Meccanica dei fluidi ideali. 1) a) Supponendo la densità dell aria costante ( r A = 1.3 Kg/m 3 ) determinare quale dovrebbe essere l altezza della colonna d aria al di sopra della superficie terrestre per avere al suolo una pressione pari a quella atmosferica (p 0 = 1.013 10 5 Pa = 1 atm). b) Nella realtà si osserva che nell atmosfera la pressione cambia con la quota, misurata rispetto al livello del mare, secondo la legge p = p 0 exp(-z/a). Determinare come varia la densità dell aria con la quota ed il valore di a. c) Supponendo costante la densità dell acqua determinare la pressione esistente ad una profondità h 1 = 10 m ed h 2 = 500 m ( profondita raggiungibile da un sottomarino) e nella Fossa delle Marianne h 3 = 10.863 Km. 2) Un ramo di un manometro ad U, contenente Mercurio (r Hg = 13.6 10 3 Kg/m 3 ), è connesso con una camera C nella quale è stato fatto inizialmente il vuoto; l altro ramo del manometro è esposto all aria e la corrispondente pressione, costante, è pari ad 1 atm. a) Determinare il dislivello h fra i due rami del manometro. b) Nella camera viene immesso del gas e si osserva che il dislivello fra i due rami si è ridotto di 15 cm; determinare la pressione del gas contenuto nella camera. c) Nelle condizioni del punto b) aggiungendo nel ramo libero del tubo ad U una certa quantità di olio (immiscibile col mercurio, r O = 900 Kg/m 3 ), questo va a formare una colonna di altezza b = 30 cm. Determinare in questo caso il dislivello h* fra i due menischi del mercurio e la loro variazione di quota, rispetto a quella del punto b), supponendo trascurabile la conseguente variazione di pressione della camera a cui è collegato il primo ramo. C C C h h h* b 3) Sono dati tre cassoni, di altezza h = 1 m e aventi la forma indicata in figura, riempiti fino all orlo di acqua ( q = 30 ). Una delle superfici laterali dei cassoni è costituita da una paratia mobile P (di massa trascurabile), a tenuta, che viene mantenuta in posizione da una forza F perpendicolare ad essa. Determinare nei 3 casi: a) la pressione agente sulla paratia ad una quota y rispetto al fondo; b) la minima intensità della forza F necessaria a mantenere la paratia in posizione ed il suo punto di applicazione. ( larghezza dei cassoni in direzione perpendicolare al piano di figura a = 1 m) P h q P q F F F P
4) Si osserva il comportamento dell acqua contenuta in un secchio cilindrico di raggio R = 15 cm in differenti condizioni. Inizialmente l acqua riempie il secchio fino ad un altezza L = 40 cm e la sua superficie libera è orizzontale. a) Si ha una condizione di equilibrio in cui la superficie libera dell acqua, rimanendo piana, si inclina di un angolo q = 20 rispetto al fondo del secchio. Determinare l andamento delle isobare e la pressione agente sul fondo del secchio nel suo centro O e nei due punti diametralmente opposti A e B. b) Si ha una condizione stazionaria in cui la superficie libera dell acqua assume la forma di un paraboloide di rivoluzione, attorno all asse del secchio, e precisamente ha un andamento con la quota y, rispetto al fondo del secchio, dato dall equazione y = y 0 + Kr 2 (y 0 = 30 cm, K = 8.89 cm -1 ), con r distanza dall asse del cilindro. Determinare l andamento delle isobare e la pressione agente sul fondo del secchio nel suo centro O e nei due punti diametralmente opposti A e B. q L A O B A O B 5) Il circuito frenante di un volano A, di raggio R = 30 cm, è costituito da un tubicino di sezione s = 0.06 cm 2 che termina in una espansione di sezione S = 6 cm 2 ed è riempito, a tenuta, di olio. L espansione è collegata al ceppo C di un freno che agisce sul bordo esterno del volano (coefficiente di attrito fra ceppo volano m = 0.7 ), mentre all altro estremo del circuito idraulico, chiuso da un pistoncino P, è applicata dall operatore una forza F perpendicolare al pistone. a) Il volano, che gira ad una velocità corrispondente ad una energia cinetica T = 20 KJ si arresta dopo aver compiuto esattamente 3 giri dall istante di inizio della frenata: determinare l intensità della forza F e della forza radiale applicata dal ceppo al volano. b) Determinare la variazione di pressione nel circuito corrispondente all applicazione della forza F. w F P C A
