Analisi Matematica I a.a. -4. Prove scritte e risoluzioni. Pro. Paola Loreti e Daniela Sforza - Determinare il dominio di denizione e calcolare la derivata della funzione f() = e ; + log(log ) Per determinare il dominio di f, occorre imorre 6=,>elog> di conseguenza il dominio di f e ] [[] +[. Per calcolare la derivata di f, si devono utilizzare i teoremi sulla derivata del quoziente e sulla derivata di funzioni comoste, e quindi si ottiene f () = e ( ; ) ( ; ) + ] [[] +[ log - Studiare la funzione g() = ( +) In rimo luogo si osservi che g e denita er ogni R, 6= ;. I iti agli estremi del dominio sono dati da g() = g() =!;!+ g() =;!(;); g() =+!(;) + ne segue che l'asse y =eunasintoto orizzontale e la retta = ; e un asintoto verticale. Si noti ora che la derivata rima di g e data da g () =; er ogni 6= ; ( +) 4 e di conseguenza la funzione g e monotona strettamente decrescente. La derivata seconda di g e g () = er ogni 6= ; ( +) 5 da cui segue che g e concava er<;, mentre g e convessa er >;. E oortuno notare che si oteva anche giungere a queste conclusioni osservando semlicemente che il graco della funzione g si ottiene er traslazione da quello della funzione elementare!.
-Vericare mediante il rinciio di induzione che D n (log ) = (;)n; (n ; )! n Per n = l'uguaglianza e vera, in quanto D log = Si suonga che l'uguaglianza sia vera er un certo n N e si assi a riconoscere la stessa er n +. Infatti, er l'iotesi induttiva siha D n+ (log ) =DD n (log ) =(;) n; (n ; )! D( ;n )= (;)n n! n+ In conclusione, er il rinciio di induzione l'uguaglianza e vera er ogni n N. 4 - Calcolare log! + Per calcolare il ite richiesto, e conveniente determinare searatamente i iti Darima si osservi che! + log! +! + =! + e log = Per quanto riguarda il secondo ite, si noti che log = e log log(=) () Posto y ==, si assa a calcolare y!+ log log y.poiche tale ite si resenta nella forma indeterminata,siuo alicare il teorema di de l'h^oital il ite del raorto delle derivate e dato da Pertanto, grazie alla () si ha y!+ y y log y = log =! +
e di conseguenza log = log! +! + = 5 - Calcolare l'integrale Z ; ;j ; +j Z ; E suciente osservare che Z ;j ;+j d = ;(;) ; d = Z d ; ; i ; + d = h; + = ;6 ; 6 - Stabilire il carattere della serie X n= cos n n + Si consiglia di scrivere il termine n;esimo tramite la funzione seno in modo oortuno. In rimo luogo si osservi che la successione che denisce la serie assegnata e a termini ositivi e innitesima. Seguendo il suggerimento del testo, si scriva il termine n;esimo nel modo seguente n cos = sen n + ; n = =sen n + n + Tenendo resente il ite notevole sen! = er il criterio del confronto asintotico la serie assegnata ha lo stesso carattere della serie X n + n= e di conseguenza risulta convergente. - Calcolare l'integrale ; j ; j d
; Si osservi che j ; j d = Z ; ( ; ) d + ( ; ) d = i h ; 4 h 4 i + 4 ; 4 ; =4 - Studiare la funzione f() = j log j; In rimo luogo si osservi che f e denita er > e log 6=, cioe 6= e ; e 6= e. Al ne di studiare la funzione e oortuno osservare che f() = 8 >< > ; log + se > 6= e log ; I iti agli estremi del dominio sono dati da se < 6= =e f() = f() =+! +!(=e); f() =;!(=e) + f() =;!e; f() =+!e + f() =!+ ne segue che la funzione f uo essere estesa er continuita in da destra, le rette ==e e = e sono asintoti verticali e l'asse y =eunasintoto orizzontale. Si noti ora che la derivata rima di f e data da f () = 8 >< > (log +) se << 6= =e ; (log ; ) se > 6= e Pertanto, la funzione f e monotona strettamente crescente negli intervalli ] =e[ e]=e [, mentre f risulta monotona strettamente decrescente negli intervalli ] e[ e]e +[. Inoltre, si osservi che f non derivabile nel unto, in quanto La derivata seconda di f e data da f () = 8 >< > f () =; 6= =! +!; f () log + ; (log +) se << 6= =e log + (log ; ) se > 6= e Pertanto, = e ; e un unto di esso, f e concava negli intervalli ] e ; [, ]e ; [ e] e[, mentre f e convessa in ]e ; e ; [e]e +[.
