ESERCIZI PROBABILITA I

ESERCIZI PROBABILITA I ESERCIZIO 1 Il rendimento annuo di un titolo viene descritto mediante una distribuzione normale. I e III quartile del rendimento sono uguali a, rispettivamente, -0.1 e 0.3. Si calcoli la probabilità che il rendimento sia negativo. ESERCIZIO 2 In una popolazione, la quantità di calorie assunte giornalmente da un individuo è ben descritta da una distribuzione gaussiana con media 2500 calorie e scarto quadratico medio 300. a) Si calcoli la probabilità che il consumo calorico giornaliero di un individuo scelto a caso dalla popolazione sia maggiore di 3000; ovvero, equivalentemente, la percentuale di individui nella popolazione che consumano giornalmente più di 3000 calorie, sulla base del modello proposto. b) Qual è il valore del consumo calorico che un individuo scelto a caso dalla popolazione supera con probabilità pari a 0.6? Ovvero, in altri termini, qual è il consumo calorico superato dal 60% degli individui della popolazione? ESERCIZIO 3 Si è interessati alla spesa annua sostenuta dalle famiglie di una regione per attività di svago. Si estrae, a caso, una famiglia che risiede in questa regione; la distribuzione della variabile aleatoria che descrive la sua spesa annua in attività di svago si assume gaussiana, con una varianza che, sulla base di preesistenti informazioni sulla variabilità delle quantità in gioco, è fissata pari a 10000 ( euro 2 ). a) Se la spesa media annua delle famiglie della regione fosse pari a 1000 euro, quale sarebbe la probabilità che la famiglia estratta a caso abbia sostenuto una spesa compresa tra 750 e 1750 euro? b) Si determini la probabilità che una famiglia scelta a caso spenda più di 1750 Euro. c) Successivamente, si rileva la spesa annua della famiglia estratta, ed essa risulta pari a 2000 euro. Alla luce di questo dato (e del modello utilizzato) è ragionevole ipotizzare che la spesa media annua delle famiglie della regione sia pari a 1000 euro? Si giustifichi opportunamente la risposta. ESERCIZIO 4 Il ricavo settimanale (in migliaia di euro) risultante dalle vendite di una rivista è modellizzato mediante una distribuzione gaussiana, di varianza pari a 5; tale valore si suppone assegnato sulla base di informazioni precedenti sulla variabilità delle vendite. a) Qual è la probabilità che, in una settimana, il ricavo differisca dal ricavo medio per più di 2 (migliaia di euro)? b) Se il ricavo settimanale medio fosse uguale a 20 (migliaia di euro), quale sarebbe la probabilità che il ricavo in una settimana (a caso) superi 12 (migliaia di euro)? ESERCIZIO 5 I ritardi, in minuti, riportati da un treno su una tratta vengono registrati su tutti i viaggi (pari a 300) da esso effettuati nell ultimo mese. La distribuzione di frequenze dei ritardi è riportata, per intervalli, nella tabella che segue: intervalli Freq. assolute [0,10] 30 (10,20] 62 (20,30] 124 (30,40] 58 (40,50] 26 a) Si calcoli la percentuale di viaggi in cui il treno ha riportato un ritardo maggiore di 15 minuti. b) Si calcolino il numero medio di minuti di ritardo e la varianza dei ritardi. c) Si supponga di scegliere, a caso, uno dei 300 viaggi effettuati dal treno e si indichi con X la variabile aleatoria che descrive il ritardo riportato dal treno scelto. Si calcoli la probabilità che il ritardo sia maggiore di 15 minuti. Si calcolino inoltre valore atteso e varianza di X. d) Si supponga ora di modellizzare il ritardo di un viaggio scelto a caso tra i 300 mediante una distribuzione normale con parametri uguali al valore atteso e varianza calcolati al punto precedente. Si calcoli la probabilità che il ritardo del treno scelto a caso sia maggiore di 15 minuti, utilizzando il modello gaussiano e si confronti tale valore con quello ottenuto al punto c).

