I NUMERI NATURALI DEFINIAMO NUMERI NATURALI I NUMERI A CUI CORRISPONDE UN INSIEME. 0 (ZERO) INDICA LA QUANTITÀ DI ELEMENTI DELL INSIEME VUOTO. A = (ALUNNI DI 4ª A CON I CAPELLI ROSSI) NESSUN ALUNNO HA I CAPELLI ROSSI QUINDI L INSIEME È VUOTO. 1 (UNO) INDICA LA QUANTITÀ DI ELEMENTI DELL INSIEME UNITARIO B = (CLASSI CHE HANNO LA LIM) SOLO LA 4ª A HA LA LIM QUINDI L INSIEME È UNITARIO. LA SERIE DEI NUMERI NATURALI PROCEDE AGGIUNGENDO UN ELEMENTO ALLA QUANTITÀ PRECEDENTE. IL SUCCESSORE DI 1 È 2 (DUE) IL SUCCESSORE DI 2 È 3 (TRE) E COSÌ VIA ALL INFINITO PERCHÉ PER QUANTO GRANDE SIA LA QUANTITÀ DI ELEMENTI RAGGIUNTA POSSIAMO SEMPRE AGGIUNGERE UNO E POI ANCORA UNO NELL INSIEME DEI NUMERI NATURALI (N) SONO SEMPRE POSSIBILI L ADDIZIONE E LA MOLTIPLICAZIONE SONO OPERAZIONI INTERNE ALL INSIEME (N). HANNO LA PROPRIETÀ COMMUTATIVA: CAMBIANDO L ORDINE DEGLI ADDENDI (ADDIZIONE) O DEI FATTORI (MOLTIPLICAZIONE) IL RISULTATO NON CAMBIA. (7 + 5) = (5 +7) = 12 (7 X 5) = (5 X 7) = 35 LA PROPRIETÀ ASSOCIATIVA: SE DEVO SOMMARE TRE O PIÙ NUMERI POSSO SOSTITUIRE DUE O PIÙ ADDENDI CON LA LORO SOMMA. SE DEVO MOLTIPLICARE TRE O PIÙ NUMERI POSSO SOSTITUIRE DUE O PIÙ FATTORI CON IL LORO PRODOTTO. (3 + 4 + 6 + 5) = 3 + (4 + 6) + 5 = 18 (2 X 3 X 4 X 5) = 2 X 3 X (4 X 5) = 120. 0 (ZERO) È L ELEMENTO NEUTRO DELL ADDIZIONE. (7 + 0) = 7 (12 + 0) = 12 (0 + 9) = 9 1 (UNO) È L ELEMENTO NEUTRO DELLA MOLTIPLICAZIONE. (7 X 1) = 7 ( 9 X 1) = 9 (1 X 23) = 23 0 (ZERO) È L ELEMENTO ASSORBENTE DELLA MOLTIPLICAZIONE ANNULLA IL PRODOTTO. (999 X 0) = 0 (0 X 2345) = 0
I NUMERI INTERI LA SOTTRAZIONE NON È UN OPERAZIONE INTERNA ALL INSIEME (N) INFATTI È POSSIBILE SOLO SE IL MINUENDO È MAGGIORE O UGUALE AL SOTTRAENDO. PER ESEGUIRE LA SOTTRAZIONE SENZA CONDIZIONI È NECESSARIO ALLARGARE IL CAMPO NUMERICO AGGIUNGENDO I NUMERI NEGATIVI. (5 7)= -2 (MENO DUE) IL NUMERO -2 INDICA CHE MI MANCANO DUE ELEMENTI. NON ESISTE UN INSIEME CHE INDICA LA QUANTITÀ -2 SULLA LINEA DEI NUMERI A DESTRA DELLO ZERO HO LA SERIE DEI NUMERI INTERI POSITIVI: -6-5 -4-3 -2-1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +1 +2 +3 (DI SOLITO IL SEGNO + È SOTTOINTESO) A SINISTRA DELLO ZERO HO LA SERIE DEI NUMERI NEGATIVI: -3-2 -1 PER TROVARE IL SUCCESSORE DI UN NUMERO POSITIVO DEVO AGGIUNGERE 1 PER TROVARE IL SUCCESSORE DI UN NUMERO NEGATIVO DEVO TOGLIERE 1 L INSIEME (Z) DEI NUMERI INTERI COMPRENDE I NUMERI NATURALI (ZERO PIÙ INTERI POSITIVI) E GLI INTERI NEGATIVI. LA SOTTRAZIONE È UN OPERAZIONE INTERNA ALL INSIEME (Z). LA SOTTRAZIONE NON È COMMUTATIVA E NON È ASSOCIATIVA. HA LA PROPRIETÀ INVARIANTIVA: (7 5) = (7+3) (5+3) = 2 (7-5) = (7-3) (5-3) = 2 PER LA PROPRIETÀ INVARIANTIVA POSSO AGGIUNGERE O TOGLIERE UNA STESSA QUANTITÀ AL MINUENDO E AL SOTTRAENDO SENZA CAMBIARE IL RISULTATO. LO ZERO È ELEMENTO NEUTRO SOLO A DESTRA. (5-0)=5 (10-0)=10 (0-5)= -5 (0-10)= -1
