Costruzione dell immagine prospettica di un parallelepipedo. La difficoltà di costruzione dell immagine prospettica di un parallelepipedo equivale, tutto sommato, a quella che si incontra nella costruzione dell immagine prospettica di un cubo; infatti l unica differenza consiste nel fatto che le tre dimensioni devono essere liberamente modificabili tra loro, mentre nella costruzione di un cubo è sufficiente considerare una dimensione che dovrà essere usata per tutti i dodici spigoli. Immagine sul piano reale Il primo passo consiste nel costruire la pianta del solido che si vuole raffigurare sul piano reale, in modo da preparare la base dell immagine prospettica su cui si poggerà la costruzione che vogliamo raffigurare. La base è rettangolare, quindi bisogna disegnare un rettangolo. Conviene costruirne uno che sia ruotabile e traslabile, in modo che alla fine del disegno sarà possibile verificare e riscontrare alcune proprietà dell omologia. Costruzione di un rettangolo traslabile per un suo lato e ruotabile da un suo vertice 1. Si disegni il punto A sul piano reale e una circonferenza Γ di centro A e raggio pari ad un lato del rettangolo; si disegni un punto B su di essa. Il segmento AB sarà uno dei quattro lati del rettangolo. Nascondere la circonferenza. 2. Disegnare adesso una retta perpendicolare al segmento AB e passante per A. Su tale retta individuare un punto D che si trova ad una distanza pari alla seconda dimensione del rettangolo. 3. Disegnare la retta parallela ad AB passante per D e la parallela ad AD passante per B. Tali due rette si intersecano nel punto C, quarto vertice del rettangolo 4. Disegnare il rettangolo, con il comando poligono, avente per vertici i punti ABCD e nascondere tutte le rette usate per questa costruzione ed il segmento AB. Questo rettangolo sarà traslabile se trascinato dal vertice A, e ruotabile trascinando il vertice B attorno ad A.
Attenzione: il rettangolo così disegnato sarà ruotabile, traslabile e se ne potrà inoltre modificare il lato AD muovendo il vertice D. Si potrà inoltre modificare la lunghezza del lato AB mostrando, con il comando mostra-nascondi, la circonferenza Γ e modificandola. Chiaramente si può costruire una macro che, a partire dalla definizione di A, di Γ e di D, disegni automaticamente il rettangolo ABCD La prospettiva della base Il secondo passo per la costruzione del parallelepipedo consiste nel costruire l immagine prospettica del rettangolo. Per fare questo bisogna fissare la posizione sul piano reale dell osservatore rispetto la linea di terra. Indichiamo con il punto Oss un punto del piano reale che indica la posizione dell osservatore. Disegniamo anche la linea di terra (LT) che è l asse dell omologia, e la linea di orizzonte (LO) che è la linea dei punti corrispondenti dei punti all infinito. Il punto centrico dell omologia, si può ottenere proiettando ortogonalmente Oss su LO. Esso rappresenta il punto di fuga di tutte le rette che, sul piano reale, sono perpendicolari alla LT. Per disegnare il punto di fuga delle rette parallele al lato AB, Piero Della Francesca adoperava il seguente metodo: disegnava una retta parallela ad AB e passante per Oss. Questa retta interseca la LT in un punto che proiettato ortogonalmente a LT incontra la LO nel punto S 1 il cui simmetrico rispetto a inf è F 1 (detto punto di fuga ovvero è il punto all infinito di tutte le parallele ad AB). Analogamente disegnava la parallela ad AD passante per Oss che interseca la LT in un punto che proiettato perpendicolarmente a LT su LO individua la posizione del punto S 2 il cui simmetrico rispetto ad inf è F 2 (punto all infinito di tutte le parallele alla retta AD):
Nascondiamo adesso tutte le linee che sono servite per la costruzione di F 1 e F 2, fino ad avere davanti la seguente figura: Disegniamo le rette passanti per AB, per CD, per AD e per BC. Queste quattro rette intersecheranno rispettivamente nei punti G 1, G 2, G 3 e G 4 la LT. Se conduciamo adesso la retta passante per G 1 e F 1, ci rendiamo conto che l immagine omologa di A deve trovarsi su questa retta (che è l omologa di AB). Questa immagine deve trovarsi anche sulla retta passante per G 3 e F 2, che rappresenta l immagine omologa della retta AD. L immagine A di A si troverà pertanto nel punto di intersezione tra queste due rette. Analogamente si può fare per le immagini omologhe di B e C:
A questo punto non ci resta che nascondere un po di rette e lasciare evidenziati i punti A B C D che uniti con il comando poligono, descrivono i vertici dell immagine omologa del rettangolo ABCD: È superfluo dire che sarebbe comunque bastato fare uso delle macro già messe a punto precedentemente per ogni punto A B C D ed unire gli omologhi di ogni punto con un poligono, per ottenere l immagine omologa del rettangolo in figura. In tal caso avremmo dovuto prima trovare il centro dell omologia che si trova sulla retta per Oss. perpendicolare alla linea di terra LT e dista da LO tanto quanto Oss. dista da LT. Il procedimento qui esposto è stato figurato soltanto per rievocare i passi compiuti da Piero Della Francesca con il moderno strumento Cabrì. Le pareti verticali Dobbiamo adesso alzare la base del parallelepipedo e creare le facce laterali. A questo proposito dobbiamo renderci conto che il piano su cui le dimensioni reali non subiscono variazioni è il piano verticale passante per la LT, cioè proprio il piano su cui avviene la proiezione omologica. Se riportiamo, quindi, sulla perpendicolare alla LT per il punto G 1 precedentemente disegnato l altezza del parallelepipedo G 1 H e uniamo H con F 1 disegniamo proprio l immagine omologa della retta che
contiene lo spigolo superiore (che chiamiamo EF) del parallelepipedo parallelo ad AB. Per ottenere E F intersecheremo questa retta con le perpendicolari a LT per A e per B. Analogamente, unendo E con F 2 si costruisce la retta omologa a quella che contiene lo spigolo EM. Il punto M, a sua volta, si trova sulla perpendicolare alla LT passante per D. Risulta così determinato M e, tracciando il punto d intersezione tra la retta M F 1 e la retta F 2 F si determina anche il quarto vertice della base superiore L : Adesso non ci resta che unire i punti E F L M con un poligono per evidenziare l immagine omologica della base superiore del parallelepipedo. Unendo E con A, M con D, L con C e F
con B si disegnano gli spigoli verticali del parallelepipedo. Basta adesso nascondere le rette usate per la costruzione e si ottiene l immagine omologa di un parallelepipedo: A questo punto con il disegno fatto è possibile vedere come varia l immagine omologa di un parallelepipedo se si sposta l osservatore, o se si varia la forma della base del parallelepipedo, o anche se ne varia l altezza, o se cambia l altezza dell osservatore. Piero Della Francesca doveva fare un quadro diverso per ogni situazione diversa, a noi basta un semplice clic. Si osserva che se il lato AB è quasi parallelo alla LT, la prospettiva assume l aspetto che si evince nel caso particolare della cosiddetta prospettiva centrale. Se AB è perfettamente parallelo (o perpendicolare) a LT, l immagine prospettica scompare.