Esercizi di Probabilità I ESERCIZIO 1 Si ponga X = rendimento annuo di un titolo. Allora sappiamo che X N (µ, 2 ). Per poter ottenere P(X 0) abbiamo bisogno di standardizzare la variable usando la formula Z = X µ e poi utilizzare le tavole. Bisogna quindi trovare media e varianza della distribuzione. Procedimento per ottenere la media µ della distribuzione dati i due quartili: q 1 = 0.1 P(X 0.1) = 0.25 q 3 = 0.3 P(X 0.3) = 0.75 q 2 = µ = q 1 + q 3 2 = 0.1 Procedimento per trovare la deviazione standard della distribuzione dato un quartile e la media: P(X 0.3) = 0.75 P ( Z Usando le tavole trovo che il valore z = 0.3 0.1 ) ( ) 0.3 0.1 0.3 0.1 = F Z = 0.75 per il quale la funzione di ripartizione della normale standard è pari a 0.75 è z = 0.67. Si ottiene dunque la deviazione standard: 0.67 = 0.3 0.1 = 0.2 0.67 = 0.2985 Dunque otteniamo il risultato richiesto come segue (la quarta disuguaglianza è ottenuta guardando le tavole) ( P(X 0) = P Z 0 0.1 ) = P(Z 0.33) = 1 P(Z 0.33) = 1 0.6293 = 0.3707 0.2985 ESERCIZIO 2 Si ponga X = quantità di calorie assunte giornalmente da un individuo. Allora sappiamo che X N (µ = 2500, 2 = 300 2 ). a) P(X 3000) = 1 P(X 3000) = 1 P ( Z 3000 2500 300 ) = 1 P (Z 1.67) = 1

1 F Z (1.67) = 1 0.9525 = 0.0475. Si noti che la quinta uguaglianza è ottenuta con le tavole. b) Sia x il valore del consumo calorico ricercato, tale quindi che P(X > x) = 0.6 o, equivalentemente, P(X x) = 0.4. Dunque P(X x) = P ( Z x 2500 ) 300. x 2500 300 è allora il quantile di ordine 0.4 di una Normale Standard. Dalle tavole si ottiene z = 0.25 e dunque x = 0.25 300 + 2500 = 2425. ESERCIZIO 3 Si ponga X = spesa annua sostenuta dalle famiglie di una regione per attività di svago. Allora sappiamo che X N (µ, 2 = 10000). Si assuma µ = 1000 e si noti che = 100. P(750 < X < 1750) = P ( 750 1000 100 < Z < 1750 1000 ) 100 = P( 2.5 < Z < 7.5) = FZ (7.5) F Z ( 2.5) = 0.9938 1. b) Dallo svolgimento del punto a) risulta che la probabilità di una spesa superiore a 1750 è all incirca uguale a 0. c) No, non è ragionevole; infatti la probabilità di osservare una spesa pari o superiore a 1750 è zero se la media è 1000. ESERCIZIO 4 Si ponga X = ricavo settimanale risultante dalle vendite di una rivista. Allora sappiamo che X N (µ, 2 = 5). a) P[(X > µ+2) oppure (X < µ 2)] = 1 P(µ 2 < X < µ+2) = 1 P ( µ 2 µ ) < Z < µ+2 µ = 1 P( 2 5 < Z < 2 5 ) = 1 P( 0.89 < Z < 0.89) = 1 [F Z (0.89) (1 F Z (0.89)] = 2 2 0.7244 = 0.3734. b) Si assuma µ = 20. Allora P(X > 12) = 1 P(X < 12) = 1 P 1 F Z ( 3.57) 1. ( ) Z < 12 20 5 = ESERCIZIO 5 a) La frequenza è pari a 31+124+58+26 300 = 239 300 = 0.7966, dunque la percentuale è 79.66%. 2

b) µ = 30 5+62 15+124 25+58 35+26 45 300 = 24.6. 2 = 30(5 24.6)2 +62(15 24.6) 2 +124(25 24.6) 2 +58(35 24.6) 2 +26(45 24.6) 2 300 = 114.5067. Si ottiene dunque = 114.5067 10.7. c) Si ponga X = ritardo. Dunque P(X > 15) = 0.7966 (vedi punto a). Inoltre sappiamo che µ = E(X) = 24.6 e 2 = Var(X) = 114.5067. d) Si ponga X = ritardo e si assuma che X N (24.6, 2 = 114.5067). P(X > 15) = P ( Z > 15 24.6 ) 10.7 1 FZ ( 0.9) = F Z (0.9) = 0.8159. 3