I NUMERI RAZIONALI NELL INSIEME (N) LA DIVISIONE È POSSIBILE SOLO SE IL DIVIDENDO È UN MULTIPLO DEL DIVISORE. SE INVECE IL DIVISORE NON È CONTENUTO UN NUMERO ESATTO DI VOLTE NEL DIVIDENDO IL RISULTATO NON È UN NUMERO INTERO. (9:3)= 3 (7:3)= 2 RESTO 1 DIVIDO PER 3 IL RESTO (1:3)= 1/3 (UN TERZO). IL NUMERO 1/3 INDICA UNA PARTE DI UN INTERO QUINDI (7:3)= 2+1/3 LA FRAZIONE 1/3 CORRISPONDE AL NUMERO DECIMALE 0,33 (È UN NUMERO DECIMALE PERIODICO) QUINDI (2+0,33)= 2,33. DEFINIAMO NUMERI RAZIONALI L INSIEME DEI NUMERI CHE POSSONO ESSERE SCRITTI IN FORMA DI FRAZIONE. LA DIVISIONE È UN OPERAZIONE INTERNA ALL INSIEME (Q) DEI NUMERI RAZIONALI. NON È COMMUTATIVA E NON È ASSOCIATIVA. HA LA PROPRIETÀ INVARIANTIVA: (12:8)= (12X3):(8X3)= 1,5 (12:8)= (12:2):(8:2)= 1,5 POSSO MOLTIPLICARE O DIVIDERE PER UNO STESSO NUMERO SIA IL DIVIDENDO SIA IL DIVISORE IL RISULTATO NON CAMBIA. (25:1)= 25 (1:25)= 1/25 (0,04) IL NUMERO 1 È ELEMENTO NEUTRO SOLO A DESTRA (12 : 0) = [?] NON ESISTE UN NUMERO CHE MOLTIPLICATO PER ZERO DIA PER RISULTATO 12 (O UN QUALSIASI ALTRO NUMERO DIVERSO DA ZERO) (0 : 0) = [?] IMPOSSIBILE (TUTTI I NUMERI MOLTIPLICATI PER ZERO DANNO ZERO COME RISULTATO) (0:8)= 0 ZERO DIVISO PER QUALSIASI NUMERO DIVERSO DA ZERO FA ZERO (QUALSIASI NUMERO MOLTIPLICATO PER ZERO = 0) SISTEMI DI NUMERAZIONE IL NOSTRO SISTEMA DI NUMERAZIONE È UN SISTEMA POSIZIONALE A BASE 10. QUESTO SIGNIFICA CHE, PER CONTARE, UTILIZZIAMO DIECI CIFRE: 0-1 - 2-3 - 4-5 - 6-7 - 8-9
E CHE QUESTE CIFRE ASSUMONO UN VALORE DIVERSO SECONDO LA POSIZIONE IN CUI LE SCRIVIAMO. SE SCRIVIAMO AD ESEMPIO IL NUMERO 301 O IL NUMERO 103 USIAMO LE STESSE CIFRE, MA CAMBIA IL LORO VALORE; NEL PRIMO NUMERO IL 3 INDICA LE CENTINAIA (TRECENTO) LO 0 INDICA LE DECINE (ZERO) L 1 INDICA LE UNITÀ (UNO); NEL SECONDO NUMERO L 1 INDICA LE CENTINAIA (CENTO) LO 0 INDICA LE DECINE (ZERO) IL 3 INDICA LE UNITÀ (TRE). LO ZERO IN ENTRAMBI I NUMERI SERVE AD OCCUPARE UNA POSIZIONE, SENZA LO ZERO LEGGEREMMO 31 IL PRIMO E 13 IL SECONDO. I SISTEMI DI NUMERAZIONE ANTICHI ERANO QUASI TUTTI SISTEMI ADDITIVI A BASE 10 IL NUMERO 301 (TRECENTOUNO) PER GLI ANTICHI ROMANI ERA CCCI ( TRE DA CENTO PIÙ UNO) IL NUMERO 103 (CENTOTRE) ERA CIII (UNO DA CENTO PIÙ TRE DA UNO). ESISTONO SISTEMI DI NUMERAZIONE NON IN BASE 10, AD ESEMPIO CONTIAMO I MINUTI E I SECONDI IN BASE 60 (COME GLI ANTICHI SUMERI). IL SISTEMA OPERATIVO DEI COMPUTER INVECE FUNZIONA CONTANDO IN BASE 2 UTILIZZA SOLO 2 CIFRE: 0-1. UNO UNO ZERO DUE UNO UNO TRE UNO ZERO ZERO QUATTRO
