APPENDICE A. Derivate otevoli k d d d d d m m m d si cos cos si ta d cos cot d si arcsi arccos m d d d d d d si cos d m d m d d d si d d d cos d d cos d d ta cot arcta d arccot d log a l d d arcsi arccos arcta loga e a l e arccot d si d d d d d d d d d log a e d d log a l d d a a a l d e d e l d g a a d d e d d g dg g l d d d
A- Appedice
Appedice A-3 A. Itegrali otevoli d d d si d cos cos cos d si si d cot cot si d ta ta cos d arcsi arcsi d arcta arcta d l l e d e e a a a d l a l a m m a a m a d m m ab a b ab d b b ta d l cos l cos k d k d d d d d si d cos cos d cos d si si d si cos d d d cot d cot ta d ta d d arcsi d arcsi arcta d arcta l d l e d e e a d a a d d l a l a d arcta arcta a a a a a d l l cot d l si l si si d si cos si cos cos d si cos si cos d l ta l ta si d ta ta cos si si d l l cos si si d cot cot cos
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Appedice A-5 A.3 Teorema odametale del calcolo e stabiliamo il tasso di accrescimeto dell area Cosideriamo ua uioe cotiua sottesa dalla sua curva tra due puti. Sia il valore assuto dalla uioe i corrispodea di u puto e cosideriamo l itervallo di ampiea compreso tra e. I tale itervallo l area a cosiderata risulterà aumetata di ua quatità a così il corrispodete tasso di crescita sarà: a. Possiamo cosiderare u valore dell ordiata tale che l area è uguale a a : a (+D) ( ) Da allora il tasso di crescita dell area può esprimersi come: a. D altra parte risulta (si veda la igura): così passado al limite per si ha: a da lim lim. d O +D L area sottesa dalla curva di calcolato tra tali puti: a d a partire da u puto arbitrario al puto è pari all itegrale per cui sostituedo ella relaioe precedete si ottiee: d d d quidi l operaioe di itegraioe può essere riguardata come l operaioe iversa della derivaioe; questo risultato prede il ome di teorema odametale del calcolo.
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Appedice A-7 A.4 Seioi coiche Si deiisce seioe coica la curva geerata da u puto che si sposta i modo tale da mateere costate il rapporto ra la distaa da u puto detto uoco ed ua retta detta direttrice. Tale valore costate prede il ome di eccetricità; i particolare co rierimeto alla igura l eccetricità vale: Posto: PF. PQ r PF d FD allora risulta: PQ FD FB d r cos. P G Q r b B D A F J C F' a A' Poiché la lughea PQ può esprimersi attraverso l eccetricità come: PF r PQ sostituedo ella relaioe precedete si trova: da cui segue: r d rcos d r cos espressioe che prede il ome di equaioe polare della seioe coica. Se la curva è u ellisse se è u iperbole e de è ua parabola; i particolare per u ellisse i A si ha e i A si ha per cui le corrispodeti lughee r e r del segmeto PF valgoo: posto quidi: d r d r ;
A-8 Appedice a r r che prede il ome di semiasse maggiore si ha: d d d d d d d a rr. Si prova ioltre che il semiasse miore b pari alla lughea del segmeto GC vale:. b a Iie l area dell ellisse risulta: A ab a e per l ellisse coicide co u cerchio.
Appedice A-9 A.5 Sistemi di coordiate I molteplici circostae o risulta eicace l impiego dei sistemi di coordiate cartesiai sia el piao che ello spaio. Ciò accade i particolare quado risulta più coveiete esprimere le posiioi dei puti attraverso degli agoli e delle distae. Nel piao l idetiicaioe della posiioe di u puto P attraverso u raggio ed u agolo è detta polare: la coordiata radiale rappreseta la distaa di P da u origie O detta polo; la coordiata agolare è l agolo che la retta posta i corrispodea di deve descrivere per P sovrapporsi alla retta passate per P e per O. I igura soo corotate le r coordiate cartesiae del puto P co le corrispodeti coordiate polari. J Note le coordiate cartesiae e di P è possibile dedurre le corrispodeti O coordiate polari e attraverso le relaioi: ta ; viceversa risulta: cos si ; La aturale estesioe del sistema di coordiate polari elle tre dimesioi è rappresetata dal sistema cilidrico. I questo caso la posiioe del puto P è rappresetata attraverso le coordiate polari e della proieioe P di P sul piao e dalla distaa di P da tale piao (si veda la igura). Le coordiate cilidriche e del puto P possoo essere dedotte da quelle cartesiae attraverso le relaioi: ta ; O r P P' viceversa: cos si. Il sistema di coordiate seriche idetiica u puto ello spaio attraverso ua distaa e due agoli. I particolare è la distaa del puto P dall origie O è l agolo compreso tra l asse e il segmeto OP e è l agolo compreso tra l asse e la proieioe OP del segmeto OP sul
A- Appedice piao (si veda la igura). Le coordiate seriche e del puto P possoo essere dedotte da quelle cartesiae attraverso le relaioi: ta cos ; O J r P P' viceversa risulta: sicos sisi cos. Spesso la ecessità di u cambiameto di sistema di coordiate si ha el calcolo di itegrali; ciò accade ad esempio qualora il domiio di itegraioe è caratteriato da simmetrie tali da redere iadeguato l uso delle coordiate cartesiae. Suppoiamo di dover itegrare la uioe su u domiio V. Siao T T T le ormule di trasormaioe elle coordiate risulta allora: V dd d T T T d d d dove è il domiio V trasormato attraverso T e è detta matrice jacobiaa della trasormaioe T. Esempio: Suppoiamo di voler itegrare la uioe ( ) su u domio S e che risulti opportuo il cambiameto di variabile da cartesiae a polari; la matrice jacobiaa della trasormaioe è:
Appedice A- cos cos cos si ; si cos si si e segue che l itegrale di tale uioe el domio speciicato può esprimersi come: S d cos si dd cos si dd i cui rappreseta il uovo domiio di itegraioe. Il risultato coseguito attraverso l esempio precedete si presta ad u utile iterpretaioe geometrica. Il cambiameto di variabile richiede che si stabilisca l espressioe dell elemeto di area d elle coordiate speciicate i questo caso le coordiate polari. Dalla igura mostrata si può osservare che l elemeto iiitesimo di area può esprimersi attraverso dr queste coordiate come u rettagolo iiitesimo di lati d e d ; l elemeto rdj O J r r sij d area vale pertato dd così come dedotto i maiera aalitica. Aalogamete ello spaio come è mostrato dalla igura l elemeto iiitesimo di volume i coordiate seriche è il parallelepipedo di lati d d e si d pertato il volume di tale elemeto vale si ddd ; iatti la matrice jacobiaa della trasormaioe da coordiate cartesiae a coordiate seriche vale O r dr J rdj P sicos coscos sisi si si cos si si cos si. cos si
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