Unità Didattica N 36 La similitudine 1 Unità Didattica N 36 La similitudine 01) Definizione di poligoni simili 0) Definizione di triangoli simili 03) Primo criterio di similitudine dei triangoli 04) Secondo criterio di similitudine dei triangoli 05) Terzo criterio di similitudine dei triangoli 06) Poligoni simili : teorema dei perimetri 07) Poligoni simili : teorema delle aree 08) Decomposizione di poligoni simili in triangoli simili 09) Teorema delle corde 10) Teorema delle secanti 11) Teorema della tangente e della secante 1) Primo teorema di Euclide 13) Secondo teorema di Euclide 14) Teorema di Pitagora 15) Sezione aurea di un segmento
Unità Didattica N 36 La similitudine Definizione di poligoni simili Due poligoni aventi lo stesso numero di lati si dicono simili quando hanno gli angoli ordinatamente uguali ed i lati omologhi in proporzione. Nei poligoni simili chiameremo angoli omologhi o corrispondenti gli angoli uguali, chiameremo omologhi o corrispondenti i lati che si oppongono ad angoli uguali. ˆ = ˆ, ˆ = ˆ, ˆ = ˆ, Dˆ = Dˆ, Eˆ = Eˆ DE ~ : = : = D : = DE : = E: Il rapporto costante tra due lati omologhi di due triangoli simili prende il nome di rapporto di similitudine. Se due poligoni sono simili ad un terzo poligono essi sono simili fra loro Teorema : Se da due vertici omologhi di due poligoni simili conduciamo tutte le diagonali, allora otteniamo triangoli ordinatamente simili. D E D' E' ' ' ' Hp : DE ~ Th : ~, D ~, DE ~ Teorema Le aree di due poligoni simili stanno fra loro come i quadrati delle misure dei lati omologhi
Unità Didattica N 36 La similitudine 3 Teorema I perimetri di due poligoni simili stanno tra loro come due lati omologhi qualsiasi Teorema I perimetri di due poligoni regolari aventi lo stesso numero di lati stanno tra loro come i rispettivi raggi ed i rispettivi apotemi ' H' ' H F' O' ' F O E D E' D' Hp : DEF e F sono poligoni regolari aventi lo stesso numero di lati p : Th : ( DEF ): p( D E F ) = O : O = OH O H Teorema Le aree di due poligoni regolari aventi lo stesso numero di lati stanno tra loro come i quadrati dei rispettivi raggi e dei rispettivi apotemi Hp : DEF e F sono poligoni regolari aventi lo stesso numero di lati S = = Th : ( DEF ): S( D E F ) O : O OH : O H riterio generale di similitudine per i triangoli Due triangoli si dicono simili se hanno gli angoli uguali ed i lati omologhi in proporzione. ~ ˆ = ˆ, ˆ = ˆ, ˆ = ˆ : = : = :
4 Unità Didattica N 36 La similitudine ' ' ' Primo criterio di similitudine dei triangoli Due triangoli aventi gli angoli omologhi uguali sono simili. ' M N ' ' D Hp : ˆ = ˆ, ˆ = ˆ, ˆ = ˆ Th ~ cioè : : = : = :
Unità Didattica N 36 La similitudine 5 Dimostrazione : Se risulta = i triangoli ed sono simili in quanto uguali ( secondo criterio di uguaglianza dei triangoli ). Se possiamo supporre > e prendere, sul lato, il punto M in modo che risulti : M =. Da M conduco la parallela MN al lato. M = ˆ = ˆ MN ˆ = ˆ = ˆ MN = N = MN = pplicando il secondo teorema di Talete posso scrivere : : M = : N e quindi anche : : = : [1] pplicando nuovamente il secondo teorema di talete possiamo scrivere : : N = : D : N = : MN : = : [] Tenendo presente le [1] e [] otteniamo : : = : = : Secondo criterio di similitudine dei triangoli Due triangoli sono simili se hanno due lati omologhi in proporzione e gli angoli tra essi compresi uguali. : = : Hp : Th : ˆ = ˆ ~ ' M N ' '
6 Unità Didattica N 36 La similitudine Terzo criterio di similitudine dei triangoli Due triangoli sono simili se hanno i lati omologhi in proporzione Hp : : = : = : Th : ~ cioè : ˆ = ˆ, ˆ = ˆ, ˆ = ˆ ' M N ' ' Teorema : In due triangoli simili le altezze, le bisettrici, le mediane omologhe stanno tra loro come due lati omologhi. ' ' H' D' M' ' H D M Hp : Th : ~ H, H, D ˆ = Dˆ, ˆ = ˆ, M = M, M = M H : H = D : = M : M = = = :
Unità Didattica N 36 La similitudine 7 Teorema : I perimetri di due triangoli simili stanno tra loro come due lati omologhi qualsiasi. Th : p : ~ Th : ( ) : p( ) = : = : = Dimostrazione : ~ : = : = : pplicando il componendo abbiamo : ( + + ) : ( + + ) = : = : = : ( ) : p( ) = : = : = : p Teorema : Le aree di due triangoli simili stanno tra loro come i quadrati di due qualsiasi lati omologhi. Th : S : S = : = : = : ~ Th : ( ) ( ) Teorema delle corde Se due corde di una stessa circonferenza s intersecano in un punto P, questi divide ciascuna corda in due segmenti che sono medi ed estremi di una medesima proporzione. on parole diverse possiamo affermare che il prodotto ( delle misure ) dei segmenti individuati su di una corda è uguale al prodotto ( delle misure ) dei segmenti individuati sull altra corda. D Hp D = e D { P} corde di una stessa circonferenza Th = P : PD = P : P oppure P P = P PD
8 Unità Didattica N 36 La similitudine I triangoli P e PD sono simili per avere : 1) P ˆ = Pˆ D perché angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco D ) P ˆ = Pˆ D perché angolo opposti al vertice i lati omologhi posso applicare la seguente proporzione : P : PD = P : P e quindi anche P P = P PD Teorema delle secanti Se da un punto P esterno ad una circonferenza conduciamo due secanti, le secanti intere e le parti esterne formano una proporzione i cui medi ed i cui estremi sono segmenti di una medesima secante. ongiungo con D e con. I triangoli PD e P sono simili per avere : 1) PD ˆ = Pˆ perché angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco D. ) PD ˆ = Pˆ perché in comune i lati omologhi posso applicare la seguente proporzione : P : P = PD : P e quindi anche P P = P PD HP = { D = P { } D P P : P TH opure P P = PD : P = P PD Teorema della tangente e della secante Se da un punto P, esterno ad una circonferenza conduciamo una tangente ed una secante, il segmento di tangente che ha per estremi il punto dato P ed il punto di tangenza T è medio proporzionale fra l intera secante P e la sua parte esterna P.