UNO ZERO UNO CINQUE UNO UNO ZERO SEI UNO UNO UNO SETTE UNO ZERO ZERO ZERO OTTO UNA NUOVA OPERAZIONE: L ELEVAZIONE A POTENZA. ABBIAMO DETTO CHE IL NOSTRO SISTEMA DI NUMERAZIONE È POSIZIONALE A BASE 10. QUESTO SIGNIFICA CHE LE CIFRE ASSUMONO UN VALORE DIVERSO CHE DIPENDE DALLA LORO POSIZIONE. CENTINAIA DI MIGLIAIA DECINE DI MIGLIAIA MIGLIAIA CENTINAIA DECINE UNITÀ 10X10X10X10X10 10X10X10X10 10X10X10 10X10 10 1 100000 10000 1000 100 10 1
PER SCRIVERE NUMERI MOLTO GRANDI SI USA LA SCRITTURA ESPONENZIALE. 10 È LA BASE, L ESPONENTE INDICA QUANTE VOLTE HO MOLTIPLICATO LA BASE PER SE STESSA. 10 2 (SI LEGGE DIECI ALLA SECONDA) 10 È LA BASE, 2 (SCRITTO IN APICE) È L ESPONENTE CHE INDICA QUANTE VOLTE HO MOLTIPLICATO LA BASE PER SE STESSA. 10 2 = 10X10 = 100 10 3 = 10X10X 10 = 1000 E COSÌ VIA 10 12 INDICA UN 1 SEGUITO DA 12 ZERI 1.000.000.000.000 10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1 10 0 MILIARDI MILIONI HK DAK K H DA U QUESTA OPERAZIONE SI CHIAMA ELEVAZIONE A POTENZA, È POSSIBILE ELEVARE A POTENZA QUALSIASI NUMERO, QUANDO ABBIAMO CONTATO IN BASE 2 I GRUPPI INDICAVANO LE POTENZE DEL NUMERO 2. 2 4 = 2X2X2X2 = 16 2 6 = 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 2 = 64 CONTANDO IN BASE 5 ABBIAMO LE POTENZE DEL NUMERO 5 5 3 = 5 X 5 X 5 = 125 QUALSIASI NUMERO ELEVATO A ZERO = 1 5 0 = 1-2 0 = 1 QUALSIASI NUMERO ELEVATO A 1 È UGUALE A SE STESSO 5 1 = 5-2 1 = 2 OPERAZIONI CON LE POTENZE L ELEVAZIONE A POTENZA HA LA PRECEDENZA SULLE ALTRE OPERAZIONI. ADDIZIONI E SOTTRAZIONI TRA POTENZE: DEVO CALCOLARE LA POTENZA E POI ESEGUIRE L OPERAZIONE 2 3 + 2 4 3 2 = = 8 +16 9 =15 MOLTIPLICAZIONI E DIVISIONI SE LE BASI SONO DIVERSE DEVO CALCOLARE LA POTENZA E POI ESEGUIRE L OPERAZIONE 3 2 X 2 5 : 4 2 = = 9 X 32 : 16 = = 288 :16 = 18 SE LE BASI SONO UGUALI PER ESEGUIRE LE MOLTIPLICAZIONI O LE DIVISIONI POSSO SOMMARE O FARE LA DIFFERENZA TRA GLI ESPONENTI