6) Il circuito idraulico di un martinetto ha ad una estermità un pistone P, che scorre in tubo di sezione circolare di raggio r = 1 cm con una corsa L = 50 cm, e all altra estremità un dispositivo telescopico T azionato per mezzo del circuito idraulico che in corrispondenza di esso ha sezione circolare di raggio R = 12 cm. Il circuito è riempito con olio ( densità dell olio r = 900 Kg/m 3 ) e si suppone che in posizione di riposo il martinetto si trovi allo stesso livello del pistone; un opportuno sistema di valvole consente poi il suo sollevamento immettendo olio nella zona di lavoro del pistone e quindi nel circuito. Il martinetto viene caricato con una massa M = 750 Kg e successivamente innalzato ad una quota h = 2m. a) Determinare la forza F che si deve applicare al pistone per mantenere il sistema in equilibrio nella posizione di riposo ( h = 0) e alla quota h. b) Determinare la pressione minima che devono essere in grado di sopportare i vari componenti del circuito perchè questo non si rompa. c) Determinare il lavoro fatto dalle forze applicate al pistone per sollevare la massa M, supponendo trascurabile l energia cinetica acquisita dai vari componenti. d) Determinare il numero di corse che deve effettuare il pistone per sollevare la massa M. F P M T L Dh 7) Una boa sottomarina di forma sferica e massa trascurabile è ancorata al fondo mediante una catena di massa m = 40 Kg e volume trascurabile. a) Determinare il valore minimo V* del volume della boa necessario a mantenere tesa la catena. b) Determinare la forza esercitata dalla catena sulla boa nel caso che essa abbia un volume V = 3V*. c) Nelle condizioni del punto b) la catena si disancora dal fondo, rimanendo attaccata alla boa. Determinare l accelerazione del sistema ed il tempo che la sommità della boa impiega a raggiungere la superficie dell acqua se inizialmente si trova ad una profondità h = 10 m. d) Una volta che essa ha raggiunto la superficie, determinare la frazione del volume della boa che emerge dall acqua all equilibrio. 8) Un recipiente cilindrico di raggio R = 12 cm e altezza H = 20 cm può essere chiuso, a tenuta, con tre diversi tappi appoggiati su di esso. Il tappo A ha la forma di un cilindro di altezza h = R = 12 cm, il tappo B ha la forma di un cono di altezza h = R = 12 cm ( volume V = pr 2 h/3 ) e il tappo C ha forma emisferica. a) All interno del recipiente chiuso viene fatto il vuoto: determinare nei tre casi la minima forza F che si deve applicare, lungo l asse del sistema, al recipiente ed al
tappo per separare i due. b) Determinare come variano i risultati del punto precedente nel caso che all interno del contenitore non sia fatto il vuoto, ma esista semplicemente una depressione Dp = 3 KPa fra l interno e l esterno. c) Determinare come variano i risultati del punto b) nel caso in cui il sistema sia immerso in acqua, in posizione verticale e subito sotto la superficie, tenendo conto del gradiente di pressione. F F F A B C -F -F -F 9) Una mongolfiera consta di un involucro di massa m = 200 Kg e forma sferica, con raggio (una volta gonfiata) R = 7 m, più una navicella con massa complessiva M = 400 Kg posta a distanza b = 10 m dal centro della mongolfiera. a) Determinare il massimo valore che può avere la densità del gas contenuto nell involucro affichè la mongolfiera si alzi da terra. b) Calcolare l accelerazione con cui si innalza il sistema se il pallone è riempito di elio di densità r* = 0.18 Kg/m 3. c) Se, durante l ascensione nelle condizioni del punto b), la navicella non è esattamente allineata lungo la verticale passante per il centro della mongolfiera essa oscilla. Determinare il corrispondente periodo delle piccole oscillazioni considerando la navicella come puntiforme. (Densità dell aria r A = 1.3 Kg/m 3 ) 10) Un barattolo cilindrico di altezza L = 16 cm, raggio r = 