OTTICA Natura della luce: Corpuscolare e ondulatoria Ottica geometrica Si ignora il carattere ondulatorio della luce e si parla di raggi luminosi che si propagano in linea retta. Fenomeni della riflessione e rifrazione: studio dei sistemi ottici centrati. Ottica fisica Si occupa della natura ondulatoria della luce. Fenomeni quali INTERFERENZA, DIFFRAZIONE e POLARIZZAZIONE. Questi fenomeni non si possono spiegare adeguatamente con l ottica geometrica, ma considerando la natura ondulatoria della luce si raggiunge una descrizione soddisfacente.
La luce è un onda elettromagnetica Ne studiamo le proprietà principali, tra cui quelle non dipendenti direttamente dalla natura ondulatoria (ottica geometrica ) Fronti d onda: superfici su cui l onda è in fase (linee azzurre) Raggi: linee lungo la direzione di propagazione (frecce rosse); perpendicolari ai fronti d onda
Principio di Huyghens Fronti d'onda: superfici in ogni punto delle quali le onde sono in fase. Se lo spazio in cui la luce si propaga, partendo da una sorgente puntiforme, è omogeneo e isotropo, le superfici d'onda sono sferiche. Principio di Huyghens: Ogni punto di una superficie può essere considerato come sorgente di onde sferiche secondarie. Il fronte d'onda ad un istante successivo è dato dalla superficie tangente a tutti gli infiniti fronti d'onda delle onde secondarie, cioè dall'inviluppo delle loro superfici.
Ottica Geometrica LEGGI DELLA RIFLESSIONE E RIFRAZIONE Nella riflessione il raggio riflesso giace nel piano formato dal raggio incidente e dalla normale alla superficie riflettente. L'angolo di riflessione è uguale all'angolo di incidenza. Rifrazione passaggio della luce da un mezzo ad un altro di indice di rifrazione diverso. n= indice n= c v di rifrazione velocità luce = velocità luce vuoto mezzo c = velocità c > v n > luce vuoto = 3 0 8 m s
RIFLESSIONE TOTALE Per i > l tutta la luce viene riflessa es : vetro n=. 5 sen l 42. 5 () l = = 0. 667 = Prismi totalmente riflettenti Guide di luce
Specchi piani p: distanza oggetto q: distanza immagine L immagine è virtuale Immagine reale: La luce passa effettivamente attraverso il punto immagine e diverge da esso. Immagine virtuale: La luce si comporta come se provenisse dal punto immagine, sebbene non passi per tale punto.
p = q Ingrandimento M altezza immagine altezza oggetto = h = h q p Per specchi piani M = La distanza dell immagine è uguale alla distanza dall oggetto L immagine non è ingrandita nè rimpicciolita, è virtuale e non capovolta
Immagini formate per rifrazione
Diottro sferico Insieme di due mezzi trasparenti omogenei di indice di rifrazione diverso separati da una superficie sferica. p q asse ottico S calotta sferica V vertice diottro R raggio di S R > 0 se S convesso verso lo spazio oggetti
Approssimazioni di Gauss: l'ampiezza di S è piccola, rispetto a R (VT 0) I raggi provenienti da O formano angoli piccoli rispetto all'asse ottico (α 0 raggi parassiali) α n n n sen i = n 2 sen r sen ( α + β ) = n 2 sen ( β γ ) ( sen αcos β + sen βcos α ) = n ( sen βcos γ sen γcos β ) β γ 0 2 cos α cos β cos γ ( appr. Gauss) VT 0 sen α h p sen β h R sen γ h q h h h n + n = n 2 n 2 p R R h q n p n + = q n R n 2 2 Formula dei punti coniugati
Convenzione dei segni per superfici che rifraggono p è positivo se l oggetto è davanti alla superficie (oggetto reale). p è negativo se l oggetto è dietro alla superficie (oggetto virtuale). q è positivo se l immagine è dietro alla superficie (oggetto reale). q è negativo se l immagine è davanti alla superficie (oggetto virtuale). R è positivo se il centro di curvatura è dietro ad una superficie convessa. R è negativo se il centro di curvatura è davanti ad una superficie concava.
