Ottavio Serra Cei di geometria aalitica Tageti e derivate Il piao cartesiao come modello del piao euclideo Equazioe di curve piae, calcolo dei gradi di libertà Curve algebrice (piae), defiizioe di retta tagete e calcolo di essa co la regola di Ruffii Problema della tagete per le curve o algebrice: Fuzioi espoeziali e logaritmi, fuzioi circolari e iverse Il cocetto di limite e di derivata Metodo umerico per il calcolo approssimato di ua derivata Su ua retta si segio dei puti e a fiaco dei umeri reali, co l uico vicolo ce a puti più a destra corrispodao umeri maggiori Abbiamo u sistema di ascisse Il puto medio M tra A(a) e B(b) a ascissa m=(a+b)/ Esercizio: Trovare l ascissa del puto P ce divide AB i parti proporzioali e 3, proporzioali a p e q Distaa d(a,b)= a-b Nel piao segiamo due rette e y icideti i O e segiamo su di esse due sistemi di ascisse: ascisse su e ordiate su y Abbiamo ua corrispodeza biuivoca tra i puti P del piao e le coppie di coordiate (,y) di umeri reali (Ce la corrispodeza sia biuivoca lo assumiamo per assioma) Se A(,y ), B(,y ) il loro puto medio M a per ascissa ( + )/, (y +y )/ E la distaza d(a,b)? Aimè! Forse ci vuole il teorema di Carot (del coseo) Forse coviee predere l agolo Oy retto, così il parallelogrammo di diagoale AB divete u rettagolo e la d(a,b) si può calcolare col teorema di Pitagora: d(a,b)= (5 ) (3) 0, i geerale: d( A, B) ( ) ( y y ) A B B A Sistema di coordiate cartesiae ortogoali Nella geometria dei regoli rigidi,poi, il regolo ce si sovrappoe al tratto di asse tra e deve sovrapporsi ace al tratto tra 3 e 4, idem per l asse y: sistema di coordiate moometrice Ora potremmo predere il volo i tre dimesioi (spazio euclideo), i 4, 5, dimesioi Però per ora restiamo el piao Come u puto è ua coppia di umeri, così ua curva è u equazioe (i due variabili, y) Itato cotiamo: quate rette ci soo el piao? No el seso di Cator, ma el seso di quati parametri liberi (gradi di libertà) determiao ua retta Siccome le rette dipedoo da due parametri, diciamo ce le rette del piao soo ifiito a : I cerci soo 3, le coice soo 5 ; ma se i cerci soo coice, come si spiega questa differeza? Retta Tagete Ua retta t si dice tagete a ua curva γ i u suo puto P se a i comue co γ (almeo) puti coicideti (i P)
La tagete t a i comue co la coica esattamete due puti coicideti i P La retta s è tagete a γ i Q, ma è secate i S; la retta t è tagete a γ i P e ivi a tre itersezioi coicideti i P co la curva I P la tagete attraversa la curva: è ua tagete di flesso Per le curve algebrice (i particolare poliomiali) ciò dipede dal grado di γ; i questo disego γ è il grafico di y= 3 + Ma come si trova la tagete a ua curva i u suo puto? Seza limiti e derivate, ci si deve cotetare a curve algebrice, per semplicità a grafici di fuzioi poliomiali Utilizzeremo il metodo della divisioe di Ruffii, ma prima ricordiamo il teorema di Ruffii: Codizioe ecessaria afficé u poliomio a coefficieti iteri abbia uo zero razioale p/q è ce, ridotta p/q ai miimi termii, p divida il termie oto e q il coefficiete Sia P()=a +a- - + +a +a+a0 Se (p/q) =0, (p/q irriducibile), allora: ap + a-p - q + +ap q - +apq - + a0q = 0 Segue ce p, dividedo tutti gli addedi prima di a0q, deve dividere ace a0q e o potedo dividere q, deve dividere a0 Aalogamete q deve dividere a Esempio Se si cercao gli zeri di 3 + +3-6, dobbiamo cercare tra i divisori di 6:, -,, -, 3, -3, 6-6 Si trova ce vao bee e -6 Nel poliomio 4 + + gli zeri razioali vao cercati tra +, -, +/, -/ Esclusi