FUNZIONI IPERBOLICHE L funzioni iprbolich sono funzioni spcili dott di proprità formlmnt simili qull di cui sono dott l funzioni goniomtrich ordinri. Anch l loro dfinizion in trmini gomtrici è molto simil ll dfinizion in trmini gomtrici dll funzioni goniomtrich ordinri. I nomi di tli funzioni sono sclti in modo d richimr immditmnt tli somiglinz formli. Vorri qui sporr brvmnt l proprità dll funzioni iprbolich mttndo in luc l nlogi gomtrich nlitich con l funzioni goniomtrich. Dfinizion gomtric dll funzioni goniomtrich L funzioni goniomtrich (sn, cos, tn, csc, sc, cot, pr citr soltnto l principli) possono ssr tutt introdott prtir dll circonfrnz goniomtric, ovvro l circonfrnz di rggio unitrio cntrt nll origin di un sistm di ssi crtsino. Ad smpio, dt l circonfrnz goniomtric di quzion + Y trccito il rggio OP distnz ngolr α dll dirzion positiv dll ss, cosα snα sono dfiniti rispttivmnt com l sciss l ordint dl punto P; pr tnα è ncssrio trccir l rtt tngnt ll circonfrnz nl punto (,0); pr cotα è ncssrio trccir l rtt tngnt ll circonfrnz nl punto (0,); così vi Affinché l introduzion pr vi gomtric dll + Y funzioni goniomtrich si simil qull ch ci ccingimo dscrivr pr l funzioni iprbolich, dobbimo fr un ultrior sforzo. Anziché pnsr d un rlzion fr ngolo α Α funzion goniomtric f (α) immginimo cos α pr nint comun nll trttzion licl ch l f si funzion dll r dl sttor circolr dlimitto dll ss dl rggio OP ch contng l ngolo α com in figur; ovvro immginimo ch l nostr funzion goniomtric opri non più sull insim dgli ngoli orintti α, bnsì sull insim dll r Α di sttori circolri di prtur α. È possibil frlo prché sist un rlzion biunivoc fr l du quntità r α r α r gomtrich: s α è sprsso in rdinti l circonfrnz h rggio r, llor Α ; α pr l circonfrnz goniomtric, in prticolr, Α o α Α : l ngolo in rdinti è numricmnt il doppio dll r dl sttor circolr corrispondnt (r ints dimnsionlizzt dott di sgno). Dunqu, pnsimo di dfinir il cosno il sno di un numro rl ξ qulsisi in qusto modo: cosξ snξ sono rispttivmnt l sciss l ordint dl punto P sull circonfrnz goniomtric ch individu il sttor circolr di r ξ /. Esistono in rltà modi divrsi pr dfinir qust funzioni. L dfinizioni storich prcorrono vi purmnt gomtrich, stbilndo rlzioni fr i lti gli ngoli di un tringolo rttngolo oppur fr l sciss l ordint di un punto sull circonfrnz goniomtric su rtt d ss tngnti. Non mncno tuttvi dfinizioni più modrn, ch forniscono l funzioni goniomtrich com prticolri sviluppi in sri di potnz oppur com soluzioni di prticolri quzioni diffrnzili.
Dfinizion gomtric dll funzioni iprbolich Similmnt introducimo l funzioni iprbolich (lmno l più smplici: snh, cosh), usndo stvolt l iprbol quiltr cntrt nll origin di smissi unitri b, vnt quindi com quzion Y com sintoti l rtt bisttrici di qudrnti. Impighrmo uno solo di du rmi di cui l iprbol è compost: dicimo qullo di quzioni Y ± pr. Dto un numro rl, si P il punto sul nostro rmo di iprbol ch individu il sttor iprbolico di r Α /. Si dfiniscono cosno iprbolico cosh sno iprbolico snh rispttivmnt l sciss l ordint dl punto P. L r dl sttor iprbolico è prs positiv (o ngtiv) s P h ordint positiv (o ngtiv). Y cosh Α Α P snh Y Nll figur è mostrto in clst il sttor iprbolico, di r Α, corrispondnt l punto P sul rmo di iprbol; il doppio dll su r è indicto con il simbolo. Stvolt non è possibil prlr di ngolo α pr vr un dfinizion di sno cosno iprbolici con insim di dfinizion R: qusto prché il sgmnto OP prsnt smpr prtur ngolr risptto ll ss limitt nll intrvllo ( π / 4, π / 4)! Ci si potrbb llor chidr s l dfinizion in trmini di r dl sttor iprbolico conduc funzioni iprbolich dfinit su tutto l insim di numri rli R; ovvro s l r dl sttor iprbolico continui crscr ll infinito, in vlor ssoluto, qulor l sciss dl punto P crsc ll infinito, oppur s ss convrg d un crto vlor strmo. Vdrmo fr un ttimo ch l r Α / dl sttor iprbolico non è limitt, dunqu Α (, + ). Esprssioni nlitich in trmini di sponnzili Ci chidimo: è possibil drivr sprssioni nlitich pr il sno iprbolico il cosno iprbolico (ppn dfiniti pr vi gomtric) in trmini di ltr funzioni not smplici? Sì, è possibil. Comincimo con il cosno iprbolico. Si l ordint di P positiv (idntico l ltro cso). L r Α dl sttor iprbolico OAP è pri ll diffrnz tr l r dl tringolo OPC l r dll rgion di pino dlimitt dll rco di iprbol AP, dll ss dl sgmnto PC. Possimo dunqu scrivr, ricordndo ch il vrtic A dll iprbol è il punto (,0): Α Il dubbio è ingiustificto: si dimostr ch l r dll rgion di pino comprs fr un brccio di ciscun rmo dll iprbol il suo sintoto è un quntità non convrgnt: l quzion cnonic dll iprbol è b b, l quzioni pr i brcci divngono ± Α b ( ) d + m c rispttivmnt con c, c ; qusto intgrl divrg.
