Notazione scientifica e inversione di formule

Notazione scientifica e inversione di formule M. Spezziga Liceo Margherita di Castelvì Sassari Indice 1 Calcoli in notazione scientifica 2 1.1 Moltiplicazioni per potenze di dieci....................................... 2 1.2 Divisioni per potenze di dieci.......................................... 2 1.3 Passaggio fra numeratore e denominatore................................... 3 1.4 Notazione scientifica e ordine di grandezza................................... 3 1.5 Cifre significative................................................. 4 1.6 Approssimazione................................................. 4 1.7 Cifre significative nel risultato.......................................... 5 1.7.1 Somme.................................................. 5 1.7.2 Prodotti e divisioni............................................ 5 1.8 Operazioni fra numeri con potenze di dieci................................... 6 1.8.1 Prodotto e rapporto........................................... 6 1.8.2 Somma e differenza............................................ 6 1.8.3 Potenza.................................................. 6 1.8.4 Radice quadrata............................................. 6 2 Inversione di formule 7 2.1 Introduzione.................................................... 7 2.2 Regole di inversione............................................... 7 2.3 Esempi....................................................... 8 2.4 Formule con radici e potenze.......................................... 10 1

1 Calcoli in notazione scientifica 1.1 Moltiplicazioni per potenze di dieci Le moltiplicazioni e le divisioni con numeri come 10, 100, 1000, ecc. sono molto facili. Per esempio: 3, 27 1000 = 3270 3, 27 : 1000 = 0, 00327 Si sa che per moltiplicare con un numero formato da uno seguito da zeri basta spostare la virgola a destra di un numero di posti uguale al numero di zeri che segue l uno, mentre per dividere basta spostarla a sinistra, riempiendo con zeri i posti che rimangono vuoti. Tali numeri si possono scrivere come potenze di dieci, per esempio: e in generale: Regola: Il numero uno seguito da n zeri è uguale a 10 n. Nota: 10 = 10 1 ; 1 = 10 0 1000 = 10 3 Allora la moltiplicazione scritta sopra si può scrivere anche: È vera anche questa serie di eguaglianze: che scritta con le potenze di dieci diventa: 3, 27 1000 = 3, 27 10 3 = 3270 3, 27 1000 = 32, 7 100 = 327 10 = 3270 3, 27 10 3 = 32, 7 10 2 = 327 10 = 3270 Ognuno dei numeri della serie è equivalente agli altri. In generale: Regola: potenza spostando la virgola a destra di un certo numero di posti, si abbassa di altrettante unità l esponente della e si ottiene un espressione equivalente. Viceversa: Regola: spostando la virgola a sinistra si aumenta l esponente della potenza Esempio: 3, 27 10 3 = 0, 327 10 4 = 0, 0327 10 5 1.2 Divisioni per potenze di dieci Seguendo la regola che abbiamo visto, deduciamo che spostando la virgola verso destra ripetutamente, si può sempre abbassare l esponente fino ad arrivare ad esponenti negativi: 3, 27 10 3 = 327000 10 2 Qual è il significato di un esponente negativo? Per un qualsiasi numero a 0 vale la Definizione: a n = 1 a n Quindi, per esempio: 10 3 = 1 10 3 = 1 1000 Perciò una divisione per una potenza di dieci si può scrivere, per esempio: 3, 27 : 1000 = 3, 27 1000 = 3, 27 10 3 = 0, 00327 2