2 3 X2 5 = 2 3+5 = 2 8 = 256 INFATTI 8 X 32 = 256 3 5 : 3 3 = 3 5-3 = 3 2 = 9 INFATTI 243 : 27 = 9 ELEVAZIONE A POTENZA SE DEVO FARE LA POTENZA DI UNA POTENZA POSSO MOLTIPLICARE TRA LORO GLI ESPONENTI (2 3 ) 2 = 2 3X2 = 2 6 = 64 INFATTI 8 2 = 64 NOTAZIONE ESPONENZIALE BASE 10 10 4 10 3 10 2 10 1 10 0 10-1 10-2 10-3 10000 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 DECIMI 10 2 : 10 3 = 10-1 1/10 0,1 CENTESIMI 10 0 : 10 2 = 10-2 1/100 0,01 MILLESIMI 10 2 : 10 5 = 10-3 1/1000 0,001 NUMERI PRIMI E NUMERI COMPOSTI CONSIDERIAMO LA SERIE DEI NUMERI NATURALI: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ALCUNI NUMERI POSSONO ESSERE DIVISI SOLO PER SE STESSI E PER L UNITÀ. ALTRI INVECE HANNO MOLTI DIVISORI. 6 È DIVISIBILE PER 2 E PER 3 30 È DIVISIBILE PER 2 PER 3 E PER 5 8 È DIVISIBILE PER 2 3 (2X2X2) 2 È DIVISIBILE SOLO PER 2 E PER 1 3 È DIVISIBILE SOLO PER 3 E PER 1
I NUMERI CHE HANNO COME DIVISORI SOLO SE STESSI L UNITÀ SONO I NUMERI PRIMI, QUELLI CHE INVECE AMMETTONO ALTRI DIVISORI SONO NUMERI COMPOSTI. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 PER TROVARE I NUMERI PRIMI ABBIAMO USATO UN METODO INVENTATO DA UN MATEMATICO GRECO VISSUTO CIRCA 2200 ANNI FA. PRIMA ABBIAMO TOLTO TUTTI I MULTIPLI DI 2 (NUMERI PARI) POI I MULTIPLI DI 3 POI QUELLI DI 5 E COSÌ VIA. SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI TUTTI I NUMERI COMPOSTI POSSONO ESSERE SCOMPOSTI IN FATTORI PRIMI IN QUESTO MODO: 324 2 162 2 81 3 27 3 9 3 3 3 1 324 = 2 X 2 X 3 X 3 X 3 X 3
324 = 2 2 X 3 4 342 2 171 3 57 3 19 19 1 342 = 2 X 3 2 X 19 OPERAZIONI CON LE FRAZIONI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE PER ESEGUIRE UNA SOMMA O UNA DIFFERENZA TRA FRAZIONI CHE HANNO LO STESSO DENOMINATORE DEVO FARE LA SOMMA O LA DIFFERENZA TRA I NUMERATORI 2/7+3/7=5/7 3/5-2/5=1/5 SE LE FRAZIONI HANNO DENOMINATORI DIVERSI DEVO APPLICARE LA PROPRIETÀ INVARIANTIVA PER TROVARE FRAZIONI EQUIVALENTI CON LO STESSO DENOMINATORE. 2/6+3/15= 2/6->4/12->6/18->8/24->10/30 3/15->6/30 10/30+6/30=16/30 3/5-3/15= 3/5->6/10->9/15 9/15-3/15=6/15 MOLTIPLICAZIONE PER MOLTIPLICARE TRA LORO 2 FRAZIONI DEVO MOLTIPLICARE TRA LORO I NUMERATORI E I DENOMINATORI 2/3X3/4=6/12 DIVISIONI 12/9:4/3=3/3 IN QUESTO CASO POSSO DIVIDERE NUMERATORE CON NUMERATORE E DENOMINATORE CON DENOMINATORE. 16/9:8/5=
PER ESEGUIRE QUESTA DIVISIONE DEVO MOLTIPLICARE LA PRIMA FRAZIONE PER L INVERSO DELLA SECONDA. (COME FACEVANO GLI ANTICHI EGIZI PER ESEGUIRE LE DIVISIONI) 16/9X5/8=80/72 OPPOSTO E INVERSO DI UN NUMERO NELL INSIEME DEI NUMERI INTERI L OPPOSTO DI UN NUMERO (A) È UN NUMERO (B) TALE CHE (A+B)=0 QUINDI (A) SOMMATO AL SUO OPPOSTO (B) DÀ COME RISULTATO L ELEMENTO NEUTRO. (+2) + (-2) = 0 (-5) + (+5) = 0 L OPPOSTO DI UN NUMERO È LO STESSO NUMERO CAMBIATO DI SEGNO. ( STESSO VALORE ASSOLUTO SEGNO DIVERSO) NELL INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI L INVERSO (O RECIPROCO) DI