Verifiche di stabilità per i modelli di rottura in roccia più comuni

Verifiche di stabilità per i modelli di rottura in roccia più comuni L obiettivo è quello di definire, in maniera deterministica, i fattori di sicurezza nei confronti della rottura di un versante o scarpata in roccia; Il fattore di sicurezza (FS) è dato dal rapporto tra resistenza disponibile e resistenza mobilizzabile lungo la superficie di rottura individuata in base al modello geologico ricostruito; Occorre conoscere la geometria del modello ed i parametri fisico-meccanici dell ammasso roccioso; inoltre è necessario che questi siano sufficientemente omogenei e continui nello spazio. 1

STABILITA DI UN BLOCCO SU DI UN PIANO INCLINATO - Si consideri un blocco di peso W in equilibrio su di un piano inclinato di un angolo rispetto all orizzontale - Il blocco è soggetto alla sola accelerazione di gravità - La componente della forza peso che agisce parallelamente al piano e che è responsabile dell eventuale scivolamento del blocco vale: W sen - La componente normale al piano, che tende a stabilizzare il blocco, vale: W cos La sollecitazione normale che agisce sul potenziale piano di slittamento vale: (W cos A con A = area di base del blocco (trattandosi di una sezione sarà una misura lineare) Si ammette che la resistenza al taglio lungo la superficie è data dalla nota espressione di Mohr-Colulomb = c + tan e sostituendo quindi avremo: c + (W cos A tan La resistenza (reazione) lungo il piano sarà: R = c A + (W cos tan In cui R = A è la forza di taglio (resistente) che si oppone allo slittamento Il blocco si troverà sul punto di slittare, ovvero in condizioni di equilibrio limite, quando avremo: W sen c A + (W cos tan Se lungo il piano di slittamento si ammette, in prima approssimazione, che la coesione sia nulla (il blocco è solo poggiato sul piano), la condizione di equilibrio limite diventa: La condizione d equilibrio è indipendente dalle dimensioni fisiche ed è funzione solo dell attrito e dell inclinazione del piano Nel caso di ribaltamento, invece, interviene anche il rapporto b/h tra larghezza della base ed altezza del blocco 2

INFLUENZA DELL ACQUA SULLA RESISTENZA AL TAGLIO Si supponga di avere un recipiente pieno di acqua, ma sigillato e posto sul piano inclinato. Le forze agenti sono analoghe a quelle del caso precedente. Per semplicità sia c = 0. Foriamo ora la base del recipiente; l acqua riempirà l intercapedine tra il fondo e la superficie dando luogo ad una pressione u = ( w h w ) e quindi ad una sottospinta idraulica U = u A dove A è al solito l area di base del blocco. La componente normale della forza peso andrà quindi ridotta per effetto della sottospinta e avremo: R = (W cos U tan Posto w = peso/volume dell acqua e = t peso/volume dell acqua + peso del il recipiente, avremo: W = t h A (peso recipiente+ acqua) essendo h = altezza del recipiente U = w h w A (sottospinta) essendo h w = altezza dell acqua nel recipiente Essendo anche h w = h cos si ha: U = w / t W cos In definitiva sostituendo, si ha: R = W cos w / t tan La condizione di equilibrio limite sarà: tan w / t tan Influenza dell acqua nella frattura a tergo e sul piano di scivolamento Nel caso in esame, se la frattura a tergo del blocco è satura fino ad una certa altezza ed il blocco è immaginato come integro e quindi impermeabile al suo interno, la condizione d equilibrio sarà: W sen V c A + (W cos U tan La distribuzione triangolare della sottospinta U si ha nel caso in cui vi sia deflusso lungo il piano di scorrimento. Se si impedisce all acqua di defluire, la distribuzione delle sollecitazioni assumerà un andamento di tipo rettangolare (uguale in ogni punto sotto il blocco) 3

In caso di sisma, il moto del blocco si applica nelle due direzioni. Naturalmente, l effetto più destabilizzante è quello nella direzione di scivolamento. Un analisi pseudostatica semplificata considera l effetto del terremoto applicato con continuità al pendio. In questo caso si considera il peso sismico del blocco dato dal prodotto di W per il coefficiente sismico di zona. AZIONI PSEUDOSTATICHE B Modelli di scivolamento piano Modello semplice con scarpata verticale e superficie superiore orizzontale. H = altezza scarpata; inclinazione sup. rottura; L = sovraccarico. A Assumendo uno spessore unitario, si ha: - Peso del cuneo W = V - V = BH; A = ; B = - V = H = - W = V FS = FS = 4

