Microeconomia, Esercitazione 2 (26/02/204) Vincolo di bilancio del consumatore, paniere ottimo Dott. Giuseppe Francesco Gori Domande a risposta multipla ) Antonio compra solo due beni, sigarette e banane. Il costo di un pacchetto di sigarette è di 4 euro e il costo di un chilo di banane è di 3 euro. Se Antonio spendesse tutto il suo reddito settimanale in banane, potrebbe comprare 2 chili di banane la settimana. Se spendesse tutto il suo reddito in sigarette, quanti pacchetti di sigarette la settimana potrebbe comprare? a) 36; b) 48; c) 9; d) nessuna delle altre risposte indicate è corretta. 2) Se un consumatore è disposto a scambiare sempre tre penne rosse con quattro penne blu e la sua funzione di utilità è definita solo su questi due beni, le sue curve di indifferenza saranno: a) rette; b) iperboli; c) parabole; d) spezzate. 3) Se per Armando vasi e fiori sono beni perfetti complementi, un aumento del consumo di vasi a parità di consumo di fiori comporterà per lui: a) un aumento dell utilità b) una diminuzione dell utilità c) nessuna variazione dell utilità d) il raggiungimento di una curva di indifferenza più alta 4) Un certo consumatore considera ogni tazza di caffè perfetto sostituto di due tazze di tè. Se una tazza di caffè costa 7$ e una tazza di tè costa 4$, quale sarà la sua domanda di tazze di tè se dispone di un reddito di 56$? a) sarà di 8 tazze di tè b) sarà di 6 tazze di tè c) sarà di una qualsiasi quantità fra 0 e 6 d) sarà di 0 tazze di tè 5) Per Armando X e Y sono beni perfettamente sostituibili; in particolare, egli è sempre disposto a scambiare 3 unità di X con 2 unità di Y. Il prezzo unitario di X è 5 euro, quello di Y è di 8 euro e il reddito di Armando è di 40 euro. Quante unità del bene Y consumerà Armando? a) 0;
b) 3; c) 5; d) 4. 6) Considerate il caso descritto nella domanda (5) e supponete che il prezzo unitario di X salga a 6 euro e tutto il resto rimanga invariato; quante unità di Y consumerà ora Armando? a) 3; b) 0; c) 5; d) 8. 7) I consumatori finlandesi pagano gli avocado il doppio di quanto pagano le pesche. Lo stesso non vale per i consumatori francesi per i quali i due frutti hanno lo stesso prezzo. Immaginate che i consumatori dei due stati massimizzano la loro utilità. Allora: a) I consumatori dei due stati hanno lo stesso saggio marginale di sostituzione tra i due beni; b) I consumatori francesi hanno un saggio marginale di sostituzione maggiore; c) I consumatori finlandesi hanno un saggio marginale di sostituzione maggiore; d) Non è possibile che entrambi massimizzino la loro utilità. 8) Il saggio marginale di sostituzione tra il bene x e il bene y rappresenta: a) Il rapporto tra il prezzo del bene x e quello del bene y; b) La quantità di y alla quale si è disposti a rinunciare per ottenere un unità aggiuntiva di x; c) Il rapporto tra la quantità del bene y e quella del bene x; d) La pendenza del vincolo di bilancio. SOLUZIONI: c,a,c,d,a,c,b,b. Esercizi Esercizio (Vincolo di bilancio) Antonio acquista 5 nuovi libri di testo durante il suo primo anno scolastico, al prezzo di 80 euro ciascuno. I