Punti principali del diottro ) centro di curvatura C i raggi luminosi che dall'oggetto vanno a C non vengono deviati 2) I fuochi F primo fuoco punto sull'asse ottico nello spazio oggetto la cui immagine è un punto all'infinito. F2 secondo fuoco punto sull'asse ottico nello spazio immagine in cui convergono i raggi paralleli all'asse ottico provenienti da un punto all'infinito. q ( F ) n2 n = f p n R p ( F ) 2 n2 n = f q n R 2 2
Lenti sottili Lente sottile sferica due facce sferiche, o una faccia sferica e una piana. Lo spessore è piccolo rispetto al raggio di curvatura delle facce. Convergenti F : Punto focale dell oggetto F 2 : Punto focale dell immagine Divergenti f = lunghezza focale n = indice di rifrazione della lente rispetto all'aria.
Convenzione dei segni per lenti sottili p è positivo se oggetto è davanti alla lente (oggetto reale). p è negativo se oggetto è dietro alla lente (oggetto virtuale). q è positivo se oggetto è dietro alla lente (immagine reale). q è negativo se oggetto è davanti alla lente (immagine virtuale). R e R 2 sono positivi se centro di curvatura è dietro alla lente. R e R 2 sono negativi se centro di curvatura è davanti alla lente. f è positivo se la lente è convergente. f è negativo se la lente è divergente.
Lenti sottili L immagine formata dalla prima superficie è l oggetto per la seconda. ( ) R n q n p = + dove q < 0 a) ( ) 2 2 2 R n q p n = + b) 2 q t q p + = ( ) = + 2 R R n q p ( ) 2 2 R n q q n = + ( ) = + 2 2 R R n q p ( ) = 2 R R n f Ponendo p=f e q= b) f q p = + Sommando a) e b)
Esempio: lente convergente L immagine è reale e rovesciata L immagine è dritta e virtuale
Ottica Fisica Quando lungo il percorso della luce vi sono fenditure e ostacoli con dimensioni dello stesso ordine di grandezza della lunghezza d'onda incidente gli effetti non sono spiegabili con l'ottica geometrica (raggi rettilinei) ma con l'ottica ondulatoria (di cui l'ottica geometrica è un caso particolare). INTERFERENZA Tomas Young (80) dimostrò sperimentalmente per primo la validità della teoria ondulatoria della luce e ne misurò la lunghezza d'onda. In generale si ha interferenza quando due o più onde dello stesso tipo e stessa frequenza, con una differenza di fase costante tra di loro, attraversano la stessa regione dello spazio nello stesso istante. Esperimento: interferenza da due fenditure.
Esperimento di Young: luce monocromatica Le due sorgenti S e S 2 sono in fase SS = SS 2 (il fronte d'onda che parte da S raggiunge contemporaneamente le due aperture). In alcune direzioni le onde si rinforzano e in altre si elidono per effetto dell'interferenza. Sullo schermo massimi di intensità intervallati da un minimo di intensità Differenza di cammino: r = r 2 r se r = nλ (n = 0, ±, ± 2,...) le onde si sovrappongono in fase massimo. λ 2 2 se r = ( 2n + ) = n + λ (n = 0, ±, ± 2,...) si ha un minimo. se d<<l S b perpendicolare a r e r 2. (r r 2 paralleli ). Angoli θ uguali. r = d senϑ
Interferenza costruttiva (massima intensità di luce): 2 ( I 4A ) d senθ = nλ (n = 0, ±, ± 2,...) senθ = n λ d Interferenza distruttiva (Intensità = 0): d sen θ = n + λ 2 λ sen θ = n + (l = 0) 2 d
Interferenza di lamine sottili Es. bolle di sapone, olio su acqua, strati antiriflesso, Lamina di spessore d e indice di rifrazione n, su cui incide quasi perpendicolarmente un raggio luminoso di lunghezza d onda in aria λ = c/ν. Dato che n = c/v (e la frequenza non cambia) la lunghezza d onda nel mezzo è λ n = v/ν = λ/n (inferiore a quella in aria). ) Raggio riflesso dalla superficie superiore, cambiamento di fase corrispondente a un cammino ottico di mezza lunghezza d onda perché entra in un mezzo con indice di rifrazione maggiore. 2) Raggio rifratto e riflesso dalla faccia inferiore, nessun cambiamento di fase; il raggio però viaggia per una ulteriore distanza 2d nel mezzo, rispetto al raggio in aria. La differenza di cammino ottico tra i due raggi è quindi: δ = 2d λ n /2 L interferenza dipende dallo spessore della lamina e dall indice di rifrazione; inoltre dipende dalla lunghezza d onda. Vengono quindi osservati massimi minimi di intensità diversi per ogni colore!