Anche in questo caso, spostando la virgola a sinistra, l esponente aumenta, ma essendo negativo, esso diminuisce in valore assoluto. Esempio: 5879 10 3 = 587, 9 10 2 = 58, 79 10 1 = 5, 879 Ma anche: 5879 10 3 = 58790 10 4 = 587900 10 5 Nota: Ogni numero è equivalente allo stesso numero moltiplicato per 10 0 : 43, 52 = 43, 25 10 0, e quindi ogni numero moltiplicato per una potenza di dieci può essere scritto senza la potenza, purché si sposti la virgola in modo da ridurre l esponente a zero. Esempio: Scrivere in notazione decimale (cioè senza la potenza di dieci) il numero 54, 6 10 2. Soluzione: 54, 6 10 2 = 546 10 1 = 5460 10 0 = 5460 Esercizi: 1. Mettere al posto dei puntini l esponente giusto, o semplificare se possibile: 0, 0234 10 5 = 0, 234 10... = 2, 34 10... = 23, 4 10... = 234 10... = 2340 10... = 23400 10... = 234000 10... 0, 0234 10 5 = 0, 234 10 4 = 2, 34 10 3 = 23, 4 10 2 = 234 10 = 2340 = 23400 10 1 = 23400 10 2 2. Scrivere i seguenti numeri in forma decimale (senza potenza di dieci): 4, 25 10 4 ; 750, 2 10 2 ; 0, 041 10 3 ; 43, 2 10 4 42500; 7, 502; 41; 0, 00432] ] 1.3 Passaggio fra numeratore e denominatore Si noti che Quindi, per esempio: E allo stesso modo: 1 a n = 1 1 a n = a n 1 = 102 10 2 10 3 = 1 10 3 ; 10 4 = 1 10 4 Regola: Passando dal numeratore al denominatore di una frazione, e viceversa, l esponente cambia di segno Esempio: 5, 62 10 3 = 5, 62 10 3 = 0, 00562 1.4 Notazione scientifica e ordine di grandezza Definizione: Si dice che un numero è in notazione scientifica quando è composto da un numero decimale con una sola cifra diversa da zero prima della virgola, moltiplicato per una potenza di dieci. Esempio: 3, 45 10 5 è in notazione scientifica, 456000 non lo è, perché non è moltiplicato per una potenza di dieci, 456, 7 10 5 non lo è, perché ha più di una cifra prima della virgola, 0, 0057 10 4 non lo è perché la cifra prima della virgola è lo zero. Si può sempre scrivere un numero in notazione scientifica, spostando la virgola fino a portarla dopo la prima cifra diversa da zero. 456, 78 = 4, 5678 10 2 0, 064 10 4 = 6, 4 10 6 Definizione: Si dice ordine di grandezza la potenza di dieci di un numero, quando è messo in notazione scientifica. 3

Esempio: i numeri dell esempio precedente hanno come ordine di grandezza rispettivamente 10 2 e 10 6 Nota: In certi testi si aggiunge un unità all esponente dell ordine di grandezza se la parte decimale è maggiore di 5. L ultimo numero dell esempio precedente avrebbe 10 5 come ordine di grandezza secondo questa convenzione. 1.5 Cifre significative Definizione: Si dicono cifre significative tutte le cifre della parte decimale a partire dalla cifra diversa da zero più a sinistra. Nel numero 0, 00122 10 3 le cifre significative sono 1, 2 e 2. Nel numero 145,601 le cifre significative sono 1, 4, 5, 6, 0 e 1 (cioè tutte). Nel numero 0,0340 le cifre significative sono 3, 4 e l ultimo 0. Nota: In fisica, gli zeri dopo la virgola sono cifre significative, quindi è diverso scrivere 6,1 e 6,10. Nel primo caso ci sono due cifre significative, nel secondo tre. Nota: Il numero di cifre significative non cambia quando la virgola si sposta. Per esempio, i due numeri dell uguaglianza 0, 005430 10 5 = 543, 0 hanno lo stesso numero di cifre significative (quattro). Nota: Per i numeri interi, non è evidente se gli zeri finali siano cifre significative. Per esempio nel numero 3400 non si sa se i due zeri sono significativi. Se il numero fosse scritto in notazione scientifica l ambiguità sparirebbe. Infatti scrivendo 3, 4 10 2 o 3, 400 10 2 il numero avrebbe lo stesso valore, ma nel primo caso avrebbe due cifre significative, nel secondo quattro. Nota: Qual è il significato delle cifre significative? La risposta è (al di là della definizione data in precedenza) che le cifre significative sono quelle di cui siamo certi. Per esempio, studiando l aritmetica abbiamo imparato che 6, 400 = 6, 4 cioè che gli zeri dopo la virgola si possono omettere. Scrivendo 6,4 intendiamo dunque che dopo il 4 ci sono solo zeri. In fisica, scrivere 6,4 ha un significato diverso: vuol dire che non sappiamo che cifre ci sono dopo il 4. La cifra dopo il quattro potrebbe essere 1,2,3... 6, 4 = 6, 4?? 1.6 Approssimazione Può capitare di dovre scrivere un numero con meno cifre significative di quelle che si hanno a disposizione. Per esempio, anziché 5,7662436 solo 5,766, escludendo le ultime quattro cifre. In questo caso si deve approssimare, decidendo se poi l ultima cifra a destra va scritta com è o aumentata di un unità. Regola: Se la prima cifra esclusa è minore di 5, l ultima cifra scritta rimane come nel numero originario, altrimenti viene aumentata di un unità L approssimazione con tre cifre significative di 35231 è 35200, perché la prima cifra esclusa è il 3, che è minore di 5. L approssimazione con due cifre significative di 0,047683 è 0,048, perché la prima cifra esclusa è 6, che è maggiore di 5 Esercizi: 4

