Capitolo 1 CRITERI DI VALUTAZIONE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA

Capitolo 1 CRITERI DI VALUTAZIONE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA 1.1 Introduzione Fino ad ora abbiamo esaminato prevalentemente criteri di valutazione e scelte di investimenti nell ipotesi di operare in condizione di certezza, ossia nel caso in cui siano note, o supposte tali, le caratteristiche delle operazioni di investimento. In tali casi si è implicitamente assunto che un operatore agisca sempre come individuo razionale, per individuo razionale si intende, a parità di altre condizioni, colui che preferisce tanto a poco, volto alla massimizzazione della sua soddisfazione (misurata con una certa funzione di utilità) derivante da una specifica situazione. In generale, una funzione di utilità rappresenta un: indicatore del benessere che un individuo trae da una certa situazione; un modo di descrivere le preferenze dell individuo. Per esempio, nel caso che l individuo sia un consumatore che misura la sua soddisfazione in base alle quantità q = (q 1,,q n ) di ogni possibile paniere di consumi, si userà una funzione di utilitàu q, ossiau(q 1,,q n ), in modo tale da associare un numero ad ogni realizzazione q nell insieme delle opportunità (o dominio, o regione di ammissibilità), che indichiamo con D. q 1,q 2 D, si dirà che: Ad esempio un investimento in titoli di stato è considerato un investimento certo in quanto si conosce a priori il rendimento lordo finale. Tuttavia abbiamo visto che anche tali investimenti non sono del tutto esenti da rischi, ad esempio se il tasso di inflazione durante l orizzonte dell investimento cambia, il rendimento netto dell investimento cambia anch esso.

2 Criteri di Valutazione in Condizioni di Incertezza q 1 è preferito aq 2 u q 1 >u q 2 (in simboliq 1 q 2 ) q 1 è indifferente aq 2 u q 1 =u q 2 (in simboliq 1 q 2 ). Si osserva anche che in generale non è importante il valore assoluto della funzioneu, in quanto il suo uso (o scopo, o obiettivo) è quello di ordinare delle preferenze, sono quindi le curve di livello della funzione di utilità che caratterizzano in modo univoco le preferenze, dando un ordinamento fra tutte le possibili scelte, e non i valori diusu tali curve (che possono anche cambiare). Si ritiene, quindi, che una funzione di utilità sia determinata a meno di una trasformazione monotona crescente. Ossia seu q è una funzione di utilità e h(x) una funzione monotona, strettamente crescente, allora u(q)=(h u) q =h u q (1.1) è una funzione di utilità equivalente adu q, nel senso che determina le stesse preferenze, infatti q 1 q 2 u q 1 u q 2 h u q 1 h u q 2 ossia u(q 1 ) u(q 2 ) u q 1 u q 2 Le ipotesi che vengono solitamente fatte sulla funzione u sono: i u= u q i >0 u concava (1.2) Nel caso di due beni, le(1.2) implicano curve di livello convesse e decrescenti del tipo riportato in fig. 5.1.

Introduzione 3 q2 Figura 5.1. Curvedi livello della u q :u(q 1,q 2 )=k(costante). k 1 <k 2 <k 3. q1 u q =k du= 1 udq 1 + 2 udq 2 =0 dq 2 dq 1 = 1u 2 u <0 Per un investitore che basa il suo criterio di scelta sulla quantità di denaro, o ricchezza x che percepisce in un fissato intervallo di tempo (che assumiamo unitario), avremo cheu(x) è una funzione monotona crescente dix, del tipo riportato nelle figure 5.2 e 5.3. U(x) Figura 5.2. Utilità della ricchezza x. Figura 5.3. Utilità della ricchezza x. x

4 Criteri di Valutazione in Condizioni di Incertezza Come misura della ricchezza si può assumere, per esempio, il rendimento di una certa attività finanziaria: 1 (1+i(0,1))=r(0,1) 0 1 x=r(0,1) Ad esempio, una funzione di utilità spesso utilizzata è la funzione di utilità quadratica u(r)=u(x)=ax(1 bx); a,b>0 (1.3) considerata per0<x< 1 2b, in modo da garantireu (x) 0, così che u (x)=a(1 2bx)>0 per la quale si ha u (x)= 2ab<0 (u è il ramo crescente di una parabola concava). Invece di assumere come indicatore della ricchezza il rendimento r(0, 1) potremmo decidere di assumere il tasso effettivo di rendimento i(0, 1) e considerare, al posto di una funzione di utilità del denarou(r), una funzioneu(i). Per e- sempio, nel caso della funzione quadratica, possiamo effettuare il cambiamento di variabilex=1+i ed ottenere u(i) = u(x(i))=a(1+i)(1 b(1+i)) = a (1 b)+(1 2b)i bi 2 (1.4) con il vincolox=1+i< 1 2b che diventai< 1 2b 1. La u è una funzione equivalente ad u e rappresenta gli stessi ordinamenti, essendo sempre una funzione monotona crescente e concava, è solo cambiata la variabile indipendente assunta come rappresentativa della ricchezza. O ancora, visto che l eliminazione di una costante non cambia l ordinamento, eliminando dalla(1.4) il terminea(1 b) otteniamo u(i)=ai(1 2b bi) per i< 1 2b 1

