x+3y b) u(a,c) = A(1+C) c) u(x,y) = 14x 2 y 2) Data u(x,y) = x 2 y 2 a) Calcolare l utilità marginale di x e y b) determinare y affinchè A B, dove A = (4,3) e B=(2,y) 3) Data u(x,y) = x y a) calcolare il SMS; b) si determini la funzione della curva di indifferenza passante per il paniere (9, 16) c) si stabilisca l ordinamento dei seguenti panieri: A=(9,16), B = (49,81), C=(25,9), D=(4,1), E=(9,4) 4) Siano u 1 (x,y) = xy 100 e u2 (x,y) = 1000x 2 y 2 le funzioni di utilità dei consumatori 1 e 2. a) si calcoli il SMS delle due funzioni; b) si determini, per entrambe le funzioni di utilità, la funzione della curva di indifferenza passante per il paniere (4, 4)

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta 6 5 Scelta Problema del consumatore: scegliere il paniere preferito tra quelli appartenenti al suo insieme di bilancio Intuizione geometrica: la scelta ottima si ha in corrispondenza del punto in cui la CI è tangente alla retta di bilancio (con preferenze regolari e ottimo interno) la scelta ottima rappresenta il paniere domandato dal consumatore, dati i prezzi e il reddito funzione di domanda del bene i: perfetti sostituti: x 1 = m/p 1 se p 1 < p 2 x 1 = 0 se p 1 > p 2 x 1 [0,m/p 1 ] se p 1 = p 2 x i = x i (p 1,p 2,m), i = 1,2 preferenze Cobb-Douglas u(x 1,x 2 ) = x c 1x d 2: x 1 = c m c+d p 1 x 2 = d m c+d c Osserviamo che la frazione esprime la frazione del reddito che il consumatore spende per acquistare il bene 1 (idem per il bene c+d 2) Infatti: ESERCIZI p 2 p 1 x 1 = c c+d m 1) Scrivere la funzione di domanda del bene 2 nel caso di beni perfetti sostituti 2) Quale frazione del reddito viene spesa per l acquisto del bene 2 da parte di un consumatore con preferenze del tipo u(x,y) = xy 4?

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta 7 3) Se l inclinazione della curva di indifferenza fosse b, quali sarebbero le scelte ottime del consumatore dati i prezzi p 1,p 2 e il reddito m? 4) Dati u(x,y) = x 3 y, R = 16, p x = 4 e p y = 5: a) scrivere l equazione del vincolo di bilancio; b) scrivere il sistema di equazioni che rappresenta la scelta ottima; c) calcolare la scelta ottima; d) si determini la scelta ottima se il reddito aumenta di un quarto; e) si determini la scelta ottima se p x = 2; f) il consumatore è più felice nel caso d) o nel caso e)? 5) Sia u(x,y) = x+y a) si determini la scelta ottima se p x = 2, p y = 6 e R = 200 b) e se R = 400? c) e se p x = 6? 6) Sia u(x,y) = 15xy e p y = 3. Se la scelta ottima fosse (25,20), a quanto ammonterebbero p x e R? 6 Domanda La funzione x i = x i (p 1,p 2,m) esprime la quantità domandata del bene i in funzione dei prezzi e del reddito E naturale chiedersi come varia la domanda di un bene al variare dei prezzi o del reddito Una variazione del reddito comporta uno slittamento della retta di bilancio senza modificarne l inclinazione In generale ci aspettiamo che la quantità domandata di un bene aumenti all aumentare del reddito ( x 1 > 0): in tal caso si parla di bene normale m Quando la quantità domandata di un bene diminuisce all aumentare del reddito ( x 1 < 0) si parla di bene inferiore m