Modelli di scivolamento piano Fattore di sicurezza per un pendio con una frattura di trazione piena d acqua fino ad un altezza zw T = forza esercitata da un tirante di ancoraggio inclinato di un angolo rispetto al piano di scorrimento U = Sottospinta idraulica sul piano di scorrimento V = Spinta dovuta all acqua nella frattura di trazione b = Distanza della frattura dal ciglio della scarpata = coefficiente sismico Altri modelli di scivolamenti piani Per il caso A: Z = (H cot f b) (tan f tan p) W = ( r H2 [(1 Z/H) 2 cot p (cot p tan f 1)] Area del piano di slittamento A = (H cot f b) sec p Per il caso B: Z = H + b tan s (b + H cot f ) tan p W = ( r (H2 cot f X + bhx + bz) essendo X = (1 tan p cot f) Area del piano di slittamento A = (H cot f + b) sec p Per entrambi i casi A e B: U = ( w Zw A V = ( w Z2 w Fattore di sicurezza: FS = Significato dei simboli ed unità di misure: H (m) = altezza del pendio; b (m) = distanza della frattura dalla cresta; f ( ) = inclinazione del pendio; p ( ) = inclinazione del piano di rottura; r (kn/m3) = peso dell unità di volume dell ammasso; s ( ) = inclinazione del pendio a monte della cresta; w (kn/m3) = peso dell unità di volume dell acqua; Z (m) = altezza della frattura di trazione; A (m) = area del piano di slittamento (in realtà una misura lineare, essendo la sezione del disegno di spessore unitario) Zw (m) = altezza dell acqua nella frattura; c (kn/m2) = coesione lungo il piano di scorrimento; φ ( ) = angolo d attrito lungo il piano di scorrimento; = coefficiente sismico di zona; W (N)= peso della massa slittante; U e V (N) = sottospinta idraulica sul piano di scorrimento e spinta dovuta all acqua nella frattura di trazione. T= sforzo dovuto ad un tirante d ancoraggio = angolo rispetto al piano di scorrimento 5

ESERCIZIO: Impostate un foglio di calcolo di Excel per la determinazione del fattore di sicurezza (vedi a parte) Procedura: scaricare dal sito docente, nella cartella riservata, la traccia dell esercizio (file: plane failure.pdf) ed impostare il foglio di calcolo così come suggerito. Fattore di sicurezza calcolato mediante programma di calcolo, in assenza di forze esterne 6

Fattore di sicurezza calcolato mediante programma di calcolo, in presenza di forze esterne (tirante di ancoraggio) Dati: I risultati di un analisi a ritroso Altezza H: 50 m; Inclinazione fronte: 80 ; Inclinazione piano di slittamento: 15 ; Altezza della frattura di trazione: 44 m; densità dell ammasso: 26 kn/m 3 ; Angolo d attrito: 30 ; Coesione : 0 kn/m 2 ; Altezza dell acqua nella frattura: variabile 7

Rottura a cuneo Si individua dall intersezione di due piani di discontinuità orientati, tra di loro e rispetto al pendio, in modo tale da isolare un prisma roccioso che è in grado di scivolare o lungo la linea d intersezione tra i piani, oppure lungo un singolo piano. In questo secondo caso, si ritorna al modello di scivolamento planare. Linea d intersezione Geometria del modello e rappresentazione sulla proiezione stereografica Linea di intersezione fi i Vista ortogonale alla linea di intersezione Vista frontale K S K2 i = 10 K S K2 fi = 81 8