Anelli di Newton Lente circolare sottile su un piano di vetro; in questo caso il ruolo della lamina sottile è svolto dall aria interposta tra i due vetri (si ha cambiamento di fase nella riflessione sul piano di vetro). Si osservano delle frange circolari, alternativamente chiare e scure.
DIFFRAZIONE Quando la luce passa attraverso una fenditura le cui dimensioni sono dello stesso ordine di grandezza della sua lunghezza d onda, si osserva una figura d interferenza piuttosto che una macchia luminosa netta proiettata dall apertura. Questo fenomeno viene detta DIFFRAZIONE. Se le onde luminose non si diffondessero dopo essere passate attraverso le fenditure, non si avrebbe interferenza. Le onde luminose nel diffondersi si sovrappongono producendo frange di interferenza. La luce devia da un percorso rettilineo ed entra nella zona che altrimenti sarebbe in ombra. In generale, si ha diffrazione quando le onde passano attraverso piccole aperture, intorno ad ostacoli o nei pressi di spigoli vivi. Consideriamo il seguente esempio di diffrazione. Quando una stretta fenditura è posta tra una sorgente puntiforme di luce ed uno schermo, il confine tra la zona in ombra e quella illuminata dello schermo non è netto. La zona non in ombra contiene fasce chiare e scure che si alternano. La figura consiste di una banda centrale larga e intensa, il massimo centrale, affiancato da una serie di bande secondarie più strette e meno intense (chiamate massimi secondari) e da una serie di bande oscure, o minimi. Ciò non si può spiegare nel riferimento dell'ottica geometrica, la quale afferma che andando i raggi di luce in linea retta dovrebbero dar luogo a una immagine netta della fenditura sullo schermo.
Diffrazione di Fraunhofer Quando i raggi che arrivano su un punto sono approssimativamente paralleli. (sperimentalmente ciò si ottiene ponendo lo schermo lontano dalla fenditura oppure usando una lente convergente per focalizzare i raggi sullo schermo), si osserva una frangia chiara sull asse a θ = 0, con frange chiare e scure che si alternano su entrambi i lati della frangia centrale.
Diffrazione da singola fenditura le onde provenienti dalla metà superiore interferiscono distruttivamente con le onde della metà inferiore. Condizione generale per interferenza distruttiva: La differenza di cammino tra il primo e terzo raggio è: a senθ 2 a λ Se senθ = a senθ = λ 2 2 λ senθ = m (m = ±, ± 2,...) a Le posizioni dei punti di interferenza costruttiva sono circa a metà strada tra le frange scure Diffrazione prodotta da da una fenditura sottile di larghezza a. Ogni porzione della fenditura si comporta come una sorgente puntiforme di onde. Tutte le onde prodotte dalla fenditura sono in fase tra loro. L intensità risultante sullo schermo verrà a dipendere da θ.
