VELOCITA DELLA LUCE Scopo dell esperienza: misurare la velocità della luce nell aria usando il metodo di Foucault modificato da Michelson. Simboli usati: w=velocità angolare finale (±6.28 rad/s) w 0 =velocità angolare iniziale (±6.28 rad/s)?s=spostamento del puntino luminoso nel microscopio (±0.01 mm) A=0.264 ±0.002m=distanza tra le lenti meno la focale di L1 B=0.489 ±0.002 m=distanza tra lente L2 e specchio Mr D=13 ±0.05 m =distanza tra Mr e Mf Apparato sperimentale: L apparato è mostrato nelle figure 1 e 2: -figura 1- file:///c /Documenti/MyNewSite/velocit.htm (1 of 6) [17/09/2001 11.49.44]
-figura 2- Elenchiamo per prima cosa gli elementi dello strumento: laser con?=532.8 nm e potenza 0.5 mw due lenti convergenti L 1 e L 2 con distanze focali rispettivamente di 48mm e 252 mm microscopio a 15 ingrandimenti uno splitter di vetro semiargentato regolabile dentro il microscopio 2 lamine polaroid specchio piano rotante M r con asperità superficiali inferiori a?/4 e velocità angolare max di 9400 rad/s in 2 sensi 2 specchi piani S 1 e S 2 con orientazione regolabile specchio concavo M f con raggio di curvatura pari a 13.5m orientabile display per la lettura della velocità del motorino con precisione di 1giro/s La prima fase consiste nell allineare le lenti e la lastra. Dopo aver posizionato lo specchio rotante in modo che il fascio riflesso sia centrato sul foro del laser si inseriscono le lenti alle distanze indicate nel grafico 2 verificando che il fascio sia sempre centrato. Dopodichè si è inserito il portamicroscopio con la lastra inclinata di 45 rispetto al fascio; in questa fase si sono osservate due macchie luminose dentro l oculare: una (più intensa) dovuta alla riflessione del fascio sulla superficie semiargentatata dello splitter e l altra (meno intensa) per la riflessione sulla seconda superficie dello stesso. Si è dunque centrato il segnale più intenso con l indice dentro l oculare; si potevano notare delle macchie luminose corrispondenti a frange d interferenza dovuta alla differenza di cammino ottico del fascio sulle due superfici della lastra. La seconda fase della preparazione è l allineamento degli specchi. Facendo ruotare lo specchietto mobile abbiamo inviato il fascio su S 1 in modo da centrarlo sulla superficie riflettente; analogamente abbiamo fatto con S 2 e con M F man mano file:///c /Documenti/MyNewSite/velocit.htm (2 of 6) [17/09/2001 11.49.44]
regolandoli con viti micrometriche. Questa fase non ha presentato molte difficoltà perché si aveva a che fare, per così dire, col fascio in sola "andata". La cosa più difficile è stata quella di far sì che il fascio in ritorno fosse sovrapposto a quello in andata data l alta instabilità dell orientazione dello specchio mobile per altro molto sensibile ai movimenti del bancone. A questo punto eravamo pronti per prendere le misure. Diamo ora la formula (1) che utilizzeremo per il calcolo della c: Misure ed errori: Per l errore sulla velocità angolare ci siamo attenuti al valore indicato sulle dispense (±1 giro/sec. che è circa ±6,28 rad/sec.). Sullo spostamento?s si è supposto un errore dell ordine di ±1 centesimo di millimetro (data la sensibilità del micrometro). Per la misura delle lunghezze A e B tramite un metro con precisione di 1 millimetro, abbiamo considerato un errore di ±0,5 mm. RISULTATI DELLE MISURE I dati raccolti in laboratorio, con le modalità precedentemente esposte, sono i seguenti: Sf(mm) Si(mm) wi(hz) wf(hz) (wf-wi)/(sf-si) C(Km/s) Errore su c err.rel. 7,92 7,67 614 1535 23147,23512 306237,9 8915,870606 0,029114 7,88 7,59 258 1552 28035,98248 370916 10795,2034 0,029104 7,88 7,53 102 1567 26299,59629 347943,7 10125,81314 0,029102 7,88 7,53 76 1570 26820,20263 354831,3 10326,14676 0,029102 7,9 7,55 176 1558 24809,58503 328230,8 9552,457035 0,029103 7,89 7,57 182 1568 27214,02338 360041,5 10478,22766 0,029103 7,88 7,57 142 1561 28760,74974 380504,7 11073,61073 0,029102 7,75 7,57 271 1064 27680,89856 366218,3 10664,79313 0,029121 file:///c /Documenti/MyNewSite/velocit.htm (3 of 6) [17/09/2001 11.49.44]