testi usati costano solo 50 euro. Quando la libreria annuncia che imporrà un aumento del 0% del prezzo dei nuovi libri e del 5% di quello dei testi usati, il padre di Antonio offre lui 40 euro extra. ) Cosa accade al vincolo di bilancio di Antonio? Illustrate il cambiamento rappresentando i nuovi libri sull asse verticale; 2) Antonio sta meglio o peggio di prima? Spiegate. Svolgimento Punto () Nel primo anno Antonio spende 80 euro per ognuno dei 5 libri che acquista per un totale di 400 euro. Per lo stesso ammontare di denaro avrebbe potuto acquistare 8 libri usati. Il suo vincolo di 2
bilancio è dunque 80 N + 50 U = 400 dove N è il numero di libri nuovi, mentre U di libri usati. A seguito del cambiamento i nuovi libri costano 88 euro mentre quelli usati 52,5 euro e Antonio ha un reddito di 440 euro. Se dovesse decidere di spendere tutto il suo reddito potrebbe allora comprare 5 libri nuovi o 8,4 libri usati. Il nuovo vincolo di bilancio è 88 N + 52,5 U = 440. La retta ha ruotato ed è adesso meno inclinata che in precedenza. Si veda il diagramma seguente. Punto (2) Il primo anno Antonio sceglie una soluzione d angolo (5 nuovi libri, 0 usati). Il secondo anno, i 40 euro in più coprirebbero esattamente la differenza di costo della stessa soluzione rispetto all anno precedente (440-400=40). Antonio quindi non sta peggio, dato che può acquistare ancora 5 libri nuovi. Esercizio 2 (Vincolo di bilancio) Sabrina ha uno stipendio di.000 euro al mese, che spende totalmente in cene (il cui prezzo medio è di 50 euro) e scarpe (il cui prezzo medio è pari a 00 euro). ) Scrivere e rappresentare il vincolo di bilancio di Sabrina; 2) Sabrina si fidanza e, siccome il suo reddito è più alto di quello del suo compagno, deve pagare per tutti e due. Il costo medio di una cena diviene 00 euro; 3) La casa preferita da Sabrina presenta la collezione primavera-estate, con un nuovo modello il cui prezzo è pari a 200. Sabrina decide di comprare il nuovo modello; 4) A causa dell'inflazione, entrambi i prezzi aumentano del 50%; 5) Sabrina ottiene un aumento di stipendio. Il suo reddito mensile passa a 200 euro. Svolgimento Punto () Per scrivere il vincolo di bilancio è necessario individuare prezzi e reddito. I prezzi sono p "#" = 50; p "#$%& = 00 mentre il reddito è =.000 3
l equazione del vincolo di bilancio sarà allora 𝑅 = 𝑞"#" 𝑝"#" + 𝑞"#$%& 𝑝"#$%&.000 = 𝑞"#" 50 + 𝑞"#$%& 00 Per individuarne la pendenza è utile riscriverlo come 𝑞"#$%& = 𝑓(𝑀, 𝑞"#", 𝑝"#", 𝑝"#$%& ) otterremo quindi 𝑞"#$%& = 𝑅 𝑝"#$%& 𝑝"#".000 50 𝑞"#" 𝑞"#$%& = 𝑞 𝑝"#$%& 00 00 "#" 𝑞"#$%& = 0 𝑞"#" 2 il coefficiente di 𝑞"#" (che nel nostro caso sarà la variabile rappresentata sull asse delle ascisse) è appunto la pendenza del vincolo di bilancio e coincide con l opposto del rapporto tra i prezzi dei due beni, mentre = 0 è l intercetta del vincolo sull asse delle ordinate. La sua "#$%& rappresentazione grafica è dunque: scarpe$ = 0 pscarpe pcene = pscarpe 2 = 20 pcene cene$ Punto (2) Il testo di questo punto suggerisce una variazione del prezzo di un bene (le cene) fermo restando quello dell altro bene. Il vincolo di bilancio allora diverrà.000 = 𝑞"#" 00 + 𝑞"#$%& 00 ovvero 𝑞"#$%& =.000 00 𝑞 𝑞"#$%& = 0 𝑞"#" 00 00 "#" La variazione del prezzo ha quindi determinato un aumento dell inclinazione della retta (in valore assoluto). Il vincolo di bilancio ruota dunque in senso orario facendo perno sull intercetta verticale (dato che non varia la quantità massima di scarpe che Sabrina può permettersi) 4
