Esercizi su Derivate parziali, ifferenziabilità e piani tangenti 1. Per le funzioni che seguono, eterminare il graiente ella funzione ata nel punto inicato e l equazione el piano tangente al grafico ella funzione nel punto inicato. (a) f(x, y) = x 3 + y 3 3xy in (, ) (b) f(x, y) = x y in (1, 1) x+y (c) f(x, y) = x y in (1, 5). Determinare la irezione i massima crescita ella funzione ata nel punto inicato: (a) f(x, y) = log(x + 3y ) in (, 1) (b) f(x, y, z) = xe y cos(z) in (1, 1, π) (c) f(x, y, z) = xyz in (1, 1, 1) () f(x, y, z) = sin(x) cos(yz) in (π/, π/, π/) 3. Determinare la erivata irezionale ella funzione ata nel punto inicato e nella irezione specificata (a) f(x, y) = e xy in (1, 1) nella irezione el vettore v = 3 i + 1 j (b) f(x, y) = log(x + y ) in (1, ) nella irezione el vettore v = i + j (c) f(x, y, z) = sin(x + y + z ) in ( π, π, π) nella irezione el vettore v = 1 i j + 1 k () f(x, y, z) = k. xyz x +y +4z in (1, 1, 1) nella irezione el vettore v = i 4. Si consieri la funzione f : R R efinita a { x y per (x, y) (0, 0) f(x, y) = x +y 0 per (x, y) = (0, 0) Calcolare il vettore graiente i f in (0, 0) e la erivata irezionale i f in (0, 0) nella irezione el vettore v = i + j. Come mai la formula el graiente non vale?
5. Si consieri la funzione F : R 3 R ata a f(x, y, z) = sin(xyz) e la funzione α : R R 3 ata a α(t) = (t, 1 t, cos(t)). Si calcoli la erivata ella funzione composta f α. 6. La temperatura T in una regione ello spazio i cui punti vengono escritti a una terna i coorinate cartesiane (x, y, z) viene espressa alla funzione T(x, y, z) = x + y + 3z. Un osservatore si muove in tale regione e le sue coorinate variano nel tempo con la legge x(t) = t 3, y(t) = t, z(t) = t +1. Calcolare la erivata temporale ella temperatura percepita all osservatore al variare el tempo t. Soluzioni 1. (a) f(x, y) = x 3 + y 3 3xy in (, ) Il vettore graiente nel generico punto i coorinate (x, y) è ato a f(x, y) = (3x 3y, 3y 3x) Il graiente nel punto i coorinate (, ) è unque f(, ) = (6, 6). L equazione el piano tangente al grafico i f in (, ) è unque: z = 4 + 6(x ) + 6(y ) (b) f(x, y) = x y in (1, 1) x+y Il vettore graiente nel generico punto i coorinate (x, y) è ato a ( 1 f(x, y) = x + y x y (x + y), 1 x + y x y ) (x + y) Il graiente nel punto i coorinate (1, 1) è unque f(1, 1) = (1/, 1/). L equazione el piano tangente al grafico i f in (1, 1) è unque: z = 1 (x 1) 1 (y 1) (c) f(x, y) = x y in (1, 5) Il vettore graiente nel generico punto i coorinate (x, y) è ato a ( ) ye y log(x) f(x, y) =, log(x)e y log(x) x Il graiente nel punto i coorinate (1, 5) è unque f(1, 5) = (5, 0). L equazione el piano tangente al grafico i f in (1, 1) è unque: z = 1 + 5(x 1)
. (a) f(x, y) = log(x + 3y ) in (, 1) Il vettore graiente nel generico punto i coorinate (x, y) è ato a: ( ) x 6y f(x, y) = x + 3y, x + 3y Il graiente nel punto i coorinate (, 1) è ato a ( 4 f(, 1) = 7, 6 ), 7 punto (, 1). (b) f(x, y, z) = xe y cos(z) in (1, 1, π) Il vettore graiente nel generico punto i coorinate (x, y, z) è ato a f(x, y, z) = (e y cos(z), xye y cos(z), xe y sin(z)) Il graiente nel punto i coorinate (1, 1, π) è ato a f(1, 1, π) = ( e 1, e 1, 0) punto (1, 1, π). (c) f(x, y, z) = xyz in (1, 1, 1) Il vettore graiente nel generico punto i coorinate (x, y, z) è ato a f(x, y, z) = (yz, xz, xy) Il graiente nel punto i coorinate (1, 1, 1) è ato a f(1, 1, 1) = (1, 1, 1) punto (1, 1, 1) () f(x, y, z) = sin(x) cos(yz) in (π/, π/, π/) Il vettore graiente nel generico punto i coorinate (x, y, z) è ato a f(x, y, z) = (cos(x) cos(yz), z sin(x) sin(yz), y sin(x) sin(yz)) Il graiente nel punto i coorinate (π/, π/, π/) è ato a f(π/, π/, π/) = (0, π/, π/) punto (π/, π/, π/).