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta 8 Una variazione del prezzo di uno dei beni modifica l inclinazione della retta di bilancio e una delle sue intercette Ci aspettiamo che la quantità domandata di un bene diminuisca all aumentare del prezzo ( x 1 p 1 < 0): in tal caso si parla di bene ordinario Se invece la quantità domandata di un bene aumenta all aumentare del prezzo ( x 1 p 1 > 0) si parla di bene di Giffen La curva reddito-consumo rappresenta i panieri domandati in corrispondenza di diversi livelli del reddito, mentre la curva di Engel rappresenta la quantità domandata di un bene in funzione del reddito La curva prezzo-consumo rappresenta i panieri domandati in corrispondenza di prezzi diversi di un bene, mentre la curva di domanda rappresenta la quantità domandata di un bene in funzione del suo prezzo Con la funzione di domanda inversa esprimiamo il prezzo in funzione della quantità. Una sua interpretazione è la seguente: dalla condizione di ottimo SMS = p 1 /p 2, si ottiene p 1 = p 2 SMS Supponiamo che il bene 2 rappresenti la moneta a disposizione per l acquisto degli altri beni (p 2 = 1): il SMS rappresenta la quantità di moneta cui uno è disposto a rinunciare per ottenere una quantità leggermente superiore del bene 1. Il prezzo del bene 1 rappresenta pertanto la disponibilità marginale a pagare. La curva di domanda con inclinazione negativa si ricollega al concetto di SMS decrescente. surplus del consumatore rappresenta la differenza tra quanto un consumatore è disposto a pagare per un bene e quanto egli paga effettivamente per l acquisto di quel bene. Graficamente il surplus del consumatore è dato dall area compresa tra la curva di domanda e la linea del prezzo domanda di mercato (o aggregata) si ottiene sommando le curve di domanda individuali X 1 (p 1,p 2,m 1,...,m n ) = n x i 1 (p 1,p 2,m i ) i=1 Esprimendo, a livello aggregato, il prezzo in funzione della quantità, si ottiene la funzione di domanda inversa. Essa rappresenta il SMS di ciascun consumatore che acquisti il bene (nota: i prezzi sono uguali per tutti = il SMS è uguale per tutti).

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta 9 Elasticità della domanda rispetto al prezzo è il rapporto tra la variazione percentuale della quantità e la variazione percentuale del prezzo per variazioni infinitesimali ǫ = q/q p/p = q p pq ǫ = dq p dpq il segno dell elasticità è generalmente negativo (la curva di domanda ha inclinazione negativa). In valore assoluto: se ǫ = 1 la domanda ha elasticità unitaria (all aumentare del prezzo la quantità domandata diminuisce nella stessa proprozione) se ǫ > 1 la domanda è detta elastica (all aumentare del prezzo la quantità domandata diminuisce più che proporzionalmente) se ǫ < 1 la domanda è detta inelastica (all aumentare del prezzo la quantità domandata diminuisce meno che proporzionalmente) Esempio: domanda lineare q = a bp l elasticità è data da ǫ = bp q = bp a bp e varia tra zero e infinito Il ricavo è dato dal prodotto tra il prezzo e la quantità R = pq Se p = q : il ricavo aumenta o diminuisce? Possiamo dare una risposta a questa domanda analizzando la relazione tra ricavo e elasticità. Chiamiamo p + p e q + q i nuovi livelli del prezzo e della quantità. La variazione del ricavo sarà data da (trascurando il termine p q) Dividendo ambo i lati per p si ha R = q p+p q R p = q +p q p

