Indice III TOMO MATEMATICA APPLICATA E INFORMATICA Sezione Quara Maemaica finanziaria Capiolo 0 Regimi finanziari Generalià sulle operazioni finanziarie 3 Regime finanziario dell ineresse semplice 5 3 Regime finanziario dello scono commerciale 4 Regime finanziario dell ineresse composo 8 5 Tassi equivaleni 7 6 Leggi scindibili e non scindibili 30 7 Problemi su operazioni finanziarie 33 In sinesi 37 Applicazioni informaiche 39 Capiolo Generalià sulle rendie 47 Monane di rendie emporanee di raa cosane 49 3 Valore auale di rendie emporanee di raa cosane 53 4 Rendie perpeue 58 5 Problemi sulle rendie 60 6 Cenno su alri ipi di rendie 66 7 Cosiuzione di capiale 69 In sinesi 73 Applicazioni informaiche 74 Capiolo Generalià sul rimborso dei presii 80 Valore di un presio 8 3 Rimborso globale 8 4 Ammorameno a due assi (o americano) 85 5 Ammorameno a quoe cosani di capiale 86 6 Ammorameno a rae cosani (o progressivo) 9 7 Leasing finanziario 98 8 Cenno sul rimborso di presii divisi 00 In sinesi 04 Applicazioni informaiche 06 Sezione Quina Maemaica dell incero Capiolo 3 Elemeni di calcolo combinaorio Rendie cere Rimborso di presii 46 79 Generalià sul calcolo combinaorio 3 Raggruppameni fra elemeni di due o più insiemi 3 3 Disposizioni 4 4 Permuazioni 9 5 Combinazioni 6 Proprieà dei coefficieni binomiali 4 7 Sviluppo della poenza di un binomio 6 8 Problemi sul calcolo combinaorio 7 In sinesi 8 Applicazioni informaiche 30 Capiolo 4 3 Il conceo di probabilià e la sua evoluzione 33 La probabilià nella concezione classica 34 3 La probabilià nella concezione frequenisa (o saisica) 36 4 La probabilià nella concezione soggeiva 38 5 La probabilià secondo l imposazione assiomaica 39 6 Probabilià della somma logica di eveni 44 7 Probabilià condizionaa 47 8 Probabilià del prodoo logico di eveni 5 9 Applicazioni della probabilià della somma e del prodoo 54 0 Teorema di Bayes 57 Problemi e applicazioni del calcolo delle probabilià 6 In sinesi 65 Applicazioni informaiche 67 Sezione Sesa Elemeni di informaica di base 7 Capiolo 5 Problemi, algorimi e auomi 7 Il problema 73 Il modello 74 3 L algorimo 75 4 Gli auomi 8 5 La macchina di Turing 84 6 I sisemi di elaborazione auomaica 87 In sinesi 90 Capiolo 6 Calcolo delle probabilià L ambiene Windows 9 I sisemi operaivi 93 La gesione dei file e delle carelle con Windows 95 3 La gesione dei comandi con Windows 96 4 Le applicazioni inegrae soo Windows 97 In sinesi 00
IV Capiolo 7 0 I linguaggi e la comunicazione 0 I linguaggi di programmazione 0 3 I linguaggi sruurai 03 4 Il sisema di accesso al Turbo Pascal 04 5 Le pari del programma e la sinassi principale 06 6 Le sruure fondamenali 09 7 Le funzioni e le procedure 3 8 I dai sruurai in array 7 In sinesi 8 Capiolo 8 0 Le caraerisiche dei fogli eleronici Il foglio eleronico Excel In sinesi 9 Capiolo 9 30 L ambiene di lavoro 3 Le espressioni 3 3 Equazioni e sisemi 34 4 I dai sruurai 36 5 I grafici di funzione 36 6 La risoluzione di problemi 38 In sinesi 39 Capiolo 0 40 L informaica in ree 4 La filosofia Inerne 4 3 La navigazione con Explorer 47 4 La posa eleronica con Oulook 50 5 Uso correo e consapevole degli srumeni di ree 5 In sinesi 54 ESERCIZI Capiolo 0 3 Il linguaggio Turbo Pascal Il foglio eleronico Excel Il sofware maemaico Derive L informaica in ree e il mondo di Inerne Regimi finanziari 58 Regime finanziario dell ineresse semplice 58 Regime finanziario dello scono commerciale 66 Regime finanziario dell ineresse composo 7 4 Leggi scindibili e non scindibili 84 5 Problemi sulle operazioni finanziarie 85 Tes finali di auovaluazione 90 Capiolo 9 Le rendie cere 9 Monane di rendie di raa cosane 9 3 Valore auale di rendie 97 4 Problemi sulle rendie 30 5 Problemi di ricapiolazione sulle rendie 307 6 Rendie in alri regimi finanziari 3 7 Cosiuzione di capiale 33 Tes finali di auovaluazione 30 Capiolo RCS LIBRI EDUCATION SPA 3 Rimborso di presii 33 Rimborso globale di presii 33 3 Ammorameno a due assi (americano) 38 4 Ammorameno a quoe cosani di capiale (uniforme, ialiano) 330 5 Ammorameno a rae cosani (progressivo, francese) 334 6 Leasing finanziario 343 7 Presii divisi 347 Tes finali di auovaluazione 349 Capiolo 3 35 Raggruppameni di elemeni di due o più insiemi 35 Disposizioni e permuazioni 35 3 Combinazioni 354 4 Poenze di binomi 356 Tes finali di auovaluazione 360 Capiolo 4 Rendie cere Rimborso di presii Elemeni di calcolo combinaorio Calcolo delle probabilià 36 La probabilià nella concezione classica, frequenisa e soggeiva 36 La probabilià secondo l imposazione assiomaica 368 3 Leggi sul calcolo delle probabilià 37 Tes finali di auovaluazione 394
sezione Quara Maemaica finanziaria 0 Regimi finanziari Rendie cere Rimborso di presii
capiolo 0 Regimi finanziari Prerequisii Saper operare con le poenze aveni base reale ed esponene reale e con i logarimi Saper risolvere equazioni algebriche ed equazioni esponenziali 3 Saper rappresenare graficamene ree, iperboli, funzioni esponenziali Conoscenze Conoscere le caraerisiche dei re regimi finanziari più uilizzai Acquisire il principio fondamenale di equivalenza finanziaria 3 Saper radurre in un modello maemaico un problema di maemaica finanziaria Abilià Saper risolvere problemi di capializzazione e di aualizzazione nei re regimi finanziari Saper deerminare, anche con l aiuo di srumeni informaici, il asso di invesimeno o il asso di coso di un operazione finanziaria Percorso REGIMI FINANZIARI dell ineresse semplice dell ineresse composo dello scono commerciale Principio di equivalenza finanziaria Operazioni finanziarie