3. (a) f(x, y) = e xy in (1, 1) nella irezione el vettore v = 3 i + 1j Utilizziamo la formula (1, 1) = f(1, 1) v, ato che f è ifferenziabile in (1, 1) (è immeiato verificare che le erivate parziali sono funzioni continue). Il vettore graiente nel generico punto i coorinate (x, y) è ato a f(x, y) = (ye xy, xe xy ), quini il vettore graiente nel punto i coorinate (1, 1) è f(1, 1) = (e, e), e la erivata irezionale cercata è ( ) 3 (1, 1) = (e, e), 1 3 = e + 1 e (b) f(x, y) = log(x + y ) in (1, ) nella irezione el vettore v = i + j Utilizziamo la formula (1, ) = f(1, ) v. Il vettore graiente nel generico punto i coorinate (x, y) è ato a ( x f(x, y) = x + y, y x + y quini il vettore graiente nel punto i coorinate (1, ) è f(1, ) = (/5, 4/5), e la erivata irezionale cercata è ( ) (1, ) = (/5, 4/5), = 3 5 (c) f(x, y, z) = sin(x + y + z ) in ( π, π, π) nella irezione el vettore v = 1i j + 1k Utilizziamo la formula ( π, π, π) = f( π, π, π) v. Il vettore graiente nel generico punto i coorinate (x, y, z) è ato a f(x, y, z) = (x cos(x +y +z ), y cos(x +y +z ), z cos(x +y +z )), quini il vettore graiente nel punto i coorinate ( π, π, π) è e la erivata irezionale cercata è ), f( π, π, π) = ( π, π, π)), ( π, π, π) = ( π, π, π) ( ) 1,, 1 = ( ) π
() f(x, y, z) = k. xyz x +y +4z in (1, 1, 1) nella irezione el vettore v = i Utilizziamo la formula (1, 1, 1) = f(1, 1, 1) v. Le tre erivate parziali nel generico punto i coorinate (x, y, z) sono: yz (x, y, z) = x xz (x, y, z) = y xy (x, y, z) = z x + y + 4z x yz (x + y + 4z ) x + y + 4z 4xy z (x + y + 4z ) x + y + 4z 8xyz (x + y + 4z ), quini il vettore graiente nel punto i coorinate (1, 1, 1) è f(1, 1, 1) = (5/49, 3/49, 1/49), e la erivata irezionale cercata è ( ) (1, 1, 1) = (5/49, 3/49, 1/49), 0, = 3 49 4. la funzione f è ienticamente nulla sugli assi coorinati, quini (0, 0) = 0 e x (0, 0) = 0, quini il graiente i f nel punto (0, 0) è il vettore nullo: y f(0, 0) = (0, 0) La erivata irezionale i f in (0, 0) nella irezione el vettore v è ata a: h, ) h ( f (0, 0) = lim h 0 = lim h 0 4 h h = h Si noti che in questo caso non vale la formula el graiente, infatti f(0, 0) v = 0, mentre (0, 0) =. Questo è ovuto al fatto che f non è ifferenziabile 4 in (0, 0), infatti non esiste il limite f(x, y) f(0, 0) f(0, 0) (x 0, y 0) x y lim = lim (x,y) (0,0) x + y (x,y) (0,0) (x + y ) 3/ 5. La funzione composta f α è ata a f α(t) = sin(t (1 t) cos(t)) 4
quini t f α(t) = cos(t (1 t) cos(t)) ( (t 3t ) cos(t) sin(t)(t t 3 ) ) Si poteva ottenere lo stesso risultato utilizzano le regola i erivazione elle funzioni composte: t f α(t) = f(α(t)) α (t) ove f(α(t)) = cos(t (1 t) cos(t))((1 t) cos(t), t cos(t), t (1 t)) e α (t) = (t, 1, sin(t). 6. La temperatura T in una regione ello spazio i cui punti vengono escritti a una terna i coorinate cartesiane (x, y, z) viene espressa alla funzione T(x, y, z) = x + y + 3z. Un osservatore si muove in tale regione e le sue coorinate variano nel tempo con la legge x(t) = t 3, y(t) = t, z(t) = t +1. Calcolare la erivata temporale ella temperatura percepita all osservatore al variare el tempo t. Utilizzano la formula i erivazione i funzione composta otteniamo: t T(x(t), y(t), z(t)) = T(x(t), y(t), z(t)) (x (t), y (t), z (t)) = (x(t), 4y(t), 6z(t)) (x (t), y (t), z (t)) = (( t 3 ), 4t, 6(t + 1)) ( 3t, 1, t) = 6t 5 + 1t 3 1t + 16t Potevamo arrivare allo stesso risultato esplicitano la funzione composta e erivanola rispetto alla variabile t, infatti: T(x(t), y(t), z(t)) = ( t 3 ) + t + 3(t + 1) = t 6 + 3t 4 4t 3 + 8t + 7 la cui erivata è la funzione t T(x(t), y(t), z(t)) = 6t5 + 1t 3 1t + 16t