4 cm e massa m = 750 gr galleggia in acqua con il suo asse verticale. a) Determinare la frazione immersa del suo volume. b) Determinare il valore della massa m* di un disco sottile di raggio r che si dovrebbe porre, come zavorra, sul fondo del barattolo per rendere la posizione di galleggiamento stabile. c) Determinare come cambiano i risultati delle precedenti domande se il barattolo viene posto a galleggiare alla superficie di separazione di un sistema costituito da acqua ed olio, di densità r* = 900 kg/m 3 ( il sistema si intende costituito da una consistente quantità di olio che galleggia sopra l acqua in un opportuno recipiente). 11) Un serbatoio cilindrico di sezione S = 1.2 m 2 è riempito di acqua fino ad un altezza h e nella sua parete laterale vengono praticati tre fori di sezione s = 0.5 cm 2. Il primo si trova circa in corrispondenza del fondo del serbatoio, quindi ad una quota rispetto ad esso z 1 0, gli altri due rispettivamente ad una quota z 2 = 10 cm e z 3 = 30 cm. a) Determinare la velocità di efflusso dai tre fori quando il livello nel serbatoio è h* = 1.5 m ed h = 40 cm. b) Se il fondo del serbatoio ha rispetto al terreno un altezza H = 1 m determinare il
punto di impatto sul terreno dei tre getti nelle condizioni del punto a). c) Supposto di aver lasciato aperto solo il foro più in basso, e tappati gli altri due, determinare il tempo necessario a vuotare il serbatoio quando esso è inizialmente riempito al livello h*. 12) Un recipinte cilindrico di raggio R = 5 cm ed altezza L = 20 cm è riempito per 3/4 con acqua e quindi chiuso ermeticamente; un piccolo tubicino di raggio r = 1 mm,attaccato in orizzontale in corrispondenza del fondo, consente la fuoriuscita in aria del liquido. a) Determinare il flusso iniziale. b) Determinare il livello del liquido nel contenitore quando il flusso si arresta e la pressione p dell aria in esso contenuta, supponendo che durante l abbassamento del liquido rimanga costante il prodotto pv della pressione p dell aria per il volume V da essa occupata. c) Determinare come dovrebbe variare la pressione all interno della zona occupata dall aria per mantenere costante il flusso. 13) Un serbatoio di acqua di altezza h = 3 m e sezione molto grande, riempito fino all orlo, si trova su una collina di altezza H = 70 m e mediante una conduttura alimenta tre rubinetti di sezione s = 1 cm 2 posti ad un altezza rispetto a terra z 1 = 1 m, z 2 = 4 m e z 3 = 7 m. a) Determinare la pressione agente nelle condutture in corrispondenza dei rubinetti quando essi sono chiusi. b) Determinare la portata di ciascun rubinetto quando ne viene aperto uno e gli altri rimangono chiusi. c) Determinare la portata di ciascun rubinetto quando vengono aperti tutti e tre contemporaneamente. d) Determinare quale dovrebbe essere la pressione di lavoro di un autoclave posta al livello del suolo ( ossia tale che il livello dell acqua nell autoclave si trovi a coincidere con il livello del suolo) per produrre le stesse portate. 14) Una conduttura orizzontale di sezione S = 4 cm 2 in cui si ha una pressione costante p = 3 atm si divide in due condutture uguali di sezione S/2 ognuma delle quali si divide a sua volta in due condutture uguali di sezione S/4 chiuse dai rubinetti 1-4. Determinare la pressione nei punti A, B, C, D nei seguenti casi: a) i rubinetti sono tutti chiusi; b) rubinetto 1 aperto, rubinetti 2, 3 e 4 chiusi; c) rubinetti 1 e 2 aperti, 3 e 4 chiusi; c) rubinetti 1 e 3 aperti, 2 e 4 chiusi. B C 1 2 p A D 3 4 15) La parte terminale di una conduttura di sezione circolare di raggio R = 0.5 cm, da cui fuoriesce un flusso d acqua, costante, F = 8 lt/min puo essere orientata con varie angolazioni rispetto alla verticale. Determinare il comportamento del getto uscente dalla conduttura ( velocità e sezione in funzione della quota) nei seguenti casi: a) il tubo è disposto verticalmente e orientato verso il basso; b) il tubo forma un angolo q = 30 rispetto all orizzontale; c) il tubo è disposto verticalmente e orientato verso l alto.