Criterio del Valor Medio 5 che rappresenta sempre la medesima funzione di preferenza (fig. 5.4.). U(x) Figura 5.4. Funzione di utilità concava. Se un investitore dovesse decidere in quale titolo di puro sconto investire il suo denaro oggi, t = 0, fra quanti sono disponibili e scadenti in t = 1, usare il criterio della massima utilità porta ad una medesima scelta quando l utilità è una funzione monotona crescente. Ossia, massimizzare il rendimento, o il tasso di rendimento, o altro, è lo stesso, in quanto se la funzione di utilitàudipende da una sola variabile indipendente, x, ed è monotona crescente, allora l utilità massima si ha in corrispondenza del massimo valore assunto dalla variabile indipendente x. Ad esempio, consideriamo il titolo A k che presenta un tasso di rendimento i k, l investitore sceglierà di investire tutto il suo capitale nel titolo A j, avente i j =max{i 1,,i n }. Osserviamo ancora che se l investitore sceglie fra diversi tipi di investimenti in base alcriteriodelrea o del valore attuale, si riferisce sostanzialmente al medesimo criterio, in quanto assumiamo implicitamente che a maggior valore attuale corrisponda una maggior utilità. 1.2 Criterio del Valor Medio Introduciamo ora elementi di incertezza, supponendo che gli investitori sappiano attribuire specifiche probabilità al verificarsi degli eventi. Ad esempio, nel caso dei titoli azionari, sappiamo assegnare le probabilità con cui si veri-

6 Criteri di Valutazione in Condizioni di Incertezza ficano certi rendimenti. Nei casi più semplici, ciò si può fare basandosi sulle serie storiche passate e assumendo i valori equiprobabili. Abbiamo già visto nel caso di titoli obbligazionari che una possibile tecnica per arrivare alla condizione di incertezza consiste nel sostituire una variabile casuale, o variabile aleatoria (spesso abbreviata con v.c. oppure v.a.), x, che assume le determinazionix k con probabilitàp k, perk=1,...,n ( k p k=1), con il suo valor atteso n E(X)= x k p k. (1.5) Questo è ilcriterio del valor atteso o delvalore medio. Ossia si assume che il valore da attribuire ad una variabile causalex (X={x k,p k })sia uguale al suo valor attesoe(x). Tuttavia il criterio del valor atteso non è molto adatto per valutare il rendimento dell investimento considerato. Un esempio che mette in evidenza i limiti di tale criterio è il paradosso di S. Pietroburgo, formulato da Bernoulli più di duecento anni fa. Lo stesso autore, Bernuolli, presentò anche una tecnica alternativa che risolveva gli incovenienti evidenziati. Ricordiamo che sex è una variabile casuale con realizzazioni{x k,p k } k = 1,...,n, il valor medio E(X) = n k=1 x kp k non è in genere una delle possibili realizzazioni. Per esempio, consideriamo la v.c. uscite nel lancio di un dado che assumano le possibili realizzazioni x k = k per k = 1,,6 ciascuna con probabilitàp k = 1. Il valor atteso è quindi 6 k=1 E(X)= n k=1 k 1 6 = 21 6 =3.5 che non è una realizzazione possibile. Tuttavia il significato di E(X) è importante in senso statistico, ossia, se l esperimento viene ripetuto un gran numero di volte allora la media aritmetica dei valori ottenuti (cioè le uscite, o realizzazioni, negli esperimenti) tende al valore atteso E(X). Il valore atteso è anche il valore utilizzato nella teoria dei giochi per calcolare il prezzo equo per la parteciapzione ad un gioco, o lotteria. Per esempio, qual è il valore da attribuire alla partecipazione di una lotteria nella quale si abbia la possibilità di vincerex 1 =$.10 milioni con probabilità p 1 = 1 =0.0001 ex 10.000 2=$.0 con probabilitàp 2 =1 p 1? Si hae(x)=p 1 x 1 +0=1000.