-Vericare mediante il rinciio di induzione che er ogni n N il numero 4 n ; n + e divisibile er Per n = si ha 4 ; + =, che e ovviamente divisibile er. Si suonga ora che er un certo n N il numero 4 n ;n+ sia divisibile er e si assi a riconoscere la stessa aermazione er n +. A tal ne, si osservi che 4 n+ ;(n+)+ = 4 n ;n++4 n (4;); = 4 n ;n++(4 n ;) quindi er l'iotesi induttiva 4 n+ ; (n + ) + e divisibile er. In conclusione, grazie al rinciio di induzione er ogni n N il numero 4 n+ ; (n + ) + e divisibile er. 4 - Calcolare n!+ nx n k= k Per calcolare il ite richiesto, e conveniente tenere resente che nx k= k = n(n +) er ogni n N di conseguenza, Comito A n!+ n nx k= k = n(n +) n!+ n = - Calcolare l'integrale Z log j ; 9jd In rimo luogo si osservi che Z log j ; 9jd = Z log(9 ; )d Posto t =9;,integrando er sostituzione si ottiene Z log(9 ; )d = Z 9 5 log tdt
Inne, integrando er arti si ha Z log j ; 9jd = Z 9 5 log tdt = [t log t ; t]9 5 = (9 log 9 ; 5 log 5 ; 4) = 9 log ; 5 log 5 ; - Determinare il massimo assoluto della funzione nell'intervallo. f() = sen L'esistenza del massimo assoluto e assicurata dal teorema di Weierstrass, essendo f continua nell'intervallo assegnato. Poiche f () = sen ; cos < er ogni ne segue che la funzione f e decrescente in tale intervallo. Pertanto il massimo e assunto in evale. Si oteva giungere alla stessa conclusione, osservando semlicemente che f() =f er ogni - Calcolare!; ; sen Posto y = =, il ite assegnato diventa y!; y ; sen y y = y!; y ; sen y y Tenendo resente che sen y = y ; y! + o(y4 ) er y! si ha y! y ; sen y y = 6
Si noti che si giunge allo stesso risultato alicando il teorema di de l'h^oital e ricordando il ite notevole y! ; cos y y = In conclusione,!; ; sen = y!; y ; sen y y = 4 - Stabilire er quali valori del arametro > la serie +X k= e convergente e calcolarne la somma. ( log ) k Fissato >, la serie data e una serie geometrica di ragione log. Pertanto tale serie converge se j log j <, cioe e ;= <<e =,mentre non converge se jlogj. Per ogni e ;= <<e = la somma della serie e +X k= ( log ) k = log ; = ; log ; log Comito B - Calcolare l'integrale Z log j5 ; jd ; In rimo luogo si osservi che Z log j5 ; jd = Z ; ; log(5 ; )d Posto t =5;,integrando er sostituzione si ottiene Z ; log(5 ; )d = ; Z 5 log tdt
Inne, integrando er arti si ha Z ; ; log j5 ; jd = ; Z 5 log tdt = [t log t ; t]5 = ; (5 log(5) ; log() ; 4) = ;5 log 5 + log() + - Determinare il minimo assoluto della funzione nell'intervallo. f() = cos 4 L'esistenza del minimo assoluto e assicurata dal teorema di Weierstrass, essendo f continua nell'intervallo assegnato. Poiche f () = cos +sen > er ogni 4 ne segue che la funzione f e crescente in tale intervallo. Pertanto il minimo e assunto in evale. Si oteva giungere alla stessa conclusione, osservando semlicemente che f() =f er ogni 4 - Calcolare!+ ; sen Posto y = =, il ite assegnato diventa Tenendo resente che y ; sen y y! + y = y! + y ; sen y y sen y = y ; y! + o(y4 ) er y! si ha y! y ; sen y y = 6