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta 10 da cui R > 0 = p q > 1 = ǫ < 1 p q p I ricavi aumentano all aumentare del prezzo se l elasticità della domanda è inferiore a uno (in valore assoluto). ESERCIZI 1) Data u(x,y) = 4x+3y si determini la scelta ottima se p x = 6, p y = 3 e R = 36. Come varia la scelta al crescere del reddito (curva di Engel)? 2) Data u(x,y) = 6xy, p x = 3 e p y = 2 si determini a) la curva di Engel di x e y b) la scelta ottima se m = 100 c) come varia la scelta se m = 420 d) si rappresentino le 2 curve di Engel 3) Dati u(x 1,x 2 ) = x 2 1 x 2, p 2 = 2000 e m = 60.000 a) si determini la curva di domanda del bene 1 b) si determini la quantità domandata del bene 1 se p 1 = 1000 4)DatelepreferenzeU(x,y) = 2xy,sideterminilasceltaottimacheconsente di conseguire un livello di utilità pari a 400 se p x = 10 e p y = 5. 5) Dati u(x 1,x 2 ) = 4x 1 x 2, R = 300, p 1 = 20 e p 2 = 40 a) si determini la scelta ottima b) si determini la scelta ottima se p 1 = 40 e se p 1 = 60 c) tracciare la curva prezzo consumo e la curva di domanda 6) La curva di domanda di un consumatore è p = 5 1 q. Se il prezzo varia 2 da 1 a 2, qual è la variazione del surplus? 7) Dati u(x,y) = xy, p x = 2 e p y = 6 a) si determini la curva di Engel di x e y b) si determini la curva di domanda se R = 140 c) se vi fossero n consumatori con le stesse preferenze, quale sarebbe la funzione di domanda aggregata di x e y? 8) p A = 10 1 2 q A e p B = 20 q B sono le funzioni di domanda di A e B a) rappresentare graficamente le due funzioni b) determinare la funzione di domanda aggregata e rappresentarla graficamente 9) Sia q = 80 4p la domanda di un bene. Se p = 5 conviene al produttore aumentare il prezzo?

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta 11 10) Siano q A = 30 p A e q B = 60 p B due funzioni di domanda. Si determini l elasticità rispetto al prezzo. 11) Noti q = 5, p = 10, ǫ = 7, scrivere la funzione di domanda della forma q = a bp

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta 12 7 Tecnologia e profitto L impresa impiega input per produrre output L insieme di produzione rappresenta tutte le combinazioni di input/output tecnicamente realizzabili La funzione di produzione y = f(x 1,x 2 ) rappresenta la frontiera di questo insieme, ovvero il massimo livello di output che può ottenersi impiegando un dato livello input. Un isoquanto di produzione rappresenta tutte le combinazioni di input che consentono di produrre una data quantità di output (analogia con le curve di indifferenza e i casi perfetti sostituti, complementi, Cobb-Douglas) Ipotizziamo che la tecnologia sia monotona(la quantità prodotta non diminuisce aumentando la quantità impiegata di almeno un input) e convessa(dati due modi diversi di produrre la stessa quantità di output, la loro combinazione lineare consente di produrre almeno la stessa quantità) Definiamo PM i il prodotto marginale del fattore i, laquantità di output addizionale ottenibile da un unità addizionale di x i ; per variazioni infinitesimali (analogia con l utilità marginale) PM 1 = f( ) x i il saggio tecnico di sostituzione rappresenta il saggio al quale sostituire un input con l altro per ottenere lo stesso livello di output; è dato dall inclinazione dell isoquanto (analogia con SMS) STS = PM 1 PM 2 legge della produttività marginale decrescente: il prodotto marginale di un input diminuisce quando se ne impiegano quantità via via crescenti (mantenendo fissi tutti gli altri input) Breve periodo: alcuni fattori sono fissi

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta 13 Lungo periodo: tutti i fattori produttivi possono variare Rendimenti di scala: ci dicono come varia l output quando variamo gli input nella stessa proporzione costanti: crescenti: f(tx 1,tx 2 ) = tf(x 1,x 2 ) decrescenti: f(tx 1,tx 2 ) > tf(x 1,x 2 ) f(tx 1,tx 2 ) < tf(x 1,x 2 ) Il fine dell impresa è la massimizzazione del profitto π: π = py w 1 x 1 w 2 x 2 supponiamo che l impresa sia price-taker, ossia i prezzi dell output e dell input sono dati se siamo nel breve periodo e x 1 è il fattore variabile, l impresa sceglie la quantità di x 1 che massimizza π; la condizione di massimizzazione è ppm 1 = w 1 il valore del prodotto marginale di un fattore deve essere uguale al suo prezzo graficamente possiamo rappresentare la scelta ottima del fattore x 1 con la condizione di tangenza PM 1 = w 1 p tra la funzione di produzione y = f(x 1, x 2 ) e la retta di isoprofitto y = π p + w 2 p x 2 + w 1 p x 1 che esprime tutte le combinazioni (x 1,y) associate allo stesso livello del profitto π

