Corso di Fisica tecnica e ambientale a.a. 2011/2012 - Docente: Prof. Carlo Isetti ELEMENTI DI STATICA DEI FLUIDI 4.1 GENERALITÀ In generale si parla di materia allo stato fluido quando le forze di coesione che si esercitano tra le particelle costituenti (molecole o atomi) risultano assai ridotte rispetto a quanto si verifica per corpi solidi. I fluidi sono, quindi, caratterizzati da una più o meno grande mobilità e deformabilità potendo scorrere o più propriamente fluire anche sotto l'azione di forze di ridotta entità. In generale, i fluidi possono essere distinti in aeriformi e in liquidi: gli aeriformi sono comprimibili ed occupano sempre interamente il volume a loro disposizione i liquidi risultano invece praticamente incomprimibili, occupano un volume definito e quindi possono presentare superfici libere. In conseguenza della già accennata grande mobilità delle particelle risulta possibile applicare ad un fluido in quiete solo forze uniformemente distribuite su superfici e a queste normali. Se si cercasse di applicare forze non normali e cioè forze caratterizzate da una componente tangenziale, vi sarebbero movimenti interni al fluido stesso (ad esempio strati fluidi scivolerebbero l'uno relativamente all' altro). Nei fluidi in movimento, come si vedrà, tra strati interni di fluido in moto relativo l'uno rispetto all'altro si manifestano anche forze tangenziali (forze di attrito viscoso). 4.2 PRESSIONE Si consideri un punto O all'interno di un fluido in quiete ed una superfice da nell'intorno di tale punto. Si definisce pressione P nel punto O la quantità: P = df n /da [N/m 2 ] e cioè il rapporto tra la forza agente normale alla superficie df n e la superficie stessa. L' unità di misura della pressione nel sistema S.I. è il Pascal 1 [Pa] = 1 [N/m 2 ] Si utilizza frequentemente anche il multiplo Bar: 1 [Bar] = 10 5 [Pa]
4.3 PRINCIPIO DI PASCAL E LEGGE DI STEVINO Si consideri nuovamente il punto O all'interno di un fluido in quiete; la pressione nell'intorno del suddetto punto è indipendente dalla direzione, ovvero si trasmette in ogni altro punto e in tutte le direzioni con la stessa intensità (Principio di Pascal). In altre parole sulla superficie da, comunque essa sia orientata, agisce la stessa forza df n. Il valore della pressione locale in un fluido in quiete, soggetto all'accelerazione di gravità, varia con la profondità (distanza dal pelo libero). L'equazione fondamentale dell'idrostatica (legge di Stevino) può dedursi dalle seguenti osservazioni. Si consideri ad esempio, come rappresentato in figura, un recipiente con del liquido in quiete; se si isola idealmente un cilindro di fluido di volume V, delimitato dalle superfici rappresentate in figura (area di base A), dovrà risultare: F v 0 ove con F v si indica la risultante delle forze verticali agenti sul cilindro di fluido. Indicando con A l'area di base del cilindro e con h la sua altezza (misurata a partire dalla superficie del liquido) ovviamente il suo volume risulta V = Ah. Detta P o la pressiome agente sulla superficie libera esposta all atmosfera (area A) e assumendo positive le forze che agiscono verso il basso, si può scrivere la condizione di equilibrio 0 nella forma: F v F 1 + F 2 - F 3 = 0 ove evidentemente può porsi: F 1 = P o A F 2 = m g = g V = g A h F 3 = P A e, quindi, risulta: P = P o + g h La pressione P nel liquido aumenta quindi linearmente con h e cioè con la distanza dal pelo libero o profondità. La pressione esercitata in un punto all'interno di una massa fluida risulta costante in tutti i punti alla stessa profondità, indipendentemente dalla forma del recipiente.
In figura sono rappresentati tre recipienti di forma differente, con la stessa area di base A: essi contengono ognuno una diversa quantità di fluido. Se il livello del liquido è lo stesso nei tre recipienti come rappresentato in figura anche la pressione idrostatica P sul fondo del recipiente sarà sempre la stessa dipendendo solo dalla distanza h dal pelo libero. Ovviamente la massa di liquido contenuto nei tre casi può essere molto differente. Esempio Si vuole valutare la variazione di pressione P - P o esistente tra la superficie del mare e un punto sott'acqua alla profondità di 60 metri. Soluzione In base alla legge di Stevino risulta, essendo in questo caso h = 60 (m) e = 1000 (kg/m 3 ): P - P o = g h = 1000 9.81 60 = 588600 (Pa) = 5.886 (Bar) Vasi comunicanti Si consideri il tubo a U rappresentato in figura ove due liquidi non miscibili, di densità 1 e 2, raggiungono nei due rami rispettivamente le altezze h' e h". Poiché la pressione in A è la stessa sia che la si valuti lungo la colonna di sinistra che di destra si ha: P 1 = P o + 'g h' = P 2 = P o + "g h" Da questa relazione si ottiene che: h' / h" = " / ' da cui risulta che i due liquidi raggiungono nei due rami, in condizioni di equilibrio, altezze (valutate in riferimento all interfaccia tra i due liquidi) inversamente proporzionali alle densità.
