Dinamica 3 Fluidi reali: Condotte in pressione 1) a) CASO CON Q NOTA: zv=zm-j*l-α*v^2/(2*g) dove: j=λ v^2/(2*g*d) formula di Darcy-Weisbach; α=coeff. di ragguaglio delle potenze cinetiche ( 1 per moto assolutamente turbolento); λ= indice di resistenza, determinabile con la formula di Colebrook-White (implicita) o tramite l abaco di Moody. Formula di Colebrook-White: 1/radq(λ)= -2*log(2.51/(Re*radq(λ))+ε/D*1/3.71) Sull abaco di Moody: 1: entro nell asse delle ascisse con Re=v*D/ν 2: entro nell'asse delle ordinate a destra sulla curva ε/d in questione 3: determino il punto di intersezione fra la curva ε/d e l ascissa corrispondente a Re 4: leggo il valore di λ sull asse delle ordinate a sinistra b) CASO CON Q INCOGNITA (metodo iterativo): zm-zv= j*l+α*v^2/(2*g) dove: j=λ v^2/(2*g*d) formula di Darcy-Weisbach; λ= indice di resistenza, determinabile ad esempio con la formula di Colebrook- White (implicita) o tramite l abaco di Moody. Formula di Colebrook: 1/radq(λ)=-2*log(2.51/(Re*radq(λ))+ε/D*1/3.71) 1
Come si nota dalla formula di Colebrook-White l indice di resistenza dipende a sua volta dalla Q, tramite il numero di Reynolds. Quindi, per determinare le incognite λ e Q, si procede così: 1. si ipotizza inizialmente che nella condotta si verifichi moto assolutamente turbolento: in questo caso λ non dipende da Re, ma solo dalla scabrezza relativa: 1/radq(λ)= -2*log(ε/D*1/3.71). Si può così determinare un λ0, di primo tentativo; 2. con questo valore di λ0, tramite la formula di Darcy-Weisbach e il teorema di Bernoulli, si determina la Q0, di primo tentativo; 3. si calcola il Re0 corrispondente a Q0 e si verifica se esso corrisponde effettivamente, sull abaco di Moody, ad una situazione di moto assolutamente turbolento; 4. a) se il moto è effettivamente assolutamente turbolento, il valore di λ0 e di Q0 trovati sono quelli corretti b) se il moto è turbolento di transizione, bisogna ricalcolare λ, servendosi di Re0 e di ε/d; si ottiene così un nuovo valore di resistenza ridotta λ1, con il quale si determina la nuova Q1 (Bernoulli + Darcy-Weisbach). Si calcola nuovamente Re1 e si verifica se il valore di λ2 che si ottiene porta a stimare una Q2 Q1. In caso contrario si continua ad iterare fino a convergenza. 2) a) zv = zm 0.5*α*v^2/(2*g)-j*L-α*v^2/(2*g) b) zm 0.5* α*v^2/(2*g)-j*l- H c - α*v^2/(2*g)=zv H c dove: j=λ v^2/(2*g*d) formula di Darcy-Weisbach; α=coeff. di ragguaglio delle potenze cinetiche, assunto, d ora in poi, per semplicità, sempre pari ad 1 (precisamente per il moto assolutamente turbolento α=1.06 1.07); λ= indice di resistenza, determinabile ad esempio con la formula di Colebrook- White (implicita) o tramite l abaco di Moody [si veda l esercizio 1a] 2
3) metodo di risoluzione per cadente nota tramite manometro differenziale δ= (γm-γ)/γ= j1*l5 j1= (γm-γ)/(γ L5) j1=λ v1^2/(2*g*d1) radq(λ)=radq(2*g*d1*j1)/v1 Re *radq(λ) =D/ν radq(2*g*d1*j1) 1/radq(λ)=-2*log(2.51/( D/ν radq(2*g*d1*j1))+ε/d*1/3.71) λ j1=λ Q^2/(2*g*D1*A1^2) Q za zb = j1*l1 + m*(v2-v1)^2/(2*g) + v2^2/(2*g) 3
4) zm 0.5*v1^2/(2*g)-(v1-v2)^2/(2*g)-j1*L1-j2*L2-Q^2(2*g*(Cc*π*Du^2/4)^2) = zu Q (metodo iterativo si veda l esercizio 1b) 4
5) Ac= Cc*π*a^2/4 ac= radq(4*ac/π) Q = µ* π*a^2/4*radq(2*g*(zv-ac)) zv zm= zv + v2^2/(2*g)+j2*l2+(v1-v2)^2/(2*g)+j1*l1 zm v1^2/(2*g)= (γm-γ)/γ + v2^2/(2*g) + (v1-v2)^2/(2*g) 5
6) Q2= µ2*a *radq(2*g*(za+n*10^5/γ-za )) Q3= µ3*a *radq(2*g*(za+n*10^5/γ-za ) Q1=Q2+Q3 zm= za + n*10^5/γ + Q1^2/(2*g*A1^2) + j1*l1 zm 6
7) (γm-γ)/γ = j1 l ricavo Q1 con il metodo presentato nell esercizio 3 zm 0.5*v1^2/(2*g)-j1*L1-v1^2/(2*g)=zv zv zv + v3^2/(2*g)+j3*l3+(v2-v3)^2/(2*g)+j2*l2=zm ricavo Q2 con il metodo iterativo presentato nell esercizio 1b 7
8) zm-1.16*v^2/(2*g)-j*l-v^2/(2*g)=zs ricavo Q con il metodo iterativo presentato nell esercizio 1b VERIFICHE: 1. pressione al colmo C: zm 1.16*v^2/(2*g)-j*Lc-v^2/(2*g) zc-patm/γ? se sì: la portata Q determinata è quella corretta se no: la Q calcolata non può transitare nella condotta; ricavo la portata Qeff effettivamente transitante imponendo l uguaglianza: zm 1.16*v^2/(2*g) - j*lc-v^2/(2*g) = zc-patm/γ Qeff < Q (a valle del colmo, si avrà un tratto con moto a canaletta) 2. pressione all imbocco: zm - 0.16*v^2/(2*g)- v c^2/(2*g) z1- patm/γ dove: 0.16*v^2/(2*g) è la perdita di carico per brusco restringimento dovuta all imbocco a sifone/tubo addizionale interno (coefficiente di contrazione Cc= 0.5); v c = velocità nella sezione contratta: Q/(Cc*A). se sì: la portata Q determinata è quella corretta se no: la Q calcolata non può transitare nella condotta; ricavo la portata Qeff2 effettivamente transitante imponendo l uguaglianza: zm - 0.16*v^2/(2*g)- v c^2/(2*g) = z1- patm/γ Qeff2 < Q La portata effettivamente circolante nella condotta è la minore fra Qeff1 e Qeff2. 8