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta 14 Nel lungo periodo la condizione di massimizzazione sarà ppm 1 = w 1 ppm 2 = w 2 ESERCIZI 1) Che rendimenti di scala presentano le seguenti funzioni di produzione? f(x 1,x 2 ) = x 2 1 x2 2 ; f(x 1,x 2 ) = 4x 1/2 1 x 1/3 2 ; y = x 1 + x 2 ; y = x 1x 2 2 x 1 +x 2 ; y = 18x 1 +0.5x 2 +6x 3 ; 2) Dimostrare che il tipo di rendimenti di scala della funzione di produzione y = Ax a 1 xb 2 dipendono dal valore di a+b. 3) Il STS tra x 2 e x 1 è 4. Per produrre lo stesso output impiegando 3 unità in meno di x 1, quante unità in più di x 2 devono essere utilizzate? 4) Se ppm 1 > w 1, l impresa deve aumentare o diminuire la quantità impiegata di x 1 per aumentare il profitto? 5) Se il prezzo del fattore fisso x 2 diminuisse, come varierebbero la quantità impiegata di x 1 e il profitto dell impresa? E se aumentasse il prezzo dell output? 8 Costi La massimizzazione del profitto implica la minimizzazione dei costi la funzione di costo c(y) esprime i costi minimi necessari per produrre il livello di output desiderato, ovvero min x 1,x 2 w 1 x 1 +w 2 x 2 t.c. f(x 1,x 2 ) = y la soluzione al problema di minimizzazione (x 1,x 2 ) viene rappresentata graficamente dalla condizione di tangenza STS = w 1 w 2

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta 15 tra la curva di isoquanto e la retta di isocosto x 2 = C w 2 w 1 w 2 x 1 che rappresenta le combinazioni (x 1,x 2 ) il cui costo è C c(1) rappresenta il costo necessario per produrre una unità di output. Se i rendimenti di scala sono costanti allora c(y) = c(1)y Definiamo il costo medio, c(y), il costo per unità di output; se i rendimenti y sono costanti il costo medio risulta costante; se sono crescenti esso risulta decrescente; se sono decrescenti esso risulta crescente I costi totali sono dati dalla somma dei costi variabili e costi fissi: c(y) = cv(y)+cf; i costi medi totali sono dati dalla somma dei costi medi variabili e costi medi fissi la curva del costo medio totale di breve periodo ha un andamento a U: il tratto decrescente dipende dalla diminuzione dei costi fissi, il tratto crescente dall aumento dei costi variabili dovuto alla rigidità dei fattori fissi la curva del costo marginale misura la variazione dei costi corrispondente ad una variazione dell output; per variazioni infinitesimali è data da dc(y) = dy c (y) Osservazione: se c (y) < c(y)/y = c(y)/y decresce se c (y) > c(y)/y = c(y)/y cresce pertanto c (y) = c(y)/y nel punto di minimo di c(y)/y (stesso ragionamento per cv(y)/y). ESERCIZI 1) Sia y = 4LT una funzione di produzione. a) Determinare (L,T ) se il budget dell impresa è di 6400 e w L = 80 e w T = 100; b) Determinare y c) Si supponga di voler produrre y = 10240. Determinare (L,T ); d) Determinare i costi sostenuti per produrre y = 10240 e verificare se il costo medio è aumentato o diminuito;