1. Scrivere in notazione scientifica: 322,7; 5252; 0,0590; 0,000215 3, 227 10 2 ; 5, 252 10 3 ; 5, 90 10 2 ; 2, 15 10 4] 2. Dire qual è l ordine di grandezza e il numero di cifre significative di ognuno dei numeri dell esercizio precedente. 10 2, quattro; 10 3, quattro; 10 2, tre; 10 4, tre ] 3. Approssimare i seguenti numeri mantenendo tre cifre significative: 4256700; 0,3512; 0,0042679; 0,3598. 4260000; 0, 351; 0, 00427; 0, 360] 1.7 Cifre significative nel risultato Il risultato di un calcolo ha un numero di cifre significative ben determinato, che dipende dal numero di cifre significative dei dati. Per esempio eseguendo la divisione: 3, 2 = 2, 119205... 1, 51 ci si può chiedere quante cifre bisogna tenere approssimando il risultato. La risposta varia a seconda dell operazione che si esegue. 1.7.1 Somme Esempio: Immagianiamo di voler scrivere il risultato della somma: 3, 4 + 12, 85. Abituati all aritmetica, saremmo portati ad eseguire l addizione: 3, 40 + 12, 85 = 16, 25 Ma dobbiamo ricordarci che in fisica, scrivere 3,4 significa dire che non sappiamo se la cifra dopo il 4 è uno zero o qualunque altra cifra: 3, 4? + 12, 85 = 16, 2? Siamo quindi costretti a scrivere che 3, 4 + 12, 85 = 16, 2. Regola: In una somma (addizione o sottrazione), il numero di cifre significative è determinato dal dato che ha l ultima cifra significativa più a sinistra. 13, 8 5 = 8, 8. 13, 8 5 = 9. Ma, poiché il dato con l ultima cifra significativa più a sinistra è 5, bisogna approssimare: 13, 2 + 0, 0004 = 13, 2004. Ma il primo dato ha la cifra significativa più a sinistra, e cioè la prima cifra dopo la virgola, quindi bisogna approssimare: 13, 2 + 0, 0004 = 13, 2. 1.7.2 Prodotti e divisioni Per prodotti e divisioni è più complicato ricavare una regola che ci dica quante cifre significative dobbiamo mantenere. La enunciamo quindi senza dimostrarla: Regola: Il numero di cifre significative del risultato deve essere uguale a quello del dato con meno cifre significative. Esempio: Nel caso visto sopra: 3, 2 = 2, 119205... 1, 51 il dato con meno cifre significative è 3,2, che ha due cifre significative. significative: 3, 2 1, 51 = 2, 1 Quindi il risultato va scritto con due cifre 5