Punto (3) In questo caso varia il prezzo delle scarpe. Il vincolo di bilancio allora diverrà.000 = 𝑞"#" 50 + 𝑞"#$%& 200 ovvero 𝑞"#$%& =.000 50 𝑞"#" 𝑞"#$%& = 5 𝑞"#" 200 200 4 La variazione del prezzo ha quindi determinato una riduzione dell inclinazione della retta (in valore assoluto). Il vincolo di bilancio ruota dunque adesso in senso antiorario facendo perno sull intercetta orizzontale (dato che non varia la quantità massima di cene che Sabrina può permettersi rispetto al punto ()). scarpe$ = 0 pscarpe =5 p ' scarpe pcene = pscarpe 2 pcene = p ' scarpe 4 = 20 pcene cene$ Punto (4) In questo caso è necessario calcolare il nuovo livello di entrambi i prezzi: 𝑝 "#" = 𝑝"#" + 0,5 ; 𝑝 "#$%& = 𝑝"#$%& + 0,5 𝑝 "#" = 50 + 0,5 = 75; 𝑝 "#$%& = 00 + 0,5 = 50 e il vincolo di bilancio che ne deriva sarà.000 = 𝑞"#" 75 + 𝑞"#$%& 50 ovvero 𝑞"#"# =.000 75 𝑞"#" 𝑞"#$%& = 6,6 𝑞"#" 50 50 2 La variazione del prezzo non ha determinato una riduzione dell inclinazione della retta, ovvero non è mutato il costo opportunità dei due beni. Il vincolo si sposta però parallelamente a se stesso verso sinistra: le possibilità di consumo di Sabrina quindi diminuiscono dato che entrambi i beni sono adesso più costosi. 5
scarpe$ p scarpe =0 p' scarpe = 6, 6 p cene p' scarpe = 2 p cene p scarpe = 2 p' cene =3,3 p cene = 20 cene$ Punto (5) In questo caso il vincolo di bilancio che sarà ovvero.200 = q "#" 50 + q "#$%& 00 q "#$%& =.200 00 50 00 q "#" q "#$%& = 2 2 q "#" L aumento non ha determinato una riduzione dell inclinazione della retta, ovvero ancora una volta non è mutato il costo opportunità dei due beni. Il vincolo si sposta questa volta parallelamente a se stesso verso destra ad indicare un aumento delle possibilità di consumo di Sabrina. scarpe$ ' p scarpe =2 p scarpe =0 p cene p scarpe = 2 ' p cene = 24 p cene = 20 cene$ 6
Esercizio 3 (Vincolo di bilancio, più difficile) Un consumatore percepisce un reddito di.000 euro e può acquistare solo orologi e televisori. Il prezzo dei due beni è rispettivamente di 25 euro e di 50 euro. ) Scrivete e disegnate il suo vincolo di bilancio rappresentando la quantità di orologi sull asse delle ordinate e quella dei televisori sull asse delle ascisse. 2) Definite una nuova coppia di prezzi per cui l inclinazione della retta non cambia. 3) Individuate la quantità massima di orologi che il consumatore può acquistare nel caso in cui rimanga costante quella massima di televisori e l inclinazione del vincolo sia pari a. 4) ipetete l esercizio del punto precedente nel caso in cui l inclinazione del vincolo sia pari a /2. 