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta 16 2) Sia y = 3S +N una funzione di produzione. a) Tracciare gli isoquanti per y = 30 e per y = 60; b) Verificare che tipo di rendimenti presenta; c) Se w S = 2 e w N = 1 qual è la scelta ottima di fattori? Se w S < 3w N converrebbe impiegare N? d) Se i i prezzi fossero w S,w N quale sarebbe il costo necessario per produrre y = 60? 3) Data la funzione di produzione y = 4K 1/2 L 1/2 e i prezzi w K = 4 e w L = 8, determinare la funzione di costo di lungo periodo e di breve periodo se K = 49. 9 Offerta in concorrenza perfetta La concorrenza perfetta è una forma di mercato in cui le imprese sono pricetaker; un ipotesi ragionevole è quella di pensare ad un gran numero di imprese che offrono un prodotto omogeneo: ciascuna impresa deve soltanto decidere quanto produrre e può vendere qualsiasi quantità al prezzo di mercato (la curva di domanda dell impresa è orizzontale in corrispondenza del prezzo di mercato) L impresa massimizza il profitto segliendo l output maxpy c(y) y il livello di output ottimale y è tale che (condizione di massimizzazione del profitto) p = c (y ) la curva di offerta dell impresa di breve periodo è data dalla curva del costo marginale al di sopra della curva del costo medio variabile: infatti l impresaprodurràsoltantoseπ > CF ovveropy cv(y) CF CF = py cv(y) 0 = p cv(y)/y la curva di offerta dell impresa di lungo periodo è data dalla curva del costo marginale al di sopra della curva del costo medio totale

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta 17 il surplus del produttore: l area al di sopra della curva di offerta fino al livello del prezzo di mercato. Rappresenta la differenza tra la somma minima allaqualeilproduttoresarebbe dispostoavendere y unitàdi outputequanto egli effettivamente ottiene l offerta dell industria o offerta di mercato è data dalla somma delle singole curve di offerta S(p) = S i (p) Il prezzo e la quantità di equilibrio sono dati dall incontro tra domanda e offerta di mercato D(p) = S(p) Osservazione: l equilibrio di un mercato concorrenziale è pareto efficiente: non esiste il modo di aumentare il benessere di qualcuno senza ridurre quello di qualcun altro (la somma del surplus del consumatore e del produttore è massimizzata) In particolare, l offerta del bene viene allocata tra i consumatori che gli attribuiscono un valore più elevato e la domanda del bene viene allocata tra i produttori che sostengono i costi più contenuti ESERCIZI 1) Data la domanda di mercato D = 3000 2p e l offerta di mercato S = 600+3p, determinare il prezzo e la quantità di equilibrio. Qual è il prezzo minimo affinchè S > 0? 2) Data la funzione di costo c(y) = 2y 2 +100: a) scrivere le funzioni di costo medio (totale, fisso e variabile) e marginale; b) Determinare y se p = 20 o se p = 40; c) Calcolare il profitto in entrambi i casi. 10 Monopolio In questa forma di mercato l industria è caratterizzata dalla presenza di una sola impresa, il monopolista Data la domanda di mercato p(y), il monopolista deve decidere quanto produrre per massimizzare il profitto p(y)y c(y)

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta 18 Scrivendo i ricavi totali come r(y) = p(y)y, il monopolista la condizione di massimizzazione maxr(y) c(y) y r (y) = c (y) ci dice che il monopolista deve uguagliare il ricavo marginale al costo marginale Osservazione: in concorrenza perfetta p = r (y) = r(y)/y Poichè r (y) = dp y +p(y), possiamo scrivere dy p(y)(1 1 ǫ ) = c (y) Il monopolista non produrrà un y tale che ǫ < 1 perchè altrimenti r (y) < 0. Per c (y) > 0, y m è tale che ǫ > 1, il che implica che p(y) > c(y). Caso particolare: curva di domanda lineare p(y) = a by. Il ricavo totale è ay by 2 e il ricavo marginale è r (y) = a 2by, che ha la stessa intercetta verticale della curva di domanda ma pendenza doppia Osservazione: il monopolista non ha una curva di offerta perchè definisce prezzo e quantità simultaneamente Confronto tra concorrenza perfetta e monopolio: - l industria in concorrenza perfetta produce in corrispondenza del punto in cui p = c (y) - il monopolista produce in corrispondenza del punto in cui p > c (y), pertanto l output sarà inferiore e il prezzo maggiore rispetto alla concorrenza Possiamo rappresentare graficamente la perdita netta di monopolio, che misura il valore dell output perduto Per capire se un mercato sarà concorrenziale o un monopolio si confrontano le dimensioni del mercato con la scala minima efficiente, che rappresenta il livello di output cheminimizza ilcosto medio: sela prima èelevata rispetto alla seconda si avrà probabilmente un mercato conccorrenziale e viceversa

