DIDATTICA DELLA MATEMATICA

DIDATTICA DELLA MATEMATICA Prof.ssa Lacquaniti Domenica

INDICE CAPITOLO I - I SISTEMI DI NUMERAZIONE 1.1 Il sistema posizionale o pesato 4 1.2 Il sistema decimale 6 1.3 Il sistema binario 8 1.5 Il sistema esadecimale 15 1.6 L aritmetica in base 2, 8, 16 19 CAPITOLO II - L INSIEMISTICA 2.1 Gli insiemi 24 2.2 Rappresentare gli insiemi 29 Esempi di rappresentazione e appartenenza 33 2.3 Operare con gli insiemi 37 2.4 Esercitazioni 53 CAPITOLO III LE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO 3.1 Le equazioni 60 3.2 Equazioni di primo grado numeriche intere 65 3.3 Equazioni determinate, indeterminate e impossibili 72 3.4 Problemi risolubili tramite equazioni di primo grado 77 3.5 I vincoli 80 2

CAPITOLO IV- IL CALCOLO DELLE PROBABILITA 4.1 L evoluzione storica della statistica 84 4.2 La statistica 90 Esempio 93 4.3 Statistica descrittiva 93 4.4 Gli indici che sintetizzano la distribuzione statistica 95 CAPITOLO V- IL CALCOLO DELLA PROBABILITA 5.1 Premessa 99 5.2 Calcolo combinatorio 101 5.2 Algebra degli eventi 113 5.3 Definizione di probabilità 121 5.4 Probabilità assiomatica 126 BIBLIOGRAFIA 135 3

CAPITOLO I - I SISTEMI DI NUMERAZIONE 1.1 Il sistema posizionale o pesato L uomo fin dalle origini ha avvertito la necessità di contare. Per far ciò, utilizzava gli strumenti che aveva a disposizione, come le mani, pietre o bastoncini. Con il passar del tempo, spinto dal bisogno di ampliare le sue possibilità di conteggio, cominciò a pensare all uso di simboli ai quali assegnare un valore particolare. Pensiamo agli antichi egizi o ai romani. I romani, ad esempio, utilizzavano sette simboli a ognuno dei quali attribuivano un particolare valore: I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 Tutti gli altri numeri venivano ottenuti con combinazioni di simboli che simulavano la somma algebrica, si riportano alcuni esempi: Il numero 7 si otteneva come: 5+1+1 ossia V+I+I=VII Il numero 1762 veniva rappresentato nel seguente modo: 1000+500+100+100+50+10+1+1

ossia M+D+C+C+L+X+I+I=MDCCLXII Il numero 1952, infine, si otteneva come: 1000+ (1000-100)+50+1+1 ossia M+(M-C)+L+I+I=MCMLII Questi metodi di numerazione vengono detti sistemi addizionali e appare evidente che non sono molto utili specialmente per eseguire calcoli. Intorno al 500 d. C. Avvenne la svolta decisiva in questo campo grazie al matematico indiano Aryabhata, che, riprendendo l idea dell astronomo babilonese Naburian (400 d.c.), introdusse il concetto di numero zero. Nessuno infatti, sino ad allora si era preoccupato di contare zero cose, ossia nulla. Dopo un attenta analisi su che cosa rappresentasse questo numero e una volta compresa la sua grande utilità, gli Arabi lo introdussero nell occidente permettendo, così, il passaggio dai sistemi addizionali ai nostri sistemi posizionali o pesati. Definizione. Un sistema di numerazione si dice posizionale in quanto una stessa cifra (0,1,2,3,..) assume valori diversi (cioè ha un peso diverso) a seconda della posizione che occupa all interno di un numero. Un sistema di numerazione posizionale è definito da: 5

Una base indicata genericamente con la lettera b (ad esempio base 2, base 10, base 16 ecc.); Un insieme di cifre distinte (l insieme è costituito da b cifre distinte. Nel sistema a base 5, ad esempio avremo 5 cifre distinte, in quello a base 8 ne avremo 8 ecc.); Un insieme di regole necessarie per poter interpretare il numero, per contare ed eseguire le operazioni. 1.2 Il sistema decimale Il sistema di numerazione decimale o sistema in base 10 è un sistema posizionale; infatti utilizza le seguenti dieci cifre dette cifre decimali: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Che, opportunamente combinate, permettono di rappresentare qualsiasi numero. I numeri superiori a 9 vengono formati con più di una cifra. A questo punto si cerca di ragionare su alcuni aspetti di particolare interesse osservando i seguenti esempi: Esempio 1: Analizziamo il numero 238. 6

Sappiamo bene che la cifra 8 rappresenta le unità, la cifra 3 rappresenta le decine e la cifra 2 le centinaia. Ma attenzione: dire 3 decine o 30 unità non è forse la stessa cosa? E dire 2 centinaia o 200 unità non è anche la stessa cosa? Da questo esempio emerge una regola base: man mano che ci spostiamo verso sinistra, il valore di una cifra viene ricondotta ad unità moltiplicandola per il suo peso, ossia moltiplicandola per 10 elevato alla posizione occupata. Nel nostro numero 238, quindi, il numero 3 ha il suo valore intrinseco che è, appunto, 3, ma ha un valore posizionale di 3x101. lo stesso dicasi per il 2, che ha il suo valore intrinseco 2 ma un valore posizionale di 2x102. a questo punto possiamo dire che il nostro numero 238 può essere espresso nel seguente modo: 2x102 + 3x101 + 8x100 = 2x100 + 3x10 + 8x1 = 200 + 30 + 8 = 238 Esempio 2: E ora analizziamo il numero 1258,64. In questo caso ci troviamo di fronte a un numero composto da una parte intera e da una decimale. Per esprimere questo numero dobbiamo servirci anche della seguente tabella, che riporta i pesi delle cifre poste alla destra del punto decimale. 7

1.3 Il sistema binario Il sistema di numerazione binario, o sistema di numerazione in base 2, è anch esso un sistema posizionale ma, a differenza di quello decimale, utilizza solo due cifre: 0 e 1. Tale sistema assume un ruolo fondamentale, essendo il più idoneo a rappresentare gli stati assunti dai circuiti elettronici che compongono un computer, poiché riproduce esattamente attraverso queste uniche due cifre situazioni in grado di poter essere interpretate dal computer. Ad esempio un transistor può condurre o non condurre corrente e tale situazione fisica può essere associata convenzionalmente rispettivamente all uno e allo zero. In informatica, le cifre binarie vengono indicate con il termine bit, che deriva, dalla contrazione dei termini binary digit. Un numero binario, quindi, è un numero composto da una sequenza di 0 e di 1. Esempi di numeri binari: 100 2, 0101 2, 00110101 2. 8

