Questo breve file è dedicato alle questioni di derivabilità di funzioni reali di variabile reale. Particolare attenzione viene posta alla classificazione dei punti di non derivabilità delle funzioni definite su sottoinsiemi di R a valori in R. Premettiamo la seguente definizione Definizione 0.0.1. Sia f : D f R R una funzione reale di variabile reale x, definita su un sottoinsieme D f di R. Sia x 0 D f un punto di accumulazione del dominio D f della f. Diremo che la funzione f è derivabile da destra in x 0 se esiste finito il limite f +(x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ). Questo limite, denotato con f +(x 0 ), (se esiste ed è finito) viene definito derivata destra di f in x 0. Analogamente, diremo che la funzione f è derivabile da sinistra in x 0 se esiste finito il limite f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ). h 0 h Questo limite, denotato con f (x 0 ), (se esiste ed è finito) viene definito derivata sinistra di f in x 0. Diremo che la funzione f è derivabile in x 0 se è derivabile da destra e da sinistra in x 0 e se i valori delle due derivate destra e sinistra della f in x 0 sono uguali (oltre che chiaramente finiti) ovvero se f +(x 0 ) = f (x 0 ). In questo caso, definiamo derivata di f in x 0, il numero reale, denotato con f (x 0 ), dato da f (x 0 ) = f (x 0 ) = f +(x 0 ). Osservazione 1. Osservate che se x 0 D f è un punto isolato di D f (vi ricordate tutti cosa vuol dire? Se vi foste dimenticati la definizione di punto isolato, andatevela a riguardare sulle precedenti note sulla prolungabilità), i limiti che definiscono la derivata destra e sinistra della f non hanno senso (perchè? Non andate avanti con la lettura, se non lo avete capito!). Dunque un punto x 0 D f che sia isolato per D f è un punto in cui la funzione è definita, è continua (per definizione: rivedete il file sulla prolungabilità), ma non è derivabile. Questo preambolo dovrebbe spiegarvi perchè nella definizione precedente venga richiesto che il punto x 0 D f sia di accumulazione per D f. Questa richiesta è in realtà del tutto naturale, ogni qual volta un oggetto venga definito come limite. Osservazione 2. Avete visto a lezione che se una funzione f è definita e derivabile in x 0 D f allora f è continua in x 0. Ne segue immediatamente 1
che un punto x 0 D f in cui la funzione f non è continua, è un punto di non derivabilità della f. Riassumendo, i punti isolati del dominio di una funzione e i punti (del dominio) di non continuità di una funzione sono i primi semplici esempi di punti di non derivabilità della stessa. Osservazione 3. L esistenza della derivata di una funzione f in un punto x 0 D f è strettamente correlata alla questione (geometrica) dell esistenza di un unica retta tangente non verticale al grafico G f = {(x, f(x)) R 2 : x D f )} della funzione f nel punto (x 0, f(x 0 )). Ometto qui la trattazione di questo aspetto, affrontato a lezione. Tuttavia se qualcuno volesse discuterne i dettagli (per comprendere, ad esempio, il significato del rapporto incrementale, della retta tangente come particolare limite di rette secanti, ecc.), lo possiamo riprendere in separata sede. Veniamo alla questione principale di queste note. Sia assegnata una funzione reale f di variabile reale x, definita in un sottoinsieme D f di R e sia x 0 D f. Se x 0 è un punto isolato del dominio, allora sappiamo già (Osservazione 1) che la funzione non è derivabile in x 0. Trattiamo allora la casistica in cui x 0 non è un punto isolato di D f. CASO 1. Supponete che x 0 sia un punto di accumulazione di D f e che ogni intorno di x 0 contenga punti del dominio D f sia più piccoli di x 0 che più grandi di x 0 (talora si definisce un tale punto di accumulazione come punto di accumulazione destro e sinistro di D f ). In altre parole vi potete avvicinare a x 0 sia da destra che da sinistra con punti del dominio D f della f e quindi hanno senso i limiti che definiscono sia la derivata destra che la derivata sinistra di f in x 0 (nel senso che la procedura di limite è sensata). Fate molta attenzione: il fatto che abbiano senso tali limiti non significa necessariamente che i due limiti esistano. Può verificarsi una sola delle seguenti situazioni. 