ESPERIENZA DI LABORATORIO N. ) Misura diretta mediante tester della resistenza elettrica dei resistori R, R, R3 e calcolo degli errori di misura. Dalla misurazione diretta delle singole resistenze abbiamo ottenuto i seguenti valori: R=9Ω R=340Ω R3=.800Ω Questi tre valori possono essere affetti da vari errori: di natura sistematica, di natura accidentale oppure dipendenti dall accuratezza della misurazione la quale dipende in modo stretto dalle caratteristiche intrinseche dello strumento di misurazione (tester), in altri termini dalla sua classe. Dalla teoria ci viene fornita una relazione che ci permette di determinare l errore relativo sulle misurazioni effettuate. Δ Rx Rx = classe 0 - I I f.s. A I - = classe 0 If.s. x è un parametro che rappresenta il rapporto tra l intensità della corrente presenta a vale della resistenza e con quella presente a monte fornita dal tester, il valore di x è stato determinato tramite una lettura diretta utilizzando le quattro scale presenti al di sotto dello specchio dell indice. Quindi tenendo conto della classe del nostro tester (), andiamo a determinare l errore relativo percentuale e l errore assoluto riferito alle tre resistenze misurate. = 0 = 0,040 = 4,0% =,7Ω R 0,46 0,46 = 0 = 0,04 = 4,% = 3,96Ω R 0,4 0,4 3 = 0 = 0,040 = 4,0% 3 =,7Ω R3 0,46 0,46 Come si può notare l errore relativo percentuale risulta all incirca del 4%, infatti, abbiamo cercato di ottenere una posizione dell indice compresa tra nella zona mediana della scala, dove quest ultima è quasi lineare. ) Calcolo della resistenza elettrica di R e R3 in serie e stima degli errori su questa quantità. La determinazione della resistenza uivalente R nel caso ci siano due resistenze in serie lo si fa applicando la semplice relazione seguente: R =R+R3=340+.800=3.40Ω La stima dell errore su tale quantità può essere effettuata prendendo in considerazione gli errori assoluti delle singole resistenze, quindi: =+3=6,68Ω 3) Calcolo della resistenza elettrica di R ed R3 in parallelo e stima degli errori su questa quantità. In questo caso per determinare la resistenza uivalente si deve utilizzare la seguente regola: = R = = 303 Ω + + R R3 340.800 A - x - x
Per la stima dell errore assoluto applichiamo la stessa metodologia del caso precedente, e otteniamo: =,4Ω 4) Misura diretta mediante della resistenza elettrica di R e R3 in serie e calcolo degli errori di misura. Confronto con i risultati del punto. Dalla lettura diretta otteniamo come valore della resistenza uivalente pari a 3.00Ω, con x=0,44, quindi possiamo determinare l errore di misura relativo percentuale e assoluto applicando le stesse identiche relazioni precedenti. R = 0 0,44 = 0,040 = 4,0% 0,44 = 9,87Ω Come si può facilmente vedere l errore di misura differisce con quello stimato precedentemente solo di circa 3Ω, la vera differenza è costituta dal diverso valore della resistenza uivalente, questo può essere spiegato facilmente, in quanto la portata dello strumento era impostata in Ω 00, in queste condizioni diviene assai difficile stabilire frazioni di decine di Ohm. Quindi posso ribadire che il valore di R pari a 3.40Ω è più attendibile (sempre tenendo conto degli errori) in quanto il suo calcolo porta in considerazione resistenze nelle quali misurazioni si sono utilizzate portate nelle quali è possibile avere letture più definite. Comunque il valore determinato per via analitica della resistenza uivalente, è ampiamente compreso nella variabilità della misura diretta. 