Paradosso di S. Pietroburgo 7 Se la partecipazione al gioco, ov.c. X, ha prezzo fissox 0, il gioco viene detto equo se E(G)=E(X) x 0 =0 ossia se offre una speranza matematica di guadagno complessivo nulla (come si ha in un gioco in cui mediamente si paga quanto si vince). Lav.c. guadagno G ha le uscite(x k x 0 ) con le stesse probabilitàp k e quindi E(G)= k (x k x 0 )p k =E(X) x 0 Il gioco viene detto vantaggioso (risp. svantaggioso) se risulta E(G)>0 (risp. <0) ossia E(X)>x 0 (risp. <0) per cui il prezzo(x 0 ) che paghiamo per la partecipazione al gioco è inferiore (risp. superiore) al suo valor atteso E(X), valor medio delle vincite. 1.3 Paradosso di S. Pietroburgo L esempio formulato da Bernoulli evidenzia i limiti associati all utilizzo del criterio del valor atteso. Consideriamo il gioco che consiste nel fissare una posta inizialem 1elanciare una moneta: i partecipanti accettano di ricevere la posta pagata se esce Testa (T) al primo lancio, di ricevere 2 volte la posta (2M) se escet per la prima volta al secondo lancio, 4 volte la posta se escet al terzo lancio e così via in modo che per ogni lancio aggiuntivo la posta venga raddoppiata fino a che non escet. Assumendo le uscite T e C del lancio di moneta equiprobabili, abbiamo le

8 Criteri di Valutazione in Condizioni di Incertezza seguenti realizzazioni di guadagno, con relative probabilità: Lancio in cui esce Probabilità Testa la 1 volta Risultato Risultato Premio k p k x k 1 T p 1 = 1 x 2 1 =1M 2 CT p 2 = 1= 1 2 4 2 x 2 =2M 3 CCT p 3 = 1 8 = 1 x 2 3 3 =4M 4 CCCT p 4 = 1 = 1 x 16 2 4 4 =8M.... n C...CT p n = 1 x 2 n n =2 n 1 M ed il valor medio di questav.c. è E(X)= 2 k 1 M 1 2 =M 1 = (1.6) k 2 k=1 In base al criterio del massimo rendimento atteso il valor medio di questo gioco costituirebbe il prezzo massimo che un partecipante sarebbe disposto a pagare per partecipare al gioco. Quindi un individuo sarebbe disposto a pagare qualsiasi sommax 0 pur di partecipare al gioco (essendo sempree(x)>x 0 ), cioè considera il gioco sempre vantaggioso, il che è contro il buon senso (basti pensare a quanto ciascuno di noi sarebbe disposto a pagare per partecipare ad un gioco del genere). Il criterio allora non sembra essere applicabile ai comportamenti realmente osservabili. 1.4 Criterio dell utilità attesa(massimizzazione dell utilità attesa) La teoria dell utilità attesa sembra ovviare alle mancanze del criterio precedente. Già lo stesso Bernoulli osservava che gli individui valutano le grandezze finanziarie, o monetarie, non direttamente e oggettivamente, ma mediando il loro valore tramite il grado di utilità che essi, in modo del tutto soggettivo, attribuiscono al possesso di tale somma. Usando questa impostazione assumiamo che ogni operatore agisca associando alle grandezze finanziarie un valore che ne misuri il grado di soddisfazione, o di desiderabilità individuale. Ogni individuo dispone quindi di una personale funzione di utilità u(x) x u(x), x R + k=1

Criterio dell utilità attesa (massimizzazione dell utilità attesa) 9 Per esempio, il paradosso di S. Pietroburgo, venne risolto da Bernoulli ipotizzando che l utilità associata al denaro fosse rappresentata da una funzione logaritmica del tipo u(x)=aln x b a>0, b>0 ossia u(x) è l utilità associata all ammontare x di denaro. Consideriamo, per fissare le idee,a=b=1. Al posto dellav.c.{x k,p k } l individuo considera allora lav.c. U =U(X)={u(x k ),p k }={ln(x k ),p k } e le attribuisce il valore atteso, detto utilità attesa: E(U) = k=1 ln 2 k 1 M 1 2 k = ln 2 k 1 1 2 + ln(m) 1 k 2 k k k k 1 1 = ln2 +lnm 2 k 2 k k=1 k=1 =1 =1 = ln2+lnm = ln(2m) = u(2m) chiamiamo equivalente certo della v.c. x la quantità x c = 2M la cui utilità u(x c ) è uguale all utilità attesae(u(x))=e(u) ossia E(U(X))=u(x c ) (1.7) k 1 Dimostriamo che le serie k=1 2 e 1 k k=1 sono convergenti. Postoq= 1 2 k 2 k=1 qk è la serie geometrica di primo termineq= 1 e ragioneq= 1, quindi 2 2 convergente con somma S= q 1 1 q = 2 1 1 2 =1 (1.8)