1) Almeno uno dei due limiti f (x 0 ) e f +(x 0 ) (identificherò nel seguito della trattazione la derivata sinistra f (x 0 ) con il limite che la definisce (e analogamente per f + (x 0 )), parlando di questi numeri come di limiti che li definiscono) non esistono. Se non esiste il limite che definisce la derivata destra di f in x 0, la funzione non sarà derivabile da destra (e quindi non sarà derivabile) in x 0 (pur potendo essere derivabile da sinistra in x 0 se il limite f (x 0 ) esiste finito). Analogamente, se non esiste il limite che definisce la derivata sinistra di f in x 0, la funzione non sarà derivabile da sinistra (e quindi non sarà derivabile) in x 0 (pur potendo essere derivabile da destra in x 0 se il limite f +(x 0 ) esiste finito). Se non esiste nessuno dei due limiti f (x 0 ) e f +(x 0 ), la funzione f non sarà derivabile in x 0, nè sarà derivabile solo da destra o solo da sinistra in x 0. 2
2a) I limiti f (x 0 ) e f +(x 0 ) esistono, ma almeno uno dei due è infinito. Se solo il limite f (x 0 ) è infinito, allora la funzione non sarà derivabile da sinistra in x 0 (ma derivabile da destra in x 0 ) e quindi non sarà derivabile in x 0. Geometricamente parlando, la tangente sinistra al grafico della f nel punto (x 0, f(x 0 )) è la retta verticale x = x 0 (il suo coefficiente angolare è infinito, come d altronde il valore di f (x 0 )), mentre la tangente destra al grafico della f in (x 0, f(x 0 )) è la retta passante per tale punto e avente come coefficiente angolare proprio f +(x 0 ). Se solo il limite f +(x 0 ) è infinito, allora la funzione non sarà derivabile da destra in x 0 (ma derivabile da sinistra in x 0 ) e quindi non sarà derivabile in x 0. Geometricamente parlando, la tangente destra al grafico della f nel punto (x 0, f(x 0 )) è la retta verticale x = x 0 (il suo coefficiente angolare è infinito, ancora come il valore di f +(x 0 )), mentre la tangente sinistra al grafico della f in (x 0, f(x 0 )) è la retta passante per tale punto e avente come coefficiente angolare f (x 0 ). Se infine entrambi i limiti sono infiniti, allora la funzione non è derivabile in x 0 (ne è derivabile solo da destra o solo da sinistra in x 0 ). La tangente al grafico di f in (x 0, f(x 0 )) esiste unica (si tratta però della retta verticale di equazione x = x 0 ). In tutti e tre i sottocasi analizzati, il punto x 0 viene detto punto di cuspide. 3) I limiti f (x 0 ) e f +(x 0 ) esistono finiti (e dunque la funzione f è derivabile da sinistra e da destra in x 0 ). Se f (x 0 ) = f +(x 0 ) allora la funzione f è derivabile in x 0 ed esiste un unica retta tangente al grafico della funzione f nel punto (x 0, f(x 0 )) con coefficiente angolare f (x 0 ). Se invece si ha che f (x 0 ) f +(x 0 ) allora la funzione f (pur essendo derivabile da destra e da sinistra in x 0 ) non è derivabile in x 0, non esiste un unica tangente non verticale al grafico della f in x 0, ma esistono due tangenti a G f nel punto (x 0, f(x 0 )), una destra e una sinistra, aventi come coefficienti angolari rispettivamente f +(x 0 ) e f (x 0 ). In questo caso x 0 viene detto punto angoloso. CASO 2. Supponete che x 0 sia un punto di accumulazione di D f ma che ogni intorno di x 0 contenga punti del dominio solo più grandi di x 0 (si parla talvolta di punto di accumulazione destro). Ha dunque senso calcolare il limite f +(x 0 ), ma non ha senso calcolare il limite f (x 0 ). In questo caso, si parla di studio della derivabilità destra della f in x 0. Può verificarsi solo una delle seguenti situazioni. 1) Il limite f +(x 0 ) non esiste e la funzione non è derivabile da destra in x 0. 2) Il limite f +(x 0 ) esiste ma è infinito. La funzione f non sarà derivabi- 3