5) Misura diretta mediante tester della resistenza elettrica di R e R3 in parallelo e calcolo degli errori di misura. Confronto con i risultati del punto 3. Dalla misura diretta otteniamo una resistenza uivalente pari a 30Ω, ed x=0,45. Possiamo determinare direttamente l errore su questa quantità, e otteniamo: R = 0 = 0,040 = 4,0% 0,45 0,45 Anche in questo caso otteniamo un errore assoluto che si avvicina in modo considerevole a quello determinato nel punto 3, la differenza tra i due valori della resistenza uivalente è dovuta alle stesse motivazioni precedenti. =,53Ω
3 6) Costruzione del circuito relativo al metodo volt-amperometrico per la misura della resistenza R. Misura della forza elettromotrice, E, ai morsetti della batteria. Registrazione dei valori di tensione e di corrente per 0 posizioni del reostato. Posizione I[mA] I f.s. [ma] ΔI[mA] V[V] V f.s. [V] ΔV[V] R[Ω] [Ω] 7,0 50 0,75 0,,0 0,0 8,6 5,9 4,5 50 0,75 0,4,0 0,0 7,6,8 3 8,0 50 0,75 0,5,0 0,0 7,8,7 4,5 50 0,75 0,6,0 0,0 7,9,90 5 5,0 50 0,75 0,7,0 0,0 8,0,64 6 8,5 50 0,75 0,8,0 0,0 8,,44 7 3,0 50 0,75 0,9,0 0,0 8,,8 8 36,0 50 0,75,0,0 0,0 7,8,4 9 43,0 50 0,75,,0 0,0 7,9 0,95 0 50,0 50 0,75,4,0 0,0 8,0 0,8 Per la misurazione indiretta della resistenza R si possono costruire circuiti diversi la loro scelta dipende dall ordine di grandezza della resistenza da misurare. Dalla teoria sulla quale non mi dilungo, abbiamo che il nostro circuito può andar bene (in quanto l errore sistematico è trascurabile) fino a resistenze di 500Ω, per resistenze maggiori si deve cambiare circuito (si deve porre il tester in parallelo con la resistenza da misurare e l amperometro). L errore massimo ΔI dipende dalla classe del nostro amperometro (,5) e dall intensità della corrente di fondo scala I f.s. (50 ma). ΔI=classe 0 - I f.s. =,5 0-50=0,75mA Lo stesso discorso vale per il voltometro, nel nostro caso particolare abbiamo utilizzato una tensione di fondo scala paria a Volt, quindi l errore massimo è: ΔV=classe 0 - V f.s. = 0 - =0,0V L errore sulla resistenza R è stato determinato con l utilizzo della regola per la propagazione degli errori di Gauss, qui di seguito riportiamo la sua forma generale: ΔV ΔI ΔV ΔI = + = + R R V I V I Abbiamo rilevato anche la forza elettromotrice della batteria che è pari a,9v, tale misurazione è stata effettuata con il tester impostato con una tensione di fondo scala pari a 0V, quindi l errore massimo assoluto e relativo su tale misurazione è: ΔV=classe 0 - V f.s. = 0-0=0,0V ΔV/V=0,034=3,4% 8) Calcolo della resistenza R e dell errore a essa relativo con la media pesata. Ritornando a considerare la tabella precedente, gli scarti, si può constatare che il loro valore non è costante e la giustificazione di ciò risulterà da quanto segue. La classe di precisione degli strumenti usata è elevata e la conseguente limitata sensibilità della misura assorbe sia gli errori casuali, sia l errore sistematico connesso alla taratura degli strumenti stessi, fornendo una stima dell ordine di grandezza dell errore, inteso come differenza tra valore vero e valore letto. Di questo errore non conosciamo ne il valore ne il segno e quindi sotto tale luce ha carattere di errore casuale senza però avere il significato probabilistico dell errore standard di una singola misura. In altri termini in questo caso la misura di R è stata eseguita con precisioni strumentali diverse, e non è lecito fare
