I TEST DI LOGICA Alberto Zanardo Dipartimento di Matematica Università di Padova Liceo Giorgione, Castelfranco Veneto 5 aprile 2016 1
RUOLO DEI TEST Valutazione di: Conoscenze di base (syllabus) Capacità di ragionamento (elaborazione di nozioni) A volte uno stesso test valuta i due aspetti Tra i test specificamente del secondo tipo troviamo quelli di logica (e spesso quelli di aritmetica ) 2
LOGICA E RAGIONAMENTO La Logica è la scienza del ragionamento corretto? A volte sì, a volte no Nei test pretende di esserlo Ci viene chiesto di fare un ragionamento logico per rispondere ad una domanda 3
PERCHE PROPRIO LA LOGICA? Dovrebbe essere alla base dei ragionamenti che facciamo tutti i giorni. Non ha prerequisiti. 4
ATTEGGIAMENTO SCIENTIFICO Molti personaggi pubblici: io di matematica non ho mai capito niente Ma non direbbero mai: io non sono in grado di scrivere una lettera 5
LOGICA E RAGIONAMENTO Dobbiamo fare un ragionamento logico per rispondere risolvere un problema Se si verifica A, allora deve verificarsi B, ma B non può verificarsi, e quindi non è possibile che si verifichi A 6
LOGICA E RAGIONAMENTO Se tutti i tifosi dell Inter sono bugiardi e Mario dice di essere tifoso dell Inter, cosa possiamo concludere?... Se Mario è tifoso dell Inter, allora è bugiardo (se una proprietà vale per tutti, allora vale in particolare per Mario) Se Mario fosse tifoso dell Inter, allora avrebbe detto la verità, e quindi non sarebbe bugiardo. Mario non è tifoso dell Inter ed è bugiardo 7
OPERATORI/CONNETTIVI SE... ALLORA, TUTTI, ESISTE, E, O,... Queste espressioni hanno lo stesso significato in un ragionamento logico e nel senso comune? Non sempre. Ed è questo che spesso ci porta a sbagliare. 8
CONFLITTI TRA LOGICA E SENSO COMUNE Se. allora Se il poligono P è un quadrato, allora ha tutti i lati uguali Se c è il sole, allora vado al mare E se P non è un quadrato? E se piove? 9
RAGIONANDO LOGICAMENTE Se c è il sole, allora vado al mare Da un punto di vista strettamente logico questa frase non dà informazioni su cosa faccio se non c è il sole. E quanto intendiamo nei discorsi di tutti i giorni? NO! 10
RAGIONANDO LOGICAMENTE Infatti diciamo: Se c è il sole, allora vado al mare, ma potrei andarci anche se non c è il sole. Da un punto di vista strettamente logico la precisazione sottolineata è superflua, mentre nel linguaggio naturale non lo è. Nel linguaggio naturale se allora viene spesso inteso come se e solo se 11
RAGIONANDO LOGICAMENTE Se il poligono P è un quadrato, allora ha tutti i lati uguali, ma potrebbe avere tutti i lati uguali anche se non fosse un quadrato. In questo caso non si tratta di una precisazione 12
Negare una implicaizone Quando piove Mario prende l ombrello Se piove, allora Mario prende l ombrello Vogliamo mostrare che questa implicazione non è sempre vera Aspetto che piova... Ma se non piove mai? 13
SE... ALLORA... Se piove, allora Mario prende l ombrello Se non piove mai non riesco a rendere falsa quella proposizione Per poter falsificare un implicazione devo rendere vero l antecedente (e poi rendere falso il conseguente) 14
SE... ALLORA... Se 0 = 1 allora domani piove Non potrò mai rendere falsa questa implicazione. Quindi concludo che è vera. C è una forte assunzione sottostante! Quale? OGNI AFFERMAZIONE E VERA OPPURE FALSA 15
SE... ALLORA... Se 0 = 1 allora domani piove Osservazione sensata: cosa c entra Studio delle implicazioni rilevanti 16
ESEMPIO L insieme vuoto è contenuto in ogni insieme: X per ogni insieme X Cosa significa Y X? Per ogni x ( se x Y, allora x X) Per ogni x ( se x, allora x X) è una affermazione vera perché x è sempre falsa 17