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta 19 I monopoli possono anche sorgere perchè una risorsa chiave è detenuta da un unica impresa, perchè lo stato concede il diritto esclusivo di produrre il bene ad un unica impresa o per collusione (cartello) tra imprese Discriminazione di prezzo: la pratica di vendere unità diverse dello stesso prodotto a prezzi diversi (es. biglietti per spettacoli, biglietti aerei, buoni sconto,...). ESERCIZI 1) Sia p = 60 q la domanda di mercato. a) Rappresentarla graficamente. b) Si derivi l espressione del ricavo marginale c) E possibile cheil profittodel monopolista siamassimizzato sey m = 40? d) Determinare y m se c(y) = 10+15y 2) Un monopolista fronteggia una domanda D(p) = 100 2p. La sua funzione di costo è c(y) = 2y. Determinare y m e p m. 3) Sia D(p) = 63 1 2 p la domanda di mercato e c(y) = 3y2 +6y la funzione di costo del monopolista a) Determinare y m,p m b) Calcolare la perdita di benessere sociale rispetto alla concorrenza perfetta e rappresentarla graficamente 11 Oligopolio E una forma di mercato caratterizzata dalla presenza di imprese di dimensioni tali da influenzare, ognuna con le proprie scelte, le decisioni delle concorrenti (interazione strategica) Limiteremo la nostra attenzione al duopolio (due imprese) che ipotizziamo producano lo stesso bene: in tale situazione le variabili rilevanti sono il prezzo o la quantità fissata da ciascuna impresa Modello di Cournot: le due imprese determinano simultaneamente la quantità prodotta considerando data la quantità prodotta dall altra Il problema dell impresa 1 (identico a quello dell impresa 2)

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta 20 max y 1 π 1 = p(y 1 +y 2 )y 1 c 1 (y 1 ) lacuisoluzione, y 1 = f 1(y 2 ),rappresentalafunzione di reazionedell impresa 1, cioè il livello ottimale di output che l impresa deve produrre dato l output prodotto dall impresa 2 l equilibrio di Cournot rappresenta la combinazione (y 1,y 2 ) t.c. y 1 = f 1(y 2 ) y 2 = f 2 (y 1) Esempio: domanda lineare p = a b(y 1 +y 2 ) e costi marginali nulli L impresa 1 eguaglia il ricavo marginale al costo marginale (che è zero) Il ricavo totale è (a b(y 1 +y 2 ))y 1, pertanto a 2by 1 by 2 = 0 = y 1 = a by 2 2b (funzione di reazione dell impresa 1) per l impresa 2 avremo y 2 = a by 1 2b l intersezione delle 2 funzioni di reazione è (a/3b, a/3b) che rappresenta la quantità prodotta dalle due imprese (equilibrio di Cournot) Modello di Stackelberg: un impresa, il leader, fissa la quantità prima dell altra, il follower Supponiamo che 1 sia il leader. L impresa 1 sa che 2 fisserà un livello di output y 2 = f 2 (y 1 ) e terrà conto di questo fatto nel massimizzare il proprio profitto max y 1 π 1 = p(y 1 +f 2 (y 1 ))y 1 c 1 (y 1 )