5) A partire dal vincolo identificato nel punto precedente e ipotizzando che il prezzo dei televisori non sia variato rispetto all ipotesi iniziale, trovate quale variazione di reddito sarebbe necessaria al consumatore per tornare a consumare la quantità massima di orologi che consumava in corrispondenza del vincolo originario. Con questo nuovo reddito quanti televisori potrebbe permettersi al massimo? Svolgimento Punto () Date le informazioni dell esercizio, l equazione del vincolo di bilancio sarà 000 = 25 O + 50 T O =.000 25 50 25 T O = 40 2 T dove O rappresenta la quantità di orologi e T quella di televisori: orologi) p O = 40 p T p O = 2 p T = 20 televisori) Punto (2) Una variazione dei prezzi nella stessa percentuale lascerebbe invariato il loro rapporto e quindi la pendenza del vincolo. Ad esempio, se i due prezzi raddoppiassero (un aumento del 00%) avremmo 7
che 𝑝 = 50; 𝑝 = 00 e.000 00 𝑇 50 50 𝑂 = 20 2 𝑇 000 = 50 𝑂 + 00 𝑇 𝑂 = Punto (3) Se la quantità massima acquistabile di televisori rimane costante, abbiamo necessariamente che 𝑅 = 20 𝑝 Se inoltre la nuova pendenza del vincolo è pari a -, abbiamo che 𝑝 = 𝑝 Allora, sostituendo la seconda equazione nella prima, abbiamo che 𝑅 = 20 𝑝 che è la quantità massima di orologi che adesso è possibile consumare. Punto (4) Nel caso in cui l inclinazione sia -/2, avremo che 𝑝 = e quindi 𝑝 2 𝑅 𝑅 = 20 𝑝 𝑅 = 20 𝑝 = 0 2 𝑝 Punto (5) Per quanto riguarda il punto (5), dato che il prezzo dei televisori non è cambiato e che vale ancora l ultima condizione p = p il prezzo degli orologi dovrà essere pari a p = 2 p = 00 Se il consumatore (nell ipotesi del punto (4)) riesce a consumare al massimo 0 unità di orologi avrà bisogno allora di un aumento di reddito pari al valore delle 30 unità che gli mancano per arrivare a quelle che riusciva a consumare nell ipotesi iniziale dell esercizio (punto ()). Dato il prezzo p = 00, il suo reddito dovrebbe allora aumentare di 30 00 = 3.000 𝑒𝑢𝑟𝑜; in quel caso, con un reddito pari a 𝑅 = 4.000 euro complessivi sarebbe in grado di acquistare al massimo 80 televisori 4000 = = 80 P 50 8
orologi) p O = 40 30) p' O =0 p T p O = 2 p T p O = 2 p T = 20 ' p T = 80 televisori) Esercizio 3 (Ottimo del consumatore) Mercuzio spende il suo buono pasto aziendale in pizze e burritos. ) appresentate il paniere ottimale di Mercuzio su un grafico con la pizza sull asse orizzontale. 2) Supponete adesso che la pizza sia tassata, causando così un aumento del prezzo del 20%. appresentate il nuovo paniere ottimale di Mercuzio. 3) Supponete adesso che la pizza sia razionata ad una quantità inferiore a quella ottimale per Mercuzio. appresentate il nuovo paniere ottimale di Mercuzio. Svolgimento Punto () Nel grafico sottostante il reddito di Mercuzio è, il prezzo della pizza è P e il prezzo dei burritos è P. Il vincolo di bilancio di Mercuzio è lineare ed egli sceglie la combinazione di beni rappresentata dal punto nel quale la sua curva di indifferenza è tangente al suo vincolo di bilancio (punto a). Questo lo posiziona sulla più alta curva di indifferenza, che è indicata con U. Mercuzio acquista dunque Z pizze e B burritos. Punto (2) Il prezzo della pizza aumenta del 20% e il vincolo di bilancio di Mercuzio ruota verso l interno. Il nuovo prezzo è P =,2 P. Questo restringe le possibilità di consumo di Mercuzio che infatti non potrà più acquistare il suo vecchio paniere. Il suo nuovo paniere è il paniere b. Nota: nel caso rappresentato in figura Mercuzio decide di comprare meno burritos ma, se le sue curve di indifferenza avessero avuto diversa forma, potrebbe aver deciso invece di consumarne di più. 9