capiolo 0 Regimi finanziari 3 Generalià sulle operazioni finanziarie La maemaica finanziaria classica, dea anche eoria del credio, si occupa di operazioni finanziarie, cioè di conrai che riguardano lo scambio di somme di denaro (dee in linguaggio ecnico capiali) disponibili a scadenze diverse. La maemaica finanziaria raa le operazioni cere, ossia le operazioni in cui non compare alcun elemeno aleaorio (cioè dovuo ad eveni in uo o in pare imprevedibili). Sono invece oggeo della maemaica auariale le operazioni nelle quali i capiali, o l epoca della loro riscossione, dipendono da fenomeni aleaori, come ad esempio i conrai di assicurazione sulla via, i conrai di assicurazione conro il rischio di furi o di incendi, ecc. Noa sorica Le origini della maemaica finanziaria sono molo aniche, legae alla praica di presare denaro a ineresse, praica già presene presso i Sumeri (3400 a. C.) e i Babilonesi, (dei quali rimangono norme per regolamenare l usura nel codice di Hammurabi del 50 a. C.) e sviluppaa successivamene nel commercio dagli Indiani e dagli Arabi. Anche nella Grecia e nella Roma anica sorsero le prime banche. Si deve però giungere alla scriura con il sisema di numerazione indo-arabico per poer formulare e risolvere problemi di ineresse e di scono come riporao nell opera Liber abaci di Leonardo Fibonacci (70-40 circa) e successivamene nella Summa de arimeica di Luca Pacioli (445-509 circa) che cosiuì per vari secoli una piera miliare per le operazioni di ineresse semplice e composo. RCS LIBRI EDUCATION SPA La maemaica finanziaria, naa come cosruzione eorica allo scopo di conferire rigore scienifico a calcoli praici di ineressi e di sconi, si è sviluppaa sia con l inroduzione di meodi maemaici più complessi, sia con l uilizzazione di srumeni di calcolo più poeni e ha rovao applicazione in vari campi dell economia e della ecnica riguardani operazioni esprimibili con valori moneari ceri. La maemaica finanziaria non si occupa di beni economici (case, erreni, macchinari, ecc.) in senso ecnico, ma solo del loro valore moneario. Le operazioni fondamenali della maemaica finanziaria sono le operazioni di capializzazione e le operazioni di scono. Nelle operazioni di capializzazione una persona, dea muuane o crediore, dà in uso per un prefissao periodo di empo (duraa del presio) un capiale C a un alra persona, dea muuaario o debiore. Il debiore si impegna a resiuire all epoca sabilia un alro capiale, che è la somma del capiale C avuo in presio e di un compenso I, deo ineresse. Come il possessore di un bene economico, ad esempio di un alloggio o di una nave, richiede un compenso per l uso di ale bene (affio per l alloggio, nolo per la nave), così il crediore ha dirio ad un compenso, deo ineresse, dal debiore che ha avuo la disponibilià del suo denaro. La somma del capiale C e dell ineresse I è dea monane, cioè: M = C + I e rappresena il valore di C dopo il empo di impiego. In generale, l ineresse non viene fissao globalmene per ogni operazione, ma si è solii assegnare l ineresse che produce un euro (o l unià monearia consideraa), dao in presio per il periodo di empo assuno come unià di misura (anno, semesre, rimesre, ecc.); queso ineresse è deo asso uniario annuo di ineresse i, se è riferio alla duraa di un anno; si parla anche di asso uniario semesrale di ineresse, se il periodo di empo è il semesre, di asso uniario rimesrale di ineresse, se il periodo di empo è il rimesre, ecc. Se non è specificao
4 sezione Quara Maemaica finanziaria diversamene, quando viene dao un asso uniario si inende un asso uniario annuo, anche se la parola annuo è aciua (in queso eso seguiremo quesa prassi). Esempio Una persona ha dao in presio il capiale di.000 ad un amico che resiuisce dopo un anno il capiale ricevuo ed un ineresse di 330. A quale asso annuo di ineresse quella persona ha impiegao il suo capiale? Il capiale di.000 dopo un anno vale.330. Per ricavare il asso annuo uniario di ineresse, essendo la duraa dell impiego di un anno, si imposa la proporzione: i : 330 = :. 000 da cui si ricava: 330 i = = 0, 075. 000 quindi il capiale è sao impiegao al asso uniario annuo i = 0,075. Nella praica commerciale i assi sono espressi in percenuale, ossia sul valore moneario 00, però nella maemaica finanziaria i assi sono sempre riferii all unià di monea, così ad esempio il asso uniario annuo i = 0,05 equivale al asso annuo del 5%. Le operazioni di scono riguardano il pagameno anicipao di un capiale scadene in fuuro, o l esinzione anicipaa di un debio. Una persona, che ha dirio a riscuoere un capiale (valore nominale del credio) scadene in un epoca fuura, cede ale dirio in cambio di un capiale minore (valore auale o somma sconaa) esigibile subio. Si chiama scono la differenza fra il valore nominale ed il valore auale; lo scono rappresena il compenso richieso da chi anicipa un capiale prima della sua scadenza. Anche per lo scono, come per l ineresse, si assegna un asso uniario di scono d, che rappresena lo scono su ogni euro disponibile dopo un periodo di empo uniario (di solio, anno; alvola, semesre, quadrimesre, ecc.). Esempio Il signor A cede il dirio di riscuoere fra un anno il capiale di.000 al signor B che in cambio gli dà oggi.880. Qual è il asso annuo di scono? Lo scono è di 0. Il asso annuo di scono, essendo il empo di anicipazione di un anno, si ricava dalla proporzione: d : 0 = :.000 0 d = = 006,. 000 Quindi il asso annuo di scono è d = 0,06. La locuzione scono nella maemaica finanziaria viene uilizzaa sia per indicare l operazione di pagameno anicipao, sia per indicare il compenso che spea a chi paga prima della scadenza. Facciamo noare che nel linguaggio correne il ermine scono è uilizzao come sinonimo di ribasso, abbuono, ecc., ossia come riduzione del coso di un bene, menre nella maemaica finanziaria nel conceo di scono enra il faore empo e si parla di scono solo per un pagameno anicipao. Dalle considerazioni precedeni si può evidenziare un imporane caraerisica delle operazioni finanziarie: ogni capiale ha un valore diverso in relazione all epoca alla quale è disponibile. Quindi è necessario associare al capiale anche una daa, ossia nella maemaica finanziaria ogni siuazione finanziaria è espressa da una coppia (C, T) cosiuia da un capiale C e da una daa T.