In particolare se i due tubi comunicanti vossero riempiti con lo stesso liquido, essendo ' = ", si avrebbe h' = h". Tale risultato si può estendere al caso di più tubi comunicanti, nei quali lo stesso liquido raggiunge in tutti lo stesso livello. 4.4 MISURA DELLA PRESSIONE ATMOSFERICA In questa esperienza un tubo di vetro chiuso ad una estremità e sufficientemente lungo (ad esempio lungo 1 m) viene riempito completamente di mercurio. Successivamente si immerge l'altra apertura, opportunamente chiusa con un tappo, in una bacinella contenente anch'essa mercurio. Se ora si rimuove il tappo e si dispone il tubo verticalmente, il metallo contenuto nel tubo defluisce nella bacinella fino a quando non si stabilisce un dislivello tra il livello del metallo rimasto nel tubo e quello nella bacinella di circa H = 0.76 [m], come rappresentato in figura (ciò almeno se l'esperienza viene effettuata in una località che si trovi all' incirca sul livello del mare). In base a questa famosa esperienza (esperienza di Torricelli) è possibile rendersi conto dell esistenza di una pressione atmosferica P a e di misurarne l entità. In corrispondenza infatti alla sezione A del tubo, indicata in figura, deve essere verificato l'equilibrio tra le forze F 1 e la forza peso della colonna di mercurio F 2
Si puo scrivere: P a A= m g = Hg g H A E, quindi : P a = Hg g H La densità del mercurio vale Hg = 13560 [kg/m 3 ], per cui il valore della pressione atmosferica che corrisponde a H= 0.76 [m] al livello del mare è: P a = Hg g H = 13560 9.81 0.76 = 101300 [Pa], in Bar, evidentemente è: P a = 1.013 [Bar] Spesso si utilizza anche il sottomultiplo millibar definito dalla relazione: 1 millibar = 10-3 [Bar] per cui risulta anche che: P a = 1013 millibar Se si ripetesse una esperienza simile con acqua (densità a ), anzichè con mercurio, l'altezza della colonna liquida H sarebbe diversa come subito si verifica: H = P a / a g = 10.3 [m]. 4.5 PRINCIPIO DI ARCHIMEDE Si consideriamo un volume arbitrario di fluido V definito da qualsivoglia confine immaginario posto all interno di un fluido in quiete (vedi figura). Il volume di fluido esso risulta in quiete malgrado su di esso agisca la forza peso. Poichè la risultante delle forze verticali è nulla, dal momento che il corpo è fermo, all'azione della forza peso F = f g V agente sul volume di fluido deve corrispondere una reazione eguale e contraria esercitata dal fluido circostante detta spinta archimedea a spinta idrostatica. La spinta idrostatica S deve valere, quindi: S = - f g V.
Generalizzando, si può affermare che un qualunque corpo immerso in un fluido è soggetto all'azione di due forze verticali opposte: la forza peso F diretta verso il basso e la spinta archimedea S diretta verso l'alto pari alla forza peso del fluido spostato. Infatti se si sostituisse la porzione di fluido occupante il volume V in figura con un solido di diverso materiale avente però stessa forma e volume, la reazione S sarebbe la stessa non potendo distinguere tra le due situazioni. Ovviamente la forza peso agente sul corpo dipenderà dalla sua densità c (F = c g V). Pertanto se c < f, sul corpo agira una forza risultante diretta verso l alto e questo galleggierà, mentre nel caso opposto affonderà. Esempio Un cubo di legno alto l = 0.12 m galleggia in acqua fuoriuscendo da questa per un tratto b = 0.01 m. Si determini la densità c del cubo di legno. Soluzione Le forze agenti sul cubo sono: F = c g V S = - l g V' e quindi in base alla condizione di equilibrio F + S = 0 risulta: c g l 3 = l g l 2 (l - b) La densità c risulta quindi pari a: c ( 3 l ( kg / m l b) 916 l )