Ogni numero binario può essere espresso secondo la seguente notazione posizionale: numero = c n x 2 n + c n-1 x 2 n-1 + +c o x 2 o con c i = 0 oppure c i =1 in cui i pesi associati a queste due cifre sono, naturalmente, potenze del 2. Con questa scrittura ci potrebbero essere delle incomprensioni da parte dei ragazzi e quindi si cerca di chiarirla con degli esempi pratici: si prende un numero qualsiasi in binario e lo si esprime con la notazione espansa; quindi moltiplichiamo ciascuna cifra binaria per il suo corrispondente peso e sommiamo alla fine i prodotti ottenuti. CONVERSIONE BINARIO-DECIMALE 9

Infatti per conoscere il valore decimale di un numero binario basta esprimerlo in notazione espansa sopra indicata anche conosciuta come metodo delle moltiplicazioni successive. Si riportano alcuni esempi di conversione: 100 2 = 1 x 2 2 + 0 x 2 1 + 0 x 2 0 = 4+0+0= 4 10 0101 2 = 0 x 2 3 + 1 x 2 2 + 0 x 2 1 + 1 x 2 0 = 0+4+0+1= 5 10 00110101 2 = 1 x 2 5 + 1 x 2 4 + 0 x 2 3 +1 x 2 2 + 0 x 2 1 + 1 x 2 0 = 32 + +16 + 0 + 4 + 1 =53 10 Determiniamo il valore decimale del numero binario 100101,101 ricordando che ci troviamo di fronte a un numero composto da una parte intera e da una decimale e che, per esprimere questo numero è necessario considerare i pesi delle cifre poste alla destra del punto decimale utilizzando le potenze negative: 1 x 2 5 + 0 x 2 4 + 0 x 2 3 + 1 x 2 2 + 0 x 2 1 + 1 x 2 0 + 1 x 2-1 + 0 x 2-2 + 1 x 2-3 Parte intera Parte decimale Da cui si ottiene il numero decimale corrispondente: 1 x 2 5 + 0 x 2 4 + 0 x 2 3 + 1 x 2 2 + 0 x 2 1 + 1 x 2 0 + 1 x 2-1 + 0 x 2-2 + 1 x 2-3 = 1x 32 + 0 + 0 + 1 x 4 + 0 + 1 + 1 x 1 2 + 0 + 1 x 1 8 = 32 + 4 + 1 + 1 2 + 1 8 = 37,625 10

Osservazione. Il numero binario successivo a 1 (cioè il numero decimale 2) si scrive 10, quello ancora successivo ( cioè il numero decimale 3) si scrive 11 e così via. CONVERSIONE DECIMALE-BINARIO Per convertire un numero decimale intero in un numero binario è possibile utilizzare il metodo delle divisioni successive, che è fondato sulla seguente regola: il generico numero n da convertire viene diviso per due e il resto (che naturalmente può essere soltanto 1 o 0), rappresenta la prima cifra meno significativa (la prima a destra) del numero binario corrispondente. Successivamente si divide il quoziente ottenuto per due e si ottiene un resto che rappresenta la seconda cifra meno significativa (la seconda da destra). Si ripete il procedimento sino a quando il quoziente sarà uguale a zero. Trasformiamo il numero decimale 108 nel suo equivalente binario: Dividendo Divisore Quoziente Resto 108 2 54 0 54 2 27 0 27 2 13 1 13 2 6 1 6 2 3 0 3 2 1 1 1 2 0 1 11

L equivalente numero binario di 108 10 è 1101100 2. La significatività di una cifra dipende dal suo peso: quindi all interno di un numero, la cifra meno significativa ha il valore posizionale più basso. La cifra più significativa è caratterizzata dal valore posizionale più elevato. Ad esempio nel numero binario 1001100111 avremo: 1.4 Il sistema ottale Il sistema di numerazione ottale, o sistema di numerazione in base 8, è anch esso un sistema posizionale e utilizza le seguenti otto cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Rappresentiamo i numeri ottali come segue: 15 8 173 8 1231 8 ecc. La conversione ottale-decimale si effettua nel seguente modo: 12

15 8 = 1 x 8 1 + 5 x 8 0 = 13 10 173 8 = 1 x 8 2 + 7 x 8 1 + 3 x 8 0 = 123 10 1231 8 =1 x 8 3 +2 x 8 2 + 3 x 8 1 + 1 x 8 0 = 665 10 Per convertire un numero ottale nel suo equivalente binario è sufficiente sostituire ad ogni cifra ottale il gruppo di tre bit corrispondente alla sua rappresentazione binaria. Cifra Ottale Corrispondente Binario 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111 Convertiamo il numero ottale 2614 8 in binario: Pertanto il corrispondente numero binario è 10110001100 2. 13

Per convertire un numero binario nel suo equivalente ottale è sufficiente raggruppare a tre a tre tutte le cifre del numero binario, partendo da quella meno significativa, e sostituire, a ogni gruppo, la cifra ottale equivalente. Proviamo ora a convertire il numero binario 1101000111 2. Cominciamo col raggruppare a tre a tre tutte le cifre partendo da quella meno significativa (cioè la prima a destra). Avremo: 1 101 000 111 Come possiamo notare l ultimo gruppo è composto da una sola cifra: aggiungiamo due zeri in modo da formare un altro gruppo di tre: 001 101 000 111 E ora convertiamo: 14

1.5 Il sistema esadecimale In questo sistema di numerazione posizionale la base è 16 e pertanto, occorrono sedici cifre per poter rappresentare i numeri. Precisamente: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Osserviamo che le cifre 0, 9 hanno lo stesso valore di quelle decimali, mentre poniamo: A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 F = 15 Dopo la lettera F i numeri esadecimali come al solito cominciano a essere composti da due cifre: quindi 10 rappresenterà il 16 decimale, 11 il 17 decimale e così via. I numeri esadecimali hanno allora la forma: 9 h, 3D h, 12A h, ecc. CONVERSIONE DECIMALE-ESADECIMALE Per convertire un numero decimale nel suo equivalente esadecimale possiamo utilizzare il rapido metodo delle divisioni successive. 15

Convertiamo il numero decimale 34 728 nel suo equivalente esadecimale. Dividendo Divisore Quoziente Resto 34 728 16 2170 8 2170 16 135 10=A 135 16 8 7 8 16 0 8 Quindi 34 728 10 = 87A8 h. Per convertire un numero esadecimale nel suo corrispondente decimale adottiamo l espressione in notazione espansa. Convertiamo il numero esadecimale B95D h in decimale. Avremo: B x 16 3 + 9 x 16 2 + 5 x 16 1 + D x 16 0 = 11 x 4096+ 9 x 256+ 5 x 16+13 x 1= 45056+2304+80+13= 47 453 10 CONVERSIONE BINARIO-ESADECIMALE Le conversioni binario-esadecimale ed esadecimale-binario sono pressochè immediate se pensiamo che il numero 16, ossia la base del sistema esadecimale e che il numero di cifre di cui si serve è uguale a 2 4, è chiaro che le cifre esadecimali si possono esprimere in binario con quattro bit. 16