Reticolo di diffrazione Utile strumento per misurare la lunghezza d onda della luce, o per produrre fasci di luce monocromatica. E costituito da N fenditure (o N righe) sottili ed equispaziate, dell ordine di migliaia per cm. Effetti combinati di interferenza e diffrazione. La distanza d tra le fenditure determina l interferenza delle onde emesse: come prima, la posizione dei massimi è data da: d sin(θ) = m λ (m intero) La diffrazione dalla singola fenditura interferisce con quella delle altre fenditure, e determina un restringimento delle frange (più efficace più è grande N). Si ha una figura composta di massimi molto stretti ed equispaziati. Se la sorgente emette diverse lunghezze d onda (es. luce bianca), ogni onda ha la sua figura di massimi, ed è possibile selezionare una luce monocromatica, di lunghezza d onda fissata a piacere, posizionando P sull angolo opportuno.
Potere separatore di una fenditura minima distanza tra due punti dell oggetto che possono essere distinti nell immagine La diffrazione limita le capacità degli strumenti ottici di distinguere ( risolvere ) immagini di oggetti tra loro vicini. Le immagini sono costruite facendo passare la luce attraverso lenti e/o aperture (ad esempio le immagini di due sorgenti quasi puntiformi S e S 2 che passano attraverso un apertura di larghezza a e con separazione angolare θ). L immagine non è mai netta, ma è costituita da un massimo centrale allargato e sfuocato, con altri massimi secondari di contorno. Per decidere quando due immagini possono dirsi risolte, si usa la condizione data dal:
Criterio di Rayleigh Le immagini sono risolte quando il massimo centrale dell una coincide col primo minimo dell altra. Per aperture rettangolari, posto m= nell equazione: λ senθ = m a il primo minimo si trova a: θ sen θ ± λ / a che è quindi l angolo minimo con cui possiamo dire di osservare separati due oggetti. Per aperture circolari, il primo minimo si trova a: θ.22 λ /a Si può aumentare la risoluzione delle immagini diminuendo la lunghezza d onda; questa è la ragione per cui si sono inventati il microscopio a raggi X, il microscopio elettronico ecc.
IL MICROSCOPIO OTTICO Il microscopio composto consiste di due lenti convergenti principali (ciascuna di piccola distanza focale) obiettivo forma un immagine reale ingrandita dell oggetto con ingrandimento oculare forma un immagine virtuale ulteriormente ingrandita lente del condensatore focalizza la luce incidente sul campione diaframma regola l intensità luminosa
La distanza focale f dell obiettivo è molto più piccola della distanza focale f dell oculare. Sia f che f sono molto più piccole della distanza tra l obiettivo e l oculare. L oggetto AB è posto ad una distanza dall obiettivo un poco più grande di f. L obiettivo forma un immagine reale a b, che si comporta come un oggetto per l oculare. L immagine a b deve essere ad una distanza dall oculare un poco minore di f. L immagine finale, ab, è virtuale, capovolta e molto più grande dell oggetto.
L oggetto AB è posto in modo che ab sia ad una distanza dall oculare uguale alla distanza minima della visione distinta, δ (circa 0.25 m). Questa condizione si ottiene con l operazione detta di messa a fuoco, che consiste nello spostare l intero microscopio rispetto all oggetto. L ingrandimento dell obiettivo è: M e M 0 quello E = = Perciò l'ingrandim ento M = M a'b' AB ab a'b' 0 M E L f dell' oculare δ f' = ab AB = δl f f' è : totale vale : Nei microscopi usuali L è praticamente la distanza tra l obiettivo e l oculare
Ingrandimento totale del microscopio ottico Raggiunge facilmente il fattore 000, ma è inutile oltre 400-600. Se si trascurano effetti di diffrazione, qual è la minima distanza che può essere risolta usando un microscopio con M=400 o M=000? Occhio nudo d=0.mm, col microscopio 0. mm/400 = 250 nm o 0.mm/000 = 00 nm Quando la distanza d tra due punti di un campione diventa confrontabile con la lunghezza d onda λ della luce che lo illumina, subentrano effetti di diffrazione potere separatore dato da: λ d = 2 senϑ dove θ = angolo che un raggio marginale fa con l asse del microscopio. Se l angolo sotteso dall obiettivo è 90 o, la minima separazione risolvibile tra oggetti posti in aria e illuminati con luce verde (λ=500nm) è di 250nm Ingrandimenti maggiori di 400X 600 X non possono permettere di distinguere un numero maggiore di particolari. Obiettivi immersi nell olio Per aumentare la risoluzione conviene usare una minor lunghezza d onda. E pratica comune riempire lo spazio tra lastra oggetto e l obiettivo con un olio avente un alto indice di rifrazione n. Se λ è la lunghezza d onda in aria, quella nell olio sarà λ/n. La risoluzione diventa perciò: λ d = 2nsen ϑ che può arrivare a un fattore due volte più piccolo.