Burritos / P b Vincolo'Pre+Tassazione' B a a B b b U a Vincolo'Post+Tassazione' U b / P' z Z b Z a / P z Pizza Punto (3) Il razionamento della pizza comporta l impossibilità di Mercuzio di accedere al suo vecchio paniere preferito a. L ammontare razionato di pizza è Z nel diagramma seguente. Mercuzio sceglierà allora il paniere c, sul vincolo di bilancio. Il nuovo paniere, in corrispondenza del quale egli acquista meno pizza e più burritos, gli dà un utilità inferiore (U < U ). Burritos / P b B c c B a a U a U c Z r Z a / P z Pizza 0
Esercizio 4 (Ottimo del consumatore) Il consumatore ha una funzione di utilità data da 𝑈 = 𝑥 𝑦 Il prezzo del bene 𝑥 è 6, il prezzo di 𝑦 è 9 e il reddito a disposizione 𝑅 = 54. ) Si calcoli e si rappresenti graficamente la curva di indifferenza di livello 2. 2) Si calcoli e si rappresenti graficamente la scelta ottimale del consumatore (𝑆𝑀𝑆 = 𝑦/2𝑥). Svolgimento Punto La curva in questione ha equazione implicita 2 = 𝑥 𝑦 ed esplicita 𝑦 = 4/ 𝑥. Passa per i punti (4, 2), (9,4/3), (6,). Punto 2 Per calcolare la scelta ottimale del consumatore è necessario innanzitutto scrivere l equazione del vincolo di bilancio: 54 = 6 𝑥 + 9 𝑦 ovvero 2 𝑦 =6 𝑥 3 la cui pendenza è pari a 2/3. Data la forma della funzione di utilità, le curve di indifferenza saranno necessariamente di forma iperbolica. Per trovare l ottimo del consumatore dovremo allora utilizzare il metodo della tangenza, ovvero imporre che il rapporto tra le utilità marginali derivanti dal consumo dei due beni (il saggio marginale di sostituzione) sia uguale al rapporto tra i prezzi. Il saggio marginale di sostituzione è 𝑈 𝑥 𝑦 𝑈 𝑥 𝑦 𝑆𝑀𝑆, = = 𝑥 = 4 = 𝑈 𝑦 𝑈 2 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 2 e la condizione di tangenza 𝑝 𝑦 2 𝑆𝑀𝑆, = = 𝑝 2 𝑥 3 da cui 4 𝑦 = 𝑥 3 e il sistema sarà 4 4 4 4 𝑥 𝑦= 𝑥 3 3 𝑦=3 𝑥 𝑦=3 𝑥 2 𝟒 𝟐 𝟐 𝒙=𝟔 𝒙=𝟑 𝑦=6 𝑥 𝒙=𝟔 𝒙 3 𝟑 𝟑 𝑦=
y = 4 x = 3 Sostituendo le quantità ottimali di x e y nella funzione di utilità U = (3) (4) = 3 4 =,3 2 = 2,62 possiamo verificare che il paniere ottimale giace sulla curva di indifferenza di livello 2,6. La rappresentazione grafica dell equilibrio è la seguente y 6" y* = 4 U = 2, 6 x* = 3 9" x Esercizio 5 (Ottimo del consumatore) Il consumatore ha una funzione di utilità data da U = x y Il prezzo del bene x è 4, il prezzo di y è 8 e il reddito a disposizione = 48. ) Si scriva il vincolo di bilancio e si determini il paniere d equilibrio. Quale livello di utilità raggiunge il consumatore? 2) Si scelga un livello di utilità inferiore o superiore a quello trovato e si indichi quale variazione nel reddito del consumatore (rispettivamente negativa e positiva) ne determinerebbe il raggiungimento. Svolgimento Punto Il vincolo di bilancio è 48 = 4 x + 8 y 2
