L implicazione logica

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1 L implicazione logica Le espressioni Se allora o Condizione per. è che, perché. è necessario sono alcune delle locuzioni che segnalano la presenza di un implicazione, un connettivo logico che mette in relazioni due proposizioni, in modo che, se la prima è vera, è vera anche la seconda. Consideriamo l enunciato: Se starò bene, allora domani andrò al cinema nel quale le proposizioni semplici = starò bene e = Domani andrò al cinema sono legate dal connettivo se allora. uesto enunciato afferma che la sola condizione perché io domani vada al cinema (vero) è che stia bene (vero). L implicazione si indica: implica oppure dove e sono due proposizioni: in particolare è l antecedente, e è il conseguente. uindi la relazione può essere riassunta nella seguente: Esempio 10 ( ) Se starò bene (V), allora domani andrò al cinema (V) Ma se non starò bene (F), allora è possibile che possa andare al cinema o non possa andare (V/F) Cioè il verificarsi di implica il verificarsi di, ma se non si verifica, si può verificare o non verificare, per cui il solo non andare al cinema (F) se starò bene (V) non si può verificare. Tavola di verità: V V V V F F F V V F F V rof. Giovanni Rapisarda 1

2 uindi 1) Se starò bene (V), allora domani andrò al cinema (V) (si può verificare (V)) 2) Se starò bene (V), allora domani non andrò al cinema (F) non si può verificare (F)) 3) Se non starò bene (F), allora domani non andrò al cinema (V) (si può verificare (V)) 4) Se non starò bene (F), allora domani non andrò al cinema (F) (si può verificare (V)) Attenzione: Nella risoluzione di quesiti coinvolgenti l implicazione materiale è importante non sbagliare l individuazione della proposizione antecedente e quella conseguente. Nell espressione Condizione perché domani vada al cinema è che stia bene l antecedente è starò bene e il conseguente è domani andrò al cinema come nell espressione se allora. Enunciati coniugati Insieme alla implicazione, che chiameremo principale, detta anche modus ponens in logica classica, si possono ottenere le seguenti implicazioni, dette enunciati coniugati 1) Se domani andrò al cinema, allora starò bene (implicazione inversa o reciproca) 2) Se domani non starò bene, non andrò al cinema (implicazione contraria) 3) Se domani non andrò al cinema, allora non starò bene (implicazione controinversa o controminale o contrapposta), detta anche modus tollens in logica classica L implicazione diretta e controminale sono logicamente equivalenti, mentre ciò non è vero per le implicazioni inversa e contraria. L implicazione logica (modus ponens) può anche essere considerata come una condizione sufficiente., in quanto è sufficiente che si verifichi perché si possa verificare. Essa non è necessaria, perché abbiamo visto che si può verificare anche se non si verifica. rof. Giovanni Rapisarda 2

3 Modalità di risoluzione dei quiz con implicazione logica: CONDIZIONE SUFFICIENTE Supponiamo di considerare l implicazione logica e supponiamo che la condizione di verità per sia sufficiente per il verificarsi di (in pratica il modus ponens visto in precedenza). La logica classica afferma che l unica deduzione certa è che, cioè il non verificarsi di consente di affermare che non si è verificato (cioè in pratica la proposizione controminale, o modus tollens). Le proposizioni non deducibili sono: (contraria) (inversa) Test n 1 Se bevo tutta l acqua della borraccia (A), allora rimarrò senza acqua(b). In base alla affermazione precedente si può concludere che: A) Se non bevo tutta l acqua della borraccia, allora rimarrò senza acqua B) Se bevo tutta l acqua della borraccia, allora non rimarrò senza acqua C) Se non bevo tutta l acqua della borraccia, allora non rimarrò senza acqua D) Se non rimango senza acqua, allora non ho bevuto tutta l acqua della borraccia. L affermazione corretta è la D. L affermazione A corrisponde alla falsità dell antecedente; non si può dire nulla sul conseguente, che può essere vero o falso. L affermazione B corrisponde a rof. Giovanni Rapisarda 3

4 L affermazione A corrisponde a. Sembrerebbe corretta, ma, anche non bevendo l acqua della borraccia potrei rimanere senza acqua, ad esempio se la borraccia ha un foro. Test n 2 Se farai come ti dico, andrà tutto bene. Alla luce di tale affermazione, è certamente corretta anche una (ed una sola) delle seguenti. uale? A) Se non farai come ti dico, non potrà che andar male; B) urtroppo la cosa non è andata bene, è evidente che non hai fatto come ti avevo suggerito; C) Se avessi seguito il mio consiglio, forse le cose non sarebbero andate come speravi, ma nemmeno troppo male; D) La cosa è andata bene, me ne compiaccio, perché questo significa che hai fatto esattamente come ti avevo indicato. L affermazione corretta è la B. L affermazione A corrisponde alla falsità dell antecedente; non si può dire nulla sul conseguente, che può essere vero o falso. L affermazione B corrisponde a L affermazione C introduce una probabilità, e quindi non può essere una deduzione logica L affermazione A corrisponde a logicamente equivalente. Test n 3, cioè all implicazione inversa, che non è L'affermazione "quando corro a lungo consumo grassi" è equivalente a: A) non consumo grassi pur avendo corso a lungo; B) o corro a lungo o consumo grassi; c) se consumo grassi vuol dire che ho corso a lungo; d) a volte capita che non consumi grassi pur avendo corso a lungo; e) se non consumo grassi allora non ho corso a lungo rof. Giovanni Rapisarda 4