capiolo 0 Regimi finanziari 5 Osserviamo che per la valuazione non ineressano le dae espresse in anni, mesi, giorni, ma ineressa solo l inervallo di empo fra due dae. Il primo problema che si deve affronare è quello di deerminare il valore di un capiale ad un epoca diversa, ossia si deve effeuare l operazione che fa passare da una siuazione finanziaria ad un alra. Se il capiale viene valuao ad una daa poseriore, l operazione è dea di capializzazione e serve a porare avani il capiale nel empo; se, invece, si riferisce ad una daa aneriore, l operazione è dea di aualizzazione o di scono (o di anicipazione) e serve a porare indiero il capiale nel empo. Il problema si schemaizza rappresenando, su una rea orienaa, le coppie (capiale-empo): Capializzazione C C Aualizzazione T T Ad ogni legge di capializzazione si può associare una legge di scono e viceversa, in quano le due operazioni sono una l inversa dell alra. Due siuazioni finanziarie (C, T ) e (C, T ) si dicono equivaleni (o indiffereni), in un regime finanziario, se si riiene equo lo scambio del capiale C all epoca T, con il capiale C all epoca T. Si possono sabilire varie leggi per la capializzazione e per l aualizzazione, basa che muuaario e muuane si accordino fra loro, però in praica i regimi più uilizzai sono i segueni: regime finanziario dell ineresse semplice; regime finanziario dello scono commerciale; regime finanziario dell ineresse composo. Regime finanziario dell ineresse semplice Ineresse semplice e monane Il regime finanziario dell ineresse semplice è basao sulla seguene proprieà caraerisica: L ineresse semplice prodoo da un capiale impiegao per un cero periodo di empo è proporzionale al capiale C impiegao e alla duraa dell impiego. Indicao con i il asso uniario annuo ed espresso il empo in anni e frazioni di anno, l ineresse risula: () I = Ci La formula è valida anche quando il asso non è annuo, ma è relaivo a di anno k purché il empo sia espresso nella sessa unià di misura. Se il asso è semesrale, il empo deve essere espresso in semesri e frazioni di semesre, ecc.
6 sezione Quara Maemaica finanziaria Il monane è dao da: M = C + I = C + Ci = C ( + i) Si ha quindi la legge della capializzazione ad ineresse semplice: () M = C ( + i) Il binomio ( + i) è deo faore di capializzazione ad ineresse semplice e permee di deerminare il valore assuno dal capiale C dopo un empo, al asso i; nel regime finanziario dell ineresse semplice, il binomio è l operaore che pora avani il capiale nel empo: C ( +i ) M 0 Esempio RCS LIBRI EDUCATION SPA Nello schema si è fissaa l origine dei empi alla daa di sipulazione del conrao. Il regime finanziario dell ineresse semplice si può applicare qualunque sia il empo di impiego; in praica però si uilizza per periodi brevi, generalmene non superiori all anno. Assegnao un capiale C impiegao a un asso i, l ineresse I e il monane M sono funzioni del empo di impiego, precisamene sono funzioni lineari di. La rappresenazione grafica delle due leggi () e () in un sisema di assi caresiani orogonali è cosiuia da due ree parallele (o, meglio, da due semiree perché hanno significao economico solo i valori posiivi di ). Rappresenare graficamene le funzioni dell ineresse semplice e del monane per un capiale C = 00 impiegao al asso annuo i = 0,0. L ineresse è dao dalla funzione: I = 0 che si rappresena mediane una rea passane per l origine con coefficiene angolare 0. Il monane è dao dalla funzione: M = 00 + 0 che si rappresena mediane una rea non passane per l origine di coefficiene angolare 0 e quindi parallela alla precedene rea. Si ha il seguene grafico (dove sugli assi si sono assune unià di misura diverse): I M M = 00 +0 00 I = 0 O 3 Noiamo che il coefficiene angolare dipende dal asso; la rappresenazione dell ineresse semplice nel seguene esempio mosra per alcuni assi come varia l ineresse.