10 Criteri di Valutazione in Condizioni di Incertezza Per la serie k=1 qk (k 1) calcoliamo la somma parziales n e poi facciamo il limite pern S n = q 2 + q 3 +q 3 + q 4 +q 4 +q 4 + q n +q n +q n + +q n n 1 volte = q 2 1+q+ +q n 2 +q 3 1+q+ +q n 3 + +q n S = lim S n =q 2 1 n 1 q 1 = q 2 +q 3 +... 1 q = = q 2 1 q (1+q+ ) q 2 1 1 q 1 q = q 2 (1 q) 2 +q 3 1 + 1 q e perq= 1 si has=1. 2 Riassumiamo quindi in cosa consiste il criterio dell utilità attesa. Supponiamo che ogni individuo disponga di una funzione di utilità a valori reali, che rappresenti le scelte o preferenze individuali. Se x rappresenta il valore del capitale, u(x) rappresenta l utilità che ad esso associa l operatore. Si assume generalmente che u(x) sia una funzione monotona crescente: x 1 <x 2 u(x 1 )<u(x 2 ) (1.9) e, supponendo che la funzione u(x) sia derivabile, tale condizione la possiamo ottenere richiedendo che la derivata prima (o utilità marginale) sia positiva u (x)>0 [ (1.9)]

Criterio dell utilità attesa (massimizzazione dell utilità attesa) 11 Assumiamo, quindi, che ogni operatore misuri le grandezze finanziarie attraverso la soddisfazione che ne deriva. Se deve valutare unav.c. X ={x k,p k } l utilità che ne deriva all operatore è a sua volta unav.c.u(x)={u(x k ),p k } e chiamiamo utilità attesa (l utilità che l operatore associa al possesso della v.c.x), il valore atteso dellav.c. U(X): U =E(U)=E(U(X))= k u(x k )p k (1.10) Osserviamo che nel caso particolare che X consista di due sole possibili uscite (x 1,p 1 ) e(x 2,p 2 ) conp 2 =1 p 1 allora si ha E(X) = x 1 p 1 +x 2 (1 p 1 ) (1.11) E(U) = u 1 p 1 +u 2 (1 p 1 ) (1.12) conu 1 =u(x 1 ),u 2 =u(x 2 ). Ilpunto(E(X),E(U))appartieneintal casoalla retta congiungente i punti (x 1,u 1 ), (x 2,u 2 ) (indipendentemente dalla forma della funzioneu(x)). Si veda la fig.5.5 e la fig.5.6 Figura 5.5. Figura 5.6. In generale, quando X è una variabile casuale con più di due realizzazioni, il puntob=(e(x),e(u)), che può considerarsi il baricentro della distribuzione{x k,p k } con pesip k, è un punto appartenente alla regione delimitata da segmenti di retta congiungenti i punti(x k,u(x k )) appartenenti al grafico della funzioneu(x) e dalla corda congiungente i punti del grafico di ascissa

12 Criteri di Valutazione in Condizioni di Incertezza x min ex max (rispettivamente minimo e massimodell insieme{x k,k=1,...,n}) si veda le figg.. 5.7 e 5.8. Figura 5.7. Figura 5.8. Si osserva poi che essendo u(x) una funzione crescente, e quindi invertibile, esiste un unico valorex c tale cheu(x c )=E(U), ossia x c =u 1 (E(U)) (1.13) etalevalorex c vienedetto,equivalentecerto dellav.c.x, inquantorappresenta la somma (certa) il cui livello di soddisfazione è pari a quello che si ha con la v.c. (o somma incerta) X. Il criterio generale di comportamento per l individuo razionale sarà quello di scegliere, fra diverse alternative, quella che procura maggiore utilità, usando la funzione di utilità direttamente, u(x), per valori certi x, ossia per investimenti certi o non rischiosi, ed usando l utilità attesa E(U(X)) per investimenti incerti, o rischiosi, rappresentati da una variabile casuale X. Fra due investimenti rischiosi, l opportunità X sarà preferita ad un altra Y se e solo se l utilità attesa dix è maggiore dell utilità attesa diy (fissata la funzione di utilità u): E(U(X))>E(U(Y)) Tipici investimenti certi, considerati non rischiosi, sono i titoli senza cedole, mentre quelli incerti (considerati rischiosi) sono i titoli con cedole. Infatti,