Per convertire un numero esadecimale nel suo equivalente binario, è sufficiente sostituire a ogni cifra esadecimale il gruppo di quattro bit corrispondente alla sua rappresentazione binaria: Cifra Corrispondente Cifra Corrispondente esadecimale binario esadecimale binario 0 0000 8 1000 1 0001 9 1001 2 0010 A 1010 3 0011 B 1011 4 0100 C 1100 5 0101 D 1101 6 0110 E 1110 7 0111 F 1111 Convertiamo il numero esadecimale FA72 h in binario. Avremo quindi: Immediatamente otteniamo che il corrispondente numero binario di FA72 h è 1111101001110010 2. 17

CONVERSIONE BINARIO-ESADECIMALE Per convertire un numero binario nel suo equivalente esadecimale, è sufficiente raggruppare a quattro a quattro tutte le cifre del numero binario, partendo da quella meno significativa e sostituire, a ogni gruppo, la cifra esadecimale equivalente. Proviamo, ora, a convertire il numero binario 1001101000111 2. cominciamo col raggruppare a quattro a quattro tutte le cifre partendo da quella meno significativa (cioè la prima da destra). Avremo: 1 0011 0100 0111 L ultimo gruppo è composto da una sola cifra, per cui dobbiamo aggiungere tre zeri in modo da formare un altro gruppo di quattro: 0001 0011 0100 0111 E ora convertiamo: Quindi 1001101000111 2 = 1347 h. 18

1.6 L aritmetica in base 2, 8, 16 A questo punto avendo imparato ad utilizzare le tecniche dei vari sistemi di numerazione e pertanto si può insegnare loro le comuni regole dell aritmetica e delle semplici operazioni! Le operazioni fondamentali tra numeri in base 2, 8 e 16 si effettuano utilizzando le stesse tecniche che usualmente si applicano alle operazioni tra numeri decimali. SOMMA Effettuiamo la somma 101101 2 + 01011 2 : In questa operazione di somma si nota come diventa semplice il calcolo, ancora più semplice che nel sistema decimale! Si mette in colonna e si sommano i rispettivi addendi il risultato tra bit è di valore unitario oppure zero, inoltre si possono generare i riporti e in tal caso vanno sommati anch essi. 19

PRODOTTO Le regole della moltiplicazione sono le stesse di quelle del sistema decimale. Calcoliamo il prodotto 1101 2 x 110 2 : Verifica in decimale 13x 6 = 78. SOTTRAZIONE REGOLA: Si mette in colonna e anche qui la situazione è analoga al sistema decimale: sé una cifra è minore di quella che si deve sottrarre, occorre chiedere il prestito (borrow) di una base alla cifra immediatamente successiva; la cifra che ottiene il prestito si incrementa di una base, mentre la cifra che ha fornito il prestito si decrementa di 1. Eseguiamo la sottrazione 10101 2 01110 2 (in decimale 21 14 = 7): 1 passaggio: Dopo aver messo in colonna calcoliamo il primo bit: 1-0=1. 20

2 passaggio: Passiamo al secondo bit dove il minuendo è 0 mentre il sottraendo è 1: Nel sistema binario in modo analogo al sistema decimale, abbiamo detto che per eseguire la sottrazione 0-1, la cifra 0 deve fare un prestito dal bit della cifra immediatamente successiva facendo incrementare di una base la cifra che chiede il prestito. In questo caso con il prestito di 1 allo 0 (lo 0 diventa 10) e cedendo un unità di prestito avremo 10-1=1, (la base è 2, e il numero 10 equivale a 2, per cui si ottiene 2-1=1) di conseguenza possiamo dire che nel binario gli 0 diventano 1, (mentre nel sistema decimale gli 0 diventavano 9, infatti sè la cifra a cui si chiede il prestito è 0, prima deve ricevere un incremento di una unità, diventando 10 e poi successivamente prestare un unità quindi 9, ovvero10-1=9). Quindi dalla sottrazione 0-1, per ricordarci del prestito fatto abbiamo indicato 1 sopra la seconda posizione e modificato il bit che ha fatto il prestito e si ha: 21

3 passaggio: Al passaggio successivo di sottrazione avremo: 0-1 quindi occorre fare un altro prestito dal bit della quarta posizione, che non potendo fare lo richiede al bit della quinta posizione, che da 1 diventa 0. Il prestito lo indichiamo sul quarto bit, a questo punto il bit della terza posizione può chiedere il prestito, e come risultato avremo 10-1=1. Anche nel sistema binario, ovviamente sé la cifra che deve fornire il prestito è 0, la richiesta del prestito si proroga verso sinistra fino a trovare una cifra diversa da 0. DIVISIONE La divisione in binario avviene considerando gli n bit più significativi del dividendo il cui valore è maggiore o uguale a quelli che contengono il divisore; la prima cifra del quoziente è 1. Da questo momento in poi si procede come nella divisione in base 10. Effettuiamo la divisione 110110 2 101 2 : 22

Verifica 54: 5 = 10 con resto 4. 23

CAPITOLO II - L INSIEMISTICA 2.1 Gli insiemi Il fatto che storicamente la Teoria degli Insiemi, elaborata dal matematico tedesco Georg Cantor (1845-1918) inizialmente nata per risolvere problemi matematici e che poi trovò subito un notevole impulso nella matematica moderna è ormai accertato, in quanto essa viene considerata e utilizzata come teoria fondamentale per la Matematica stessa, difatti si evince come il linguaggio della Teoria degli insiemi è assai diffuso nella presentazione odierna della Matematica. Ad esempio nei testi di Geometria (che per sua natura potrebbe farne a meno!) si trovano spesso affermazioni quali: una retta è un insieme di punti, un punto appartiene ad una retta, affermazioni talvolta presentate mediante il simbolismo specifico degli insiemi. La Teoria degli insiemi dunque è strettamente connessa con molti settori della matematica: 24

Ormai la Teoria degli insiemi, ovvero l'insiemistica, è divenuta bagaglio comune nella scuola italiana, a partire dalla fascia dell'obbligo, come prevedono i programmi per la Scuola Primaria, pertanto gli insiemi sono presenti nei programmi didattici odierni già a partire dal 1960, e la ragione di ciò è da ricercarsi nel fatto che l'insegnamento esplicito della Insiemistica promuove la comprensione anche di svariati concetti. Definizione. Con il termine Insieme si intende in matematica una raccolta ovvero un qualunque aggregato (o collezione) di oggetti anche chiamati elementi, per il quale sia sempre possibile decidere se un generico oggetto appartiene oppure no all'aggregato stesso. Gli insiemi possono essere composti da numeri, da lettere o da punti. Generalmente indicheremo gli insiemi con le lettere maiuscole dell'alfabeto. A, B, C mentre gli elementi che li compongono con lettere minuscole. a, b, c Esempi I seguenti raggruppamenti di elementi si possono considerare insiemi dal punto di vista matematico: le vocali della parola "aiuola"; gli studenti di questa aula; gli studenti della classe 1A della tua scuola il cui nome inizia per M; i punti di una retta; le carte in un mazzo di carte da gioco; 25