UN NUMERO (A) È UN NUMERO (B) TALE CHE (A X B) = 1 QUINDI (B) MOLTIPLICATO PER IL SUO INVERSO (B) DÀ COME RISULTATO L ELEMENTO NEUTRO. (2/1 X 1/2) = 1 -(3/1) X (1/3) = 1 ZERO NON HA UN INVERSO, INFATTI NESSUN NUMERO MOLTIPLICATO PER ZERO DÀ COME RISULTATO 1. LE PROPORZIONI IERI ABBIAMO CALCOLATO CON EXCEL LE PERCENTUALI DI MASCHI E DI FEMMINE DELLE CLASSI QUARTE. PER CALCOLARE QUESTE PERCENTUALI ABBIAMO IMPOSTATO UNA PROPORZIONE: IL RAPPORTO TRA IL NUMERO DEI MASCHI (O DELLE FEMMINE) E IL NUMERO TOTALE DI ALUNNI DI UNA CLASSE È UGUALE AL RAPPORTO TRA X (PERCENTUALE) E 100. NUM.MASCHI STA AL NUM.TOT.ALUNNI COME X STA A 100. QUINDI 15 : 26 = 0,57 X :100 = 0,57 X = 0,57X100 = 57 15 : 26 = X : 100
OPERAZIONI FATTE 15 : 26 X 100 OPPURE 15 X 100 :26 REGOLA MOLTIPLICO TRA LORO GLI ESTREMI E DIVIDO IL RISULTATO PER IL CENTRALE CHE CONOSCO. (IL PRODOTTO DEGLI ESTREMI È UGUALE A QUELLO DEI CENTRALI) 15 X 100 = (X) X 26 DIVISIONI PER FARE IN COLONNA UNA DIVISIONE CON UN DIVISORE DECIMALE DEVO APPLICARE LA PROPRIETÀ INVARIANTIVA IN MODO DA FAR DIVENTARE IL DIVISORE UN NUMERO INTERO. ( 63 : 0,7 ) = 63X10:0,7X10= 630:7= 90 H DA U 6 3 0 7 6 3 9 0 0 0 CON LE FRAZIONI POSSO MOLTIPLICARE IL PRIMO NUMERO (DIVIDENDO) PER L INVERSO DEL SECONDO (DIVISORE) 63 : 7 = 63 X 10 = 630 = 90 1 10 1 7 7 1 I NUMERI IRRAZIONALI ALLARGHIAMO IL CAMPO NUMERICO: L OPERAZIONE INVERSA ALL ELEVAZIONE A POTENZA. 2 2 = 2X2 = 4 L OPERAZIONE INVERSA ALL ELEVAZIONE A POTENZA È L ESTRAZIONE DI RADICE (IN QUESTO CASO RADICE QUADRATA)
PER CALCOLARE LA RADICE QUADRATA DI 4 DEVO TROVARE IL NUMERO CHE MOLTIPLICATO PER SE STESSO DIA COME RISULTATO 4. QUESTO NUMERO È 2 2 4 = 2 2 3 = 2X2X2 = 8 3 8 = 2 SERIE DEI NUMERI AL QUADRATO 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81-. VOLENDO CALCOLARE LA RADICE QUADRATA DI DUE AVREMO COME RISULTATO UN NUMERO MAGGIORE DI 1 E MINORE DI 2 1,5 2,25 1,4 1,96 1,41 1,9881 1,42 2,0164 1,415 2,002225 1,414 1,999396 1,4142 1,9999616 1,4143 2,0002445 1< 2 2 < 2 AUMENTANDO IL NUMERO DELLE CIFRE DECIMALI CI AVVICINIAMO A 2 SENZA MAI ARRIVARCI. 2 2 È UN NUMERO CHE HA UN NUMERO INFINITO DI CIFRE DECIMALI, QUESTO ACCADRÀ CON TUTTI I NUMERI CHE NON SONO DEI QUADRATI PERFETTI. SERIE DEI NUMERI ELEVATI AL CUBO (TERZA POTENZA) 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 -... 2< 3 25 < 3 ANCHE IN QUESTO CASO IL RISULTATO SARÀ UN NUMERO DECIMALE CON INFINITE CIFRE DECIMALI. UN NUMERO CHE HA INFINITE CIFRE DECIMALI NON PUÒ ESSERE SCRITTO IN FORMA DI FRAZIONE QUINDI NON È UN NUMERO RAZIONALE.