Avversione/Propensione al rischio 13 il ritiro di cedole (che sono generalmente al tasso variabile, ossia cedole non costanti) e conseguenti reinvestimenti fa si che il rendimento effettivo globale (per l intero orizzonte temporale) dipenderà da come saranno i tassi vigenti alle scadenze che intervengono nel titolo e oggi potremo solo stimare le loro possibili uscite con determinate probabilità. 1.5 Avversione/Propensione al rischio Il confronto che possiamo effettuare nel caso di due titoli molto semplici, uno non rischioso ed uno rischioso, ci porta a qualificare il comportamento degli operatori in termini della loro funzione di utilità u(x). Per esempio, supponiamo che un investitore debba scegliere, a parità di impiego di capitale iniziale, frauninvestimentocertoa, checonsistenelricavarex A =$.110 afineperiodo, ed un investimento incertob, che consiste nella variabile aleatoriax B che ha comepossibiliricavix B,1 =105conp 1 = 1 2 ex B,2=115conp 2 = 1 2. Calcolando il valore medio dell investimento B otteniamo: E(X B )= 105 2 +115 2 =110 (E(X B)=x A ) In base al criterio del valor medio, i due investimenti sono quindi indifferenti. In realtà è plausibile che i due investimenti non siano del tutto equivalenti per gli investitori. È ragionevole pensare che un investitore avverso al rischio preferirà l investimento certo A (a parità di valor medio non rischierà acquistando il titolob, temendo che possa verificarsi l esitox B,1 ). Mentre se l investitore è propenso al rischio allora preferirà l investimento B (a parità del valormedio sperache si realizzi l eventualitàx B,2 ). Le scelte così formulate non avvengono sulla base del criterio del valor medio ma tengono conto anche delle preferenze degli investitori. Tali scelte si ottengono, usando il criterio dell utilità attesa, assumendo che un investitore avverso (rispettivamente propenso) al rischio abbia una funzione di utilità u(x) concava (rispettivamente convessa). Infatti, assumiamo che un investitore abbia una funzione di utilità u(x) concava (condizioni sufficienti affinchè ciò si verifichi sonou (x)>0eu (x)<0), allora risulta necessariamente (si veda la fig.5.9 e la 5.7) che l equivalente certo x c è minore del valore attesoe(x), ossiax c <E(X)=x A, e quindi, per la monotonia diu(x), x c <E(X)=x A E(U)=u(x c )<u(x A ) (1.14)

14 Criteri di Valutazione in Condizioni di Incertezza l utilità attesae(u)=u(x c ) è minore di (e quindi non preferita a)u(x A ) e l operatore opta per l investimento certo, che realizza x A (ossia si comporta come un investitore avverso al rischio). Mentre se un operatore ha una funzione di utilitàu(x) convessa (e condizioni sufficienti affinchè ciò si verifichi sonou (x)>0eu (x)>0) allora (si veda la figura 5.10 e la 5.8) si ha necessariamente l equivalente certox c maggiore del valore medioe(x)=x A quindi l utilità attesae(u)=u(x c ) è maggiore di (e quindi preferita a)u(x A ), x c >E(X)=x A E(U)=u(x c )>u(x A ) (1.15) e l operatore opta per l investimemto aleatorio (che gli procura maggiore utilità attesa) e si comporta quindi come un operatore propenso al rischio. Figura 5.9. Utilità per investitore avverso al rischio

Avversione/Propensione al rischio 15 Figura 5.10. Utilità per investitore propenso al rischio Si può notare che per un investitore avente una funzione di utilità affine (u =0) si ha che l utilità attesae(u) è uguale all utilità calcolata nel valore attesoe(x), ossiae(u)=u(e) e l equivalente certox c coincide con il valore medioe(x). Figura 5.11 Utilità per investitore neutro al rischio x c =E(x) (1.16) In tal caso, il criterio del valor medio ed il criterio dell utilità attesa forniscono quindi la medesima soluzione, e se consideriamo l investitore nell esempio precedente si può dire che l investitore è indifferente o neutrale al

16 Criteri di Valutazione in Condizioni di Incertezza rischio, in quanto le due opportunità (titolo certo e titolo incerto) sono per lui equivalenti. La condizione data sopra (u(x) affine) è caratterizzante della neutralità, in quanto vale anche il viceversa, come mostra il seguente Teorema 5.1. Relazione tra criterio del valore medio e criterio dell utilità attesa. L utilità attesa è uguale all utilità del valore medio (che è sinonimo di operatore neutrale) se e solo se la funzione di utilitàu(x) è affine E(U(X)) = u(e(x)) (1.17) u(x) = ax+b (1.18) Da questo teorema segue che il criterio del valor medio può essere considerato come un caso particolare del criterio dell utilità attesa. Dimostrazione. Osserviamo che è E(X)= k x k p k (1.19) E(U)= k u(x k )p k (1.20) e risulta u(e(x)) = E(U) u x k p k k = k u(x k )p k e l uguaglianza qui sopra corrisponde alla definizione di u(x) lineare se i pesi p k sono coefficienti generici, se invece i pesip k sommano a 1, come nel nostro caso, allora l uguaglianza è caratterizzante delle funzioni affini, ossia è vera se e solo se u(x)=ax+b (1.21)