ESEMPIO L insieme vuoto è contenuto in ogni insieme: X per ogni insieme X L insieme A non è contenuto in B se esiste un elemento di A che non è elemento di B. non contenuto in X significa che esiste un elemento di che non appartiene a X Ma non ha elementi, dunque è contenuto in X 18
ESSERE CONTENUTO E APPARTENERE L insieme {a, c, d} è contenuto nell insieme {a, b, c, d, e} La lettera a appartiene all insieme {a, b, c, d, e} TUTTAVIA L insieme {a, b, c, d, e} contiene la lettera a e contiene l insieme {a, c, d}. 19
ESEMPIO Se vinco alla lotteria, allora offro una cena a tutti Se non vinco la lotteria, l implicazione è verificata IMPORTANTE: posso offrire una cena anche se non vinco alla lotteria. Il fatto che io vinca alla lotteria è condizione affinché io offra una cena, non è una condizione 20
IMPLICAZIONE Se A allora B A implica B Dice solo cosa succede quando A si verifica Non dà informazioni su cosa succede quando A non si verifica Se c è il sole vado al mare 21
TEST DI WASON Le carte che su una faccia hanno una vocale, sull altra faccia hanno un numero pari (implicazione nascosta: vocale implica num. pari) E P 4 7 Quali carte controlliamo per vedere se la regola è verificata? (vogliamo il numero minimo di controlli) 22
TEST DI WASON Le carte che su una faccia hanno una vocale, sull altra faccia hanno un numero pari E P 4 7 SI NO NO SI 23
TEST DI WASON Chi ha meno di 16 anni, non può comperare alcolici. La polizia ferma 4 ragazzi. Alberto ha più di 16 anni Bruno ha meno di 16 anni Carlo ha comperato alcolici Dario non ha comperato alcolici Per chi è necessario un ulteriore controllo? 24
CONFLITTI TRA LOGICA E e (and,, &) SENSO COMUNE In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali e sono minori di 90 In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono minori di 90 e sono uguali Mi spoglio e faccio la doccia Metto i guanti da forno e prendo la pentola bollente Nel senso comune c è spesso una dimensione temporale 25
CONFLITTI TRA LOGICA E o (or, ) SENSO COMUNE Considero il triangolo ABC. L angolo in A è acuto oppure l angolo in B è acuto. Vado al mare oppure metto in ordine il garage Compero una macchina nuova oppure faccio una lunga vacanza VEL / AUT 26
Cosa succede in matematica? In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali e sono minori di 90 Considero il triangolo ABC. L angolo in A è acuto oppure l angolo in B è acuto. 27
CONFLITTI TRA LOGICA E SENSO COMUNE alcuni, tutti (, ) Alcune biciclette hanno il cambio Alcune biciclette hanno le ruote Solo alcune biciclette hanno il cambio Ma non diciamo: solo alcune biciclette hanno le ruote 28
CONFLITTI TRA LOGICA E SENSO COMUNE Un test per medicina: Se è vero che «alcune biciclette hanno gli ammortizzatori», allora è necessariamente vera anche una delle affermazioni seguenti. Quale? Se comperi una bicicletta, questa può non avere gli ammortizzatori Le biciclette con gli ammortizzatori sono le migliori Anche se oggi non è così, un giorno tutte le biciclette avranno gli ammortizzatori Le biciclette con gli ammortizzatori costano di più Non può esistere una bicicletta senza ammortizzatori 29
CONFLITTI TRA LOGICA E SENSO COMUNE Un test per medicina: Se è vero che «alcune biciclette hanno gli ammortizzatori», allora è necessariamente vera anche una delle affermazioni seguenti. Quale? Sarebbe stato meglio scrivere: Se è vero che «solo alcune biciclette hanno gli ammortizzatori», allora è necessariamente vera anche una delle affermazioni seguenti. Quale? 30