subito i positivi, si vede ce eace i egativi vao bee e duque questo poliomio o a zeri razioali Torado al problema della tagete i P(c,P(c)), essa a equazioe y P(c) = m(-c) e facedo sistema co l equazioe della fuzioe y = P(), la risolvete è P() = 0, essedo P() = a +a- - + +a +a+a0 m +mc P(c), ce si aulla per =c: P() = (-c)q() Dobbiamo imporre ce c sia uo zero (almeo) doppio Siccome P() = (-c)q()+ P(c), avremo a +a- - + +a +a+a0 m P(c) +mc = P() m P(c) +mc, ce differisce da P() el termie oto e el coefficiete di, a m, azicé a Perciò, per imporre ce c sia zero doppio di P(), dovremo imporre ce Q(c) = 0; ma Q() = Q() m, perciò Q(c) = 0 se m =Q(c) Esercizio Determiare la tagete a y= 3 ei puti di ascissa,, 0, c Determiare i quale puto la tagete a y= 3 3 assorbe 3 itersezioi (è di flesso) Riporto ora ua sitesi delle fuzioi espoeziali e circolari e delle loro iverse, percé sicuramete già studiate
) la fuzioe espoeziale i base a: Epa() = a Deve essere a>0 e a, percé? Epa : R R + è biuivoca, l iversa loga : R + R Si suppogoo ote le proprietà ) La fuz Se : R [-,] Per l iversioe occorre restrige il domiio a [ π/, π/] L versa, se - o arcse: [-,] [ π/, π/] 3) Cos: R [-,] Si restrige il domiio a [0; π], cos - = arccos : [-,] [0,π] 4) Tag : R, ( ) R Si restrige il domiio a ] π/, π/[ Tag - = arctag Z applica R i ] π/, π/[ Si oti ce l iversa di ua fuzioe f è crescete o decrescete coma la f A titolo di esempio riporto il grafico di y=arctag() I grafici di ua fuzioe (ivertibile) e della sua iversa risultao simmetrici rispetto alla retta y= Riporto il grafico di y= e di y=, dopo aver ristretto domiio e codomiio ad R + : I geerale, il coefficiete agolare m della retta tagete i u puto (c,f(c)) riciede la coicideza di (almeo) due puti e perciò è m= Lim Lim, dove sta i u i- f ( ) f ( c) f ( c ) f ( c) c c 0 toro di c privato di c, sta i u itoro di 0 privato di 0 (Vedi le figure all iizio di pag ) Esempio Determiare la tagete a y= 3 el puto di ascissa c 3 3 3 3 3 ( c ) c c 3c 3c c m Lim Lim Lim(3c 3 c ) 3c 0 0 0 A questo risultato si poteva arrivare, ace se i modo più laborioso, co la regola di Ruffii Per la tagete al grafico di se Ruffii o si può usare Vediamo di trovare m i (c,sec) 3
Limiti: breve ceo Itoro destro di c è l itervallo aperto I + (c) =] c; c+[, aalogamete, itoro siistro è I - (c) = ]c-,c[ Itoro di c è I(c)=]c-; c+[ {c} = ] c, c[ ] c, c [ (itoro cetrato e bucato) Se c è +, com è u suo itoro? Idem per c = Puto di accumulazioe di u isieme D di R U puto (umero reale) c si dice puto di accumulazioe per D se i ogi itoro di c cade almeo u puto di D diverso da c Limite Sia ora y=f() ua fuzioe reale di domiio D, c u puto di accumulazioe di D lim f ( ) l I ( l) I ( c) \ I( c) f ( ) I( l) c def Esercizio Defiire lim f( ) c, lim f( ) c Esplicitare la defiizioe per c =+,, l=+, l= Alcui limiti importati Coefficiete agolare della retta tagete al grafico di y=se se( c ) sec sec cos coscse sec cos cse sec( cos) m Lim Lim Lim = 0 0 0 se cos cos c Lim sec Lim cos c, se riusciamo a dimostrare ce = e ce 0 0 cos Lim 0 0 se Lim 0 Dalla figura si ota il segmeto PP si approssima co l arco PAP per agolo a 0, perciò se(a) =HP arco AP =a (l arco è uguale all agolo al cetro, se r= e si misurao gli agoli i radiati Questo ci semplifica la vita) Segue ce, per a 0, se(a)/a cos ( cos )( cos ) se Siccome, ( cos ) ( cos ) cos se cos Lim Lim 0 Segue ce Lim 0 (E siamo a posto) 0 cos 0 Aalogamete si trova ce per il coseo m= sec cos Esercizio Calcolare Lim