16) La turbina di un generatore elettrico è alimentata dall acqua proveniente da un bacino il cui fondo si trova ad una quota H = 500 m più in alto e riempito per un altezza di h = 50 m. L acqua viene portata alla turbina mediante una condotta di sezione circolare di raggio r = 50 cm. a) Determinare la velocità dell acqua all uscita della condotta e al suo ingresso sul fondo del bacino. b) Determinare la portata della condotta. c) Determinare la potenza che l acqua fornisce alla turbina. 17) Due recipienti sono collegati fra di loro mediante un sifone con il quale si effettua il travaso dell acqua in essi contenuta; le varie quote sono indicate in figura. a) Inizialmente nel sifone vi è aria ; determinare la sovrappressione che si deve creare sulla superficie del recipiente A per innescare il travaso; b) Determinare la portata con cui avviene il travaso quando entrambe le estremità del sifone pescano in acqua e il livello della superficie libera del liquido nei due recipienti viene mantenuto costante immettendo acqua in quello superiore e portandola via in quello inferiore tramite un foro di sezione S = 2 cm 2 in corrispondenza del pelo dell acqua nel recipiente C. c) Determinare la lunghezza massima che può avere il tratto di sifone BC affinchè la pressione nel suo punto più alto B non si annuli supponendo che la sua sezione sia uguale ad S. (z A = 140 cm, z B = 180 cm, z C = 60 cm ). B A z B z A C z C 18) Uno spruzzatore è costituito da un recipiente cilindrico parzialmente riempito di liquido ( densità r = 900 Kg/m 3 ) dentro cui pesca un condotto a T, di sezione S = 3 mm 2, il cui braccio termina da un lato in una pompetta P dall altro, nel punto U, in aria. In corrispondenza del punto B di innesto del tratto verticale della T col braccio orizzontale il condotto si restringe e la corrispondente sezione circolare ha raggio r = 300 mm. Il dislivello fra la superficie libera del liquido nel contenitore e l asse del braccio del condotto è h = 6 cm. a) Determinare la sovrappressione che si deve creare alla superficie libera del liquido nel contenitore per far arrivare il liquido alla quota del braccio della T. b) Determinare la differenza di pressione esistente fra l uscita U dello spruzzatore e il punto B quando si genera nel braccio della T un flusso d aria. c) Determinare il valore del flusso d aria necessario a far risalire il liquido nel tubicino fino al punto B.
P B U h 19) Un tubo orizzontale di raggio a = 1 cm termina con una flangia circolare F di raggio esterno b = 7 cm; davanti ad esso a distanza d = 0.5 cm e coassialmente col tubo viene posto un disco D di raggio b. Nel tubo scorre verso l esterno, con velocità V = 4 m/s, aria che fuoriesce dal bordo della flangia. a) Determinare la velocità di efflusso dal bordo laterale fra flangia e disco. b) Determinare la differenza di pressione pressione nell intercapedine fra flangia e disco in funzione della distanza dall asse del sistema. c) Determinare la risultante delle forze di pressione agenti sul disco. (Densità dell aria r = 1.3 Kg/m 3 ) a d F D F D b 20) Un getto d acqua orizzontale di sezione S = 2 cm 2 e corrispondente ad una portata F = 7 lt/min investe una superficie piana, fissa, con un angolo q = 45 rispetto alla normale alla superficie. Determinare modulo direzione e verso dell impulso fornito nell unità di tempo alla superficie nel caso che: a) il getto rimbalzi in modo completamente elastico sulla superficie; b) il getto subisca una collisione completamente anelastica con la parete e successivamente l acqua coli lungo la superficie medesima. c) Tenendo conto dei precedenti risultati si determini l accelerazione angolare di un irrigatore da giardino, del tipo disegnato in figura ed imperniato liberamente attorno ad un asse verticale, che venga alimentato con una portata complessiva pari a F ed in modo che l acqua fuoriesca in
orizzontale dai quatto bracci, (momento d inerzia dell irrigatore I 0 = 1.3 10-3 Kgm 2, raggio a = 10 cm, sezione dei bracci s = 0.3 cm 2 ). n a q w