le da destra in x 0, ma avrà una tangente (destra) verticale al suo grafico nel punto (x 0, f(x 0 )) di equazione x = x 0. 3) Il limite f +(x 0 ) esiste finito. La funzione f è allora derivabile da destra in x 0 e avrà una tangente (destra) non verticale al suo grafico nel punto (x 0, f(x 0 )) con coefficiente angolare proprio f +(x 0 ). Analoghe considerazioni valgono anche nel caso in cui abbia senso lo studio della sola derivabilità sinistra della f in x 0. Passiamo a qualche esempio concreto dello studio della derivabilità delle funzioni reali di variabile reale. Esempio 1. Studiare la regolarità sul dominio (continuità e derivabilità) della funzione f(x) = x 1. Prima di tutto osserviamo che il dominio della funzione f è dato da D f = [1, + ). Inoltre la funzione è continua su tutto il suo dominio (in particolare in x 0 = 1 la funzione è continua solo da destra, visto che non ha senso calcolare il limite della f per x 1 ), dato che è composizione di funzioni continue su D f (descrivete questa composizione, controllando che le funzioni che ne fanno parte siano a tutti gli effetti continue in D f ). Occupiamoci della derivabilità della f nei punti in cui è definita. Tali punti sono tutti di accumulazione di D f (facile) e la funzione è continua in tutti i punti del suo dominio (i punti di discontinuità della f, che in questo caso non si presentano, sarebbero stati automaticamente punti di non derivabilità, in virtù dell Osservazione 2). Notiamo inoltre che nel punto x 0 = 1 si può studiare la sola derivabilità destra della f. Proviamo a fare un tentativo euristico di derivazione della funzione. Derivando la f, otterremmo f (x) = 1 2 x 1. La funzione f non sarà definita in x 0 = 1 ovvero non ha senso valutare la f in x 0 = 1: ecco che la funzione f sembra non essere derivabile (da destra) in x 0 = 1. Per tutti gli altri punti nel dominio della f la funzione f è ben definita. Dunque, sembra naturale supporre che la funzione f sia derivabile in tutti i punti di (1, + ) ma non sia derivabile da destra in x 0 = 1. Proviamo rigorosamente quest asserto. Il fatto che la funzione f sia derivabile in (1, + ) è di nuovo una diretta conseguenza del fatto che la f è 4
composizione di funzioni derivabili in (1, + ) (convincetevene!). Resta solo da controllare la non derivabilità destra della f in x 0 = 1. Calcoliamo (se esiste) il limite (che è ben posto, visto che x 0 è di accumulazione per D f ) f(x 0 + h) f(x 0 ) lim, con, al posto di x 0, il valore incriminato 1. Si ha f(1 + h) f(1) lim h 0 + h h = +. Il limite esiste ma è infinito (siamo nel CASO 2 - punto 2) ). Dunque la funzione non è derivabile da destra in x 0 (eppure esiste la tangente destra al grafico di f in (1, f(1) = 0): che equazione ha?). Qualcuno potrebbe essere tentato a saltare a una facile conclusione. Il punto x 0 = 1 è il punto che annulla il radicando e la funzione f non è derivabile da destra in x 0 = 1, perchè, derivando, otterrei al denominatore della derivata esattamente questa radice (che si annulla in x 0 = 1). Fin qua la spiegazione (euristica; bisogna sempre dimostrare che un candidato punto di non derivabilità lo è a tutti gli effetti, ricorrendo alla definizione di derivata) fila liscia, ma guai a generalizzare. Non pensiate che qualunque valore annulli una funzione radicale sia automaticamente un punto di non derivabilità della stessa. Ecco infatti una piccola variazione sul tema. Esempio 2. Studiare la regolarità sul dominio della funzione f(x) = 1 x 1. In questo caso il dominio della f è D f = (1, + ) e la funzione è continua e derivabile in ogni punto di D f (calcolate quanto vale la derivata della f in D f ). È banale sollevare un obiezione. In questo caso il punto (x 0 = 1) che annulla il radicando non appartiene al dominio della funzione f. Pertanto non ha proprio senso studiare nè la continuità nè la derivabilità (destra) della f in x 0 = 1. Verissimo. Il punto che annulla il radicando non può essere in questo caso un punto problematico per la derivatà della f, perchè non fa parte del dominio D f. Vi propongo allora il seguente esempio (ultima variazione sul tema). Esempio 3. Studiare la regolarità sul dominio della funzione f(x) = 3 (x 1) 4. La funzione è definita in D f = R, dato che l indice della radice è dispari ed è continua in tutto D f (perchè?). Il punto x 0 = 1 è questa volta un punto del 5