ESERCIZI DI PROBABILITA II ESERCIZIO 1 Dai dati in possesso dall ufficio marketing di un grande magazzino è noto che i clienti spendono, in media, 95 euro con una deviazione standard di 21 euro. Si assuma la distribuzione normale per la spesa dei clienti. a) Determinare la probabilità che un cliente scelto a caso spenda meno di 68 euro. b) Il direttore della divisione marketing decide una politica promozionale che consiste nell offrire un omaggio ai visitatori del grande magazzino che spendono più di una certa cifra. Come deve essere fissata tale cifra affinché il 5% dei clienti riceva l omaggio? c) Qual è la probabilità che estraendo a caso un cliente, questi riceva l omaggio? ESERCIZIO 2 Uno studio condotto da un mensile di videogiochi e computer rivela che gli abbonati della rivista trascorrono una media di 12 ore alla settimana davanti al computer a giocare. Ipotizziamo che il tempo trascorso a giocare sia distribuito normalmente con scarto quadratico medio pari a 2.3 ore. a) Determinare la probabilità che un abbonato trascorra tra le 15 e le 20 ore settimanali a giocare al computer b) Determinare la probabilità che un abbonato trascorra più di 10 ore settimanali a giocare al computer c) Determinare la probabilità che un abbonato trascorra più di 18 ore settimanali a giocare al computer c) Il 10% degli abbonati gioca al computer un numero di ore superiore o pari a? ESERCIZIO 3 La spesa mensile (in euro) delle famiglie milanesi in prodotti per la casa si distribuisce secondo la legge normale con media pari a 50 euro e scarto quadratico medio pari a 10 euro. a) Determinare la probabilità che una famiglia milanese spenda più di 60 euro? b) L 80% delle famiglie milanesi spende una cifra compresa tra 10 euro e euro ESERCIZIO 4 Il numero di televisori presenti nelle 5052 famiglie di una piccola città ha la seguente distribuzione N. televisori Freq. Assol. 0 875 1 1264 2 2345 3 568 Determinare la probabilità che estraendo a caso una famiglia della piccola città, questa possieda: a) 1 televisore b) almeno un televisore c) meno di 2 televisori

ESERCIZIO 1 Per descrivere il numero di guasti mensili cui sono soggette le due parti A e B di un impianto industriale viene utilizzata la seguente distribuzione di probabilità: X \ Y 0 1 2 0 0.2 0.1 0 0.3 1 0.1 0.2 0.2 0.5 2 0 0 0.2 0.2 0.3 0.3 0.4 dove X = numero di guasti di A e Y = numero di guasti di B a- Si calcoli la probabilità che A abbia almeno un guasto b-si calcoli la probabilità che A e B abbiano entrambi almeno un guasto c-si calcoli la probabilità che vi sia stato un guasto nel complesso d- Si calcoli il numero atteso di guasti di B e- Si dica se è più variabile il numero di guasti di A o quello di B. f- Si calcoli il numero atteso di guasti totali g- La riparazione di un guasto di A costa 100; quella di un guasto di B costa 150. Si calcoli il costo totale atteso di riparazione mensile h- Si calcoli lo scarto quadratico medio del costo totale ESERCIZIO 2 La realizzazione di un prodotto consta di 3 fasi: A, B e C. Sia X il tempo (in secondi) della fase A, Y quello della fase B e Z quello della fase C. X è descritto da una distribuzione normale di media 40 e varianza 9; Y e Z hanno media rispettivamente 40 e 50 e varianza 4 e 9. Inoltre: Cov(X,Y)=4 Cov(X,Z)=-1 Cov (Y,Z)=3 a-si calcoli la probabilità che il tempo della fase A sia inferiore a 35 secondi b- Per la fase A, qual è il tempo superato con probabilità 0.1? c- Qual è il tempo atteso di lavorazione totale? d- Qual è la sua varianza? e- 1 secondo di lavorazione della fase A ha costo pari a 7, 1 secondo della fase B ha costo pari a 6, 1 secondo della fase C ha costo pari a 8. Si calcoli la varianza del costo totale di lavorazione del prodotto