Si noti che si giunge allo stesso risultato alicando il teorema di de l'h^oital e ricordando il ite notevole y! ; cos y y = In conclusione,!+ ; sen = y! + y ; sen y y = 4 - Stabilire er quali valori del arametro > la serie +X k= e convergente e calcolarne la somma. (4 log ) k Fissato >, la serie data e una serie geometrica di ragione 4 log. Pertanto tale serie converge se j4 log j <, cioe e ;=4 <<e =4,mentre non converge se j4logj. Per ogni e ;=4 <<e =4 la somma della serie e +X k= (4 log ) k = 4log ; = ; 4log ; 4log - Calcolare l'integrale Z ; ; e = ; e d In rimo luogo si osservi che Z ; e = d =[e = ] ; =(e = ; e ;= ) Posto t =,integrando er sostituzione si ottiene Z Z e d = t e t dt ; ; Inoltre, integrando er arti due volte si ha ; t e t dt = e t (t ; t +) ; = e ( 4 ; +); 5e ;
In conclusione Z ; e = ; e d =(e = ; e ;= ) ; e ( 4 ; + ) + 5e ; ; - Studiare la funzione f() = j log jjj In rimo luogo si osservi che f e denita er ogni R, 6 f ; g. Al ne di studiare la funzione e oortuno osservare che f e ari, e quindi basta studiarla er >. f() = 8 >< > se << ; log se > log I iti agli estremi del dominio sono dati da f() = f() =+! +!; f() =+ f() =! +!+ ne segue che la retta =e un asintoto verticale e l'asse y =e un asintoto orizzontale. Inoltre, si osservi che rolungando f er continuita in (onendo f() = ), la funzione cosi ottenuta ha nel unto un minimo assoluto. Si noti ora che la derivata rima di f e data da f () = 8 >< > (log ) se << ; se > (log ) Pertanto, la funzione f e monotona strettamente crescente in ] [, mentre f risulta monotona strettamente decrescente in ] +[. La derivata seconda di f e data da f () = 8 >< > log (log +) ; (log ) 4 se << log (log +) (log ) 4 se > Pertanto, = e ; e un unto di esso, f e concava negli intervalli ] e ; ], mentre f e convessa in ]e ; [ e ] +[.
- Stabilire il carattere della serie X +=n n= La serie assegnata e a termini ositivi, di conseguenza uo solo convergere o divergere ositivamente oiche n!+ +=n = la serie e divergente, in quanto non e vericata la condizione necessaria alla convergenza. 4 - Calcolare n!+ n 4n (n 4 ; ) n Utilizzando la disuguaglianza di Bernoulli, er ogni n si ha ; n ; n 4 n < e quindi n!+ n 4n (n 4 ; ) n = n!+ ; n 4 n = - Calcolare l'integrale log ( + )( ; 4) d In rimo luogo si osservi che log j( + )( ; 4)jd = Integrando er arti si ha log( +)d = log( +)d + log j +jd + log( +) ; log(4 ; )d log j ; 4jd = + d = ; 4 + 4 log 4
Inoltre, con rocedimento analogo al recedente si ha In conclusione, log(4 ; )d = ; 4 + 8 log 4 log j( +)( ; 4)jd = ;9+log4 - Studiare la funzione f() = ; tg Periodicita La funzione e eriodica di eriodo, e quindi basta studiarla nell'intervallo (;= =). Dominio. La funzione e denita er ; tg > cio er ;= <=4. Eventuali zeri. La funzione si annulla in =4. Comortamento ai iti. Si osservi che!(;=)+ ; tg =+ in quanto la funzione e ositiva. Derivata rima. Massimi, minimi relativi. f () =; cos ( ; tg ) = Si annulla in = e f() = e un minimo relativo. Nell'intervallo considerato la derivata rima esiste semre, ertanto non vi sono altri unti da esaminare. Derivata seconda. Concavita, convessita. Flessi. f () =; cos + cos ; 4( ; cos ) 5= = cos + 4( ; cos ) = La derivata seconda e semre ositiva, e quindi la funzione e convessa in ( ). Inoltre f() = e un minimo assoluto, e il codominio della funzione e [= +).