4 semplicemente la media aritmetica, perché così facendo si darebbe lo stesso peso a misure con precisione diversa. Ammettiamo quindi che la migliore stima del valore vero sia una media pesata, ossia una combinazione lineare del tipo: R=α R +α R +α 3 R 3 + +α n R n Dove i coefficienti α i sono i pesi di ogni singola misura ed hanno l espressione: i α i = i i L errore sulla media pesata ha l espressione: = n Δ R Qui di seguito viene riportata una tabella con tutti i valori di α i, e il valore di R, determinato con le relazioni sovraesposti. i R / i α i α n R n [Ω] 8,6 5,9 0,085 0,005 0,494 7,6,8 0,69 0,033 0,64 7,8,7 0,94 0,0356 0,989 7,9,90 0,76 0,0506,44 8,64 0,378 0,068,909 8,,44 0,4809 0,088,4783 8,,8 0,6075 0,4 3,303 7,8,4 0,776 0,43 3,956 7,9 0,95,04 0,05 5,6497 8 0,8,487 0,77 7,6363 Σ 5,453 Σ 7,95 L errore sulla media pesata così ottenuta è pari a: =0,43Ω /R=0,05=,5% Quindi R=(7,95±0,43)Ω Il valore così trovato differisce di circa un Ohm rispetto a quello determinato tramite misura diretta, questo può essere dovuto alla differente condizione operativa, in quanto in questo caso abbiamo una misura indiretta della resistenza, e quindi i valori così ottenuti possono essere inficiati dalla presenza di una resistenza estranea, ma comunque i suoi effetti possono essere trascurati (come abbiamo già affermato), tenendo conto degli errori di misura. 7) Calcolo della resistenza R e dell errore ad essa relativo con il metodo grafico. Nella pagina seguente è riportato il grafico che mette in evidenza le rette di minima e massima pendenza, si è proceduto a pesare maggiormente i punti di fondo scala in quanto affetti da un minor errore relativo. Come si può notare il valore della resistenza così determinato è praticamente uguale a quello stabilito dalla media pesata e anche l errore si avvicina. i
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6 Dal grafico precedente otteniamo R=(8,0±0,7)Ω, quindi l errore percentuale è pari a,5%. 9) Calcolo della resistenza R e dell errore ad essa relativo con il metodo dei minimi quadrati. Riportare su un altro grafico la retta così ottenuta e le due rette derivate dai valori di R ai punti 7) e 8). Qui di seguito riportiamo il grafico che visualizza la distribuzione delle nostre misurazioni e la retta di regressione lineare determinata utilizzando il metodo dei minimi quadrati. GRAFICO V-I, CON RETTA DI REGRESSIONE LINEARE.,4 PUNTI SPERIMENTALI. REGRESSIONE LIN., V(Volts).,0 Linear Regression for Data3_B: Y = A + B * X 0,8 Parameter Value Error 0,6 A -,8334E-4 0,0033 B 7,95947 0,095 0,4 R SD N P 0, 0,99994 0,00433 0 <0.000 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 I(A). Il valore di R risultate da tale analisi statistica è pari a 7,96Ω (praticamente uguale al valore ottenuto tramite le due analisi precedenti), con un errore assoluto pari a 0,Ω (errore relativo del 0,39%). Quindi in definitiva: R=(7,96±0,)Ω Il coefficiente di correlazione lineare esprime il grado di dipendenza di due grandezze legate da una relazione nel nostro caso, esso vale: R=0,99994 Quindi è un coefficiente molto buono per una distribuzione sperimentale.
7 Nel grafico seguente sono riportate le tre rette ottenute dai tre metodi di analisi, come si può vedere tali rette si sovrappongono quasi perfettamente, questo significa che tutti i metodi applicati si sono dimostrati ugualmente efficaci. CONFRONTO GRAFICO TRA LE TRE METODOLOGIE DI ANALISI.,6,4 MEDIA PESATA. METODO GRAFICO. REGRESSIONE LINEARE.,,0 V(Volts). 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 I(A).