f- Supponendo che il costo totale abbia distribuzione normale, si calcoli la probabilità che il costo totale sia compreso tra 900 e 1000. ESERCIZIO 3 Siano X,Y e Z variabili aleatorie con X distribuita normalmente con media -3 e varianza 9, Y distribuita normalmente con media 0e varianza 4 e Z distribuita normalmente con media 2 e varianza 2. Consideriamo T=X-Y-Z Supponiamo: ρ(x,y)=-0.3 ρ(x,z)=0 e ρ(y,z)=0.2 a- Calcolare E(T) b- Calcolare Var(T) c- Supponendo T normale, calcolare il quantile di ordine 0.4 di T ESERCIZIO 4 Il tempo totale impiegato da un dipendente di un azienda per raggiungere, da casa, il luogo di lavoro è dato dalla somma dei seguenti 4 tempi: 1: tempo impiegato per raggiungere, a piedi, la fermata del tram, pari a 6 minuti; 2: tempo di attesa del tram, descritto da una variabile aleatoria con distribuzione normale di media 7 minuti e scarto quadratico medio di 2 minuti; 3: tempo impiegato per percorrere il tratto in tram, descritto da una variabile aleatoria con distribuzione normale di media 16 e scarto quadratico medio 3; 4: tempo impiegato per percorrere, a piedi, il tratto fermata del tram-luogo di lavoro, pari a 1 minuto. Si supponga che il tempo di attesa ed il tempo di percorrenza del tram siano associati e che il legame sia descritto da una covarianza pari a 4. a) Si calcoli la probabilità che il tempo di percorrenza del tram sia superiore a 14 minuti. b) Si dica, giustificando la risposta, se è da ritenersi meno variabile il tempo di attesa o il tempo di percorrenza del tram. c) Supponendo distribuito in accordo ad una normale anche il tempo totale impiegato dalla persona per il percorso casa-lavoro, si calcoli la probabilità che tale tempo sia maggiore di 35 minuti. d) Se il dipendente deve essere al lavoro alle ore 9.00, a che ora deve partire per limitare la probabilità di arrivare in ritardo al 5%?

Esercizi di Probabilità II ESERCIZIO 1 Si ponga X = spesa media. Allora sappiamo che X N (µ = 95, 2 = 21 2 ). a) P(X < 68) = P ( Z < 68 95 ) 21 = P (Z < 1.29) = FZ ( 1.29) = 1 F Z (1.29) = 1 0.9015 = 0.0985 b) Sia x il valore della soglia di spesa ricercato. Si tratta di determinare il valore x tale che P(X > x) = 0.05 o equivalentemente P(X < x) = 0.95. Standardizzando si ottiene P( X 95 21 < x 95 21 ) = 0.95 quindi x 95 21 è il quantile della Normale Standard di ordine 0.95, che dalle tavole si trova eguale a 1.64. Quindi x = z 21 + 95 = 129.44. c) Chiaramente la probabilità è 0.05 (5%) per come è stata scelta la soglia. ESERCIZIO 2 Si ponga X = tempo trascorso a giocare. Allora sappiamo che X N (µ = 12, 2 = 2.3 2 ). a) P(15 < X < 20) = P ( 15 12 2.3 < Z < 20 12 ) 2.3 = P (1.3 < Z < 3.48) = FZ (3.48) F Z (1.3) = 0.9997 0.9032 = 0.0965. b) P(X > 10) = P ( Z > 10 12 ) 2.3 = 1 FZ ( 0.87) = F Z (0.87) = 0.8078. c) P(X > 18) = P ( Z > 18 12 ) 2.3 = 1 FZ (2.61) = 1 0.9955 = 0.0045. d) Sia x il numero di ore ricercato, tale che P(X > x) = 0.1, o, equivalentemente P(X < x) = 0.9. Standardizzando si ottiene P(X < x) = P( X 12 2.3 < x 12 2.3 ) = 0.9 quindi x 12 2.3 è il quantile di ordine 0.9 della Normale Standard, che dalle tavole si trova eguale a 1.28. Quindi x = z 2.3 + 12 = 14.944. ESERCIZIO 3 Si ponga X = spesa mensile sostenuta dalle famiglie milanesi in prodotti per la casa. Allora sappiamo che X N (µ = 50, 2 = 10 2 ). a) P(X > 60) = P ( Z > 60 50 ) 10 = 1 FZ (1) = 1 0.8413 = 0.1587. b) Sia x il valore ricercato, vale a dire tale che P(10 < X < x) = 0.8 o, equivalentemente, 1