capiolo 0 Regimi finanziari 7 Esempio Supposo C = rappresenare graficamene la legge dell ineresse semplice per i segueni assi annui: 0%, 5%, 0%, 5% Si devono rappresenare le segueni funzioni: I = 0,0 I = 0,5 I = 0,0 I = 0,5 I 0,75 I =0,5 I =0,0 0,50 I =0,5 I =0,0 0,0 0,0 O 3 Vediamo qualche problema di applicazione della legge di capializzazione ad ineresse semplice. Noiamo che nel calcolo dell ineresse semplice, quando la duraa è espressa in giorni, se non sono precisae le dae si uilizza soliamene l anno commerciale di 360 giorni. Esempi 3 Calcolare l ineresse semplice ed il monane del capiale di 8.000 impiegao per 5 mesi al asso annuo del 6%. Essendo assegnao il asso annuo i = 0,06, esprimiamo il empo in frazione di anno: = = 5 5 mesi di anno Dalle relazioni () e () si ricava: I = Ci = 8. 000 0, 06 5 = 00 (euro) M = C + I = 8. 000 + 00 = 8. 00 (euro) 4 Calcolare l ineresse semplice prodoo dal capiale di.000 impiegao per 8 mesi 6 giorni al asso annuo del 4,50%. Essendo il asso annuo i = 0,045 esprimiamo il empo in frazione di anno: 8 6 = = + = 56 8 mesi 6 giorni di anno di anno 360 360 I =. 000 0, 045 56 = 384 (euro) 360 5 Calcolare l ineresse semplice ed il monane prodoo dal capiale di 6.600 impiegao per 4 mesi 5 giorni al asso rimesrale dell %. Il asso non è annuo, le formule sono le sesse del asso annuo, però si deve esprimere il empo in rimesri e frazioni di rimesre: = 4 = + 5 mesi 5 giorni + = 3 90 35 90 di rimesre si ricava: I = 6. 600 0, 0 35 = 99 (euro) 90 M = 6. 600 + 99 = 6. 699 (euro)
8 sezione Quara Maemaica finanziaria Osserviamo che per il calcolo del empo si può anche rasformare uo in giorni e quindi dividere per il numero di giorni che vi sono in un rimesre: = = = Ê Ë Á 35 ˆ 4 mesi5 giorni 35 giorni di rimesre 90 6 Vogliamo disporre della somma di 5.500 fra 8 mesi. Quale capiale dobbiamo versare su un libreo di risparmio al asso annuo del 3%? L incognia è il capiale iniziale, essendo noo il monane. Esprimiamo il empo in frazione di anno: = = Ê Ë Á 8 ˆ 8mesi di anno Dalla () si ha: Ê 5. 500 = + 0, 03 8 ˆ C Á Ë Si ricava: 5. 500 C = + 003, 8 = 5. 000 Perciò versando oggi 5.000 poremo riirare fra 8 mesi 5.500. 7 Una persona ha impiegao il capiale di 8.400 al asso annuo del 4%. Dopo quano empo porà riirare il monane di 8.58? Dalla relazione () si ha l equazione: e risolvendo si oiene: 8. 58 = 8. 400 + 0, 04 = 0, 546 di anno Per deerminare i giorni di impiego si moliplica il valore rovao per 360 e si ricava: = 0, 546 360 = 95 giorni = 6 mesi 5 giorni Si può anche seguire un alro procedimeno. Si moliplica la pare decimale del empo per : 0, 546 = 6, 5 e la pare inera 6 dà i mesi. Si moliplica per 30 la pare decimale e si oengono i giorni: 0, 5 30 = 5 ( ) perciò: = 6 mesi 5 giorni 8 Abbiamo impiegao il capiale di.800 ad ineresse semplice e dopo anno e 3 mesi abbiamo riirao il monane di 3.30. Deerminare il asso annuo di impiego. Possiamo uilizzare sia la relazione (), sia la relazione (). L ineresse prodoo è dao da: I = M - C = 3. 30 -. 800 = 50 ( euro) Dalla formula () dell ineresse, essendo 50 =. 800 5 i da cui si ricava: i = 0,035. = = Ê Ë Á 5 ˆ anno 3 mesi di anno, si ha:
capiolo 0 Regimi finanziari 9 Si può imposare direamene la () dal monane: Ê 3 30 800 5 ˆ. =. Á + i Ë da cui si ricava: 3. 30 -. 800 i = = 800 5 0, 035. 9 Calcolare quale capiale impiegao ad ineresse semplice per 8 mesi e 0 giorni al asso semesrale del 3% produce un ineresse di 650. Essendo il asso semesrale si deve esprimere il empo in semesri e frazioni di semesre: Ê 0 ˆ = = Á + + = Ê Ë Ë Á 60 ˆ 8 mesi 0 giorni di semesre di semesre 6 80 80 Applicando la formula () dell ineresse si ha: 650 = C 0, 03 60 80 da cui si ricava l imporo del capiale impiegao: C = 5.000 (euro). RCS LIBRI EDUCATION SPA 0 Abbiamo deposiao in banca il capiale di 36.000 al asso annuo del 3%. Dopo 4 mesi il asso è sao ridoo al,50%. Quale monane si porà riirare dopo 4 mesi dall inizio del deposio? Essendo avvenuo un cambiameno di asso si devono calcolare gli ineressi separaamene per i primi 4 mesi e per i successivi 0 mesi. L ineresse complessivo risula: I = 36 000 0 03 4 0., + 36. 000 0, 05 =. 0 ( euro) M = 36. 000 +. 0 = 37. 0 (euro) Dopo 4 mesi poremo riirare 37.0. Una persona invese il capiale di 4.000 ad ineresse semplice in un operazione finanziaria. Il asso annuo inizialmene del 6% dopo un cero empo è sao ridoo al 5%. Sapendo che dopo 8 mesi riira il monane di 4.860, deerminare quando, dall inizio dell impiego, è avvenuo il cambiameno di asso. A quale asso cosane quella persona ha invesio il suo capiale? L ineresse semplice è I = M - C = 4.860-4.000 = 860 (euro). x Indichiamo con il empo dell impiego iniziale (dove x è espresso in mesi), quindi il empo 8 - x successivo risula. Si imposa l equazione: x 4 000 0 06 4 000 0 05 8 - x., +., = 860 da cui si oiene x = 3, perciò il cambiameno di asso è avvenuo dopo 3 mesi. Per ricavare quale asso cosane (deo anche asso medio) è sao invesio il capiale iniziale, si imposa l equazione: da cui si ricava i = 0,05375. Scono semplice o razionale Ad ogni legge di capializzazione è associaa una legge di scono. Se è noo il monane M, che rappresena il valore del capiale C dopo il empo, dalla legge () della capializzazione semplice si ricava il valore auale C: (3) C 4. 000 8 i = 860 M = +i