Il Fattore di sicurezza allo scorrimento è dato dal rapporto tra angolo d attrito ed inclinazione della linea di scorrimento per un fattore K FS = K (Tan Tan i ) Dove: K = sen / sen ( /2 ) Con: = angolo d attrito; i = inclinazione della linea d intersezione; = obliquità del cuneo rispetto all orizzontale; = angolo d apertura del cuneo Poiché la geometria del cuneo assume una rilevanza notevole, è necessario poter disporre delle proiezioni stereografiche. Sulla base di queste ultime, è possibile effettuare una prima, semplice verifica allo slittamento, usando il cosiddetto Test di Markland Test di Markland Lo scopo è quello di verificare la possibilità della rottura di un cuneo quando lo scorrimento avviene lungo la linea di intersezione di due discontinuità planari. FS dipenderà dalla inclinazione della linea di intersezione e dalla resistenza a taglio lungo tale linea (se il cuneo scorre lungo di essa). Lo scorrimento si verifica quando l inclinazione della linea è maggiore dell angolo di attrito. Ciò si può verificare mediante una proiezione equiareale polare. Il pendio è potenzialmente instabile quando il punto, in un diagramma equiareale, che definisce la linea di intersezione dei due piani cade all interno dell area delimitata dal grande cerchio che rappresenta il pendio ed il cerchio che rappresenta l angolo di attrito. Piano K2 30 = 40 /170 Piano K1 Poiché è = 30 e = 40, FS = 0.75 (il cuneo è instabile) Tutti i punti che rappresentano l intersezione tra K1 e K2, ricadenti nell area compresa tra il grande cerchio del fronte (linea nera tratteggiata) ed il cerchio di = 30 (cerchio giallo), individuano cunei instabili 9

Esempi di cunei a diverso grado di stabilità in relazione al valore di angolo d attrito assegnato (30 ) Verifica di stabilità di un cuneo mediante programma di calcolo Input data 1) Slope Data: dip=65, dip direction=185, slope height=33 m; rock unit weight=2.6 T/m 3 ; Water pressures in the slope=no; Overhanging slope face=no; Externally applied force=no; Tension crack=yes 2) Joint Sets Data: (1) dip=45, dip direction=105, cohesion=2 T/m2, friction angle=20 ; (2) dip=70, dip direction=235, cohesion=5 T/m2, friction angle=30 3) Upper Face Data: dip=12, dip direction=195 ; Tension Crack Data: dip=70, dip direction=165, trace length=12 m 4) Joint Sets 1 and 2 line of Intersection: dip =31.1965, dip direction =157.732 ; length=35.2525 m Output data Wedge height (on slope)=33 m; Wedge volume =6149.12 m3; Wedge weight =15987.7 T; Normal force (joint1)=12755.9 T; Normal force (joint2)=7831.32 T; Driving force =8281.23 T; Resisting force =13707.3 T; Safety Factor=1.65 10

Proiezione stereografica Geometria del cuneo Sono possibili, in tal modo, analisi di geometrie complesse. Ad esempio: cunei delimitati a tergo da fratture di trazione; cunei «coricati» su uno dei due piani, ma nei quali il contributo di resistenza al taglio lungo il piano secondario non è trascurabile; spinte dell acqua; effetti introdotti da carichi esterni(tiranti di ancoraggio), sisma, sovraccarichi di origine antropica, etc. 11

Verifica al ribaltamento (toppling) Toppling flessurale in rocce resistenti con discontinuità ben sviluppate e fortemente inclinate a reggipoggio Toppling in rocce resistenti con discontinuità molto spaziate, ortogonali Toppling e slumping di elementi colonnari a seguito di alterazione dei terreni sottostanti Nel toppling gli elementi colonnari ruotano intorno ad un punto posto alla base del pendio, mentre essi slittano uno rispetto all altro. Perché si verifichi il fenomeno, è necessario che il centro di gravità della colonna cada all esterno della sua base. Durante il movimento si realizzano spostamenti elevati sulla cresta del pendio e modesti alla base. La resistenza al taglio tra gli elementi colonnari assume una importanza notevole ed il fenomeno si accompagna alla formazione di profonde fratture di trazione a tergo della cresta del pendio. Analisi cinematica Le condizioni per il moto sono: 1) La direzione degli strati deve essere approx parallela al pendio, con una tolleranza di ± 20 ; 2) L immersione degli strati deve essere a reggipoggio con dip direction tra 160 e 200 rispetto a quella del pendio; 3) Perché vi sia scorrimento tra gli strati deve essere verificata la seguente condizione cinematica: (90 - p) ( f - p) con: p = immersione degli strati; f = immersione del pendio; p =angolo d attrito tra gli strati Settore nel quale ricadono i poli dei piani più suscettibili a rotture per toppling 12