dominio della f e in questo punto il radicando vale 0. Tuttavia la funzione f è derivabile in tutto D f (e anche in x 0 = 1) e la sua derivata vale ( ( ) f 3 (x) = (x 1) 4) = (x 1) 4 4 3 = 3 (x 1) 1 4 3 = 3 x 1, x R. 3 La derivabilità della f in x 0 = 1 è dovuta al fatto che (detto brutalmente) la radice a numeratore non è passata, derivando, al denominatore. Vengono da sè due domande per tutti voi. Domanda 1. La funzione f dell ultimo esempio (Esempio 3) ammette ovunque nel dominio la derivata seconda (la derivata della derivata) oppure ci sono punti in cui la derivata seconda di f non esiste (ovvero punti del dominio di f in cui f non è derivabile due volte)? Domanda 2. Se vi si chiede di stabilire l insieme di derivabilità della funzione f(x) = m (x 1) n, al variare di n, m N, m > 1, n 1, voi cosa mi sapete dire? Cambiamo completamente punto di vista e occupiamoci di un altra classe di funzioni che presentano problemi di derivabilità. Esempio 4. Studiare la regolarità sul dominio della funzione { 5x 10 se 5x 10 0 x 2, f(x) = 5x 10 = (5x 10) = 10 5x se 5x 10 < 0 x < 2. Prima di tutto osserviamo che f è definita in D f = R e che è continua su tutto il suo dominio. Per provare che la f è continua su tutto il suo dominio, potete di nuovo osservare che la f è composizione di funzioni continue in tutto D f (quali?). Alternativamente, potete ragionare nel modo seguente (per la definizione di continuità della f in un punto x 0 D f riguardate eventualmente il file sulla prolungabilità). Se x 0 > 2 (ovvero se x 0 appartiene al dominio del primo ramo della funzione modulo, f 1 (x) = 5x 10), dovreste controllare che si ha ovvero che lim f(x) f(x) = f(x 0 ) lim 5x 10 5x 10 = f(x 0 ) = 5x 0 10. 6
Dal momento che x 0 > 2, in entrambi i limiti nell ultima catena di uguaglianze potete sostituire il valore f(x) = 5x 10 con 5x 10 e f(x 0 ) = 5x 0 10 con 5x 0 10 (perchè?). Resta dunque da controllare che lim (5x 10) (5x 10) = f(x 0 ) = 5x 0 10, ovvero che la funzione f 1 (x) = 5x 10 è continua in x 0. Ma questo è banalmente vero, dal momento che g è un polinomio e i polinomi sono continui dove definiti. Analogamente si prova che la vostra f è continua anche in qualunque x 0 < 2. Resta da controllare che la f sia continua in x 0 = 2 (in questo modo sarà continua su tutto il suo dominio D f ). Calcoliamo i limiti destro e sinistro della f per x che tende a x 0 e controlliamo che siano finiti, uguali fra loro e uguali al valore di f in x 0. Si ha lim x 2 f(x) 10) = 0 f(x) = f(2). + (5x x 2 Dunque la funzione è continua anche in x 0 = 2 e in definitiva è continua ove definita. Occupiamoci della derivabilità della f. Non è difficile rendersi conto che la funzione è derivabile in D f \ {2} (controllatelo, scegliendo un arbitrario numero reale x 0, diverso da 2, e operando come per la parte della continuità (ricordatevi che i polinomi sono derivabili ovunque essi siano definiti)) e che in questo insieme la derivata vale { f 5 se x > 2, (x) = 5 se x < 2. Osservate che non ho incluso il valore x 0 = 2 nel dominio della derivata, proprio perchè sospetto che x 0 = 2 sia un punto di non derivabilità per la f (tipica patologia dei punti del dominio di una funzione che annullano un qualche modulo presente nell espressione che la definisce). x 2 Dimostriamo rigorosamente che la f non è derivabile in x 0 = 2 e che x 0 è, più precisamente, un punto angoloso per la f (ovvero che in x 0 esistono la derivata destra e sinistra della f, sono finite ma diverse (CASO 1 - punto 3) )). Si ha f +(2) f(2 + h) f(2) 5 h = 5, mentre f (2) f(2 + h) f(2) 5 h h 0 h h 0 h = 5. C è un modo più veloce di stabilire la non derivabilità della f in x 0 = 2, facendo riferimento al seguente teorema. 7