l insieme dei numeri reali maggiori di 0 e minori di 1; i ragazzi della tua classe con più di 15 anni; i numeri che sono multipli di 3; le squadre di serie A che hanno vinto lo scudetto. Definiscono insiemi, perché ogni insieme è stato determinato attraverso la definizione di una proprietà comune a tutti gli elementi dell insieme. Inoltre si può provare infatti in questi casi che preso un qualunque elemento dell insieme si può dire con certezza se esso fa parte o no del raggruppamento considerato. Controesempi Non sono insiemi dal punto di vista matematico: gli studenti della tua classe simpatici, i ragazzi della tua classe che giocano bene a calcio. Non definiscono insiemi infatti in questi due casi non esiste un criterio assoluto, cioè valido per tutti, per stabilire se un elemento fa parte oppure no del raggruppamento. Il concetto di appartenenza 1 tra elemento ed insieme L appartenenza o la non appartenenza di un elemento ad un determinato insieme viene espressa dai seguenti simboli: 1 Dobbiamo al matematico italiano Giuseppe Peano (1858-1932) l'introduzione del simbolo di appartiene a ( e ), il quale nel suo "Formulario Mathematico" propose quasi tutti i simboli dell'algebra degli insiemi che ancora oggi usiamo. 26

simbolo di appartenenza simbolo di non appartenenza Attenzione all'uso dei simboli : infatti essi possono mettere in relazione solo un elemento con un insieme in quanto esprimono sempre un legame tra un elemento ed un insieme, mai tra due insiemi o tra due elementi. "mamma". Considera l'insieme A delle lettere dell'alfabeto che costituiscono la parola Le lettere a, m appartengono a tale insieme e si scrive in simboli: in simboli si scrive si legge a A, m A a appartiene ad A, m appartiene ad A Non vi appartengono invece le lettere b, c... ad esempio. in simboli si scrive b A, c A... si legge b non appartiene ad A c non appartiene ad A Il nome dell'elemento è scritto a sinistra, quello dell'insieme a destra. In altre parole in una relazione nella quale compaiano i simboli suddetti dovrà essere sempre presente un elemento a sinistra del simbolo ed un insieme alla sua destra. Solo in questo caso la relazione ha un significato. Insiemi particolari Insieme universale: l insieme che contiene la totalità degli elementi di interesse è detto insieme universale ed è indicato con U. 27

Insieme vuoto: un insieme privo di elementi è detto insieme vuoto ed è indicato col simbolo oppure con {}. Sottoinsieme: Dati due insiemi A, B, se tutti gli elementi di B appartengono anche ad A, si dice che B è un sottoinsieme di A o anche che B è incluso in A e si scrive: B A oppure B A La differenza tra i due simboli: nel primo caso esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A quindi A B. Nel primo caso si parla anche di sottoinsieme proprio e si dice che B è incluso propriamente in A. inoltre due insiemi sono detti uguali se hanno esattamente gli stessi elementi, e si scrive A=B. In particolare: o o o Ogni insieme è sottoinsieme di se stesso. L'insieme vuoto è sottoinsieme di qualunque insieme. Se un insieme C non è sottoinsieme di A si scrive C A Il simbolo si legge non è contenuto. In particolare poni sempre attenzione all'uso dei simboli: appartiene, non appartiene è contenuto, non è contenuto 28

i primi due mettono in relazione sempre un elemento con un insieme, gli altri mettono in relazione sempre due insiemi. Ad esempio le scritture: A B, a b, a B, a b sono prive di significato. Cardinalità di un insieme In generale è possibile anche definire in un insieme, se l insieme è finito, la cardinalità dell insieme (e si indica insieme ), ovvero il numero dei suoi elementi e si indica con un numero intero. Nel caso dell esempio considerato dall'insieme A formato dalle lettere dell'alfabeto che costituiscono la parola "mamma". A = {m, a, m, m, a} A =4, perché l insieme A ha 4 elementi. La cardinalità dell insieme è zero; si scrive =0. 2.2 Rappresentare gli insiemi Un insieme può essere rappresentato nelle seguenti diverse tre modalità: 1. per tabulazione o elencazione; 2. con i diagrammi di Eulero-Venn; 29

3. per caratteristica. 1. Rappresentazione tabulare (o per elencazione) Nella rappresentazione tabulare (o per elencazione), si elencano, all'interno di una coppia di parentesi graffe, tutti gli elementi, separati l'un l'altro mediante virgola. Esempio Considera l'insieme A che ha come elementi 2, 5, 7, 10. La scrittura A={2,5,7,10} è un modo per rappresentare l'insieme e si legge A è l'insieme formato dagli elementi 2, 5, 7, 10 riportando la lista degli elementi componenti. Nota bene: - l'ordine con il quale si elencano gli elementi non è importante, - ciascun elemento va indicato una sola volta. Si sceglie l elencazione quando gli insiemi sono finiti e in certi casi quando gli insiemi sono infiniti infatti è possibile usare l'elencazione: ad esempio con la scrittura {0,1,2, } talvolta si denota l'insieme dei numeri naturali. 2. Diagrammi di Eulero-Venn 30

L insieme rappresentato graficamente coi diagrammi di Eulero-Venn, raffigura un ellisse con rappresentati all interno i diversi elementi. Un diagramma di Venn si costruisce così: Si traccia una linea chiusa e non intrecciata che evidenzi una regione di piano in cui si pensano contenuti tutti gli elementi dell'insieme stesso. Tali elementi possono essere rappresentati esplicitamente, come in figura, ma a volte sono pure sottintesi. Esempio Il seguente grafico è la rappresentazione dell'insieme A ={a,b,c,d} e si chiama Diagramma di Eulero-Venn. 3. Rappresentazione caratteristica Un insieme rappresentato con la seguente notazione: A = { x x soddisfa una particolare proprietà } detta rappresentazione mediante la proprietà caratteristica. Dove il generico elemento x sia tale da rispettare una determinata proprietà, e la barra verticale si legge tale che. Esempio 31

Considera l'insieme A dei numeri naturali divisori di 6. Poiché i suoi elementi sono: 1, 2, 3, 6 possiamo scrivere A={1, 2, 3, 6} Ma "x è un divisore di 6", definisce la proprietà ovvero il criterio di scelta che determina l'appartenenza o meno di un elemento all'insieme. Quindi nel linguaggio degli insiemi l'insieme A è espresso mediante proprietà caratteristica con la seguente scrittura : Si A={x x N legge:"a è e x è divisore di 6} l'insieme degli x tale che x è divisore di 6" Inoltre x viene detta variabile, ovvero in questo caso può rappresentare uno qualunque dei divisori del 6. Esempi di simbologie In genere gli insiemi numerici vengono indicati con la seguente notazione: A = x x R {0} Il simbolo oppure : significa tale che. Significa che l insieme A è composto da tutti i numeri reali escluso lo zero. B = {Studenti del comune di RM in aula}. Significa che l insieme B è composto da tutti gli studenti presenti in questa aula provenienti dal comune di Roma. 32