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta 21 Esempio: domanda lineare p = a b(y 1 +y 2 ) e costi marginali nulli L impresa 1 eguaglia il ricavo marginale al costo marginale (che è zero) Tenuto conto che y 2 = a by 1 (funzione di reazione) e che il ricavo totale è 2b (a b(y 1 +y 2 ))y 1, possiamo riscrivere l equazione del ricavo totale (a b(y 1 + a by 1 ))y 1 2b pertanto il ricavo marginale uguagliato a zero sarà: a 2by 1 a/2+by 1 = 0 L impresa1produrràunoutputpariay1 = a/2bmentrel impresa2produrrà y 2 = a by 1 = y 2b 2 = a/4b L equilibrio di Stackelberg è dato da (a/2b, a/4b) Modello di Bertrand: la variabile strategica è il prezzo (si ipotizza che le imprese concorrano determinando simultaneamente i prezzi). L equilibrio alla Bertrand coincide con quello concorrenziale: ciascuna impresa fissa un prezzo uguale al proprio costo marginale Cartello: in questo caso ipotizziamo che le imprese colludano, cioè cooperano determinando congiuntamente l output per massimizzare il profitto totale dell industria Le condizioni di ottimo sono: maxp(y 1 +y 2 )(y 1 +y 2 ) c 1 (y 1 ) c 2 (y 2 ) y 1,y 2 pertanto in equilibrio c 1 (y 1 ) = c 2 (y 2 ) dp(y) dy (y 1 +y 2)+p(y 1 +y 2) = c 1(y 1) dp(y) dy (y 1 +y 2)+p(y 1 +y 2) = c 2(y 2)

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta 22 calcoliamo l output nell esempio precedente(domanda lineare e costi marginali nulli) il ricavo totale è e la condizione di ottimo è (a b(y 1 +y 2 ))(y 1 +y 2 ) b(y 1 +y 2)+(a b(y 1 +y 2)) = 0 = (y 1 +y 2 ) = a 2b Osservazione: il cartello non rappresenta un equilibrio stabile perchè ogni impresa è tentata a non rispettare i patti. Infatti: dπ 1 = dp dy 1 dy y 1 +p(y1 +y2) c 1(y1) = dp dy y 2 > 0 se l impresa 1 ritiene che l impresa 2 produca y2, avrà convenienza ad aumentare il proprio livello di produzione (idem per l impresa 2) Riassumendo: y p π Cournot 2a/3b a/3 2a 2 /9b Stackelberg 3a/4b a/4 3a 2 /16b Bertand a/b 0 0 Cartello a/2b a/2 a 2 /4b Esercizio Ladomandadimercatoèp = 10 y eledueimpresehannolastessastruttura di costi: c 1 (y 1 ) = 2y 1 e c 2 (y 2 ) = 2y 2. a) Trovare l equilibrio di Bertrand, calcolare il surplus dei consumatori e i profitti dei produttori b) Trovare l equilibrio di Cournot, calcolare il surplus dei consumatori e i profitti dei produttori c) Trovare l equilibrio di Stackelberg (l impresa 1 è il leader), calcolare il surplus dei consumatori e i profitti dei produttori d) Trovare l equilibrio in caso di collusione, calcolare il surplus dei consumatori e i profitti dei produttori

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta 23 12 Teoria dei giochi Analizza l interazione strategica e il conflitto tra soggetti attraverso modelli matematici Un gioco comprende: i giocatori, le strategie e i payoff (premi o perdite che dipendono dalle strategie scelte) Possiamo rappresentare un gioco attraverso la matrice dei payoff Esempio: dilemma del prigioniero Giocatore 1 Giocatore 2 Conf essare Negare Conf essare 3, 3 0, 6 Negare 6, 0 1, 1 La strategia confessare è la strategia dominante per entrambi i giocatori, (è la scelta ottima indipendentemente dalla scelta che farà l altro giocatore) Osservazione: l equilibrio ottenuto dai giocatori < conf essare, conf essare > non è pareto-efficiente (analogia con il cartello)