7,67 7,43 475 1570 28667,00875 379264,5 11039,74245 0,029108 7,67 7,31 103 1574 25673,77161 339664 9884,835748 0,029102 7,67 7,36 334 1575 25152,98832 332774 9685,404067 0,029105 7,68 7,31 39 1580 26168,59562 346210,5 10075,10598 0,029101 7,63 7,31 90 1572 29098,97738 384979,5 11203,56113 0,029102 7,64 7,38 414 1586 28322,64215 374708,6 10906,43406 0,029106 7,67 7,31 96 1551 25394,51917 335969,5 9777,377775 0,029102 7,67 7,36 267 1569 26389,356 349131,2 10161,12349 0,029104 7,64 7,35 231 1549 28555,96979 377795,5 10995,2838 0,029104 7,67 7,35 198 1494 25446,879 336662,2 9798,255547 0,029104 7,67 7,31 108 1498 24260,05611 320960,5 9340,83677 0,029103 7,66 7,32 143 1487 24837,04094 328594,1 9563,199472 0,029103 7,67 7,33 167 1520 25003,36041 330794,5 9627,197077 0,029103 7,68 7,3 70 1569 24785,49163 327912,1 9542,7339 0,029102 7,69 7,33 143 1564 24801,10772 328118,7 9549,031796 0,029102 7,65 7,32 33 1577 29397,66642 388931,1 11318,31944 0,029101 7,68 7,36 232 1566 26193,00663 346533,5 10085,35121 0,029104 7,68 7,33 181 1557 24701,87337 326805,8 9511,010386 0,029103 file:///c /Documenti/MyNewSite/velocit.htm (4 of 6) [17/09/2001 11.49.44]
7,7 7,35 220 1572 24271,02674 321105,7 9345,224932 0,029103 7,69 7,32 155 1568 23994,95497 317453,3 9238,672552 0,029102 7,65 7,3 62 1572 27107,43371 358631,3 10436,67654 0,029101 7,68 7,31 30 1580 26321,42973 348232,5 10133,91912 0,029101 7,67 7,36 260 1580 26754,18581 353957,9 10301,50279 0,029104 7,68 7,33 106 1572 26317,54823 348181,2 10132,72116 0,029102 7,67 7,33 85 1579 27609,03212 365267,5 10629,85887 0,029102 7,68 7,34 263 1570 24153,28312 319547,9 9300,101209 0,029104 Calcoliamo il valore migliore con la media pesata: c=344490±1723 Km/s Usiamo la media pesata perché abbiamo a disposizione vari valori di c ognuna con il suo errore ricavato dalla formula (1) per propagazione degli errori sulle grandezze misurate in laboratorio. Commento al risultato: come si vede il valore ottenuto è molto più alto del valore vero (3*10^8 m/s); è evidentemente presente un errore sistematico; le singole misure (considerando il set di dati in sé, senza far riferimento al loro significato fisico) non hanno errori relativi significativamente alti e inoltre l errore relativo finale su c è solo dello 0.5% e in ogni caso non fa rientrare il valore vero nell intervallo c ± errore calcolato sopra, quindi lo sbaglio sta nel modo in cui si sono presi i dati e non in particolari fluttuazioni statistiche. Ora, per quanto possibile, tenteremo di dare delle spiegazioni (quantomeno intuitive) del perché il risultato sia così in disaccordo col valore reale. Per prima cosa formuliamo un ipotesi semplificativa, supponiamo in pratica di poter considerare indipendenti tra loro e casuali tutti gli errori sulle grandezze misurate che contribuiscono al valore di c il che equivale a poter applicare la (2). Questo è ragionevole alla luce del fatto che tutte queste grandezze sono state misurate indipendentemente le une dalle altre non si può attribuire loro un legame in termini d influenzamento degli errori. Vediamo adesso quelle che sono le grandezze in gioco e come i loro errori determinano l incertezza su c: file:///c /Documenti/MyNewSite/velocit.htm (5 of 6) [17/09/2001 11.49.44]
A, B, D,??,?s le cui rispettive incertezze sono: La formula per l errore su c si ricava tramite la propagazione derivando la relazione (1): (2) Come si vede compaiono i quadrati delle incertezze perciò possiamo ritenere ragionevolmente trascurabili nella formula (2) le grandezze diverse da?? dato il loro ordine di grandezza inferiore. Da questa semplificazione otteniamo: (3) Come si vede l errore è indipendente dal valore della frequenza. Adesso, fatte tutte queste ipotesi, possiamo dire che in pratica in laboratorio ci risultava molto difficile individuare il momento esatto in cui il puntino luminoso si fermava e perciò il valore della frequenza del motorino poteva avere un valore molto diverso da quello vero, dato che piccolissimi incrementi della posizione del segnale luminoso determinavano grossi spostamenti del valore della frequenza. E questa che noi riteniamo la principale causa d errore della misura. Altri errori potrebbero risiedere nel cattivo allineamento del fascio luminoso ma in questa direzione non possiamo dare nessun risultato quantitativo a livello statistico. Sicuramente quello che ha generato l errore esposto sopra è stato il fatto che il micrometro era malfunzionante (più di un tot non si avvitava) al momento della nostra esperienza e siamo stati costretti ad usare solo una ridotta gamma di velocità del motorino perché solo così potevamo vedere nel microscopio il segnale luminoso. file:///c /Documenti/MyNewSite/velocit.htm (6 of 6) [17/09/2001 11.49.44]