L individuazione del paniere ottimale richiede innanzitutto di imporre la condizione di tangenza tra curve di indifferenza e vincolo di bilancio. A tal fine è necessario scrivere l equazione del saggio marginale di sostituzione. Questa volta, a differenza dello svolgimento dell esercizio precedente, utilizziamo la (analoga) formula 𝑎 𝑦 𝑆𝑀𝑆, = 𝑏 𝑥 dove a è l esponente del bene x, mentre b è l esponente del bene y nella funzione di tipo CobbDouglas. Avremo allora che: /3 𝑦 𝑦 𝑆𝑀𝑆, = = 2/3 𝑥 2 𝑥 e quindi la condizione di tangenza sarà: 𝑝 𝑦 𝑆𝑀𝑆, = = 𝑝 2 𝑥 2 da cui 𝑦=𝑥 questo significa che qualsiasi paniere ottimale deve essere tale che il consumatore scelga un uguale quantità dei due beni. Quante unità si potrà permettere di acquistare dipenderà dal suo livello di reddito; è infatti sostituendo la condizione di tangenza nel vincolo di bilancio che otteniamo la quantità ottimale: 48 = 4 𝑥 + 8 𝑥 48 = 2 𝑥 𝑥 = 4 e il paniere di equilibrio è quindi (4,4). Sostituendo le quantità di equilibrio nella funzione di utilità otteniamo 𝑈(4, 4) = 4 4 = 4 = 4 Punto 2 Un qualsiasi altro livello di utilità z sarebbe quindi raggiungibile solo potendo consumare un paniere (z, z). Questo significa che il reddito dell individuo dovrebbe essere almeno pari a 𝑅 = 4 𝑧 + 8 𝑧 𝑅 = 2 𝑧 a titolo di esempio, un utilità pari a 5 (z=5) sarebbe raggiungibile con un reddito pari a 60 (euro). Esercizio 6 (Ottimo del consumatore) La funzione di utilità di Giulio, che dispone di un reddito di 400 euro, è definita sui biglietti per la partita della sua squadra del cuore di calcio e i biglietti per il teatro. Essa assume la seguente forma (dove c sta per calcio e t per teatro): 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑐 𝑡 Sappiamo inoltre che l ingresso allo stadio costa 40 euro mentre quello a teatro 20 euro. ) Quanti biglietti per la partita e per il teatro consumerà Giulio in equilibrio? 2) Mantenendo fissi il prezzo del teatro e il reddito di Giulio si scriva la curva di domanda individuale di Giulio per le partite di calcio. 3) Quale equazione descriverà il consumo di biglietti per il teatro di Giulio in relazione al suo 3
reddito? Derivatela. Svolgimento Punto Il vincolo di bilancio di Giulio è 400 = 4 0 𝑐 + 20 𝑡 mentre il suo saggio marginale di sostituzione è pari a t/c. Da cui, 𝑡 40 = 𝑡 =2 𝑐 𝑐 20 Avremo dunque che 400 = 4 0 𝑐 + 40 𝑐 400 = 80 𝑐 𝑐 = 5 e quindi t=0. Punto 2 La curva di domanda individuale di biglietti per lo stadio è funzione unicamente del prezzo dei biglietti (𝑝 ). Dobbiamo allora ripetere la procedura dell esercizio precedente lasciando come incognita il prezzo dei biglietti per lo stadio. Nel nostro caso la condizione di tangenza è 𝑆𝑀𝑆, = 𝑝 𝑡 𝑝 = 𝑝 𝑐 20 da cui 𝑡= 𝑝 𝑐 20 avremo allora che è possibile scrivere il vincolo di bilancio di Giulio come 400 = 𝑝 𝑐 + 20 𝑡 400 = 𝑝 𝑐 + 20 𝑝 𝑐 40 = 2 𝑝 𝑐 20 da quest ultima uguaglianza ricaviamo 𝑐= 400 200 = 2 𝑝 𝑝 che è appunto la domanda di Giulio per i biglietti dello stadio. Quando, come nell esempio dell esercizio, il loro prezzo è pari a 40, Giulio ne compra infatti 5. Punto 3 Si tratta dell equazione della curva reddito-consumo dei biglietti per il teatro. Per derivarla è necessario risolvere il problema del consumatore lasciando come incognita il reddito (). icordiamo che la condizione di tangenza (dove ora abbiamo sostituito tutti e due i livelli di prezzo) è: 𝑡 =2 𝑐 mentre il vincolo di bilancio è 4