L OCCHIO UMANO Caratteristiche campo visivo 80 o cambio di messa a fuoco rapido risoluzione prossima a quella limite imposta dalla diffrazione: 0. mm a 25 cm Funzionamento un sistema di lenti forma un immagine reale e capovolta su una superficie sensibile alla luce bulbo oculare quasi sferico, diametro 2.3 cm coroide membrana scura che assorbe la luce dispersa retina e macchia lutea l occhio tende a ruotare in modo che l immagine si formi in corrispondenza della parte centrale della macula (fovea centralis) cornea ricopre una protuberanza trasparente posta sulla superficie del bulbo oculare, devia gran parte della luce iride varia di dimensioni e determina la quantità di luce che entra nell occhio attraverso la pupilla (come il diaframma di una macchina fotografica) cristallino lente con lunghezza focale variabile regolata dai muscoli ciliari, n=.437 raggio di curvatura grande messa a fuoco di oggetti lontani la lunghezza focale diminuisce per mettere a fuoco oggetti più vicini ACCOMODAMENTO = potere del cristallino di adattare la sua lunghezza focale Potere diottrico P (diottrie) = inverso della distanza focale
Occhio sano Ipermetropia Miopia
POLARIZZAZIONE DELLA LUCE Schema di un onda elettromagnetica piana. Il campo elettrico E e magnetico B sono perpendicolari fra loro e sono entrambi perpendicolari alla direzione di propagazione; c è la velocità di propagazione. La polarizzazione di un'onda elettromagnetica si riferisce alla modalità con cui il campo elettrico oscilla. Ad esempio, l'onda in figura è polarizzata linearmente, in quanto il campo elettrico oscilla sempre nella stessa direzione mantenendosi nello stesso piano. Se abbiamo due onde elettromagnetiche, la loro sovrapposizione può produrre stati di polarizzazione più complesse come la polarizzazione circolare o ellittica. In genere non si fa riferimento esplicito al campo magnetico associato, in quanto la sua intensità è sempre determinabile mediante la relazione: B=E/c Differenza tra un'onda trasversale e una longitudinale. Nel caso della luce a oscillare è il campo elettrico e il campo magnetico.
La luce è un'onda elettromagnetica che viaggia anche nel vuoto. Le onde luminose sono prodotte da cariche elettriche oscillanti. L'oscillazione avviene perpendicolarmente alla direzione del moto, per questo si parla di onde trasversali. Una sorgente di luce, come una comune lampadina a incandescenza o un tubo a gas, si deve pensare come l'insieme di un gran numero di atomi i cui elettroni vengono eccitati e si diseccitano continuamente emettendo ciascuno una perturbazione elettromagnetica in un tempo dell'ordine di 0-8 s. Queste onde, di lunghezza finita, vengono chiamate treni d'onda e un fascio di luce naturale si può pensare come l'insieme e la sovrapposizione di un gran numero di treni d'onda. Tutte le direzioni di vibrazione sono possibili: l onda elettromagnetica risultante è una sovrapposizione di onde generate dalle singole sorgenti atomiche. Il risultato è un onda luminosa non polarizzata.