P ( 10 50 10 < Z < z = x 50 ) 10 = 0.8. Dunque si ottiene F Z (z) F Z ( 4) = 0.8 F Z (z) 0.8 + 0 = 0.8 Grazie alle tavole si trova z = 0.84 che equivale alla cifra x = z 10 + 50 = 58.4. ESERCIZIO 4 Si ponga X = numero di televisori. a) P(X = 1) = 1264 5052 = 0.25, ossia il 25%. b) P(X 1) = 1264+2345+568 5052 0.83, ossia l 83%. c) P(X < 2) = 875+1264 5052 0.42, ossia il 42%. 2

Esercizi di Probabilità III ESERCIZIO 1 Si ponga X = numero di guasti di A e Y = numero di guasti di B. a) P(X 1) = 0.5 + 0.2 = 0.7. b) P[(X 1) e (Y 1)] = 0.2 + 0.2 + 0.2 + 0 = 0.6 (vedi fig. 1). Figure 1 c) P(X + Y = 1) = 0.1 + 0.1 = 0.2 (vedi fig. 2). Figure 2 d) E(Y ) = 0 P(Y = 0) + 1 P(Y = 1) + 2 P(Y = 2) = 0.3 + 0.8 = 1.1 e) Si calcoli prima il valore atteso di guasti di A, E(X) = 0.9, e le due varianze: Var(X) = 0 2 P(X = 0)+1 2 P(X = 1)+2 2 P(X = 2) E(X) 2 = 0.5+0.8 0.81 = 0.49 Var(Y ) = 0 2 P(Y = 0) + 1 2 P(Y = 1) + 2 2 P(Y = 2) E(Y ) 2 = 0.3 + 1.6 1.21 = 0.69 Utilizzando il coefficiente di variazione si può notare che il numero di guasti di A è di poco più variabile del numero di guasti di B: C.V.(X) = 0.49 0.9 = 0.778 C.V.(Y ) = 0.69 1.1 = 0.755 1

f) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) = 2 g) Si ponga C = costo di riparazione. Allora E(C) = E(100X + 150Y ) = 100E(X) + 150E(Y ) = 255. h) Var(C) = Var(100X + 150Y ) = 100 2 Var(X) + 150 2 Var(Y ) + 2Cov(100X, 150Y ) = 100 2 Var(X)+150 2 Var(Y )+2 100 150Cov(X, Y ) = 10000 0.49+22500 0.69+30000 0.41 = 32725. Dunque lo scarto quadratico medio è C = Var(C) = 180.9. NB. La covarianza si calcola come segue: Cov(X, Y ) = xyp(x, Y ) E(X)E(Y ) = 1 1 0.2 + 1 2 0.2 + 2 2 0.2 0.9 1.1 = 0.41. ESERCIZIO 2 Si ponga X il tempo (in secondi) della fase A, Y quello della fase B e Z quello della fase C. Si assuma che X N (µ = 40, 2 = 9), E(Y ) = 40, E(Z) = 50, Var(Y ) = 4, Var(X) = 9, Cov(X, Y ) = 4, Cov(X, Z) = 1, Cov(Z, Y ) = 3. a) P(X < 35) = P ( Z < 35 40 ) 3 = FZ ( 1.67) = 1 F Z (1.67) = 1 0.9525 = 0.0475. b) Bisogna risolvere l equazione (in x) P(X > x) = 0.1 o, equivalentemente, P(X < x) = 0.9. Standardizzando, P ( Z < z = x 40 ) 3 = 0.9, e usando le tavole si trova z = 1.28 che equivale alla cifra x = z 3 + 40 = 43.84. c) E(X + Y + Z) = E(X) + E(Y ) + E(Z) = 40 + 40 + 50 = 130. d) Var(X+Y +Z) = Var(X)+Var(Y )+Var(Z)+2Cov(X, Y )+2Cov(X, Z)+22Cov(Y, Z) = 9 + 4 + 9 + 2 4 + 2 ( 1) + 2 3 = 34. e) Si ponga C = costo di lavorazione. Dunque Var(C) = Var(7X + 6Y + 8Z) = 49Var(X) + 36Var(Y ) + 64Var(Z) + 84Cov(X, Y ) + 112Cov(X, Z) + 96Cov(Y, Z) = 49 9 + 36 4 + 64 9 + 84 4 + 112 ( 1) + 96 3 = 1673. f) Si assuma C N (µ, 2 = 1673) con µ = E(C) = E(7X + 6Y + 8Z) = 920. ( ) Dunque P(900 < C < 1000) = P 900 920 1673 < Z < 1000 920 1673 = F Z (1.96) F Z ( 0.49) = F Z (1.96) 1 + F Z (0.49) = 0.975 1 + 0.6879 = 0.6629. ESERCIZIO 3 Si pongano X N (µ = 3, 2 = 9), Y N (µ = 0, 2 = 4) e Z N (µ = 2, 2 = 2). Sia T = X Y Z e si assuma ρ(x, Y ) = 0.3, ρ(x, Z) = 0 e ρ(z, Y ) = 0.2. a) E(T ) = E(X Y Z) = E(X) E(Y ) E(Z) = 3 2 = 5. 2