Avversione/Propensione al rischio 17 Infatti, considerandou(x)=ax+b si ha: u xk p k = a x k p k +b k = k (ax k )p k +b k p k = k (ax k +b)p k = k u(x k )p k Il viceversa è vero per definizione. Quanto visto sopra motiva la seguente: Definizione: Si dice che un individuo (investitore, decisore,...) è avverso al rischio se vale E(U(X))<u(E(X)) v.c. X (1.22) (ossia se preferisce sempre il valore atteso di una lotteria alla lotteria stessa). Teorema 5.2. Condizione per avversione al rischio. Seu (x)<0 x= l investitore è avverso al rischio. Dimostrazione. u (x) < 0 è condizione sufficiente per la stretta concavità della funzione di utilitàu(x) ed essendo il puntob =(E(X),E(U)) un punto della regione di piano compresa fra il grafico diu(x) e la corda, come mostrato in fig.5.7, si ha che l equivalente certox c soddisfa: x c <E(X) e u(x c )=E(u)<u(E(X)) In questi casi (per colui che stima con una tale funzione di utilità,u <0) le somme incerte (con equivalente certox c <E(X)) valgono meno del loro valore atteso (E(U)<u(E(X))). L incertezza è quindi considerata un elemento negativo, per cui è naturale definire tale individuo come avverso al rischio.

18 Criteri di Valutazione in Condizioni di Incertezza Definiamo premio per il rischio la quantità =x c E(X) (1.23) che risulta negativa nel caso di investitori avversi al rischio. Analoghe definizioni e proprietà per la propensione e l indifferenza al rischio. Per un investitore con funzione di utilità convessa (u >0) si avrà propensione al rischio in quanto l equivalente certo x c è maggiore del valor medio E(X) x c >E(X) (1.24) e l utilità attesa E(U) è maggiore dell utilità attribuita al valor medio ed il premioperil rischio risulta ora positivo (fig. 5.8). E(U)>u(E(X)) (1.25) =x c E(X)>0 (1.26) Funzioni di utilità equivalenti nella propensione/avversione al rischio. Si noti che in questi casi, in cui si vuol sostituire un equivalente certo a somme incerte, e si fa esplicito riferimento ai valori della funzione di utilità (e non solo all ordinamento delle preferenze da questa indotto) non possiamo ritenere equivalenti funzioni di utilità (ordinale) che sono determinate a meno di trasformazioni monotone crescenti generiche, perchè, pur non cambiando la monotonia, può cambiare la convessità della funzione di utilità. Infatti, se consideriamoh(x) monotona crescente(assumiamo per esempio,h (x)>0) e la funzione compostau=h(u), si ha u =h (u)u >0 u =h (u)(u ) 2 +h (u)u 0 chepuòesserepositivaonegativa(nelcasoincuih eu abbianosegniopposti). Quindi la funzione u, pur essendo monotona crescente, può cambiare il tipo di convessità.

Avversione/Propensione al rischio 19 Nel caso in cui la funzione di utilità sia affine, u(x) = ax+b, (ossia con u (x)=0) se consideriamo per esempioh(x)=αx 2 conα>0 otteniamo u=h(u)=α(ax+b) 2 = αa 2 x 2 +2abαx+αb 2 e quindi u(x) è un utilità quadratica con u > 0, ossia convessa. Questo porterebbe a non poter qualificare l operatore come indifferente o propenso al rischio. E chiaro che si vorrebbero ottenere funzioni di utilità equivalenti che fornissero lo stesso tipo di avversione/propensione al rischio. Dovremo allora considerare la funzione di utilità cosiddetta cardinale (e non più ordinale), determinata a meno di una trasformazione affine crescente, ossia a meno di una funzioneh(x) del tipo h(x)=αx+β conα>0 (1.27) con(h (x)=α>0 eh (x)=0). Osserviamo infatti che in questo caso è equivalente, per selezionare le preferenze, considerare una funzione di utilità u(x) oppure la funzione di utilità che si ottiene da essa mediante una trasformazione affine crescente, ossia con u(x)=h(u(x)) essendoh(x) definita sopra. Infatti, siax ={x k,p k }, la variabile aleatoria che si intende valutare, avente valore medioe(x)= k x kp k, e consideriamo le variabili casuali associate alle funzioni di utilitàu(x) eu(x), sianou e U rispettivamente, per le quali è U = {u(x k ),p k }, E(U)= k U = {u(x k ),p k }, E U = k u(x k )p k u(x k )p k Mostriamo ora che due funzioni di utilità equivalenti u(x) e u(x) determinano le stesse preferenze, ossia hanno le stesse caratteristiche in termini di avversione/propensione al rischio, in quanto risulta E(U) < u(e(x)) E U < u(e(x))