Ed in particolare si indicano alcuni insiemi numerici notevoli quali: N = {x x è un numero naturale} = {0,1,2,3,4, n, } cioè N indica l insieme dei numeri naturali, ovvero di tutti quei numeri che hanno un precedente ed un successivo (unica eccezione lo zero che non ha precedente); Z = {x x è un numero intero} = {0, ±1, ±2, ±3 } cioè Z indica l insieme dei numeri interi,ovvero numeri positivi e negativi; Q = {x x è un numero razionale} = { r s ; con r e s Z ed s 0 } cioè N indica l insieme dei numeri razionali, ovvero frazioni e numeri con la virgola. R = {x x è un numero reale} cioè R indica l insieme dei numeri reali, comprende tutti gli insiemi numerici precedenti. Esempi di rappresentazione e appartenenza Quesito n 1 Considera l'insieme A dei numeri naturali pari maggiori di 1 e minori di 10. Quali delle seguenti scritture rappresentano relazioni non vere? a) 2 A, b) 3 A, c) 5 A d) 7 A e) 0 A 33

Risposta: a), c), d) rappresentano relazioni vere. Infatti essendo: A={2,3,4,5,6,7,8,9} l'elemento 2 appartiene all'insieme e gli elementi 5, 7 non appartengono all'insieme. Allo stesso modo b), e) non rappresentano relazioni vere. Quesito n 2 Considerati i seguenti insiemi rappresentali per elencazione e con i grafici di Venn, poi stabilisci se esiste tra di essi una relazione di "essere contenuto": A={x/x è un divisore di 6} B={x/x è un numero naturale minore di 8} C={x/x è un divisore di 4} Risposta: Anzitutto rappresentiamo i tre insiemi per elencazione: A={x/x è un divisore di 6} = {1, 2, 3, 6} B={x/x è un numero naturale minore di 8} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} C={x/x è un divisore di 4} = {1, 2, 4} Poi con i diagrammi di Venn: 34

Si può concludere allora che A, C sono sottoinsiemi di B cioè A B, C B, ma anche A C, C A. Quesito n 3 Nell'insieme U dei numeri interi positivi considera l'insieme A dei numeri pari che sono minori di 10. Quale é la sua rappresentazione per tabulazione? Risposta Gli elementi dell'insieme considerato sono tutti i numeri pari positivi minori di 10. Sarà allora: A={2, 4, 6, 8} L'ordine col quale sono disposti gli elementi non è importante, l'importante è che siano elencati una sola volta tutti gli elementi dell'insieme. Quesito n 4 Rappresentare mediante i diagrammi di Venn i seguenti insiemi: A={0,1, 2,4, 6, 8 } B={2, 4, 3, 8, 9 } C={1, 3, 5, 7, 8} Risposta Il problema non esiste quando si tratta di rappresentare un unico insieme. Basta infatti applicare la regola data. 35

Più complesso invece è rappresentare nello stesso grafico più insiemi come richiede l'esercizio. Si dovranno prima rappresentare nell'ordine (osserva la figura): gli elementi che stanno sia A che in B che in C gli elementi che stanno in A e in B, ma non in C gli elementi che stanno in A e in C, ma non in B gli elementi che stanno solo in A gli elementi che stanno solo in B... e così via Quesito n 5 Esprimi mediante proprietà caratteristica i seguenti insiemi definiti per elencazione: A={b, n, c}; B={0,1,4,9,16,...}; C={1,2,3,4,6,12}; D={-3,3}. Risposta 36

La risposta non è evidentemente univoca, ma una possibile risposta è: A={x/x è una consonante della parola banco}; B={x/x N e x è un quadrato perfetto}; Osserva che in questo caso l'insieme è formato da infiniti elementi. Non sarebbe quindi possibile definirlo per elencazione. In questo caso tuttavia i primi elementi lasciano intuire la legge con cui gli elementi vengono generati. I tre puntini stanno proprio ad indicare che i numeri sono in una successione costruita secondo una particolare legge. Meglio comunque evitare questo tipo di rappresentazione con insiemi infiniti se non è del tutto chiara. C={x/x N e x è un divisore di 12}; D={x/x Z e x2=9}. 2.3 Operare con gli insiemi Così come sono state definite le operazioni tra numeri: ogni coppia di numeri legata da un operazione assegna ancora un numero come risultato. Ad esempio l operazione + (somma) assegna alla coppia di numeri 3 e 5 il numero 8. 37

Anche in questo contesto è possibile definire operazioni tra insiemi, ossia operazioni che assegnano a una coppia di insiemi un terzo insieme, pertanto le operazioni fra insiemi permettono di ottenere come risultato nuovi insiemi. Esaminiamo quelle più comuni: I. Unione II. III. IV. Intersezione Differenza Prodotto cartesiano I. Operazione di unione ( ) Definizione. Dati due insiemi A, B si definisce unione di A e di B l'insieme formato dagli elementi che appartengono ad A e a B. L'unione di A e B si indica con A B. Mediante proprietà caratteristica: La scrittura si legge: A unione B è uguale all'insieme degli x tali che x appartiene ad A oppure x appartiene a B. Mediante diagrammi di Venn: 38

Principali proprietà di cui gode l operazione Unione: A B=B A (A B) C=A (B C) Proprietà commutativa Proprietà associativa Valgono inoltre le relazioni: A =Α A Α=A A U=U II. Operazione di intersezione ( ) Definizione. Dati due insiemi A, B si definisce intersezione l'insieme formato dagli elementi che appartengono contemporaneamente ad A ed a B, ossia gli elementi comuni di A e B. L intersezione di A e B si indica con A B. Mediante proprietà caratteristica: 39

La scrittura si legge: A intersezione B è uguale all'insieme degli x tali che x appartiene ad A e x appartiene a B. Se gli insiemi non hanno elementi in comune si ha: A B= allora i due insiemi A, B si dicono disgiunti. Mediante i diagrammi di Venn: Principali proprietà di cui gode l operazione Intersezione: A B=B A (A B) C=A (B C) Proprietà commutativa Proprietà associativa Valgono inoltre le 40

relazioni: A = A Α=A A U= A Osservazione 1. Esiste poi una proprietà che collega le operazioni unione ed intersezione: Proprietà distribu (A B) C=(A C) (B C) dell'intersezione ri all'unione (A B) C=(A C) (B C) Proprietà distributiva rispetto all'inters Osservazione 2. Nelle figure sotto rappresentate quanti sono gli elementi di A B? E il loro numero è uguale alla somma degli elementi dei due insiemi A, B? Prima figura: 41

se A B gli elementi comuni vanno presi una sola volta. Seconda figura: se A B A B=B l'unione è formata dagli elementi di B. Terza figura: se A B= l'unione è formata da tutti gli elementi di A e da tutti quelli di B. questo simbolo che in matematica rappresenta l'implicazione semplice, si legge allora e indica la conseguenza di una affermazione. 42