Teorema 1. Sia f : D f R R. Sia x 0 D f un punto di accumulazione di D f (destro e sinistro, cioè, ricordo per l n-esima volta, arbitrariamente vicino a x 0 (a destra e a sinistra di x 0 ) si possono trovare punti di D f ). Supponiamo che la funzione sia continua in un intorno I di x 0 (e dunque anche in x 0 ) e che sia derivabile nello stesso intorno di x 0, privato di x 0. Se esiste il limite lim f (x), allora si ha quanto segue. Se questo limite è infinito, allora la funzione non è derivabile da destra in x 0 e quindi non è derivabile in x 0. Se questo limite esiste ed è finito allora esso è uguale alla derivata destra f +(x 0 ) di f in x 0. Se esiste il limite lim f (x), allora si ha ancora quanto segue. Se questo limite è infinito, allora la funzione non è derivabile da sinistra in x 0 e quindi non è derivabile in x 0. Se questo limite esiste ed è finito allora esso è uguale alla derivata sinistra f (x 0 ) di f in x 0. Corollario 1. Sotto le stesse ipotesi su f e su x 0 del Teorema 1, supponiamo che esistano entrambi i limiti e lim f (x) lim f (x). Allora, se almeno uno dei due limiti è infinito oppure sono entrambi finiti ma diversi fra loro, il punto x 0 è un punto di non derivabilità per la f. Se invece i due limiti sono finiti e uguali fra loro, allora la funzione f è derivabile in x 0. Osservazione 4. I più zelanti potrebbero provare (non è semplice, bisogna usare il Teorema di Lagrange) a utilizzare il Teorema 1 per dimostrare che se una funzione che soddisfa le ipotesi del Teorema 1 è derivabile in x 0 D f, questo punto non può essere di discontinuità eliminabile o di salto finito per la funzione f. Torniamo per un momento all ultimo esercizio e dimostriamo che f(x) = 5x 10 non è derivabile in x 0 = 2 senza ricorrere alla definizione di derivata, ma usando il Teorema 1 e il Corollario 1 appena presentati. Il punto x 0 = 2 soddisfa le ipotesi del Corollario 1 (è di accumulazione (destro e sinistro) per D f, la f è continua in qualsiasi intorno di x 0 ed è 8
derivabile in qualsiasi intorno di x 0, privato del punto x 0 stesso). Inoltre esistono lim f (x) = 5 e lim f (x) = 5. Dunque, per il corollario appena enunciato, la f non è derivabile in x 0 = 2, perchè, pur esistendo finiti, i due limiti sono diversi fra loro. Osservazione 5. Il Teorema 1 e il Corollario 1 appena presentati sono degli utilissimi strumenti per stabilire la derivabilità o meno di una funzione in un punto problematico x 0 D f del tipo descritto nel teorema senza passare per la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale. Tuttavia, per potervi ricorrere, devono esistere i limiti destro e sinistro di f per x che tende a x 0. E se questi limiti non esistessero? Siamo autorizzati a concludere che la f non è derivabile in x 0? Assolutamente no, come mostra il seguente interessante esempio. Esempio 5. Discutere la continuità e la derivabilità sul suo dominio della funzione { f x (x) = 2 sin ( 1 x) se x 0, 0 se x = 0. La funzione f è definita in tutto R. È senza dubbio continua in ogni x 0 R \ {0} (perchè?), ma cosa succede in x 0 = 0? La funzione f è continua anche in x 0 = 0? La risposta è affermativa. Infatti lim x 0 x 0 f(x) f(x) = 0 = f(0). + Che i primi due limiti siano uguali a 0 è una questione che lascio a voi (suggerimento: notate che il seno è limitato dal basso da 1 e dall alto da 1 e usate il teorema del confronto o dei carabinieri per i limiti). Dunque la funzione f è continua su tutto il suo dominio D f = R. La funzione f è derivabile in D f \ {0} = R \ {0} e se x D f \ {0} si ha ( ) ( ) 1 1 f (x) = 2x sin cos. x x Cosa succede in x 0 = 0? La f è derivabile in questo punto? Il Corollario 1 non è applicabile, dato che i limiti e lim f (x) x 0 + lim f (x) x 0 9
non esistono (perchè?). Siamo costretti a usare la definizione di derivata per scoprire che in realtà la funzione f è derivabile in 0 e che risulta f (0) = 0. Si ha infatti f +(0) f(h) f(0) e analogamente si verifica che h 2 ( sin 1 h) f (0) = 0. sin ( ) 1 = 0 h Dunque la funzione f è derivabile in x 0 = 0 e quindi in tutto il suo dominio e risulta { ( f 2x sin 1 ( (x) = x) cos 1 ) x se x 0, 0 se x = 0. Provate a studiare da soli la continuità e la derivabilità sul dominio delle seguenti due funzioni: x 1 + 4 f 1 (x) = x 2 + 2 e { sin x f 2 (x) = x se x 0, 1 se x = 0. 10