ANALISI DEL TEST Cosa significa alcuni? Nel linguaggio naturale alcuni viene spesso inteso come alcuni, ma non tutti, cioè come solo alcuni. 31
ANALISI DEL TEST Cosa significa alcuni? Può essere anche inteso come la negazione di nessuno E vero che nessun mammifero vive nell acqua? NO Quindi alcuni mammiferi vivono nell acqua. E vero che nessuna bici ha le ruote? NO Quindi alcune bici hanno le ruote 32
ANALISI DEL TEST Cosa significa alcuni? E vero che nessuna bici ha le ruote? NO Quindi alcune bici hanno le ruote. Se vogliamo che alcuni significhi alcuni, ma non tutti, dobbiamo rinunciare a vedere alcuni come negazione di nessuno 33
Cosa succede in matematica? alcuni non è in contrasto con tutti alcuni è la negazione di nessuno x tale che A equivale a non x non A x A equivale a non x tale che non A 34
solo Chi è giovane veste xxx Equivale a: Tutti i giovani vestono xxx (che in generale è falso) Ma di fatto si vuole trasmettere l idea che chi veste xxx è giovane, cioè: Solo chi è giovane veste xxx 35
ALTRI ESEMPI Professore, bisogna studiare il capitolo sei o il capitolo sette? Sì Se hai fame, c è del prosciutto in frigorifero. E un implicazione? No! Tuttavia... Se hai fame, allora guarda nel frigorifero. C è del prosciutto. 36
ALTRI ESEMPI Se qualcuno fa cadere il bicchiere, allora il bicchiere si rompe. Il bicchiere è rotto,... Anche nel linguaggio naturale sappiamo di non poter concludere che qualcuno l ha fatto cadere. Tuttavia... Confronto con se c è il sole vado al mare 37
CONCLUSIONI Non sempre logica e senso comune vanno d accordo (questo vuol dire che il senso comune è sbagliato?) Serve molta cautela nel preparare i test Certi test meglio non darli 38
UN PO DI LOGICA A e B A oppure B E vera quando A e B sono entrambe vere E vera quando almeno una tra A e B è vera Come neghiamo A e B? Negando A oppure negando B Come neghiamo A oppure B? Negando A e negando B non (A e B) = non(a) oppure non(b) non (A oppure B) = non(a) e non(b) 39
Relazioni tra e e o Non è vero che (ho una barca e ho una moto) Non ho una barca oppure non ho una moto non (A e B) equivale a (non A) o (non B) 40
Relazioni tra e e o Non è vero che (ho una barca o ho una moto) Non ho una barca e non ho una moto non (A o B) equivale a (non A) e (non B) 41
VERSIONE INSIEMISTICA X Y X Y Intersezione di X e Y Unione di X e Y X Complementare di X (X Y) = X Y (X Y) = X Y Leggi di de Morgan 42
VERSIONE INSIEMISTICA (X Y) = X Y (X Y) = X Y X Y 43
UN PO DI LOGICA Se A allora B Quando è falsa? Quando A è vera e B è falsa In tutti gli altri tre casi l implicazione è vera Confrontiamo se A allora B con non(a) oppure B se A allora B equivale a non(a) oppure B 44
TAVOLE DI VERITA Se A allora B Quattro possibilità: A vero, B vero A vero, B falso A falso, B vero A falso, B falso Implicazione VERA Implicazione FALSA Implicazione VERA Implicazione VERA 45
CONFRONTO CON oppure non-a oppure B Quattro possibilità: A vero, B vero A vero, B falso A falso, B vero A falso, B falso VERA FALSA VERA VERA 46
implica e oppure A implica B equivale a non-a oppure B E infatti Se A allora B è sempre vera quando A è falso, oppure quando B è vero 47
UN PO DI LOGICA Cosa possiamo dedurre da se A allora B Abbiamo visto che non possiamo dedurre se B allora A Ma se sappiamo che non(b) è vera? Allora possiamo dedurre non(a) se A allora B è equivalente a se non(b) allora non(a) 48
UN PO DI LOGICA se A allora B è equivalente a se non(b) allora non(a) se piove allora prendo l ombrello è equivalente a se non prendo l ombrello allora non piove causa/effetto??? 49
Equivalenze 50
bastano due operatori 51