co ua calcolatrice predisposta i radiati (RAD), prededo u 0 sempre più piccolo: dopo u avviciameto a 05 (/), l approssimazioe peggiore; come mai? se Ivece o c è problema per Lim Si trova, come previsto 0 Ce succede se si predispoe la calcolatrice i gradi (DEG)? DERIVATA Siccome il coefficiete agolare della retta tagete (pedeza della curva) a tati altre iterpretazioi (velocità, accelerazioe, campo elettrico, ), si suole deotare la pedeza m i u puto del grafico co u simbolo eutrale, detto derivata della fuzioe i c: f (c) o Df(c) Al variare di c el domiio di f(), il umero f (c) varia e dà ua fuzioe detta fuzioe derivata Si deota co f () Siccome ci possoo essere puti del domiio i cui il grafico o a tagete 4
(puti agolosi), il domiio della fuzioe derivata Df()=f () i geerale è più ristretto del domiio di f() Esercizio Verificare ce Dtag() = +tag () Per le derivate di altre fuzioi occorroo gli opportui teoremi I particolare si trova ce Da = a logea, essedo e la base dei logaritmi aturali Perciò i logaritmi i base e si idicao semplicemete co log Segue pertato De = e (il umero e ci semplifica la vita) Così, pure, Dlog=/ (logaritmi i base e, detti logaritmi aturali) Il umero e Si cosideri la successioe{a}, co a=(+/), per =,, ( )( )( k ) Co la formula del biomio, a ( ) k k = k0 k k! a ( )( )( ) ; aalogamete, k0 k! a ( )( )( )( ) e risulta a < a+ percé i a+ tutti gli addedi k0 k! soo maggiori dei corrispodeti i a e ioltre c è u addedo (positivo!) i più Duque {a} è ua successioe crescete; ( ) ioltre è superiormete limitata percé a 3 k 0 k! Perciò esiste fiito il Lim( ) e 3 Si dimostra poi ce il limite è sempre e, ace se è sostituito da u reale ce teda sia + ce a Ioltre, Lim( ) z e Volete provarlo? z z log a ( ) / y A questo puto, Lim Limlog a( ) Limlog a( ) log a e 0 0 y y log( ) Se a = e, Lim (il umero e ci semplifica la vita) 0 a Aalogamete, provare ce Lim log a 0 log e e, se a = e, avremo a e Lim 0 (Perciò il umero e è bello) Ora si potrebbe dimostrare ce De =e, e ce Dlog=/ Per la derivata delle fuzioi iverse, si osservi ce se y=f(), =f - (y) e ce y Df ( ) Lim Lim 0 0 Lim Df ( y) y y0 y 5
Esempio: D[arctag()] y=arctag() =tag(y) D=/Cos (y)=+tag (y) Dy D[arctag()] ta g ( y) Ifie, per la derivata delle fuzioi composte, D[f(g())]=f (g)g () Esempio D[se(log)] = cos(log)/ f ( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) Ricordo ifie ce D[f()g()]=Df()g()+f()Dg(), D g ( ) g ( ) Per la derivata della somma, essua sorpresa f ( ) f ( ) Formula per la derivazioe umerica: f( ), dove può essere positivo o egativo, ammesso ce o ci siao problemi col domiio Se è itero al domiio, per cui può essere sia positivo sia egativo, ua formula più accurata, a parità di, è la seguete, detta del doppio passo: f( ) f ( ) f ( ) (Coviee scegliere =0-4 oppure 0-5 ) Nella figura seguete è illustrata la situazioe: le secati s (passo avati) ed s (passo idietro) dao ua cattiva approssimazioe della tagete t, metre la loro iterpolazioe s3 è ua secate praticamete parallela a t I ogi caso, ricordate ce l operazioe di derivazioe umerica è molto delicata e scegliere u troppo piccolo può provocare l errore di cacellazioe, dovuto al fatto ce al umeratore c è la differeza di due termii quasi uguali Ecco ua porzioe di codice per la derivazioe umerica: * * Cost =e-4; * * Fuctio F(:reale):reale; begi F:=Ep(-*si()) {per esempio} Ed; 6
** Fuctio Derivata(:reale):reale; Begi derivate:=(f(+)-f(-))/(*) Ed;* *{Scrivi la derivata di F co 4 o 5 cifre decimali }** 7