2.3.1 Esercitazioni Quesito n 1 Dati gli insiemi A, B così definiti per proprietà caratteristica A={x/x N e x<8} B={x/x N e 3<x<10} rappresentare gli insiemi per elencazione e dopo aver calcolato l insieme unione rappresentarlo con i diagrammi di Venn. Risposta Per elencazione si ha A={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B={4, 5, 6, 7, 8, 9} L unione è l insieme così rappresentato: A B={x/x A o x B}= {x/x N e x<10}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} e con diagrammi di Venn: B A Quesito n 2 43

Dati gli insiemi A, B così definiti per proprietà caratteristica A={x/x N e 2<x<8} B={x/x N e x 8} rappresentare gli insiemi per elencazione e dopo aver calcolato l insieme unione rappresentarlo con i diagrammi di Venn. Risposta Per elencazione si ha A={3, 4, 5, 6, 7} B={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} L unione è l insieme così rappresentato: A B=B={x/x A o x B}= {x/x N e x 8}={0,1,2,3,4,5,6,7,8} e con diagrammi di Venn: Osserva che: se A B A B=B. Quesito n 3 Sono dati gli insiemi A={a,e, i,o, u}, B={b,c,d} (in questo caso per comodità definiamo gli insiemi direttamente per elencazione) calcolare l insieme unione e rappresentarlo con i diagrammi di Venn. Risposta A B={x/x A o x B}={a,b,c,d,e,i,o,u} 44

Osserva che: A B è formata sia dagli elementi di A che da quelli di B. Con i diagrammi di Venn: Pur essendo i due insiemi disgiunti A B={}=. 2.3.2 Il complementare e la differenza complementare Definizione. Dati due insiemi A, ed U con A U si definisce complementare di A rispetto ad U l'insieme formato dagli elementi che appartengono ad U ma non appartengono ad A. ma non appartengono ad A. (Solitamente con U si indica l'insieme Universo). Il complementare si indica con C u A oppure più semplicemente. Mediante proprietà caratteristica: La scrittura si legge: A complementare è uguale all'insieme degli x tali che x 45

appartiene ad U insieme universo e x non appartiene ad A. Mediante diagrammi di Venn: Valgono inoltre le proprietà: Definizione. Dati due insiemi A, e B si definisce differenza complementare di A e B l'insieme formato dagli elementi che appartengono ad A ma non appartengono a B. La differenza si indica con A-B. Mediante proprietà caratteristica: La scrittura si legge: A meno B è uguale all'insieme degli x tali che x appartiene ad A e non a B. 46

Mediante diagrammi di Venn: A-B Nota Bene: l operazione differenza non gode delle seguenti proprietà: Cioè la differenza complementare A-B B-A non è commutativa Cioè la differenza complementare (A-B)-C Α-(B-C) non è associativa Valgono inoltre le relazioni: A Α= A =A 2.3.3 Prodotto cartesiano Definizione. Dati due insiemi non vuoti A, e B si definisce prodotto cartesiano e si indica A B (si legge l'insieme formato da tutte le coppie ordinate (a, b) tali che il primo elemento, nella prima posizione, appartenga ad A ed il secondo, nella seconda posizione appartenga a B. Mediante proprietà caratteristica: La scrittura si legge: A per B oppure A cartesiano B ed è uguale all'insieme delle coppie ordinate (a,b) tali che a A ed b B. 47

Nota bene: che il segno che traduce il concetto di coppia ordinata è una coppia di parentesi tonde, contenente due elementi separati da una virgola. Rappresentazione grafica del prodotto cartesiano Ora vogliamo rappresentare graficamente il prodotto cartesiano, e lo possiamo fare sostanzialmente in tre modi utilizzando o i diagrammi di Venn, che in questo caso chiameremo diagramma saggittale, oppure mediante una tabella a doppia entrata oppure infine mediante coppie ordinate nel piano cartesiano, ottenendo così un diagramma cartesiano. Riepilogando il prodotto cartesiano lo si può rappresentare con una delle seguenti tre modalità: diagramma saggittale; tabella a doppia entrata; diagramma cartesiano. Vediamo le varie rappresentazioni col seguente esempio: Dati gli insiemi A={1, 2, 3} e B={a, b} si rappresenti graficamente il prodotto cartesiano utilizzando prima i diagrammi di Venn, poi la tabella a doppia entrata ed infine mediante i punti sugli assi cartesiani. Svolgimento Il loro prodotto cartesiano sarà: A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a) (3, b)}. 48

DIAGRAMMA SAGGITTALE Iniziamo col disegnare i due insiemi: Ora colleghiamo con delle frecce ogni elemento di A con ogni elemento di B: La freccia indica l'ordine con il quale devono essere presi i vari elementi. Ad esempio, la freccia che collega 1 con a indica l'ordine col quale vanno considerati i componenti della coppia (1, a ). Per questa ragione il grafico che abbiamo disegnato prende il nome di diagramma a frecce di AxB, ovvero rappresentazione del prodotto cartesiano anche conosciuta col nome di diagramma saggittale. Questo modo di rappresentare il prodotto cartesiano può non risultare molto chiaro 49

quando il numero degli elementi di ciascun insieme sono molti e, quindi, le frecce da disegnare, che indicano il collegamento tra gli elementi da un insieme all altro, diventano tante e il grafico risulta poco leggibile. TABELLA A DOPPIA ENTRATA Un secondo modo di rappresentare il prodotto cartesiano è quello di usare una tabella a doppia entrata. Si tratta di una tabella nella quale nella prima colonna indichiamo gli elementi che compongono l'insieme A, mentre nella prima riga indichiamo gli elementi che compongono l'insieme B. Su ogni cella successiva della tabella indicheremo la coppia di elementi formati dall'elemento di quella data riga e di quella data colonna. Torniamo all'esempio precedente e vediamo come si presenta la tabella a doppia entrata: A x B a b 1 (1, a) (1, b) 2 (2, a) (2, b) 3 (3, a) (3, b) DIAGRAMMA CARTESIANO 50

Infine vediamo un ulteriore metodo per rappresentare il prodotto cartesiano mediante l utilizzo del piano cartesiano. Disegniamo una retta orientata che chiamiamo asse delle x. Quindi disegniamo una retta perpendicolare all'asse delle x in un punto che chiamiamo origine e che indichiamo con una O, di coordinate (0,0). Questa seconda retta la chiamiamo asse delle y. Ora rappresentiamo gli elementi dell'insieme A con dei punti sull'asse delle x e gli elementi dell'insieme B con dei punti sull'asse delle y. Le parallele all'asse delle y passanti rispettivamente per 1,2,3 e le parallele all'asse delle x passanti per a, b le rette si incontrano in sei punti che possiamo prendere come rappresentativo della coppia. 51