5 L affermazione corretta è la E. L affermazione A corrisponde a L affermazione B corrisponde al connettivo EX OR che non è un implicazione L affermazione C corrisponde a logicamente equivalente. L affermazione D sembra corrispondere a perché introduce una probabilità (a volte), cioè all implicazione inversa, che non è, ma in realtà non è una deduzione CONDIZIONE NECESSARIA Consideriamo ora una implicazione differente: Solo se allora Allora la condizione che si verifichi è necessaria perché si verifichi La condizione necessaria è l enunciato fondamentale per la conseguenza, ma da solo potrebbe non bastare a giustificarla. La logica classica afferma che le uniche deduzione certe sono, cioè l implicazione inversa e implicazione contraria Infatti esse sono, come abbiamo visto prima, equivalenti logicamente. Diciamo che è condizione necessaria per scriviamo quando il verificarsi di implica automaticamente il verificarsi di. Test n 4 Se il motore funziona, allora la macchina parte Alla luce di tale affermazione, quali affermazioni sono sicuramente vere A) Se il motore non funzione, allora la macchina parte B) Se il motore funziona, allora la macchina non parte C) Se la macchina parte allora il motore funziona D) Se il motore non funziona, allora la macchina non parte Riformuliamo logicamente la frase: rof. Giovanni Rapisarda (o anche 5

6 Solo se il motore funziona allora la macchina parte oppure È necessario che il motore funzioni, perché la macchina parta Le affermazioni corrette sono la C (implicazione inversa) e la D (implicazione contraria) L affermazione A corrisponde a verificarsi di L affermazione B corrisponde a, che non presuppone la necessarietà del, cioè alla falsità della implicazione CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE Complicazione logica La complicazione logica di due proposizioni e è vera se entrambe sono vere o se entrambe sono false e falsa nelle altre situazioni. Si esprime in questo modo: che si legge se e solo se e significa che se se e solo se si verifica la condizione, allora l evento accade, mentre se l evento non accade non accade neanche. rincipale V V V V F F F V F F F V Ha il significato di condizione necessaria e sufficiente Se e solo se allora rof. Giovanni Rapisarda 6

7 Allora la condizione che si verifichi è necessaria e sufficiente perché si verifichi. Essa si indica con Si può dedurre con certezza: 1) 2) 3) (implicazione inversa) (implicazione contraria) (implicazione controminale o modus tollens) Test n 5 Solo se si è sereni, equilibrati e spensierati, allora si è allegri. Se si è sereni, equilibrati e spensierati, si è allegri. Se le precedenti affermazioni sono vere, quale delle seguenti affermazioni è errata? A) Essere sereni, equilibrati e spensierati è condizione necessaria per essere allegri B) Chi non è allegro, non può essere sereno, equilibrato e spensierato C) Chi è allegro non può non essere sereno, equilibrato e spensierato D) Essere sereni, equilibrati e spensierati è condizione necessaria, ma non sufficiente per essere allegri La A è vera (Solo se si è sereni, equilibrati e spensierati, allora si è allegri) La B è vera ( ) La C è vera (logicamente uguale alla B per la doppia negazione) La D è falsa perché la condizione è anche sufficiente (Se si è sereni, equilibrati e spensierati, si è allegri. Altri esempi su condizione necessaria, sufficiente e necessaria e sufficiente rof. Giovanni Rapisarda 7

8 Esempio n 1 : Sono in montagna : Sto sciando n questo caso è condizione necessaria per. Infatti se sto sciando devo trovarmi necessariamente in montagna ( l implicazione inversa), cioè analogamente, se non mi trovo in montagna sicuramente non posso sciare ( implicazione contraria) Notiamo però che se mi trovo in montagna non è assolutamente detto che io stia sciando: cioè, se è verificata non possiamo dire se anche lo è. Esempio n 2 : A è un quadrato : A è un quadrilatero Dato che ogni quadrato è un quadrilatero, è evidente che è sufficiente per (e quindi se A non è un quadrilatero, non è sicuramente un quadrato (modus tollens)). Esempio n 3 a) due triangoli sono congruenti se e solo se vale un qualsiasi criterio di congruenza dei triangoli; b) due rette sono parallele se e solo se due angoli alterni sono congruenti, come spiegato dal criterio del parallelismo; c) una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero. In tutte queste proposizione è condizione necessaria e sufficiente per ESEMIO 4 rof. Giovanni Rapisarda Se F è un quadrato è un rettangolo 8