Unità Didattica N 36 La similitudine 9 T P TH = P : PT = PT oppure PT = P P : P I triangoli PT e PT sono simili per avere : 1) PT ˆ = PTˆ perché angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco T ) TP ˆ = TPˆ perché in comune i lati omologhi posso applicare la seguente proporzione : P : PT = PT : P e quindi anche PT = P P Primo teorema di Euclide In un triangolo rettangolo ogni cateto è medio proporzionale fra l ipotenusa e la proiezione del cateto sull ipotenusa. H Hp : ˆ = 90 H Th : : = : H : = : H Dimostrazione I triangoli e H sono simili per avere : 1) ˆ = Hˆ perché entrambi angoli retti ) ˆ = ˆ H perché in comune i lati omologhi posso applicare la seguente proporzione : : = : H
10 Unità Didattica N 36 La similitudine ~ H per avere : 1) ˆ = Hˆ perché entrambi angoli retti ) ˆ = ˆ H perché in comune i lati omologhi posso applicare la seguente proporzione : : = : H Secondo teorema di Euclide In un triangolo rettangolo l altezza relativa all ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull ipotenusa. H Hp : ˆ = 90 H Th : H : H = H : H Dimostrazione : H ~ H per avere : 1) H ˆ = Hˆ perché entrambi retti ) H ˆ = Hˆ perché complementari dello stesso angolo ˆ H. i lati omologhi posso applicare la seguente proporzione : H : H = H : H
Unità Didattica N 36 La similitudine 11 Sezione aurea di un segmento Si definisce sezione aura di un segmento quella parte del segmento media proporzionale fra tutto il segmento e la parte rimanente. onsideriamo il segmento ed un suo punto E. x E a - x Se risulta : : E= EE : [ ρ ] allora il segmento E rappresenta la sezione aurea del segmento. alcolare la sezione aurea del segmento E a x =. Sostituisco nella [ ρ ] : ax : = x: ( a x) x = a( a x) = a. Pongo E = x, ottengo : x + ax a = 0 1+ 5 a a ± a + 4a a ± a 5 x = = = 5 1 a ( RN...) 5 1 E = x = a rappresenta la sezione aurea del segmento = a. ostruzione della sezione aurea di un segmento Indicato con il segmento assegnato, costruisco la perpendicolare t ad passante per il punto. Su tale retta descrivo la circonferenza σ di centro O e 1 raggio O =. La retta O incontra la circonferenza σ nei punti e D. La circonferenza di centro e raggio incontra il segmento nel punto E. Dico che il segmento E rappresenta la sezione aurea del segmento. Infatti, per il teorema della tangente e della secante possiamo scrivere la seguente proporzione : D: = : pplicando la proprietà dello scomponendo otteniamo : ( ) = ( ) D : : Osservando che : D = D D= = E = E= E otteniamo : E: = E: E Invertendo ogni antecedente con il corrispondente conseguente otteniamo : : E = E: E che è la proporzione che dovevamo dimostrare.
1 Unità Didattica N 36 La similitudine Lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza Il lato del decagono regolare inscritto in un circonferenza di raggio r è uguale alla sezione aurea del suo raggio r. Dimostrazione Sia il lato del decagono regolare inscritto nella circonferenza di centro O e raggio r = O Il triangolo O è isoscele sulla base. ˆ 360 O = = 36 ˆ ˆ 180 36 O = O = = 7 10 Sia P la bisettrice dell angolo interno O ˆ del triangolo O. Risulta : P ˆ = 36 P ˆ = P ˆ = 7 Il triangolo P è isoscele sulla base P, mentre il triangolo PO è isoscele sulla base O. Ne consergue che : OP = P = P pplicando al triangolo O il teorema della bisettri8ce dell angolo interno abbiamo : O: = OP: P O: OP = OP: P 5 1 OP = P = = 10 = r è la sezione aurea del raggio Per inscrivere in unacirconferenza di raggio r il decagono regolare basta determinare, con la costruzione indicata in figura, la sezione aurea del raggio e riportare successivamente sulla circonferenza dieci corde uguali a tale sezione aurea. Il poligono EGI è il pentagono regolare inscritto nella circonferenza. Osservazione r a 10 = 4 10 + 5 = apotema del decagono regolare inscritto nella circonferenza di raggio r r 5 = 10 5 = lato del pentagono regolare inscritto nella circonferenza di raggio r ( ) r a 5 = 1+ 5 = apotema del pentagono regolare inscritto nella circonferenza di raggio r 4
Unità Didattica N 36 La similitudine 13 D E M O = Om F O N = N G L H I