A d ( + ) ln. Ecco qu l giustificzion di cui ncssitvmo pr l nostr trttzion: l r Α, ossi l vribil d cui bbimo ftto dipndr pr dfinizion il sno iprbolico il cosno iprbolico, non h limitzioni! Pr Y P 0 si h Α 0, mntr nl cso Y P 0 si vrà Α 0 3. Dunqu il dominio pr sno cosno iprbolici è proprio tutto R! Prndimo llor il logritmo com nostr futur vribil indipndnt 4 ponimo ln ( + ) Α d cui + ( ) + cosh. Vdimo dsso il sno iprbolico. Potrmmo sguir il mdsimo procdimnto, clcolndo ncor l r dl sttor iprbolico OAP fcndo comprir l ordint Y dl punto P mdint l sostituzion Y + (smpr nll ipotsi Y P 0; similmnt nl cso Y P 0). Tuttvi non srbb più istruttivo dl clcolo ppn ftto: dducimo prciò il sno iprbolico ricordndo ch il punto P pprtin ll iprbol pr cui l su coordint soddisfno l condizion Y. + Pr Y P 0 si h Α 0, Y poiché + pr Y P 0 si h Α 0, Y poiché ;. Rissumndo, pr ogni punto P ( quindi pr ogni r Α) Y snh. 3 Abbimo trttto il cso in cui il punto P si trov nl smipino dll ordint positiv; nll ltro cso dobbimo cmbir di sgno i du trmini l cui diffrnz fornisc l r Α; così Α risultrà ngtiv, com d convnzion. 4 Stimo fcndo un cmbimnto dll vribil indipndnt: d Α Α. Chimrmo cosno iprbolico si l funzion di Α si l funzion di, con lggro buso di notzion. 3
Dfinimo poi, pr nlogi con l fmigli goniomtric, l tngnt iprbolic FUNZIONI IPERBOLICHE tnh snh cosh + nturlmnt i sgunti rciproci: scnt iprbolic, coscnt iprbolic cotngnt iprbolic sc h cosh +, csch sinh, cot h cosh + tnh sinh. Proprità rlzioni notvoli In virtù dll loro dfinizion com sciss ordint di punti sopr l circonfrnz goniomtric, il cosno il sno dllo stsso ngolo soddisfno l sgunt importnt idntità: cos α + sn α (rlzion fondmntl dll goniomtri). Un idntità nlog è vrifict dl cosno iprbolico dl sno iprbolico dllo stsso vlor numrico pr il ftto ch ssi rpprsntno sciss ordint di punti sull iprbol quiltr cntrt con smissi unitri: cosh snh R. Nturlmnt qust rlzion può nch ssr fcilmnt ddott dll sprssioni nlitich ricvt pr l funzioni iprbolich. Utilizzndo qust sprssioni è possibil vrificr svrit proprità simili qull soddisftt dll funzioni goniomtrich. FUNZIONI GONIOMETRICHE sn sn cos cos cos sn cos sn sin ( + ) sin cos os sin cos ( + ) cos cos sn sin sin ( ) sin cos cos sin cos ( ) cos cos + sn sin FUNZIONI IPERBOLICHE snh snh cosh cosh cosh + snh cos + sn sinh ( + ) sinh cosh osh sinh cosh ( + ) cosh cosh + snh sinh sinh ( ) sinh cosh cosh sinh cosh ( ) cosh cosh snh sinh 4
In figur sono riportti i grfici dll tr funzioni iprbolich fondmntli. Com risult dll su sprssion nlitic, il sno iprbolico è un funzion dispri dl proprio rgomnto similmnt ll funzion sno. Pss pr l origin dgli ssi d h ivi il suo unico zro: snh 0 0. È positiv pr > 0, ngtiv pr < 0. H un ndmnto sintotico di tipo sponnzil: lim + snh +, lim snh, snh ~ snh ~ pr + pr Proprio com l funzion cosno nch il cosno iprbolico è un funzion pri dl proprio rgomnto. Intrctt l ss nl punto (0,) d è smpr l di sopr dll rtt ; di consgunz è smpr positiv mi null. H un ndmnto sintotico di tipo sponnzil: lim + cosh +, lim cosh +, cosh ~ cosh ~ pr + pr Infin l tngnt iprbolic è funzion dispri dl proprio rgomnto, proprio com lo è l tngnt. Erdit dl sno iprbolico il pssggio pr l origin dgli ssi l unicità dllo zro. H du sintoti orizzontli nll rtt : lim + tnh + lim tnh Un vistos diffrnz risptto ll tr funzion omologh dll fmigli goniomtric è l non priodicità di sno, cosno tngnt iprbolici. Funzioni invrs loro sprssioni nlitich L funzioni snh: R R tnh: R (,+) sono surittiv inittiv, dunqu biunivoch invrtibili nl loro dominio. L funzion cosh: R [+,+ ) non è inittiv pr cui, nll ottic di dfinir un funzion invrs, è ncssrio rstringr il dominio d un insim di non inittività: limitimo il dominio [0, + ) ottnimo così un rstrizion biunivoc dl cosno iprbolico; possimo dsso invrtir qust funzion ristrtt. 5
Chimimo sttor sno iprbolico l funzion invrs dl sno iprbolico: snh sttsnh, con sttsnh: R R. Possimo drivr un sprssion nlitic pr ss (ricordndo ch > 0 ): 0 + + d cui ( + ) + sttsnh ln. Si il sttor cosno iprbolico l funzion invrs dll suddtt rstrizion dl cosno iprbolico: cosh sttcosh, con sttcosh: [+, + ) [0, + ). Procndndo nlogmnt qunto ftto sopr drivimo un sprsion nlitic pr ss (ricordndo ch 0 ): + + 0 + ( + ) sttcosh ln. Chimimo infin sttor tngnt iprbolic l funzion invrs dll tngnt iprbolic: tnh stttnh, con stttnh: (,+) R. Possimo drivr un sprssion nlitic: + + ( ) + + 0 + + stttnh ln. Com si vd nch pr l funzioni invrs è stto possibil dtrminr sprssioni nlitich in trmini di funzioni lmntri not, stvolt logritmi nturli nziché sponnzili Allo stsso modo è smplic introdurr l funzioni invrs di scnt, coscnt cotngnt iprbolich, dnomint sttor scnt iprbolic, sttor coscnt iprbolic sttor cotngnt iprbolic. 6
Rissunt nl sgunt schm sinottico stnno lcun rgol di drivzion intgrzion: FUNZIONI GONIOMETRICHE D sn cos FUNZIONI IPERBOLICHE D snh cosh D cos sn D tn + tn D rcsn D rccos D rctn + sn d cos cos D cosh snh D tnh tnh D sttsnh D sttcosh + cosh D stttnh snh d cosh cos d sn tn d ln cos cosh d snh tnh d ln (cosh ) Tvol di intgrli utili Di uso comun possono risultr i sgunti intgrli indfiniti: snh d snh 4 cosh d snh + 4 cosh d ln tnh ln snh cosh + d rctn cosh snh d cosh snh cosh d snh cosh + d ( sttsnh + + ) d ( sttcosh + ) 7
Ringrzimnti Bibliogrfi Qusto brv opuscolo non h l prts di compltzz: trtt soltnto prticolri proprità di lcun funzioni iprbolich, snz ddntrrsi ccssivmnt ni dttgli di clcoli, né mtt in mostr l possibili ppliczioni ( c n sono!) in cmpo mtmtico fisico. Tuttvi pnso bsti com introduzion ll funzioni iprbolich, ll loro origin ll loro rlzion con il mondo dll funzioni goniomtrich. Dto il crttr mtoril dl tsto pr il formlismo in sso contnuto, lo pnso dstinto chiunqu non conosc già l funzioni iprbolich o ch n h ppn ftto conoscnz volss sprn di più, d bbi bsi mtmtich licli o univrsitri. Pr pprofondimnti rimndo tsti spcilistici. Tutti gli rrori sono imputbili ll utor. Fonti: - Appunti di Anlisi Mtmtic I, corso di lur in Fisic, Gbril Villri Giovnni Cupini - Pgin wikipdi.it ddict ll funzioni iprbolich (d cui sono trtt lcun immgini) Gnnio 00 MARCO GABBRIELLI 8