In questo modo ogni punto dell'insieme AxB ha uno ed un solo punto rappresentativo. Quello che abbiamo disegnato prende il nome di diagramma cartesiano di AxB. Se uno dei due insiemi è infinito si è soliti rappresentare il prodotto cartesiano con il diagramma cartesiano del quale si disegna solamente la prima parte. Nota Bene: il prodotto cartesiano non gode della proprietà commutativa. A B B A quindi anche i loro elementi sono diversi: (a, b) (b, a) Infatti essendo formato da coppie ordinate, in cui invertendo gli elementi risulta diversa la coppia allora il prodotto cartesiano non è commutativo. 52

Valgono inoltre le relazioni: Se uno dei due insiemi è vuoto il prodotto cartesiano è l'insieme vuoto. A = A= La cardinalità dell insieme AxB è il prodotto delle cardinalità degli insiemi A e B se n è il numero di elementi di A ed m il numero degli elementi di B allora A B ha n m elementi, ovvero: A B = n m. Esempio Dati gli insiemi A={1, 2, 3} e B={a, b} il prodotto cartesiano ha cardinalità 6=3x2 ed è l insieme seguente: AxB={ (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } Ovvero è formato da 6 elementi costituiti da coppie. 2.4 Esercitazioni Esercizi operazione unione Quesito n 1 Dati gli insiemi A={1,2,3,4,6,12} e B={1,2,4,8,16} calcola la loro unione dopo aver rappresentato gli insiemi mediante i diagrammi di Venn. Risposta 53

In base alla definizione A B={x/x A oppure x B}. Basta allora prendere, solo una volta, ciascuno degli elementi di A e di B il risultato sarà: A B={1,2,3,4,6,8,12,16} Rappresentiamo i due insiemi mediante i diagrammi di Venn si ottiene: A B={1,2,3,4,6,8,12,16} Quesito n 2 Dati, per proprietà caratteristica, gli insiemi: A={x/x N e x è multiplo di 3} B={x/x N e x è multiplo di 6} C={x/x N e x è multiplo di 2} calcolare A B, C B, A C, A C e descriverli per proprietà caratteristica. Risposta Possiamo scrivere A={0, 3, 6, 9, 12, 15, 18,...} 54

B={0, 6, 12, 18,...} C={0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18,...} Tra gli insiemi A, B, C, come puoi controllare dalla rappresentazione di A, B, C per elencazione o dal grafico di Venn, sussistono le seguenti relazioni: B A, B C, A C=B In base alla definizione di unione è A B={x/x A oppure x B} allora si ha: A B=A, C B=C, A C=B e infine: A C={x x N e x è un multiplo di 3 oppure x è un multiplo di 2}= ={0, 2, 3, 4, 6, 8, 9,...}. Esercizio operazione intersezione: Quesito n 1 Dati gli insiemi A={1,2,3,4,6,12} B={1,2,4,8,16} calcolare la loro intersezione dopo averli rappresentati mediante i diagrammi di Venn. Risposta In base alla definizione di intersezione si tratta di determinare gli elementi che stanno contemporaneamente sia nell'insieme A che in B A B={x/x A e x B} A B={1,2,4} 55

Il risultato è ovvio se si confrontano gli insiemi A={1,2,3,4,6,12} B={1,2,4,8,16}. Rappresentando gli insiemi con i diagrammi di Venn il risultato si legge dalla figura: Quesito n 2 Osserva il seguente grafico, ricopialo sul tuo quaderno assieme alla tabella a lato, poi attribuisci un valore di verità (Vero, Falso) alle uguaglianze contenute nella tabella. A B=B A C= V F V F C B=B C V F A B=A C B= V F V F Risposta A B = B V se B A allora A B=B 56

A C = C B = B C F V A, C non sono disgiunti come appare dal grafico la commutativa è valida per definizione di intersezione A B = A F è B A non A B C B = V B, C sono disgiunti come appare dal grafico Esercizi operazione complementare Quesito n 1 Dati U={x x è una lettera della parola "bicicletta"} A={x x è una lettera della parola "accetta"}. Calcola il complementare di A rispetto ad U. Quesito n 2 Dato l'insieme U={x/x è un numero naturale}=n considera l'insieme A={x/x è un numero pari}. Calcola il complementare di A rispetto ad U. Risposte Per definizione si ha: Quindi fanno parte del complementare di A tutti gli elementi di U che non stanno in A. Di conseguenza: 1. ={b, l, i} 2. I numeri naturali che non sono pari, quindi i numeri dispari: ={x/x è un numero dispari}. 57

Esercizio differenza complementare Quesito n 1 Dato l'insieme U={x/x N e 8<x 20} considera i suoi sottoinsiemi A={x/x è un multiplo di 2} B={x/x è un multiplo di 3}. Calcola la differenza complementare A-B e B-A. Risposta Rappresentando i due insiemi per elencazione si ha: A={10, 12, 14, 16, 18, 20} B={9, 12, 15, 18} Per definizione di differenza complementare si ha: Allora si ottiene: A-B={10, 14, 16, 20} cioè gli elementi di A che non stanno in B. B-A={9, 15} cioè gli elementi di B che non stanno in A. 58

Esercizi sul prodotto cartesiano Quesiti 1. Dati gli insiemi A={2, a, *} B={1, q} calcola il prodotto cartesiano A B. 2. Dato l'insieme A(r,s, t) calcola A A. 3. Dati gli insiemi A={1,2} B={1,2,3} calcola il prodotto cartesiano A B. 4. Dati gli insiemi A={1,2,3} B={a,b,c} calcola il prodotto cartesiano A B. Risposte A B è per definizione l'insieme delle coppie ordinate aventi il primo elemento appartenente ad A il secondo a B. Quindi: 1. A B={(2,1),(2,q),(a,1),(2,b),(*,1),(*,q)} 2. La regola non cambia se il secondo insieme coincide con il primo A A={(r,r),(r,s),(r,t),(s,r),(s,s),(s,t),(t,r),(t,s),(r,t)} 3. Il prodotto cartesiano A B è dato da: A B={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)} 4. A B={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)}. 59