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta 24 Non sempre esiste una strategia dominante; in alcuni giochi è possibile trovare una soluzione eliminando ripetutamente le strategie dominate Esempio: Giocatore 1 Giocatore 2 sinistra centro destra su 1,0 1,2 0,1 giu 0,3 0,1 2,0 Il giocatore 1 sa che il giocatore 2 preferirà sempre centro a destra. Pertanto il giocatore 2 sa che il giocatore 1 giocherà su. L equilibrio è < su,centro,>. In altri giochi questa tecnica non è applicabile: Giocatore 1 Giocatore 2 sinistra centro destra sinistra 0, 4 4, 0 5, 3 centro 4,0 0,4 5,3 destra 3,5 3,5 6,6 il risultato < destra,destra > rappresenta un equilibrio di Nash: la scelta del giocatore 1 è ottima data la scelta del giocatore 2 e viceversa (si osservi la differenza rispetto a una strategia dominante, che è una scelta ottima indipendentemente dalle scelte dell altro giocatore). Nessun giocatore è incentivato a deviare. L equilibrio di Cournot è un equilibrio di Nash. Osservazione 1: l equilibrio di Nash non è necessariamente unico. In questo esempio Moglie Marito Teatro Boxe Teatro 2,1 0,0 Boxe 0,0 1,2 esistono due equilibri: < teatro,teatro > e < boxe,boxe > Osservazione 2: l equilibrio di Nash può non esistere (considerando le strategie pure)

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta 25 Giocatore 1 Giocatore 2 T C T 1, 1 1,1 C 1,1 1, 1 I giochi descritti precedentemente prevedono che entrambi i giocatori decidano simultaneamente. In molte situazioni le decisioni vengono prese sequenzialmente (si pensi al modello di Stackelberg) Con l esempio seguente illustriamo un gioco che presenta due equilibri di Nash se giocato simultaneamente e un equilibrio se giocato sequenzialmente Esempio Giocatore 1 Giocatore 2 sinistra destra alto 1,9 1,9 basso 0, 0 2, 1 < alto,sinistra > e < basso,destra > sono i due equilibri di Nash Supponiamo ora che il giocatore1 muova per primo e rappresentiamo il gioco in forma estesa s alto 2 d 1 basso 2 s d 1,9 1,9 0,0 2,1 l equilibrio è < basso, destra >. Infatti il giocatore 1 sa che giocando alto riceverebbe un payoff 1 mentre giocando basso riceverebbe 2 perché il giocatore 2 non giocherà s (riceverebbe un payoff 0) ma d. Anche se 2 minacciasse di giocare s, 1 sa che questa minaccia non sarebbe credibile. Come applicazione possiamo pensare che il giocatore 1 sia una impresa che decide se entrare (in) o non entrare (out) in un mercato e che il giocatore 2 sia un impresa già presente nel mercato che può decidere se reagire o non reagire. L equilibrio è < in,nonr >.

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta 26 1 out in 2 1,9 r nonr 0,2 2,3 L impresa 2 potrebbe rendere credibile la minaccia di reagire sostenendo dei costi indipedentemente dalla decisione presa da 1. Pensiamo a questa variante del gioco precedente in cui l impresa 2 sostiene dei costi per prevenire strategicamente l ingresso dell impresa 1. 1 out in 2 1,7 r nonr 0,3 2,2 ESERCIZI 1) Due imprese possono scegliere se applicare un prezzo alto o basso. Questa è la matrice dei payoff: Impresa 1 Impresa 2 P alto P basso P alto 10,10 5,20 P basso 20, 5 0,0 a) Esistono strategie dominanti? b) Quale sarebbe l equilibrio del gioco in caso di concorrenza alla Bertrand? c) E se le imprese colludessero? L equilibrio sarebbe stabile? 2) Due imprese decidono quanto spendere in pubblicità (i payoff rappresentano i profitti) a) Esiste una strategia dominante per l impresa 1? E per l impresa 2? b) Trovare l equilibrio. c) Quale sarebbe l equilibrio in caso di collusione?

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta 27 Impresa 1 Impresa 2 5 7, 5 10 4 50, 50 40, 60 30, 50 6 75, 40 45, 50 40, 45 8 90, 30 50, 40 50, 35 10 100, 25 45, 30 50, 25 3) Trovare l equilibrio in questo gioco sequenziale. 2,0 L 1 R L 1,1 2 L R 1 R 3,0 0,2