Un fascio di luce incide su una prima lastra polarizzatrice chiamata POLARIZZATORE, dove l asse di trasmissione è in una certa direzione. La luce che attraversa questa lastra è polarizzata verticalmente e il vettore campo elettrico trasmesso è E 0. Una seconda lastra polarizzatrice, chiamata analizzatore, intercetta il fascio con il suo asse di trasmissione che forma un angolo θ con l asse di trasmissione del polarizzatore. La componente di E 0 che è perpendicolare all asse dell analizzatore viene completamente assorbita, e la componente parallela all asse è E 0 cosθ. L intensità luminosa I (energia per unità di tempo e di superficie) proveniente da una sorgente di luce polarizzata linearmente dopo aver attraversato una lamina analizzatrice è data dalla legge di Malus: I(θ) = I 0 cos 2 θ dove I 0 è l intensità massima e θ è l angolo tra il piano di vibrazione della luce e l asse ottico della lamina.
LA POLARIZZAZIONE 809 Malus e Young indagano le indicazioni di trasversalità della luce riflessa dal vetro Il campo elettromagnetico è trasversale: i vettori E e B sono ortogonali alla direzione di propagazione k E B k Una antenna di un trasmettitore a microonde (cellulare) trasmette onde polarizzate aventi campo elettrico che oscilla nella direzione dell asse dell antenna
POLARIZZAZIONE PER RIFLESSIONE polarizzazione perpendicolare al piano di incidenza La luce può essere polarizzata per riflessione. Per un particolare valore dell angolo di incidenza θ p (detto angolo di polarizzazione) il coefficiente di riflessione della componente nel piano di incidenza è zero - la luce riflessa è totalmente polarizzata perpendicolarmente al piano di incidenza polarizzazione nel piano di incidenza -la luce rifratta ha entrambe le componenti, ma è meno ricca della componente perpendicolare. Si trova sperimentalmente che: θ p + θ r = 90 o e tan θ p =n 2 /n (legge di Brewster)
BIRIFRANGENZA Alcuni solidi cristallini possono essere otticamente anisotropi in cui l indice di rifrazione dipende dalla direzione di propagazione. In un cristallo birifrangente viaggiano due raggi: - il raggio ordinario che segue la legge di Snell ed è sempre polarizzato nella direzione perpendicolare al piano che contiene il raggio incidente e l asse ottico (l onda o viaggia alla stessa velocità v 0 in tutte le direzioni e il cristallo ha un unico indice di rifrazione n 0 ) - il raggio straordinario che non segue la legge di Snell, è polarizzato in direzione perpendicolare al raggio ordinario ed ha indice di rifrazione n s variabile a seconda della direzione; le variazioni di n s vanno dal valore dell indice n o del raggio ordinario a un valore estremo n e
d straordinario ordinario lamina a quarto d onda : è una lamina di spessore tale che un raggio ordinario e straordinario che si propagano nella lamina abbiano all uscita uno sfasamento pari a /4 di lunghezza d onda, cioè quando un onda è massima, l altra è nulla. Es. per la calcite: λ = 589 nm (nell aria) λ o = 589/658=355 nm (raggio ordinario) λ e = 589/486=396 nm (raggio straordinario)
La polarizzazione è un fenomeno si cui si basano vari strumenti e tecniche. Alcuni esempi: ) I vetri nei parabrezza delle automobili o nelle lenti per i telescopi, sviluppano degli stress interni che possono essere messi in evidenza analizzando lo stato di polarizzazione della luce che li attraversa. 2) Si possono fare mappe di stress superficiali di oggetti opachi sottoposti a sollecitazioni esterne ricoprendoli con film di sostanze otticamente attive. 3) L'ellissometria è una tecnica che si basa sulla variazione dello stato di polarizzazione della luce incidente su un campione e che permette di misurare i parametri ottici dei materiali di cui è composto oltre che gli spessori di eventuali strati. 4) È possibile identificare la presenza di certe sostanze organiche in una soluzione e stimarne la concentrazione tramite una misura della dispersione rotatoria che è un fenomeno legato alla polarizzazione. 5) Le lenti antiriflesso sfruttano la proprietà di certi materiali opportunamente trattati di eliminare la luce polarizzata che si produce per riflessione della luce naturale. 6) I film polaroid, o più semplicemente, i polaroid sono impiegati in ottica per trasformare la luce naturale in luce polarizzata.