1.8 Operazioni fra numeri con potenze di dieci 1.8.1 Prodotto e rapporto Nel prodotto fra numeri in notazione scientifica, si usa la regola, valido per qualunque numero a: Regola: a m a n = a m+n cioè gli esponenti della potenza si sommano 10 3 10 5 = 10 3+5 = 10 8 10 3 10 5 = 10 3 5 = 10 2 102 10 4 = 102 10 4 = 10 2 (5, 27 10 3 ) (7, 25 10 5 ) = 5, 27 7, 25 10 3 10 5 = 38, 2 10 2 = 0, 382 3, 24 102 3, 24 = 75 10 4 75 102 10 4 = 0, 043 10 6 = 4, 3 10 4 1.8.2 Somma e differenza Per sommare due numeri con potenze di dieci, bisogna che gli esponenti siano uguali. Se inizialmente non lo sono, bisogna spostare la virgola per modificarli. 0, 0041 10 5 + 2, 44 10 3 = 0, 41 10 3 + 2, 44 10 3 = (0, 41 + 2, 44) 10 3 = 2, 85 10 3 0, 0710 10 2 653 10 6 = 710 10 6 653 10 6 = 57 10 6 = 5, 7 10 5 1.8.3 Potenza L elevamento a potenza di un numero con potenze di dieci segue la regola, derivabile dalle proprietà delle potenze: Regola: (a 10 n ) m = (a) m (10 n ) m = a m 10 n m Esempio: (2, 0 10 4 ) 3 = (2, 0) 3 10 4 3 = 8, 0 10 12 Attenti all errore! L elevamento a una potenza pari non cambia il segno dell esponente negativo, per esempio: ( 3, 0 10 4 ) 2 = ( 3, 0) 2 10 4 2 = 9, 0 10 8 È sbagliato scrivere che (10 4 ) 2 = 10 8 1.8.4 Radice quadrata La radice quadrata di un numero con potenze di dieci segue la regola, derivabile dalle proprietà dei radicali: Regola: a 10 n = a 10 n 2 Se n è pari, n 2 è intero, altrimenti si può sempre spostare la virgola di un posto ottenendo una potenza pari. 4, 0 10 6 = 4, 0 10 6 2 = 2, 0 10 3 2, 5 10 5 = 25 10 4 = 5, 0 10 2 3, 6 10 17 = 36 10 18 = 6, 0 10 9 Esercizi: Eseguire le operazioni, scrivendo il risultato con il corretto numero di cifre significative: 6

1. 5, 71 ; 0, 145+1, 23; 0, 015 0, 007 1, 8; 1, 37; 0, 08] 3, 2 2. 7, 24 10 6 52, 9 10 4 3, 83] 3. 5, 12 10 3 + 0, 071 10 5 ] 12, 2 10 3 4. 6, 12 10 4 5, 21 10 3 11, 7] 5. 18, 2 10 2 4 10 2 5 10 4 ] 6. (3, 14 10 3 ) 2 + (52, 1 10 2 ) 2 6, 08 10 3 ] 7. La massa di un protone è m p = 1, 672622 10 27 kg e quella di un elettrone m e = 9, 11 10 31 kg. Quanto dovrebbe essere la massa dell atomo di idrogeno? 1, 673533 10 27 kg ] 2 Inversione di formule 2.1 Introduzione Immaginiamo di dover risolvere il seguente problema. Abbiamo tre grandezze a, b, e c, legate dalla relazione Sapendo che b = 3, 2 10 4 e c = 5, 7 10 8, quanto vale a? a = bc La risposta è semplice: sfruttando la relazione scritta sopra si ottiene: a = bc = 3, 2 10 4 5, 2 10 8 = 3, 2 5, 7 10 4 8 = 18 10 4 Per eseguire questo calcolo si è usata la relazione in modo diretto: la grandezza da calcolare è a sinistra del segno di uguaglianza, mentre i dati sono a destra. Molto spesso, però, ci si trova a dover calcolare il valore di una grandezza che sta a destra dell uguale. Per esempio, si supponga che, avendo la stessa formula a disposizione, si sappia che a = 4, 0 10 3 e b = 0, 78 10 5, e si desideri conoscere il valore di c. Il problema è equivalente alla soluzione di un equazione in cui l incognita è c. Come per risolvere un equazione di primo grado, anche qui si possono dividere entrambi i membri dell eguaglianza per uno stesso numero, per esempio b: a = bc a b = bc b a b = c c = a 4, 0 10 3 = b 0, 78 10 5 = 4, 0 0, 78 10 3 5 = 5, 1 10 8 Per risolvere il problema si è dovuto prima invertire la formula originaria a = bc per usarla in forma inversa: c = a b. Il procedimento di invertire una formula data per ottenere il valore di una grandezza che si trova inizialmente a destra del segno di uguaglianza è estremamente comune nei calcoli fisici. 2.2 Regole di inversione Tutte le formule contenenti somme, prodotti e rapporti possono essere invertite facilmente facendo ricorso a tre semplici regole, usate spesso nella soluzione delle equazioni di primo grado: 1. Proprietà simmetrica dell uguaglianza: a = b b = a Si possono sempre scambiare i due membri di un uguaglianza fra di loro. 2. Regola del trasporto (dal primo principio di equivalenza delle equazioni): oppure: a + b = c a = c b a = b + c a c = b Si può sempre trasportare un termine da un membro all altro, cambiandolo di segno. 7