b) Per calcolare le covarianze si usa la seguente formula: Cov(X, Y ) = ρ(x, Y ) VarXVar(Y ); si ottiene dunque Cov(X, Y ) = 1.8, Cov(X, Z) = 0 e Cov(Z, Y ) = 0.566. Si puo quindi calcolare a varianza di T come segue: Var(T ) = Var(X Y Z) = Var(X) + Var(Y ) + Var(Z) 2Cov(X, Y ) 2Cov(X, Z)+2Cov(Y, Z) 9+4+2+2 1.8+2 0.5657 = 19.7314. c) Si assuma T N (µ = 5, 2 = 19.7314). Per calcolare il quantile bisogna risolvere ( l equazione 0.4 = F T q 0.4 = P(T < q 0.4 ) o, equivalentemente, 0.4 = P Z < z = q 0.4+5 19.7314 ). Usando le tavole si trova z = 0.25 che equivale al quantile q 0.4 = z 19.7314 5 = 6.11. ESERCIZIO 4 Si ponga T = tempo impiegato da un dipendente di un azienda per raggiungere, da casa, il luogo di lavoro. Allora abbiamo che T = X + Y + J + H dove X = 6, Y N (µ Y = 7, Y = 2), J N (µ J = 16, J = 3) e H = 1. Si assuma inoltre che Cov(Y, J) = 4. a) P(J > 14) = P ( Z > 14 16 ) 3 = P(Z > 0.67) = FZ (0.67) = 1 0.9525 = 0.7486. b) Si utilizzi il coefficiente di variazione dei due tempi C.V.(Y ) = 2 7 = 0.2857 C.V.(J) = 3 16 = 0.1875 dunque il tempo di attesa Y è più variabile del tempo di percorrenza del tram, J. c) Si assuma T N (µ T, 2 T ) dove µ T = E(T ) = E(X +Y +J +H) = 7+E(X)+E(J) = 30 e T 2 = 2 (Y + J) = 2 (Y ) + 2 (J) + 2Cov(Y, J) = 4 + 9 + 8 = 21. Dunque P(T > 35) = ( ) P Z > 35 30 21 = P(T > 1.09) = 1 F Z (1.09) = 1 0.8621 = 0.1379. ( ) d) Bisogna risolvere l equazione (in t) P(T > t) = 0.05 o, equivalentemente, P Z > z = t 30 21 = 0.05. Usando le tavole si ottiene z = 1.64 che equivale a t = z 21 + 30 = 37.52. Il lavoratore deve quindi uscire di casa circa 38 minuti prima delle 9:00, ossia alle 8:22. 3