𝑅 = 40 𝑐 + 20 𝑡 sostituendo la prima nella seconda abbiamo 𝑹 𝑹 𝑡=2 𝑐 𝒕=𝟐 = 𝟖𝟎 𝟒𝟎 𝑹 𝑅 𝒄 = 𝑅 = 40 𝑐 + 20 𝑡 𝑹 = 𝟒𝟎 𝒄 + 𝟐 𝟐𝟎 𝒄 𝟖𝟎 𝒄 = 𝑹 𝟖𝟎 𝑐= 80 𝑡=2 𝑐 𝑡=2 𝑐 𝑡=2 𝑐 dunque 𝑡 = " è la curva reddito-consumo relativa ai biglietti per il teatro (mentre 𝑐 = " sarà quella relativa ai biglietti per lo stadio). In effetti, quando Giulio dispone di un reddito pari a 400 euro, consuma 400/80=5 biglietti per il teatro. Esercizio 7 (Ottimo del consumatore, beni perfetti sostituti) La funzione di utilità di Aldo è la seguente: 𝑈 (𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 5𝑦 Sapendo che il reddito di Aldo é pari a 60 euro e che 𝑝 = 2 e 𝑝 = 6, ) Determinate il paniere di equilibrio; 2) Come varia il paniere di equilibrio se Aldo subisce una riduzione del reddito pari al 20%? 3) Supponete che, dato il nuovo reddito, i prezzi di mercato varino, in modo che i nuovi prezzi siano 𝑝 = 4 e 𝑝 = 0. In corrispondenza del vecchio paniere di equilibrio (punto (2)), Aldo otteneva un utilità superiore, pari o inferiore a quella che ottiene in corrispondenza del nuovo? Svolgimento Punto Si osservi che data la forma della funzione di utilità le curve di indifferenza saranno delle rette e quindi, nel caso in cui la pendenza di queste sia diversa da quella del vincolo di bilancio, avremo una soluzione d angolo, ovvero il paniere d equilibrio sarà necessariamente un paniere con o x o y uguali a zero. Nel nostro caso il saggio marginale di sostituzione è pari a 𝑆𝑀𝑆, = mentre il rapporto tra i prezzi è = " 3 5 = 2. Le curve di indifferenza sono quindi meno inclinate del vincolo di bilancio e il paniere di equilibrio é in corrispondenza di 0 unità di y e 0 di x, ovvero l intercetta verticale del vincolo di bilancio 60 = 2 𝑥 + 6 𝑦 5
y 0" (x*, y*) = (0,0) #2" 5" #3/5" x Punto 2 Una riduzione del reddito del 20% non cambia la pendenza del vincolo di bilancio e quindi determina una variazione quantitativa del paniere di equilibrio ma non qualitativa (sarà sempre la soluzione d angolo sull asse delle ordinate); avremo che = 0, 8 = 60 0,8 = 48 e il paniere di equilibrio sarà in corrispondenza di y = " = 8. Possiamo ricavare l utilità che Aldo ottiene in corrispondenza di questo paniere sostituendo le quantità di equilibrio nella sua funzione di utilità. Avremo quindi che Punto 3 U (0, 8) = 3 0 + 5 8 = 40 Nel caso del punto (3) avremo invece un equilibrio in corrispondenza della soluzione d angolo opposta (sull asse delle ascisse) dato che il rapporto tra i prezzi è adesso inferiore rispetto all inclinazione delle curve di indifferenza. Il paniere di equilibrio sarà in corrispondenza di (2,0) e l utilità che Aldo ne deriva pari a inferiore al caso precedentemente illustrato. U (2, 0) = 3 2 + 5 0 = 36 6