0 sezione Quara Maemaica finanziaria Il calcolo di C ineressa chi paga un debio, o chi riscuoe un credio, prima della scadenza. Il capiale M è deo valore nominale del credio, o del debio, esigibile al empo, il capiale C è deo valore auale o somma sconaa. Osserviamo che il capiale C è deo valore auale o somma sconaa. Fra quese due locuzioni vi è una cera differenza; precisamene: si preferisce parlare di somma sconaa se si raa effeivamene della cessione di un credio o del pagameno anicipao di un debio, menre si preferisce parlare di valore auale se si vuole valuare il capiale M disponibile al empo. Il faore +i è deo faore di scono semplice ed è l operaore che consene di porare indiero, ossia che aualizza un capiale M; le due siuazioni finanziarie (C, 0) e (M, ) sono equivaleni nel regime finanziario dell ineresse semplice: C +i M 0 La differenza fra M e C dà lo scono semplice o razionale (ricordando la (3)): M Mi Sr = M - C = M - = + i + i e, applicando ancora la (3), si ricava: (4) Mi Sr = + i = Ci Si ha la definizione: Lo scono semplice (o razionale) è uguale all ineresse che la somma sconaa produrrebbe se venisse impiegaa allo sesso asso per il empo di anicipazione. Vedere paragrafo 8, capiolo 9. Esempi Il valore auale di un capiale per un asso fissao è funzione decrescene rispeo al empo. M Si riconosce facilmene che la funzione C = è una funzione omografica e + i si rappresena con una iperbole equilaera avene per asinoi l asse delle ascisse e una rea parallela all asse delle ordinae di equazione = -. i Tracciare il grafico della funzione che dà il valore auale del capiale M = 00, al asso annuo i = 0,0 al variare del empo, ossia racciare il grafico della funzione: 00 C = + 00, La funzione si rappresena con un iperbole equilaera avene come asinoi le ree di equazione C = 0 e = -. Essendo il empo 0 cosruiamo il grafico dell arco di iperbole 00, nel primo quadrane assegnando a alcuni valori in anni:
capiolo 0 Regimi finanziari 0 3 4 5 6 C 00 83,33 7,43 6,50 55,56 50 45,45 C 00 80 60 40 0 O 3 4 5 6 3 Si salda 4 mesi prima della scadenza il debio di.530 al asso annuo del 6%. Calcolare la somma sconaa e lo scono razionale. La somma sconaa si ricava applicando la (3):. 530 C = + 006, 4 =. 500 (euro) e lo scono razionale è: S r =.530 -.500 = 30 (euro) Lo scono razionale si può anche calcolare applicando la (4):. 530 0, 06 4 S r = + 006, 4 = 30 (euro) 4 Vogliamo saldare anicipaamene due debii di 4.000 ciascuno, scadeni fra 9 mesi, sconandoli razionalmene il primo al asso annuo del 4%, il secondo al asso annuo dell 8%. Calcolare la somma complessiva sconaa e lo scono. La somma sconaa per ognuno dei due debii è: C C 4. 000 = + 0, 04 9 4. 000 = + 0, 08 9 = 3. 300, 97 (euro) =. 64, 5 (euro) Noiamo come per lo sesso empo a asso maggiore corrisponde una somma sconaa minore, poiché al crescere del asso il valore auale di un capiale diminuisce. La somma sconaa complessiva è: C = C + C = 45. 94, 48 (euro) e lo scono complessivo risula: S r = 48. 000-45. 94, 48 =. 057, 5 (euro) 5 Una cambiale del valore nominale di 6,6 è sconaa razionalmene al asso annuo dell 8%. Sapendo che la somma sconaa è di 5,5, calcolare la scadenza della cambiale. Applicando la (3) si ha: 6, 6 5, 5 = + 008,
sezione Quara Maemaica finanziaria e quindi si ricava: = Ê Ë Á 6 ˆ di anno = 6 mesi Si può anche uilizzare la (4) dopo avere calcolao lo scono razionale S r = 0,: 0, = 5, 5 0, 08 0, = = Ê Ë Á ˆ di anno = 6 mesi 5, 5 0, 08 6 Una cambiale è sconaa razionalmene 0 mesi prima della scadenza. 5 Qual è il asso applicao se la somma sconaa è del valore nominale? 6 5 Indicao con M il valore nominale, la somma sconaa è M e lo scono è M. 6 6 Dalla relazione (4): 5 0 M = M i 6 6 3 si ricava: perciò il asso applicao è 8%. Regime finanziario dello scono commerciale RCS LIBRI EDUCATION SPA Scono commerciale Consideriamo dapprima la legge dello scono perché è molo più imporane, per le applicazioni commerciali, che non la capializzazione commerciale. Indichiamo con M il valore nominale del credio o del debio scadene dopo un empo, e con d il asso annuo di scono. Lo scono commerciale di un capiale scadene dopo un empo è proporzionale al valore nominale M del capiale e al empo di anicipo. In formula: i = = 50 008, (5) Sc = Md Si ricava la somma sconaa o valore auale nel regime dello scono commerciale come differenza fra il valore nominale e lo scono: (6) C = M - Sc = M ( - d) Come nel regime finanziario dell ineresse semplice, anche nel regime dello scono commerciale la somma sconaa decresce al crescere di. Vi è una limiazione imporane per l applicazione di queso regime: da un puno di visa finanziario esso ha senso solo se ( - d) > 0, cioè: < d poiché, se fosse, lo scono risulerebbe uguale o superiore al valore nominale e la somma sconaa sarebbe uguale a zero o d negaiva.
capiolo 0 Regimi finanziari 3 Anche queso regime, in generale, si applica per empi non superiori all anno. La somma sconaa è, per M e d assegnai, funzione lineare del empo di anicipo e si rappresena quindi con una rea avene coefficiene angolare negaivo. Esempi Siano M = 00 e d = 0,; la funzione: C = 00 - si rappresena con un segmeno di rea per valori di dell inervallo È È 0;. Î Í 0, Î Í C 00 0 8 C 00 4 80 60 40 0 O 3 4 5 6 7 8 Una cambiale di 630 è sconaa commercialmene 4 mesi prima della scadenza al asso di scono annuo dell 8%. Calcolare lo scono e la somma sconaa. Dalle (5) e (6) si ricava: Sc = 630 0, 08 4 = 6, 8 (euro) C = 630-6, 8 = 63, (euro) 3 Con il pagameno di 3.47 si salda anicipaamene un debio di 3.600 al asso annuo di scono commerciale del 5%. Calcolare il empo di anicipazione. Lo scono è S c = 3. 600-3. 47 = 8 (euro). Applicando la (5) si ha l equazione: 8 = 3. 600 0, 05 8 = = ( 07, ) di anno = 8 mesi 6 giorni 3. 600 0, 05 4 Saldiamo anicipaamene un debio di 5.000 scadene fra 0 mesi e oeniamo uno scono commerciale di.5. Deerminare il asso annuo di scono applicao. Dall equazione: si ricava: 0. 5 = 5. 000 d. 5 d = = 5 000 0 009,. perciò il asso applicao è 9%. 5 Per l acquiso di una merce sono richiesi re pagameni di uguale imporo, ognuno pari a.600: il primo alla consegna, il secondo dopo 3 mesi, il erzo dopo 6 mesi. Se si paga uo alla consegna si può usufruire di uno scono commerciale al asso annuo del 7,5%. Deerminare quano si dovrebbe pagare complessivamene alla consegna.