9 Il fatto di essere un quadrato è condizione sufficiente, ma non necessaria per essere un rettangolo, ma essere un rettangolo non basta per essere sicuro di essere un quadrato. L insieme dei quadrati è un sottoinsieme di quello dei rettangoli La condizione sufficiente si può scrivere anche ( sottoinsieme di ) ESEMIO 5 Se ho più di 40 anni () allora ho più di 30 anni () Gli individui che appartengono all insieme sono un sottoinsieme di quelli che appartengono a, per cui se ho 40 anni necessariamente ho anche 30 anni, ma l avere più di 30 anni non è sufficiente per dire che ho più di 40 anni (potrei averne 34 ad esempio). uindi implica che è condizione sufficiente, ma non necessaria al verificarsi di. Analogamente è condizione necessaria, ma non sufficiente per il verificarsi di. Esempio 6 Sara afferma che tutti gli studenti di medicina hanno frequentato il liceo scientifico. uale delle seguenti condizioni è necessario si verifichi affinché l affermazione di Sara risulti falsa? A) Nessun studente di medicina deve aver frequentato il liceo scientifico B) Deve esistere almeno uno studente che ha frequentato lo scientifico, ma non è iscritto a medicina C) Deve esistere almeno uno studente di medicina che non frequenta il liceo scientifico D) Tutti gli studenti che non sono iscritti a medicina devono aver frequentato il liceo scientifico La risposta corretta è la A Infatti esiste una implicazione nascosta: Se uno studente è iscritto a medicina, allora deve avere frequentato il liceo scientifico dove = essere iscritto a medicina è l antecedente e = ha frequentato il liceo scientifico. rof. Giovanni Rapisarda 9

10 Esempio 7 er diventare residente della Repubblica() bisogna avere 50 anni () È equivalente ha solo se si ha 50 anni, si può diventare residente della Repubblica, cioè avere 50 anni è una condizione necessaria per diventare presidente, ma ovviamente non sufficiente perché ciò si verifichi (non tutte le persone con più di 50 anni diventano residenti della Repubblica). (REUISITI NECESSARI SONO RESENTI NEI BANDI DI CONCORSO) er parteciparvi, infatti può essere richiesto di: - Essere cittadino italiano - Avere meno di 40 anni - Essere in possesso di diploma di maturità, etc. Esempio 8 Se F è un rettangolo è un quadrato Essere un rettangolo è condizione necessaria, ma non sufficiente per essere un quadrato (infatti la figura deve avere i 4 lati uguali) Esempio 9 Se e solo se piglierai una votazione di almeno 60/100, otterrai il diploma di maturità E una condizione necessaria e sufficiente; è necessaria in quanto, se non si verifica l evento non accade ed è sufficiente nel senso che, se si ha quella condizione l evento accade certamente. L implicazione è detta logica se esiste un nesso casuale tra antecedente e conseguente. Se invece considerassi le proposizioni: Esempio 11 1= Se 3+5=8, allora la terra è un pianeta 2= Se 3+5=7 allora la terra è un pianeta 3= Se 3+5=8 allora la terra è un satellite 4= Se 3+5=7 allora la terra è un satellite rof. Giovanni Rapisarda 10

11 Nel linguaggio comune difficilmente queste proposizioni potrebbero essere considerate sensate e nemmeno vere. Dal punto di vista della logica matematica invece l proposizioni hanno un senso ben preciso e si può vedere, dalla tavola di verità dell implicazione logica che 1, 2, 4 sono vere e che la sola 3 è falsa. uando l antecedente non è in connessione causale con il conseguente, l implicazione assume un significato diverso e viene chiamata implicazione materiale. Attenzione: Osserviamo che nel linguaggio comune il significato del connettivo se allora varia è può capitare di trovare casi in cui quest uso è più vicino a quello dell implicazione materiale. Supponiamo, per esempio, che un amico debba cercare di risolvere un problema molto difficile e che noi siamo convinti che non riuscirà a risolverlo. Esempio 12 ossiamo esprimere la nostra opinione in modo scherzoso dicendo: Se risolverai questo problema, allora mi mangerò una scarpa In questa implicazione l antecedente e il conseguente non sono in alcun modo connessi da una relazione causale e la seconda affermazione è falsa, perché non è possibile che una persona si mangi una scarpa. Ciò determina, per la verità dell implicazione, (riga 4 della tavola di verità) la falsità dell antecedente. In questo modo esprimiamo all amico la nostra convinzione che non riuscirà a risolvere il problema. rof. Giovanni Rapisarda 11

12 Equivalenza tra proposizioni Due enunciati legati da connettivi si dicono logicamente equivalenti se presentano uguali tavola di verità. V V F V V V F F F F F V V V V F F V V V V V V V V V V F F F V F F V F V F F F F V V V V ( ) ( ) ( ) ( ) V V V F F V F V V F F F V F F F F V F V F F F F F F V V V V V V rof. Giovanni Rapisarda 12