20 Criteri di Valutazione in Condizioni di Incertezza Infatti, per definizione di u abbiamo u(e(x))=h(u(e(x))) (1.28) mentre E U = k h(u(x k ))p k = k = k (αu(x k )+β)p k αu(x k )p k +β = α u(x k )p k +β k = αe(u)+β (1.29) = h(e(u)) (1.30) E, quindi E(U) < u(e(x)) (1.31) h(e(u)) < h(u(e(x))) (1.32) E U < u(e(x)) (1.33) dove la prima implicazione si ha per la monotonia dihnella(1.27), la seconda per le uguaglianze nelle(1.28) e(1.30). Visto che è la derivata seconda che qualifica la propensione o avversione al rischio, si può ritenere che la sua entità qualifichi il grado di propensione o avversione. Ossia, quanto più sono incurvate le funzione di utilità, tanto è maggiore la differenza frae(u) eu(e) e quindi maggiore è il grado di avversione o propensione al rischio. L uso diretto delle derivate seconde u (x), o delle curvature geometriche di u(x), non sono misure appropriate di avversione al rischio perchè non sono invarianti per trasformazioni affini di u(x), e

Avversione/Propensione al rischio 21 quindi qualificherebbero con diversi gradi di avversione due funzioni di utilità equivalenti (che si ottengono l una dall altra con una trasformazione affine). Vengono introdotti allora altri indicatori del grado di avversione, locali (che dipendono dal punto in cui si valutano). Per esempio, una misura dell influenza del fattore rischio sulle preferenze individuali (associata ad una funzione di utilità u(x)) può farsi attraverso la funzione (introdotta da Arrow-Pratt) indice assoluto di avversione al rischio : r(x)= u (x) u (x) (1.34) oppure con la funzione indice relativo di avversione : ρ(x)=xr(x)= x u (x) u (x) (1.35) Con la misura di avversione al rischio r(x) definita sopra, funzioni di utilità equivalenti hanno la medesima funzione di rischiosità. Infatti, consideriamou(x)=h(u(x)) conh(x)=αx+β allora, essendo si ha u = h (u(x)) u (x)=αu (x) u = αu (x) r u (x)= u (x) u (x) = u (x) u (x) =r u(x) (1.36) Ricordando che èu (x)>0 per ogni funzione di utilità avremo che r(x)>0 u (x)<0 (avversione al rischio) r(x)<0 u (x)>0 (propensione al rischio) r(x)=0 u (x)=0 (indifferenza, utilità affine). La funzione reciproca di r(x), λ(x)= 1 r(x) = u (x) u (x)

22 Criteri di Valutazione in Condizioni di Incertezza viene assunta come indice di tolleranza al rischio. Si puo provare che l equivalente certox c di unav.a. X={x k,p k } conx k I k per un individuo avverso al rischio è tanto minore quanto maggiore è la sua avversione al rischio. Ossia, considerando le funzioni di utilitàu 1 edu 2 e gli equivalenti certi di X siano x c,1 =u 1 1 (E(U 1 )), x c,2 =u 1 2 (E(U 2 )) si ha ossia x c,1 <x c,2 u 1 (x) u 1(x) u 2 (x) u 2(x) r 1 (x) r 2 (x) x I 1.6 Alcuni esempi di funzioni di utilità 1. Utilità logaritmica (o di Bernoulli) x u(x) = aln b oppure, equivalentemente, a>0, b>0 = alnx alnb (1.37) u(x)=alnx+β (essendou(x)=u(x)+(alnb+β), affine au(x) e ottenuta mediante la trasformazioneh(y)=y+(alnb+β)). Si ha u (x) = a x >0 e, quindi u (x) = a x 2 <0 r(x)= 1 x (1.38) (funzione monotona descrescente di x).