4 sezione Quara Maemaica finanziaria Rappreseniamo l operazione mediane uno schema emporale, fissando l'origine O sull asse dei empi in corrispondenza del momeno della consegna:.600.600.600 0 3 6 Lo scono viene applicao ai capiali fuuri. Si ha: Ê ˆ C = + Á - Ë + Ê Á Ë - ˆ 3. 600. 600 0, 075 3. 600 0, 075 6 = 4. 70 pagameno 4444 44443 4444 44443 valore auale del pagameno valore auale del 3 pagameno Alla consegna si devono pagare 4.70 con uno scono complessivo di 90. Monane nella capializzazione commerciale Dalla formula del valore auale C di un capiale M nello scono commerciale si ricava immediaamene la legge di capializzazione commerciale (dea anche legge di capializzazione iperbolica). Precisamene si ha: (7) M C = - d dove M è il monane del capiale C impiegao per un empo ad un asso di scono d, deo anche asso di ineresse anicipao. Si ricava facilmene l imporo dell ineresse anicipao: L ineresse anicipao prodoo dal capiale C è uguale allo scono commerciale applicao al monane M allo sesso asso per lo sesso empo. Per un asso d il monane è funzione di e si rappresena con un arco di iperbole equilaera nell inervallo perché, come già è sao deo per il valore auale, non ha significao per ; anzi, essendo = l asinoo vericale, si vede d d che quando si avvicina a il valore di M cresce rapidamene, endendo all in- d finio. C Cd I = M - C = - C = = Md - d - d 0 < d Esempi 6 Rappresenare graficamene il monane del capiale C = 00 al asso di ineresse anicipao d = 0,0. La funzione del monane è: M 00 = - 00, e si può rappresenare graficamene per <, ossia per < 5, con un arco di iperbole 0, equilaera avene asinoo vericale di equazione = 5 ed asinoo orizzonale di equazione M = 0.
capiolo 0 Regimi finanziari 5 M 000 M 0 00 0,5, 5 66,67 3 50 4 500 4,5 000 500 400 300 00 00 O 3 4 4,5 5 6 Si deve noare come il monane cresca rapidamene quando il empo di impiego si avvicina al valore 5. RCS LIBRI EDUCATION SPA 7 Calcolare il monane del capiale di 6.000 impiegao per 9 mesi nella capializzazione commerciale al asso annuo di ineresse anicipao del 6%. Quale monane si sarebbe accumulao se la capializzazione fosse saa ad ineresse semplice con lo sesso asso e la sessa duraa? Applicando la legge (7) si ricava: 6. 000 M = = -0 06 9 6. 8, 7 (euro), Con la capializzazione ad ineresse semplice il monane sarebbe sao: Ê ˆ M = 6. 000 Á + 0, 06 9 = 6. 70 (euro) Ë L esempio indica che, se il asso di impiego è eguale, è più conveniene impiegare il capiale nella capializzazione commerciale che nella capializzazione semplice. 8 A quale asso annuo anicipao è sao impiegao il capiale di.370 che ha prodoo in un anno e mesi il monane di.000? Per la (7) si imposa l equazione:. 370. 000 = - 7 d 6 da cui si ricava d = 0, 045. Relazione fra il asso annuo di ineresse e il asso annuo di scono Vogliamo ricavare la relazione che lega il asso annuo di ineresse i e il asso annuo di scono d. Vediamo un semplice problema. PROBLEMA Si invese oggi il capiale di.000 e dopo un anno si riira il monane di.00. Possiamo dire che il capiale di.000 ha fruao l ineresse di 00, ossia che nell operazione il capiale è sao invesio ad un asso annuo di ineresse posicipao:. 00 -. 000 i = = 00,. 000 La sessa operazione può essere inerpreaa in un alro modo:.000 è il valore auale di.00 al asso annuo di scono commerciale o al asso annuo di ineresse anicipao:. 00 -. 000 d = = 009,. 00
6 sezione Quara Maemaica finanziaria L operazione è di uso frequene nei presii bancari: la banca, all ao del presio, raiene gli ineressi anicipai sulla somma che il cliene dovrà versare alla scadenza. Con i valori del problema la banca, sul capiale di.00 che il cliene deve resiuire dopo un anno, raiene l ineresse anicipao al asso del 909, % e dà al cliene.000. Si dice che il asso annuo di ineresse posicipao del 0% è equivalene al asso annuo di ineresse anicipao del 909, %. In generale, invesendo oggi il capiale C per ricevere dopo un anno il monane M, si può affermare che C è sao invesio ad un asso di ineresse posicipao: M -C M (*) i = = - C C D alra pare si può anche dire che sul capiale M, esigibile dopo un anno, è saa faa una rienua al asso di scono o di ineresse anicipao: M -C C (**) d = = - M M Dalla relazione (*) si ricava: M C = + C i M = e + i che, sosiuia nella (**), permee di esprimere d in funzione di i: (8) d = - i perciò d < i + i = + i Se si pare dalla relazione (**), con passaggi analoghi, si ricava i in funzione di d: (9) i d = - d La (8) e la (9) sono relazioni fra il asso annuo di ineresse posicipao i e il asso annuo di ineresse anicipao d relaivi ad una sessa operazione. Esempi 9 Calcolare il asso annuo di scono equivalene al asso annuo di ineresse posicipao i = 0,08. Applicando la (8) si ha: Perciò il asso annuo di ineresse dell 8% è equivalene al asso annuo di scono del 7,4074% (circa). 0 Calcolare il asso annuo di ineresse posicipao equivalene al asso annuo di ineresse anicipao d = 0,0675. Applicando la (9) si ricava: 008, d = = 0, 074074074... + 008, 0, 0675 i = = - 0 0675 0,, 073860... Perciò il asso annuo di ineresse anicipao del 6,75% equivale al asso annuo di ineresse posicipao del 7,386% (circa). Mediane la (9) si possono esprimere le leggi della capializzazione semplice, o dello scono razionale, in funzione del asso di ineresse anicipao d e mediane la (8) si possono esprimere le leggi della capializzazione commerciale e dello scono commerciale in funzione del asso di ineresse posicipao i.