3. Secondo principio di equivalenza: a = b c a = b c Si possono sempre moltiplicare entrambi i membri di un uguaglianza per uno stesso numero (diverso da 0), e: a = b a c = b c si possono sempre dividere entrambi i membri di un uguaglianza per uno stesso numero (diverso da 0). Chiaramente il numero c che trasportiamo o per cui moltiplichiamo o dividiamo, va scelto con intelligenza. Attenti all errore! La regola del trasporto di applica a un termine completo (monomio). È un errore comune quello di trasportare un fattore: ab = c a = c b In questo caso va utilizzata la terza regola, come abbiamo visto nel paragrafo precedente: Vediamo ora altri esempi. ab = c ab b = c b a = c b 2.3 Esempi Esempio: Data la relazione a = bc + d, sapendo che a = 3, 65 10 3, b = 4, 3 10 2 e c = 0, 67 10 4, ricavare d. Soluzione: Visto che l incognita d è al secondo membro, scambiamo i membri (regola 1): bc + d = a Ora isoliamo l incognita al primo membro portando bc al secondo (regola 2): Quindi: d = a bc d = a bc = 3, 65 10 3 4, 3 10 2 0, 67 10 4 = 3, 65 10 3 2, 9 10 2 = 3, 65 10 3 0, 29 10 3 = 3, 89 10 3 Esempio: Data la relazione a = bc d, sapendo che a = 3, 65 10 2, c = 42 10 5 e d = 22, ricavare b. Soluzione: La relazione è simile (a parte il segno ) all esempio precedente, ma ora l incognita è c. Come prima, scambiamo i membri (regola 1): bc d = a portiamo d al secondo membro (regola 2): bc = a + d Ora dividiamo per b (regola 3), in modo da isolare l incognita al primo membro: quindi: c = a + d b bc b = a + d b = 3, 65 102 + 22 365 + 22 42 10 5 = 10 5 = 9, 2 10 5 42 Esempio: Data la relazione a = bc df, ricavare d Soluzione: Si tratta di invertire la formula in modo da isolare d al primo membro. Come primo passaggio, possiamo sommare a entrambi i membri il termine df (regola 2), portandolo così al primo membro: df + a = bc 8