Alcuni esempi di funzioni di utilità 23 2. Utilità quadratica u(x) = ax bx 2 (1.39) u (x) = a 2bx >0 per x< a 2b (si puo definireu(x)= a2 4b perx a 2b ) u (x) = 2b<0 2b r(x) = a 2bx = 1 a 2b x Figura 5.12 Esempio di utilità quadratica. 3. Utilità esponenziale u(x)=a(1 exp( bx)) a>0,b>0 (1.40) u (x) = abe bx >0 u (x) = ab 2 e bx <0 r(x)=b

24 Criteri di Valutazione in Condizioni di Incertezza 4. Funzione potenza u(x) = x 1 α 0<α<1 (1.41) per esempio perα= 1 2 : u(x)= x u (x) = (1 α)x 1 α 1 =(1 α)x α >0 u (x) = (1 α)( α)x α 1 <0 r(x)= α x Esempio 1. Un individuo dotato di funzione di utilità u(x) = lnx deve decidere se optare per un investimentoaob, dove A) è un investimento certo che procurax A =$.1,100 int=1; B) è un investimento incerto che gli procura, int=1: $.1200 con p 1 =1/4 $.1300 con p 2 =1/4 $.1000 con p 3 =1/2 Si ha: mentre u(x A )=ln(1100)=7.003 E(U)= 1 4 ln(1200)+1 4 ln(1300)+1 2 ln(1000)=7.0189>u(x A). Quindi l individuo (avverso al rischio) sceglie l investimento B. L equivalente certo di B è: x c =u 1 (7.0189)=e 7.0189 =1117.556 Essendo E(X B )= 1200 4 il premio per il rischio è + 1300 4 + 1000 2 =x c E(X B )= 7.444 =1125

Criterio media-varianza (M-V) 25 Il criterio dell utilità attesa rappresenta, come si è detto, un tentativo di superamento del criterio del valor medio, che può portare anche a scelte opposte. Fra due grandezze aleatorie, non sempre quella avente maggior valor medio è anche quella avente maggior utilità attesa. Per esempio, sia u(x) la funzione di utilità di un individuo avverso al rischio. Tra un investimento aleatorio X={x k,p k } ed un altroy ={y j,q j } può aversie(x)>e(y) e tuttavia come si mostra in figura 5.13. 2.67 2.66 2.65 2.64 2.63 2.62 2.61 2.59 2.58 2.57 2.56 2.55 2.54 2.53 2.52 2.51 2.49 2.48 2.47 2.46 2.45 2.44 2.43 2.42 2.41 2.39 2.38 2.37 2.36 2.35 2.34 2.33 2.32 2.31 2.29 2.28 2.27 2.26 2.25 2.24 2.23 2.22 2.21 2.19 2.18 2.17 2.16 2.15 2.14 2.13 2.12 2.11 2.09 2.08 2.07 2.06 2.05 2.04 2.03 2.02 2.012 1.99 1.98 1.97 1.96 1.95 1.94 1.93 1.92 1.91 1.89 1.88 1.87 1.86 1.85 1.84 1.83 1.82 1.81 1.79 1.78 1.77 1.76 1.75 1.74 1.73 1.72 1.71 1.69 1.68 1.67 1.66 1.65 1.64 1.63 1.62 1.61 1.59 1.58 1.57 1.56 1.55 1.54 1.53 1.52 1.51 1.49 1.48 1.47 1.46 1.45 1.44 1.43 1.42 1.41 1.39 1.38 1.37 1.36 1.35 1.34 1.33 1.32 1.31 1.29 1.28 1.27 1.26 1.25 1.24 1.23 1.22 1.21 1.19 1.18 1.17 1.16 1.15 1.14 1.13 1.12 1.11 1.09 1.08 1.07 1.06 1.05 1.04 1.03 1.02 1.01 0.99 0.98 0.97 0.96 0.95 0.94 0.93 0.92 0.91 0.89 0.88 0.87 0.86 0.85 0.84 0.83 0.82 0.81 0.79 0.78 0.77 0.76 0.75 0.74 0.73 0.72 0.71 0.69 0.68 0.67 0.66 0.65 0.64 0.63 0.62 0.61 0.59 0.58 0.57 0.56 0.55 0.54 0.53 0.52 0.51 0.49 0.48 0.47 0.46 0.45 0.44 0.43 0.42 0.41 0.39 0.38 0.37 0.36 0.35 0.34 0.33 0.32 0.31 0.29 0.28 0.27 0.26 0.25 0.24 0.23 0.22 0.21 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05-0.01 0.04-0.02 0.03-0.03-0.04-0.05 0.010 E(U(X))<E(U(Y)) Figura 5.13. Confronto fra due investimenti aleatori x ed y. In alternativa al criterio dell utilità attesa sono stati proposti altri criteri che migliorano il criterio del valor medio senza entrare in contrasto con esso, il più famoso ed utilizzato negli ultimi 50 anni è il criterio Media Varianza (M-V) che vedremo di seguito. 1.7 Criterio media-varianza(m-v) Il criterio di scelta fra grandezze aleatorie che ora descriviamo nasce dal tentativo di valutare una v.c. X, nell ambito delle operazioni finanziarie, non solo sulla base del valore attesoe(x) di questa, ma anche tenendo conto di una valutazione del rischio dell operazione.