capiolo 0 Regimi finanziari 7 Osserviamo che, quando si parla di asso di ineresse senza uleriore precisazione, si inende il asso di ineresse posicipao. Le relazioni (8) e (9) esprimono il legame fra i e d quando il empo di riferimeno è l anno. Quese relazioni si possono generalizzare imponendo che gli ineressi prodoi da uno sesso capiale C per la sessa duraa dell impiego nella capializzazione semplice e nella capializzazione commerciale, siano eguali, cioè: Cd Ci = - d Con alcuni passaggi si ricavano le relazioni: i (8 ) d = (9 ) (9 ) + i d i = - d che valgono qualunque sia la duraa dell impiego. In paricolare ponendo = si rirovano le precedeni (8) e (9). Confrono fra scono commerciale e scono razionale Un problema che spesso ineressa chi vuole riscuoere anicipaamene un credio, o ha una cambiale da sconare, è il seguene: al crediore è più conveniene lo scono commerciale o lo scono razionale? Fissao un asso di scono, esprimiamo anche la legge dello scono razionale in funzione di d servendoci della (9). Precisamene si ricava: (0) Mi Md Sr = = + i + - d ( ) menre lo scono commerciale è dao da: S c = M d Per <, il denominaore di S r è minore di, quindi risula S r > S c. Si può dire che per uno sesso asso di scono d, e per <, lo scono commerciale è minore dello scono razionale e quindi la somma sconaa commercialmene è maggiore della somma sconaa razionalmene. Per =, si ha S r = S c. Per > (ma sempre inferiore a alrimeni lo scono commerciale perde di d, significao) si ha la relazione opposa S r < S c, lo scono commerciale è maggiore dello scono razionale e quindi la somma sconaa commercialmene è inferiore alla somma sconaa razionalmene. Rappresenando graficamene le due funzioni si può meglio evidenziare quano deo sopra. Esempi Se M = 00 e d = 0,0 si hanno le funzioni: 0 Sc = 0 Sr = + - 00, ( ) < 5 La prima si rappresena con un segmeno di rea, la seconda con un arco di iperbole. Assegniamo a alcuni valori sia inferiori che superiori a e cosruiamo le due abelle e i relaivi grafici.
8 sezione Quara Maemaica finanziaria S c S r S c S r 0 4 3 4 3 0 5 0 5 0 30 40 0 4 3 4 3 0 5,88, 5,79 0 7,7 33,33 40 30 0 0 S c S r 4 3 4 3 Come deo prima, per 0 < < si ha S r > S c e per > si ha S r < S c. RCS LIBRI EDUCATION SPA Una cambiale di 3.600 viene sconaa 4 mesi prima della scadenza. Deerminare lo scono commerciale, lo scono razionale e le relaive somme sconae al asso annuo di scono del 0%. Lo scono commerciale e la somma sconaa commercialmene sono: Sc = 3. 600 0, 0 4 = 0 C = ( euro) 3. 480 ( euro) Lo scono razionale e la relaiva somma sconaa razionalmene sono: 3. 600 0, 0 4 Sr = = 8, 57 ( euro) C = 3. 47, 43 ( euro) Ê 4 ˆ + Á - Ë 00, Essendo <, per il crediore è più conveniene lo scono commerciale. 3 Una persona cede un credio di 5.000 scadene fra anno e 3 mesi. Calcolare la somma sconaa sia se si applica lo scono commerciale, sia se si applica lo scono razionale al asso annuo di scono del 7%. 3 5 Il empo è = + = di anno. 4 Lo scono commerciale e la somma sconaa commercialmene risulano: Sc = 5. 000 0, 07 5 = 437 C 4, 5 ( euro) = 4. 56, 5 ( euro) Lo scono razionale e la somma sconaa razionalmene risulano: 5. 000 0, 07 5 Sr = 4 = 49, 98 ( euro) C = 4. 570, 0 ( euro) Ê 5 ˆ + Á - Ë 4 0, 07 In queso caso essendo > conviene al crediore lo scono razionale. 4 Regime finanziario dell ineresse composo Monane nella capializzazione composa Nel regime finanziario dell ineresse semplice, l ineresse è disponibile solo alla fine del empo di impiego del capiale. Nella praica commerciale, se la duraa dell impiego è superiore al periodo relaivo al asso (cioè superiore all anno in caso di asso annuo, superiore al semesre in caso di asso semesrale, ecc.), non si applica la capializzazione ad ineresse semplice.
capiolo 0 Regimi finanziari 9 Ad esempio, nei coni correni, la banca calcola l ineresse maurao, in generale, alla fine di ogni anno (alvola alla fine di ogni rimesre) e, se l ineresse non viene riirao, la banca lo mee a fruo, insieme al capiale, per uo il periodo successivo. Proprieà caraerisica del regime finanziario dell ineresse composo: gli ineressi maurai alla fine di ogni periodo si aggiungono al capiale e divenano fruiferi per i periodi successivi. Prima di ricavare la legge che dà il monane nella capializzazione composa, vediamo un problema inroduivo. PROBLEMA Una persona deposia in banca il capiale di 5.000 al asso annuo del % per 3 anni. Esaminare come risula il monane alla fine dei 3 anni se viene reinvesio. Alla fine del primo anno maurano gli ineressi I = 5.000 0,0 = 500 (euro) e il monane risula: M = C + I = 5. 000 + 500 = 5. 500 (euro) Se gli ineressi non vengono riirai il monane M divena capiale per l anno successivo. Alla fine del secondo anno gli ineressi si calcolano su M ed il nuovo monane è: M = 5. 500 + 0, 0 5. 500 = 6. 00 (euro) Analogamene alla fine del erzo anno gli ineressi si calcolano su M e si ha il nuovo monane: M 3 = 6. 00 + 0, 0 6. 00 = 6. 530, (euro) Vogliamo deerminare la legge della capializzazione ad ineresse composo per il capiale C impiegao per n anni, al asso annuo i (in generale per n periodi con il asso relaivo al periodo di capializzazione). Rappreseniamo empi e monani con uno schema emporale: C M M M 3... M n = M Il monane alla fine del primo anno è dao da: M = C + Ci = C ( + i) Queso monane divena il capiale su cui calcolare gli ineressi per l anno successivo e così di seguio. Si ha allora: M = M + M i = M ( + i) = C ( + i) M 3 = M + M i = M ( + i) = C ( + i) 3 Si può dimosrare, per induzione, la legge del monane ad ineresse composo: () 0 3... n M = C ( + i) n Dimosrazione La legge è vera per n =. Supposa vera per k = n -, deduciamo che è vera per k = n. Per k = n - si ha: M n - = C ( + i) n - e per k = n per la definizione si ha: che è proprio la (). M n = M n - + i M n - = M n - ( + i) = C ( + i) n