- Stabilire il carattere della serie al variare del arametro R. X k= e (; )k La serie assegnata e una serie geometrica di ragione e ; di conseguenza converge solo er e ; <, cioe ; <. In conclusione, la serie assegnata converge er ; << oure >. - Determinare tutti i valori del arametro [; ] in modo che si abbia ; j ; j d = 7 ; Si osservi che j;j d = Z ; (;) d+ (;) d = i h; h i + ; ; = ;+ Pertanto i valori richiesti del arametro devono vericare l'equazione cioe = ; e =. - Studiare la funzione ; + = 7 f() = ; tg Periodicita La funzione e eriodica di eriodo, e quindi basta studiarla nell'intervallo (;= =). Dominio. La funzione e denita er cioe er;= < =4. Eventuali zeri. La funzione si annulla in =4. ; tg >
Comortamento ai iti. Si osservi che!(;=)+ ; tg =+ in quanto la funzione e ositiva. Derivata rima. Massimi, minimi relativi. f () =; cos ( ; tg ) = ; +tg = ( ; tg ) = Nell'intervallo considerato la derivata rima esiste semre. La funzionee monotona decrescente. Derivata seconda. Concavita, convessita. Flessi. f () = ( + tg ) tg ; 4tg ; 4( ; tg ) = La derivata seconda si annulla er tg ; 4tg ; =, cioe tg = 7.Si osservi che (+ 7)= >, e quindi e da scartare. Pertanto f ha un unto di esso in = arctg(( ; 7)=) e la funzione e convessa in (;= arctg(( ; 7)=)) e concava (arctg(( ; 7)=) =4). Un graco arossimativo dif e il seguente - Stabilire i valori del arametro R er i quali la serie converge e calcolare la somma. X k= () k La serie assegnata e una serie geometrica di ragione di conseguenza converge solo er jj <, cioe jj < =. Inoltre, er ogni jj < = si ha X k= () k = ; = ; ; - Calcolare l'integrale Z 4 ; e j;j d
Si osservi che Z 4 ; e j;j d = ; e ; d + Z 4 e ; d ; Z 4 e ; d = e ; ; e ; d = ;e ; ( +)j ; = ;4 e ; d = e ; e d = e ; ( ; )j 4 =e ; In conclusione, Z 4 ; e j;j d =(e ; ) - Studiare la funzione f() = log j +6j In rimo luogo si osservi che f e denita er ogni R, 6=. Al ne di studiare la funzione e oortuno osservare che f e ari, e quindi basta studiarla er >. I iti agli estremi del dominio sono dati da f() =; f() =+! +!+ ne segue che la retta =e un asintoto verticale. Si noti ora che la derivata rima di f e data da f () = +6 +6 > Pertanto, la funzione f e monotona strettamente crescente in ] +[. La derivata seconda di f e data da f () = 6( +6) ; ( + 6) = ; 4 +56 ( +6) ( +6) > di conseguenza, f e concava in] +[.