Poi portiamo a al secondo: e dividiamo per f (regola 3): df = bc a d f f = bc a f Esempio: Data la relazione a = b, ricavare prima c, poi b. c Soluzione:Per ricavare c, moltiplichiamo i membri per c: Poi dividiamo per a: c a = c b c ca = b c a a = b a c = b a Troviamo invece b. Moltiplichiamo l equazione originaria per c: e scambiamo i membri: b = ca. c a = c b c ca = b Esempio: Data la relazione a = bc, ricavare prima h, poi c. dh Soluzione: Per ricavare h, moltiplichiamo entrambi i membri per h: h a = bc d h h ha = bc d poi dividiamo per a: Per ricavare c, moltiplichiamo per da: poi scambiamo i membri: e dividiamo per b: h a a = bc da h = bc da da h = bc da dah = bc da bc = dah bc b = dah c = dah b b Esempio: Data la relazione a = bc, ricavare h. d + h Soluzione: Moltiplichiamo entrambi i membri per d + h: poi dividiamo per a: e sottraiamo d, portandolo al secondo membro: (d + h) a = bc (d + h) (d + h) a = bc d + h (d + h) a a = bc a d + h = bc a h = bc a d 9

2.4 Formule con radici e potenze Se nella formula da invertire figurano radici o potenze, si deve far ricorso a tre ulteriori regole di inversione: 1. Elevamento a potenza: a = b a n = b n Si possono sempre elevare alla stessa potenza i due membri di un uguaglianza. 2. Radice con indice n dispari: a = b n a = n b Si può sempre estrarre la radice dispari di entrambi i membri di un uguaglianza. 3. Radice con indice n pari (se a e b sono positivi): a = b n a = ± n b Si può sempre estrarre la radice pari di entrambi i membri positivi di un uguaglianza. Nota: Il segno ± si può trascurare se si è certi che i membri sono positivi anche dopo l estrazione della radice. Esempio: Data la relazione a = b + c 2, ricavare c. Soluzione: eleviamo al quadrato entrambi i membri: poi scambiamo i membri: portiamo b al secondo membro: a 2 = b + c 2 b + c 2 = a 2 c 2 = a 2 b e, supponendo che a 2 b sia un numero positivo, estraiamo la radice quadrata di entrambi i membri: c = ± a 2 b e se si sa che c è un numero positivo (per esempio rappresenta una grandezza fisica positiva), si può omettere il segno ±: c = a 2 b Esercizi: 1. Data la relazione a = bc d d = bc a ; b = ad ] c ricavare prima d poi b. 2. Data la relazione a = c + d ricavare d, c e b. b d = a c ; c = ba bd; b = c ] b a d ; 3. Data la relazione a = bc, ricavare c, d e h. d h a(d h) c = ; d = bc b a + h; h = d bc ] a 4. Data la relazione a = bc, sapendo che a = 0, 42 10 3 e b = 3, 6 10 8, calcolare c. ] 1, 2 10 12 5. Data la relazione a = bc d, sapendo che a = 0, 42 10 3 ; b = 3, 6 10 4 e c = 0, 0043, calcolare d. 2, 7 10 2 ] 6. Data la relazione a = bc + d, sapendo che a = 0, 047 10 3 ; b = 327 10 8 e d = 4, 9 10 5, calcolare c. ] 6 10 17 7. Data la relazione a = c + h, sapendo che a = bd 0, 65 10 2 ; b = 0, 44 10 3 ; d = 22 10 6 e h = 41 10 4 e calcolare c. Qual è il suo ordine di grandezza? 2, 3 10 7 ; 10 7] 8. Data la relazione a = c + h, sapendo che a = bd 3, 6 10 4 ; b = 0, 033 10 10 ; c = 4, 5 10 7 e h = 0, 25 10 3, calcolare d. Qual è il suo ordine di grandezza? 1, 2 10 22 ; 10 22] 9. Data la relazione a = c + h, sapendo che a = b + d 3, 6 10 7 ; b = 17; c = 6, 7 10 5 e h = 0, 041 10 3, 10

calcolare d. Qual è il suo ordine di grandezza? 65; 10] 10. Data la relazione a = c + h, sapendo che a = b + d 0, 036 10 6 ; b = 324 10 3 ; c = 650 10 2 e d = 0, 250, calcolare h. Qual è il suo ordine di grandezza? 6, 77 10 4 ; 10 4] 11. Data la relazione a = bc ricavare c. ] c = a2 b 12. Data la relazione a = b + c 2 d, sapendo che a = 320, b = 4, 7 10 4 e d = 0, 25 10 3, calcolare c. 530] 11