In sinesi capiolo 0 Regimi finanziari 37 Regimi finanziari Regime finanziario dell ineresse semplice Ineresse L ineresse semplice prodoo da un capiale C impiegao per un empo è proporzionale al capiale e alla duraa dell impiego: I = C i Monane Il monane di un capiale C impiegao per un empo è eguale alla somma del capiale con l ineresse: M = C( + i) Valore auale Il valore auale è il valore al empo 0 di un capiale M, esigibile dopo un empo : M C = + i Scono razionale (o semplice) Lo scono razionale è eguale all ineresse che la somma sconaa produrrebbe se venisse impiegaa allo sesso asso per lo sesso empo di anicipazione: S M C Mi r = - = = Ci + i Regime finanziario dello scono commerciale Scono commerciale Lo scono commerciale di un capiale scadene dopo un empo è proporzionale al valore nominale M e al empo di anicipazione: Sc = Md con < d Valore auale Il valore auale è eguale alla differenza fra il valore nominale e lo scono: ( ) < C = M -d con Monane Il monane di un capiale C impiegao per un empo a un asso di ineresse anicipao d è: C M = con < - d d d Relazioni fra i e d d i i = d = - d + i Regime finanziario dell ineresse composo Caraerisica Gli ineressi maurai alla fine di ogni periodo si aggiungono al capiale e divenano fruiferi per i periodi successivi. Monane Il monane di un capiale C impiegao per n anni (oppure n periodi) a un asso annuo i è: M = C ( + i) n Se il empo di impiego non è inero, ma è = n + f, si possono applicare: convenzione esponenziale: M = C( + i) convenzione lineare: M = C( + i) n ( + fi) Ineresse L ineresse composo è la differenza fra il monane e il capiale: I = C[( + i) - ] Valore auale Il valore auale di un capiale M scadene dopo un empo è: C = M( + i) - Scono composo Lo scono composo, o scono esponenziale, è la differenza fra il valore nominale M e il valore auale C: S e = M[ - ( + i) - ] Tassi equivaleni Due assi relaivi a periodi diversi sono dei equivaleni in un regime finanziario, se applicai a capiali eguali per la sessa duraa producono monani eguali. Equivalenza fra i e i k (capializzazione composa) Il asso annuo i ed il asso i k relaivo a di anno sono equivaleni se risula: k + i = ( + i k ) k
38 sezione Quara Maemaica finanziaria Tassi nominali converibili Il asso nominale annuo converibile k vole all anno è dao da: j k = k i k Leggi scindibili o non scindibili Definizione Una legge di capializzazione, o di scono, f() è dea scindibile se: f( + ) = f( ) f( ) Legge di capializzazione composa Legge scindibile. Legge di capializzazione semplice Legge non scindibile. Legge di capializzazione commerciale Legge non scindibile. Operazioni finanziarie Definizione Operazione finanziaria è qualunque operazione che implica scambi di capiali disponibili in epoche diverse, secondo regimi finanziari prefissai. Principio di equivalenza finanziaria Un operazione finanziaria si dice equa, in un prefissao regime finanziario a un asso scelo, se a una cera epoca il valore auale delle presazioni è eguale al valore auale delle conropresazioni.
capiolo 0 Regimi finanziari 39 Applicazioni informaiche Propose di laboraorio a) un foglio eleronico per calcolare il monane secondo i re regimi di capializzazione b) un programma in Turbo Pascal per risolvere i problemi nel regime della capializzazione composa c) un applicazione in Derive per affronare i problemi di equivalenza finanziaria a) Foglio eleronico per il calcolo del monane L applicazione ha lo scopo di evidenziare le variazioni del monane in funzione del asso, del empo e del regime di capializzazione disinguendo fra la funzione semplice, la funzione composa e quella dello scono commerciale. Il foglio è sruurao in re pari: l inesazione per l inserimeno dei dai riferii al capiale iniziale ed ai diversi valori di asso uniario d ineresse; la abella di calcolo del monane cosiuia da dodici righe, una per periodo, e da cinque colonne, una per ogni valore dell ineresse uniario preso in considerazione; un grafico che rappresena l andameno delle curve per mosrare i diversi livelli di crescia. Per cosruire le abelle si imposa la formula del calcolo del monane nella cella siuaa in alo a sinisra (per il primo valore del asso ed il primo valore del empo) e, successivamene, ale espressione viene copiaa in ua la resane pare. Se si desidera ampliare le dimensioni della abella è sufficiene inserire nuove righe e nuove colonne e, successivamene, copiare le formule. RCS LIBRI EDUCATION SPA
40 sezione Quara Maemaica finanziaria Applicazioni informaiche Il grafico ha un andameno paricolare in quano non è sempre verificaa la condizione < /d. Vedere pare eorica. Può essere ineressane osservare l evoluzione nel empo del monane nei re differeni regimi manenendo cosane il valore del asso uniario di ineresse.
capiolo 0 Regimi finanziari 4 Il grafico deve essere elaborao con un procedimeno non del uo immediao; occorre: selezionare l area dai dalla prima abella ed usare il pulsane di imposazione grafica; nella prima finesra scegliere il ipo di grafico; nella seconda finesra usare Serie Aggiungi per inserire le due zone dai delle alre abelle; erminare la composizione del grafico; produrre una ipologia misa selezionando nel grafico una serie per vola e imposando il ipo desiderao. b) Programma in Turbo Pascal per risolvere problemi nella capializzazione composa L obieivo dell aivià è elaborare un programma per risolvere ua una serie di problemi relaivi al calcolo del monane, del valore auale, del asso di ineresse e del empo nel regime finanziario dell ineresse composo. Il programma presena una sruura modulare con un menu per scegliere ra i vari ipi di problemi. Il calcolo della poenza viene usao ripeuamene per cui abbiamo inrodoo una funzione che sfrua la seguene definizione p = x y p = e yln(x) enendo cono delle segueni considerazioni: a) la base della poenza è sempre posiiva, in quano rappresenaa dal faore ( + i); b) l esponene può essere anche frazionario, se si pensa al empo formulao per periodi non ineri. Vedere paragrafo 7, capiolo 7. Proponiamo il diagramma GNS per l algorimo del programma principale e ralasciamo gli algorimi delle singole procedure, daa la loro semplicià. Inizio Sampa Monane Sampa Valore auale Sampa 3 Tasso uniario d ineresse Sampa 4 Tempo Sampa 5 Fine Leggere opzione opzione 3 4 5 monane val.auale iner. empo Fine opzione = 5 Fine