- Dire er quali R si ha n! ( ; +) n = Si deve imorre Essendo ( ; +), si ha e quindi <<. - Calcolare l'integrale Z ; ; j( ; +) j < j ; +j < log(j +j;) d Si osservi che Z ; ; log(j +j;) d = Integrando er arti, si ha Z ; ; Z ; ; log( +) d = log( +) ; ; ; Z ; Z ; log( + ) d + log(; ; ) d ; ; log ; + + d = log + log ; Z ; ; h; i d = + Z ; ; log(; ;) d = log(; ;) ; ; ; Z ; In conclusione, Z ; ; 4 log ; ; + + d = log ; Z ; log(j +j;) d = log + 4 log ; 4 ; h; i d = + - Studiare la funzione f() =log sen
L' insieme di denizione e l'insieme dei numeri reali tali che sen >, ossia f R k<<(k +) k Zg Per la eriodicita, si uo studiare la funzione in ( ). Si osservi che, essendo sen er ogni reale, la funzione e negativa enulla nei unti in cui sen = ossia (nell'intervallo ( )) nel unto =,unto di massimo assoluto. Per i iti si ha! + log sen = ; La derivata rima!; log sen = ; f () = cos sen si annulla er =, unto di massimo assoluto in cui si annulla anche la funzione. La derivata seconda f () =; sen e semre negativa, e dunque la funzione e concava. - Calcolare, se esiste, n! n( ; arctg( n +5n)) In rimo luogo si osservi che il ite assegnato e una forma indeterminata del tio. E conveniente alicare il teorema di de l'h^oital al raorto di funzioni reali ; arctg( +5) = Il ite del raorto delle derivate e dato da!+ +( +5) +5 = 5 e quindi er il teorema di de l'h^oital si ottiene ; arctg( +5)!+ = = 5
In conclusione, il valore del ite assegnato e 5 Si u anche calcolare il ite assegnato senza alicare il teorema di de l'h^oital, ma utilizzando l'uguaglianza arctg + arctg = er ogni > e il ite notevole - Calcolare l'integrale n! n arctg n = =5 j log( ; 4)j d Si osservi che j log( ; 4)j d = ; Z 5 =5 =5 log( ; 4) d + 5 log( ; 4) d Poiche =5 >, si u scrivere Z Z log( ; 4) d = log( ; ) d + Z log( +) d Integrando er arti, si ha Z Z log( ; ) d =( ; ) log( ; ) ; + c log( +) d =( + ) log( +); + c e quindi Z log( ; 4) d = log( ; 4) + log + ; ; + c c R In conclusione, =5 j log( ; 4)j d = ;8 log( 5+)+4 5+ 5 log() + 5 log 5 ; 5 5 - Studiare la funzione f() =e j ;9j+
La funzione assegnata f() e denita er ogni R. Per i iti si ha Si osservi ora che f() = 8 < e ;9+ La derivata rima e data da f () = 8 < f() =+! se ; oure e ; +9+ se ; << e ;9+ ( +) se <; oure > e ; +9+ (; +) se ; << e f non e derivabile nei unti ; e. Pertanto f e decrescente in ] ; ;[ mentre e crescente in ] +[. Inoltre, f e crescente in ] ; =[, e decrescente in ]= [, e quindi il unto == edi massimo relativo erf. La derivata seconda e datada f () = 8 < e ;9+ [( +) +] se <; oure > e ; +9+ (4 ; +7) se ; << e di conseguenza f e convessa negli intervalli ] ; ;[ e ] +[, mentre f e convessa negli intervalli ] ; ( ; )=[ e ]( + )= [, ed e concava in ]( ; )= ( + )=[. Pertanto i unti ( )= sono di esso er f. - Calcolare, se esiste, = ; cos! + In rimo luogo si osservi che il ite assegnato e una forma indeterminata del tio. E oortuno tener resente il ite notevole ; cos t = t! t Infatti, osto t = =, si ha ; cos! + = = 9 ; cos t = t! t 8