CAPITOLO III LE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO 3.1 Le equazioni Consideriamo le due seguenti scritture: 3 = 3 2 = 5 Chiamiamo la prima un'uguaglianza vera mentre la seconda un'uguaglianza falsa. Diamo quindi le seguenti: Definizione di primo termine e secondo termine di un'uguaglianza In una uguaglianza l'espressione che sta a sinistra dell'uguale si dice primo termine dell'uguaglianza, l'espressione che sta a destra dell'uguale si dice secondo termine dell'uguaglianza. Definizione di uguaglianza, di uguaglianza vera, di uguaglianza falsa. Due espressioni numeriche separate dal simbolo di uguale, formano un'uguaglianza. Se le due espressioni portano allo stesso risultato l'uguaglianza si dice vera, altrimenti si dice che e falsa. Proprietà invariantiva delle uguaglianze. Prima proprietà invariantiva: addizionando o sottraendo una stessa quantità ad entrambi i termini di un'uguaglianza si ottiene una nuova uguaglianza 60

che, se la precedente è vera è anch'essa vera, mentre se la precedente è falsa è anch'essa falsa. Seconda proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo per una stessa quantità diversa da zero, entrambi i termini di un'uguaglianza si ottiene una nuova uguaglianza che, se la precedente è vera è anch'essa vera, mentre se la precedente è falsa è anch'essa falsa. Esempi Si consideri l uguaglianza 3 5 + 2 = (20 7) ( 1) che risulta vera. Applichiamo la prima proprietà invariantiva addizionando ad entrambi i termini il numero +4, l uguaglianza diventa: 3 5 + 2 + 4 = (20 7) ( 1) + 4 Verifichiamo se è vera: primo termine: 3 5 + 2 + 4 = 15 + 2 + 4 = 9; secondo termine: (20 7) ( 1) + 4 = 13 ( 1) + 4 = 13 + 4 = 9 quindi anche la nuova uguaglianza è vera. Si consideri l uguaglianza 5 5 = 2 28 che risulta falsa. Applichiamo la seconda proprietà invariantiva moltiplicando ad entrambi i termini il numero +2, l uguaglianza diventa: (5 5) 2 = (2 28) 2 La parentesi al secondo termine è necessaria perché tutto il secondo termine deve essere moltiplicato per 2. Verifichiamo se è falsa: 61

primo termine: (5 5) 2 = 50 secondo termine: (2 28) 2 = 26 2 = 52 quindi anche la nuova uguaglianza è falsa. Osservazione importante. Nel secondo principio è specificato che la quantità deve essere diversa da zero. Questo dipende da due motivi: il primo è che non ha senso una divisione per zero e dato che la proprietà dice moltiplicando o dividendo, questa specifica risulta necessaria. Il secondo motivo risiede nel fatto che altrimenti la proprietà sarebbe sbagliata: infatti si consideri la seguente uguaglianza falsa: 2=3; moltiplicando entrambi i termini per zero si ottiene: primo termine: 2 0 = 0; secondo termine: 3 0 = 0 e quindi primo termine=secondo termine, dunque la nuova uguaglianza è vera in contraddizione con quello che dice la proprietà invariantiva. Tale problema non sussiste nella prima proprietà in quanto addizionando o sottraendo zero non cambierebbe niente e otterremmo un'uguaglianza identica alla precedente e quindi se è vera rimane vera e se è falsa rimane falsa. Definizione di equazione. Se in un'uguaglianza sono presenti delle lettere si dice che siamo di fronte ad una equazione. Abbiamo quindi la seguente: Un'equazione è una uguaglianza contenente una o più lettere. 62

In una equazione lo scopo è quello di trovare quel valore (o quei valori) che sostituiti alla lettera trasformano l'equazione in una uguaglianza vera. Dal momento che all'inizio questo valore (o questi valori) non sono noti e quindi sono incogniti, la lettera presente in una equazione si chiama incognita e, convenzionalmente, si usa la lettera x (che infatti, anche nel linguaggio comune, ha assunto il significato di qualche cosa di non conosciuto o misterioso). Coerentemente a quanto detto possiamo dare la seguente: Definizione di soluzione di una equazione. La soluzione di un'equazione è l'insieme costituito da quei valori che sostituiti all'incognita trasformano l'equazione in un'uguaglianza vera. Per meglio chiarire quanto detto, consideriamo i seguenti: Esempi Risolvere l'equazione x + 3 = 5 Con un pò di intuizione capiamo che quel valore da sostituire alla x affinchè l'equazione diventi un'uguaglianza vera è 2; infatti: primo termine: 2 + 3 = 5 secondo termine: 5 Quindi sostituendo 2 ad x l'equazione diventa una uguaglianza vera e quindi 2 è la soluzione dell'equazione. Come notazione useremo quella degli insiemi scrivendo: 63

S = {x ε R x = 2 } Questa notazione si legge x appartenente ai numeri reali, tale che x uguale a 2" che significa che l'insieme delle soluzioni indicato con S, fra tutti i possibili numeri reali, contiene il valore 2. Questo esempio prendeva in considerazione un'equazione molto facile e siamo arrivati alla soluzione tramite una semplice intuizione. Se l'equazione è più complessa non è sufficiente ricorrere al proprio intuito ma abbiamo bisogno di strumenti adatti, come si vede dal seguente esempio: Risolvere l'equazione: 3x(7 2x) + 5(124 53x) = 32x + 14(2x 7) + 1 3 x 8 Come detto in precedenza, capiamo che al momento non siamo in grado di risolvere una simile equazione. Gli strumenti di cui abbiamo bisogno sono i due principi di equivalenza delle equazioni, che sono una diretta conseguenza delle proprietà invariantive delle uguaglianze. Prima di enunciarli abbiamo bisogno della seguente: Definizione di equazioni equivalenti. Due equazioni si dicono equivalenti sé hanno lo stesso insieme di soluzioni. 64

I PRINCIPI DI EQUIVALENZA DELLE EQUAZIONI Primo principio di equivalenza: addizionando o sottraendo una stessa quantità ad entrambi i termini di una equazione si ottiene un equazione equivalente. Secondo principio di equivalenza: moltiplicando o dividendo per una stessa quantità diversa da zero, entrambi i termini di un equazione si ottiene un equazione equivalente. La strategia per risolvere un equazione è quella di trasformarla, tramite i principi di equivalenza, in altre equazioni equivalenti all originale ma di più facile risoluzione: una volta risolta l equazione più semplice avremo risolto anche l equazione assegnata in quanto hanno lo stesso insieme di soluzione. Sottolineiamo che i principi di equivalenza valgono per qualunque tipo di equazioni. 3.2 Equazioni di primo grado numeriche intere L equazioni di primo grado in cui l incognita ha esponente sottinteso 1, numeriche (non abbiamo altre lettere oltre l incognita) e intere (l incognita non compare al denominatore). 65

Vediamo adesso come trasformare un equazione in una più semplice usando i principi di equivalenza. Per raggiungere questo obiettivo analizziamo le: Conseguenze dei principi di equivalenza. 1. Spostando un monomio dal primo termine di un equazione al secondo termine o viceversa, cambiandogli il segno, si ottiene un equazione equivalente (conseguenza del primo principio di equivalenza). Chiariamo col seguente esempio: 3x 5 = 2x 1 termine 2 termine sommiamo ad entrambi i termini 5. Per quanto affermato dal primo principio di equivalenza quello che otterremo è un equazione equivalente alla precedente: 3x 5 + 5 = 2x + 5 3x = 2x + 5 E quindi si osserva che il monomio -5 è stato spostato al secondo termine col segno cambiato (infatti è diventato +5). 2. Se l equazione contiene delle frazioni possiamo trasformarla in un equazione equivalente a coefficienti interi (conseguenza del secondo principio di equivalenza). Chiariamo col seguente esempio: 66